指数方程与对数方程

指数函数和对数函数在前两章已经出现过：一个把变量放在指数位置，描述倍增、衰减和复利；一个反过来追问“要把底数提高到几次方”。本章把它们放进方程里，重点不在记住更多公式，而在判断什么时候可以改写，什么时候必须取对数，以及什么时候代数变形会带来不该留下的候选答案。

先看一个很普通的问题：一笔钱按每年固定比例增长，什么时候会达到目标金额？如果模型写成 $A(t)=P(1+r)^t$，未知量 $t$ 在指数上。普通的一次方程、二次方程技巧都不能直接把它“挪下来”。对数就是用来回答这种问题的语言。

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方程中的未知量藏在哪里

指数方程和对数方程看起来相似，其实未知量藏的位置不同。

指数方程把未知量放在指数位置，例如：

$$3^{x+2}=81$$

或：

$$5 \cdot 2^{0.3t}=40$$

对数方程把未知量放在对数的真数里，或者让一个对数表达式等于另一个表达式，例如：

$$\log_2(x-1)=5$$

以及：

$$\log(x-1)+\log(x+2)=1$$

解这两类方程时，最重要的判断是：能不能把两边写成同一个函数的同一个输入输出关系。如果可以，就用一对一性质；如果不方便，就用对数或指数形式互相转换。

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同底化：把指数方程变成指数比较

如果方程两边可以写成相同底数的幂，就可以用同底化。背后的理由是一对一性质：当 $b>0$ 且 $b \ne 1$ 时，如果 $b^m=b^n$，那么 $m=n$。

直接同底

求解：

$$3^{2x-1}=81$$

因为 $81=3^4$，所以原方程等价于：

$$3^{2x-1}=3^4$$

于是比较指数：

$$2x-1=4$$

解得：

$$x=\frac{5}{2}$$

这里不需要取对数，因为底数已经统一。取对数也能做，但会把一个很短的题变长。

先把底数拆成共同底

求解：

$$4^{x+1}=8^{2x-3}$$

两边的底数不同，但都能写成 $2$ 的幂：

$$(2^2)^{x+1}=(2^3)^{2x-3}$$

使用幂的乘方性质：

$$2^{2x+2}=2^{6x-9}$$

比较指数：

$$2x+2=6x-9$$

所以：

$$x=\frac{11}{4}$$

同底化适合底数之间有明显幂关系的题目，例如 $4,8,16$，或者 $9,27,81$。如果底数是 $2$ 和 $5$，或者 $3$ 和 $7$，硬凑同底通常不是好路。

把重复的指数项看成一个整体

有些指数方程不是两边各一个幂，而是出现了同一个指数项的倍数。求解：

$$5^x+5^{x+1}=150$$

先把 $5^{x+1}$ 写成 $5 \cdot 5^x$：

$$5^x+5 \cdot 5^x=150$$

合并同类因子：

$$6 \cdot 5^x=150$$

于是：

$$5^x=25$$

因为 $25=5^2$，所以：

$$x=2$$

这类题的关键不是马上取对数，而是先观察有没有共同的指数表达式。很多时候，整理一步之后就回到了同底化。

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取对数：当底数不能统一时

如果指数项已经孤立，而底数不能方便地统一，就可以对两边取对数。取常用对数 $\log$ 或自然对数 $\ln$ 都可以；如果题目里出现 $e$，用 $\ln$ 通常最顺手。

求解：

$$3 \cdot 2^{0.4t}=27$$

把过程合在一起，就是：

$$t=\frac{\ln 9}{0.4\ln 2}$$

为什么取哪种对数都可以

如果用常用对数，过程会变成：

$$0.4t \log 2=\log 9$$

于是：

$$t=\frac{\log 9}{0.4\log 2}$$

这个值和用 $\ln$ 得到的值相同。原因是同一个底数下的对数比值保持一致，本质上就是换底公式。

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换底公式：让不熟悉的底数变得可计算

换底公式把任意合法底数的对数改写成同一种底数的对数比值：

$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$

其中 $a>0$，$a \ne 1$，$b>0$，$c>0$，且 $c \ne 1$。常见选择是 $c=10$ 或 $c=e$：

$$\log_a b=\frac{\log b}{\log a}$$ $$\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}$$

