对数函数：指数问题的反向语言

指数函数回答的是“给定底数和指数，结果是多少”。对数函数把这个问题倒过来：给定底数和结果，追问指数是多少。这个转身看起来只是换了一种写法，实际会改变我们观察增长的方式。许多很大的倍数关系、很慢的增长、很宽的测量范围，都会因为对数而变得可读。

本章把对数函数放在指数函数之后学习。你会反复看到同一句话的两种语言：指数语言说“b 的 y 次方得到 x”，对数语言说“以 b 为底，x 的对数是 y”。

从指数问题反向读

指数语言和对数语言的双向转换示意

图：对数把“算出结果”的指数问题，改写成“追问指数”的反向问题。

对数的核心定义只有一行：

\log_b(x)=y \Longleftrightarrow b^y=x

这行公式要从右往左、从左往右都能读。右边的 $b^y=x$ 是指数式：底数是 $b$ ，指数是 $y$ ，结果是 $x$ 。左边的 $\log_b(x)=y$ 是对数式：底数仍然是 $b$ ，输入是 $x$ ，输出是让 $b$ 变成 $x$ 所需要的指数 $y$ 。

例如 $2^5=32$ ，所以：

\log_2(32)=5

这不是新算术规则，而是同一事实的另一种说法。再比如 $3^{-2}=\frac{1}{9}$ ，所以：

\log_3\left(\frac{1}{9}\right)=-2

对数可以是负数，因为负指数可以产生小于 $1$ 的正数。对数的输入不能是负数或 $0$ ，这一点来自指数函数的值域，而不是记号上的规定。

符号里藏着三个条件

对数函数定义域与底数条件示意

图： $\log_b(x)$ 的输入必须在正半轴上，底数必须是正数且不能等于 $1$ 。

在 $\log_b(x)$ 里， $b$ 叫底数， $x$ 叫真数或输入，整个表达式的值是一个指数。为了让它在实数范围内成为一个函数，我们要求：

b>0,\quad b\ne 1,\quad x>0

底数要大于 $0$ ，是因为本课程研究的指数函数 $b^t$ 需要对所有实数 $t$ 有意义并保持连续的函数图像。底数不能等于 $1$ ，是因为 $1^t$ 永远等于 $1$ ，无法从结果反推出唯一指数。输入 $x$ 必须大于 $0$ ，是因为正底数的指数函数只能输出正数。

因此，基本对数函数

f(x)=\log_b(x)

的定义域是 $(0,\infty)$ ，值域是 $(-\infty,\infty)$ 。换句话说，对数函数只接受正输入，但输出可以是任意实数。

判断对数表达式有没有意义时，先看真数是否大于零，再看底数是否满足大于零且不等于一。像 $\log_2(x-3)$ 的定义域不是所有实数，而是由 $x-3>0$ 得到的 $x>3$ 。

几个基础值值得记熟：

\log_b(1)=0

\log_b(b)=1

\log_b(b^k)=k

这些式子直接来自 $b^0=1$ 、 $b^1=b$ 和 $b^k=b^k$ 。它们是日后心算、画图和化简的支点。

常用对数与自然对数

常用对数和自然对数的比较示意

图：常用对数使用底数 $10$ ，自然对数使用底数 $e$ 。

对数可以有许多底数，但两个底数最常见。

常用对数是以 $10$ 为底的对数：

\log_{10}(x)

在许多计算器上，它写成 $\log(x)$ ；在不少中文教材中，也常写成 $\lg x$ 。因为 $10$ 是十进制的底，常用对数很适合描述数量级。例如：

\log_{10}(1000)=3

这句话的意思是 $1000$ 是 $10$ 的 $3$ 次方。

自然对数是以 $e$ 为底的对数：

\ln(x)=\log_e(x)

其中 $e\approx 2.71828$ 。自然对数在连续增长、微积分和许多科学模型中出现得非常频繁。现在只需要先把它看成“底数是 $e$ 的对数”。例如：

\ln(e^4)=4

如果只写 $\log x$ 而没有写底数，要看语境。高中教材和很多科学计算器中通常表示以 $10$ 为底；进入更高等的数学语境后，有时 $\log x$ 也会表示自然对数。为了避免误解，本章在关键公式中会尽量写清底数。

图像是指数图像的镜像

不同底数对数函数的图像比较

图： $y=\log_2 x$ 、 $y=\ln x$ 、 $y=\log_{10}x$ 都经过 $(1,0)$ ，并以 $x=0$ 为竖直渐近线。

指数函数 $y=b^x$ 与对数函数 $y=\log_b(x)$ 互为反函数，所以它们的图像关于直线 $y=x$ 对称。指数函数的点 $(a,b^a)$ ，在对数图像上会变成 $(b^a,a)$ 。