公式可以从对数定义推出。设：

$$y=\log_a b$$

那么：

$$a^y=b$$

对两边取自然对数：

$$\ln(a^y)=\ln b$$

于是：

$$y\ln a=\ln b$$

所以：

$$y=\frac{\ln b}{\ln a}$$

也就是：

$$\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}$$

用换底公式解指数方程

求解：

$$7 \cdot 3^{2x-1}=50$$

先孤立指数项：

$$3^{2x-1}=\frac{50}{7}$$

写成对数形式：

$$2x-1=\log_3 \frac{50}{7}$$

因此：

$$x=\frac{1+\log_3 \frac{50}{7}}{2}$$

如果要用计算器近似，可以换底：

$$x=\frac{1+\frac{\ln(50/7)}{\ln 3}}{2}$$

近似为：

$$x \approx 1.394$$

这里的精确答案比小数更有信息，因为它保留了方程的结构。小数适合用于估计、比较和实际解释。

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对数方程先检查定义域

对数方程最容易漏掉的不是计算，而是定义域。只要出现 $\log_b(M)$，就必须有：

$$M>0$$

同时底数满足：

$$b>0,\quad b \ne 1$$

在本章的大多数题目里，底数是常数，真正需要检查的是每一个真数。

一个简单转换

求解：

$$\log_2(x-1)=5$$

先写定义域：

$$x-1>0$$

所以：

$$x>1$$

再转成指数形式：

$$x-1=2^5$$

解得：

$$x=33$$

因为 $33>1$，所以它是原方程的解。

合并对数前也要看定义域

求解：

$$\log(x-1)+\log(x+2)=1$$

先写定义域条件：

$$x-1>0$$

以及：

$$x+2>0$$

合并得到：

$$x>1$$

再用对数乘法性质：

$$\log((x-1)(x+2))=1$$

转成指数形式。这里 $\log$ 表示以 $10$ 为底：

$$(x-1)(x+2)=10$$

展开：

$$x^2+x-2=10$$

整理：

$$x^2+x-12=0$$

因式分解：

$$(x-3)(x+4)=0$$

候选答案是：

$$x=3,\quad x=-4$$

但原方程要求 $x>1$，所以只保留：

$$x=3$$

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一对一性质：同底对数可以比较真数

当两边都是同底对数时，可以使用对数函数的一对一性质：

$$\log_b M=\log_b N$$

等价于：

$$M=N$$

前提仍然是 $M>0$ 且 $N>0$。

求解：

$$\ln(2x+1)=\ln(7-x)$$

先写定义域：

$$2x+1>0$$

以及：

$$7-x>0$$

也就是：

$$x>-\frac{1}{2},\quad x<7$$

因为两边都是 $\ln$，所以比较真数：

$$2x+1=7-x$$

解得：

$$x=2$$

它满足定义域，所以是解。

两边先合并成单个对数

求解：

$$\log_2(x+6)-\log_2 x=3$$

定义域是：

$$x+6>0,\quad x>0$$

所以：

$$x>0$$

左边合并：

$$\log_2 \frac{x+6}{x}=3$$

转成指数形式：

$$\frac{x+6}{x}=2^3$$

也就是：

$$x+6=8x$$

解得：

$$x=\frac{6}{7}$$

它满足 $x>0$，所以是原方程的解。

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增根：看起来是答案，但不是原方程的答案

增根不是“算错了”的意思。它常常是因为某一步变形扩大了方程的适用范围，导致新方程出现了原方程不允许的候选值。对数方程里，最常见的来源就是合并对数、去掉对数或把真数相乘。

看这个方程：

$$\log x+\log(x+3)=1$$

定义域是：

$$x>0,\quad x+3>0$$

所以：

$$x>0$$

合并并转成指数形式：

$$\log(x(x+3))=1$$ $$x(x+3)=10$$

整理：

$$x^2+3x-10=0$$

因式分解：

$$(x-2)(x+5)=0$$

候选答案是 $x=2$ 和 $x=-5$。但是 $x=-5$ 会让 $\log x$ 和 $\log(x+3)$ 都没有实数意义，所以必须排除。原方程的解只有：

$$x=2$$

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图像、数值和代数策略的比较

代数方法给出精确解，但不是每个方程都能漂亮地化简。图像和数值方法不替代代数理解，却能帮你判断解的个数、范围和合理性。

例如：

$$\ln x=3-x$$

这个方程很难用初等代数给出一个整洁的精确解。可以把它看成两条曲线的交点：

$$y=\ln x$$

和：

$$y=3-x$$

由于 $\ln x$ 的定义域是 $x>0$，而 $3-x$ 是一条下降直线，图像能直接告诉我们交点大约在 $x$ 介于 $2$ 和 $3$ 之间。进一步用计算器或数值方法可以得到近似值。

不同策略适合不同结构：

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应用题：方程之外还要解释单位

实际问题中的指数方程常常要求求时间、增长率、衰减率或某个比例。解出数字只是中间步骤，最后还要说明它的单位和含义。

复利达到目标金额

一笔本金 $5000$ 元按年利率 $4\%$ 连续复利增长。多少年后达到 $8000$ 元？

连续复利模型是：

$$A(t)=Pe^{rt}$$

代入数据：

$$8000=5000e^{0.04t}$$

先除以 $5000$：

$$1.6=e^{0.04t}$$

对两边取自然对数：

$$\ln 1.6=0.04t$$

所以：

$$t=\frac{\ln 1.6}{0.04}$$

近似为：

$$t \approx 11.75$$

答案要写成：约 $11.75$ 年后达到 $8000$ 元。如果题目问“至少整几年”，还要根据实际语境向上取整为 $12$ 年。

半衰期求经过时间

某物质半衰期为 $6$ 小时。现在剩下原来的 $20\%$，经过了多少小时？

半衰期模型可以写成：

$$A(t)=A_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/6}$$

剩下 $20\%$ 表示：

$$\frac{A(t)}{A_0}=0.2$$

所以：

$$0.2=\left(\frac{1}{2}\right)^{t/6}$$

取自然对数：

$$\ln 0.2=\frac{t}{6}\ln \frac{1}{2}$$

解得：

$$t=6\cdot \frac{\ln 0.2}{\ln(1/2)}$$

近似为：

$$t \approx 13.93$$

这表示经过了约 $13.93$ 小时。这里的单位来自半衰期给出的单位，不是对数本身产生的。

pH 中的小数变化不是小变化

pH 的基本形式可以写成：

$$\mathrm{pH}=-\log[H^+]$$

如果两个溶液的 pH 相差 $1$，对应的氢离子浓度相差 $10$ 倍。比如 pH 从 $8.1$ 降到 $8.0$，数值只变了 $0.1$，但浓度比例是：

$$10^{0.1}$$

约为：

$$1.259$$

也就是氢离子浓度约增加 $25.9\%$。这类题的重点是解释对数尺度：等差的 pH 变化对应倍数变化，而不是固定加减。

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综合例题：同一道题可以有不同路线

不同底的指数方程

求解：

$$2^{x+1}=5^x$$

这道题不能同底化。对两边取自然对数：

$$\ln(2^{x+1})=\ln(5^x)$$

把指数放下来：

$$(x+1)\ln 2=x\ln 5$$

展开并把含 $x$ 的项放到一边：

$$x\ln 2+\ln 2=x\ln 5$$ $$\ln 2=x(\ln 5-\ln 2)$$

所以：

$$x=\frac{\ln 2}{\ln 5-\ln 2}$$

近似为：

$$x \approx 0.756$$

如果用图像看，方程表示 $y=2^{x+1}$ 和 $y=5^x$ 的交点横坐标。近似值在 $0$ 和 $1$ 之间是合理的，因为 $x=0$ 时左边大，$x=1$ 时右边大。