以 $b>1$ 为例，指数函数 $y=b^x$ 经过 $(0,1)$ ，对数函数 $y=\log_b(x)$ 就经过 $(1,0)$ 。指数函数的值域是 $(0,\infty)$ ，对数函数的定义域也正好是 $(0,\infty)$ 。

对数图像有几个稳定特征：

它经过 $(1,0)$ ，因为 $\log_b(1)=0$ 。
它经过 $(b,1)$ ，因为 $\log_b(b)=1$ 。
它的竖直渐近线是 $x=0$ 。
当 $b>1$ 时， $y=\log_b(x)$ 是增函数。
当 $0<b<1$ 时， $y=\log_b(x)$ 是减函数。

对数函数的增长很慢。以 $y=\log_{10}(x)$ 为例， $x$ 从 $10$ 增加到 $100$ ，函数值只从 $1$ 增加到 $2$ ； $x$ 再增加到 $1000$ ，函数值才到 $3$ 。每往上走一格，横向输入都要乘以 $10$ 。

对数律来自指数律

对数律来自指数律的示意

图：指数相加对应幂相乘；对数把这个关系反向读成“乘法变加法”。

对数律不是一组孤立要背的规则。它们来自指数律。先看乘积公式。设：

u=\log_b(M),\quad v=\log_b(N)

根据定义，有：

M=b^u,\quad N=b^v

于是：

MN=b^u\cdot b^v=b^{u+v}

再把它读回对数语言：

\log_b(MN)=u+v=\log_b(M)+\log_b(N)

所以：

\log_b(MN)=\log_b(M)+\log_b(N)

同样地，在 $b>0$ 、 $b\ne1$ 、 $M>0$ 、 $N>0$ 的条件下：

\log_b\left(\frac{M}{N}\right)=\log_b(M)-\log_b(N)

\log_b(M^r)=r\log_b(M)

商律来自 $b^u/b^v=b^{u-v}$ ，幂律来自 $(b^u)^r=b^{ur}$ 。只要你能把对数换回指数，就能看出这些规则为什么成立。

对数律只处理乘法、除法和幂。一般情况下， $\log_b(M+N)$ 不能拆成 $\log_b(M)+\log_b(N)$ 。例如 $\log_{10}(10+90)=2$ ，但 $\log_{10}(10)+\log_{10}(90)$ 约等于 $2.954$ ，两者并不相等。

用换底公式连接不同底数

计算器通常直接提供 $\log$ 和 $\ln$ ，但题目里可能出现任意底数，比如 $\log_2(7)$ 。这时可以使用换底公式：

\log_b(x)=\frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}

其中 $a>0$ 且 $a\ne1$ 。常用写法是：

\log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}

或者：

\log_b(x)=\frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(b)}

换底公式的含义是：先用同一把“对数尺”分别量 $x$ 和 $b$ ，再比较这两个读数。它不改变对数的本质，只是换一种可计算的单位。

对数尺度看的是倍数

对数尺度在 pH、分贝和地震震级中的应用示意

图：对数尺度把很宽的真实数值范围压缩成容易比较的刻度。

线性尺度关心“多了多少”。对数尺度更关心“变成了多少倍”。如果一个量写成 $R=10^k$ ，那么：

\log_{10}(R)=k

$k$ 每增加 $1$ ，真实比例 $R$ 就乘以 $10$ 。所以对数尺度上的等距刻度，对应真实世界中的等比变化。

这就是为什么对数常用于范围特别大的测量。

pH 使用负的常用对数描述氢离子浓度：

\mathrm{pH}=-\log_{10}[H^+]

由于前面有负号，pH 每降低 $1$ ，氢离子浓度约乘以 $10$ 。pH 为 $3$ 的溶液，其氢离子浓度约是 pH 为 $4$ 的 $10$ 倍。

分贝常用来描述强度比，例如声强级可以写成：

L=10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)

这里比较的是声强 $I$ 相对于参考声强 $I_0$ 的倍数。读数增加 $10$ dB，对应强度比乘以 $10$ 。

地震震级也使用对数思想。简化地说，震级差 $1$ 对应某个测量量约相差 $10$ 倍。真实地震能量还有更细的换算，不能把“震级多 $1$ ”粗略理解成所有物理量都只多 $10$ 倍。这里最重要的是看懂：对数刻度上的加法，背后对应真实量的乘法。