对数方程中的候选根

求解：

$$\log_2(x+4)+\log_2(x-1)=3$$

定义域：

$$x+4>0,\quad x-1>0$$

所以：

$$x>1$$

合并对数：

$$\log_2((x+4)(x-1))=3$$

转成指数形式：

$$(x+4)(x-1)=8$$

展开：

$$x^2+3x-4=8$$

整理：

$$x^2+3x-12=0$$

用求根公式：

$$x=\frac{-3\pm \sqrt{57}}{2}$$

定义域要求 $x>1$，所以：

$$x=\frac{-3+\sqrt{57}}{2}$$

近似为：

$$x \approx 2.275$$

另一个候选值小于 $1$，会让 $\log_2(x-1)$ 没有实数意义，必须排除。

建模题中的增长率

一种细菌数量从 $200$ 增长到 $900$ 用了 $5$ 小时，假设连续增长模型为：

$$N(t)=N_0e^{kt}$$

求增长常数 $k$。

代入：

$$900=200e^{5k}$$

两边除以 $200$：

$$4.5=e^{5k}$$

取自然对数：

$$\ln 4.5=5k$$

所以：

$$k=\frac{\ln 4.5}{5}$$

近似为：

$$k \approx 0.301$$

这里 $k$ 的单位是“每小时”。如果写成百分比，可以说瞬时增长率参数约为 $0.301\ \text{小时}^{-1}$。不要把它直接说成“每小时增加 $30.1\%$”而不说明模型，因为连续增长的参数和离散每小时百分比不是同一个量。

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常见误区

没有孤立指数项就取对数

从：

$$2+3^x=11$$

直接写成：

$$\log 2+x\log 3=\log 11$$

是错误的。对数没有把加法拆开的规则。正确做法是先移项：

$$3^x=9$$

再得到：

$$x=2$$

把 $\log(M+N)$ 拆成 $\log M+\log N$

对数性质里有：

$$\log(MN)=\log M+\log N$$

但没有：

$$\log(M+N)=\log M+\log N$$

例如 $\log(100+10)=\log 110$，而 $\log 100+\log 10=2+1=3$，它们不是同一个数。

忘记回到原方程检查

如果一个候选根让某个对数真数为 $0$ 或负数，它就不是原方程的解。检查不是形式主义，它是在确认我们没有把方程换成一个更宽的版本。

应用题没有解释单位

方程解出 $t=13.93$，还不算完整。它是小时、年、天，还是计息周期？这个单位来自模型中的变量定义。如果模型写的是 $t$ 年，答案就是年；如果指数是 $t/6$，而 $6$ 是小时，答案就是小时。

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练习与核对

概念判断

判断下列说法是否正确，并说明原因。

1. 若 $2^m=2^n$，则 $m=n$。
2. 若 $\log(x-2)+\log(x+5)=1$，合并后只需要检查 $(x-2)(x+5)>0$。
3. 解 $3^x=20$ 时，$x=\frac{\ln 20}{\ln 3}$。
4. pH 相差 $1$ 表示酸性浓度相差 $1$ 个单位。

计算练习

求解：

$$16^{x-1}=8^{x+2}$$

求解：

$$4 \cdot 7^{2x}=25$$

求解：

$$\log_3(x+5)=\log_3(2x-1)$$

求解：

$$\log(x-3)+\log x=1$$

应用练习

某城市人口按连续增长模型 $P(t)=P_0e^{0.018t}$ 增长。大约多少年后人口变为现在的 $1.5$ 倍？

某物质每 $12$ 天衰减一半。剩下原来的 $30\%$ 时，大约经过多少天？

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本章小结

指数方程和对数方程都在处理同一件事：指数、底数和结果之间的关系。能同底化时，比较指数最直接；底数不能统一时，先孤立指数项再取对数；对数方程则必须先写定义域，再使用合并、转换或一对一性质。

最后所有候选答案都要回到原方程检查。对于应用题，还要把解读回情境：时间的单位是什么，增长率或衰减率表示什么，小数近似是否需要按实际要求取整。这些解释让方程的答案从一个数变成一个可用的结论。