例题把定义落到手上

例题：心算对数值

求 $\log_3(81)$ 、 $\log_3\left(\frac{1}{27}\right)$ 和 $\log_5(1)$ 。

先把每个真数写成对应底数的幂。因为 $81=3^4$ ，所以 $\log_3(81)$ 追问的是 $3$ 的几次方等于 $81$ 。

由 $81=3^4$ 得到 $\log_3(81)=4$ 。

因为 $\frac{1}{27}=3^{-3}$ ，所以 $\log_3\left(\frac{1}{27}\right)=-3$ 。负值来自负指数，而不是来自负输入。

因为任何允许底数都满足 $5^0=1$ ，所以 $\log_5(1)=0$ 。

例题：先找定义域

求函数 $f(x)=\log_2(3x-6)$ 的定义域。

对数函数的真数必须大于零，所以先写出不等式 $3x-6>0$ 。

解这个不等式，得到 $3x>6$ ，因此 $x>2$ 。

底数 $2$ 已经满足 $2>0$ 且 $2\ne1$ ，不再产生额外限制。

所以定义域是 $(2,\infty)$ 。如果画图，竖直渐近线会从 $x=0$ 平移到 $x=2$ 。

例题：用对数律展开

在 $x>0$ 、 $y>0$ 的条件下，展开：

\log_2\left(\frac{8x^3}{y}\right)

先把商拆开，得到 $\log_2(8x^3)-\log_2(y)$ 。

再把乘积拆开，得到 $\log_2(8)+\log_2(x^3)-\log_2(y)$ 。

使用 $\log_2(8)=3$ 和幂律 $\log_2(x^3)=3\log_2(x)$ 。

最终得到 $3+3\log_2(x)-\log_2(y)$ 。

例题：把倍数增长转成时间

某细菌数量按 $P(t)=1200\cdot 1.18^t$ 增长， $t$ 以小时计。数量达到初始值 $5$ 倍大约需要多少小时？

达到初始值 $5$ 倍，表示 $1200\cdot 1.18^t=5\cdot1200$ 。两边同时除以 $1200$ ，得到 $1.18^t=5$ 。

用对数语言追问指数： $t=\log_{1.18}(5)$ 。

用换底公式计算， $t=\frac{\ln(5)}{\ln(1.18)}$ 。

近似计算得到 $t\approx 9.72$ ，所以大约需要 $9.7$ 小时。

常见误区集中拆开

对数常见误区警示图

图：对数运算最常见的错误，往往来自忘记定义域或把加法误拆。

化简对数表达式时，规则只在原表达式有意义的范围内使用。尤其是把多个对数合成一个对数时，不要忘记原来每个真数都必须大于零。

误区一是把对数当成普通乘法记号。 $\log_b(x)$ 是一个函数值，不是 $\log\cdot b\cdot x$ 。底数 $b$ 说明使用哪一种指数尺，真数 $x$ 是被测量的正数。

误区二是忽视真数条件。 $\log_2(x^2)$ 的定义域是 $x\ne0$ ，因为 $x^2>0$ ； $\log_2(x)$ 的定义域才是 $x>0$ 。两者不能随意互换。

误区三是把加法放进对数律。对数可以把乘法变成加法，但不能把加法拆成加法：

\log_b(MN)=\log_b(M)+\log_b(N)

一般却没有：

\log_b(M+N)=\log_b(M)+\log_b(N)

误区四是忘记底数小于 $1$ 时图像递减。当 $0<b<1$ 时， $b^x$ 随 $x$ 增大而减小，它的反函数 $\log_b(x)$ 也随 $x$ 增大而减小。这个性质在下一章解不等式时尤其重要。

自测

判断 $\log_4(64)$ 的值。

因为 $4^3=64$ ，所以 $\log_4(64)=3$ 。

求 $\log_7(x+2)$ 的定义域。

真数要大于零，所以 $x+2>0$ ，定义域是 $(-2,\infty)$ 。

判断等式 $\log_2(8+8)=\log_2(8)+\log_2(8)$ 是否成立。

不成立。左边是 $\log_2(16)=4$ ，右边是 $3+3=6$ 。对数律不能拆真数里的加法。

用换底公式估算 $\log_2(10)$ 。

可以写成 $\log_2(10)=\frac{\ln(10)}{\ln(2)}\approx 3.322$ 。这也说明 $10$ 位于 $2^3=8$ 和 $2^4=16$ 之间。

小结

对数函数的本质是指数函数的反函数。只要记住 $\log_b(x)=y$ 等价于 $b^y=x$ ，许多看似新的公式都会回到熟悉的指数律。

本章最重要的检查顺序是：先确认底数 $b>0$ 且 $b\ne1$ ，再确认真数 $x>0$ ，最后把问题翻译成指数语言或对数语言。对数图像、对数律、换底公式和对数尺度都围绕这一点展开。

学到这里，你已经能读懂对数函数本身。下一章会进一步处理指数方程和对数方程，也就是把“反向语言”用于求未知数。