多项式函数：次数、零点与端行为

多项式函数像一条由代数结构控制的连续曲线。它的整体方向由最高次项决定，它在哪里碰到或穿过 $x$ 轴由零点决定，它在零点附近的动作由重数决定。只要抓住这几件事，很多看似复杂的图像就能被拆成可以判断的局部信息。

本章的目标不是把每个多项式都精确画到每个弯曲处，而是学会从式子读出图像的骨架：两端往哪里走，哪些位置是 $x$ 轴截距，曲线在这些位置是穿过还是贴着，最多可能出现多少次局部转折，以及怎样把这些线索连成合理草图。

多项式标准式中的次数、首项、首项系数和常数项

图示：多项式标准式把最高次项、首项系数和常数项放在同一条结构线上。

多项式函数的基本结构

一个多项式函数可以写成有限个非负整数次幂项的和：

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0

这里 $n$ 是非负整数， $a_n \neq 0$ 。每个 $a_kx^k$ 是一项， $a_k$ 是这一项的系数。指数必须是非负整数，所以 $3x^4-2x+7$ 是多项式函数，而 $\sqrt{x}+1$ 、 $\frac{1}{x}+2$ 、 $2^x-5$ 都不是多项式函数。

当多项式按指数从高到低排列时，最左边的非零项叫首项。首项的指数是多项式的次数，首项前面的系数叫首项系数。例如

p(x)=-2x^5+9x^3-x+4

的次数是 $5$ ，首项是 $-2x^5$ ，首项系数是 $-2$ 。次数看的是最高指数，不是项数，也不是系数绝对值最大的那一项。

零多项式 $f(x)=0$ 没有通常意义下的次数。常数函数 $f(x)=c$ 且 $c \neq 0$ 是 $0$ 次多项式，因为它可以写成 $cx^0$ 。

有时多项式会写成因式形式：

f(x)=a(x-r_1)^{m_1}(x-r_2)^{m_2}\cdots(x-r_k)^{m_k}

这种形式特别适合读零点和重数。标准式适合读首项、次数和首项系数；因式形式适合读图像在哪里接触 $x$ 轴。学习多项式图像时，经常要在这两种形式之间切换。

首项决定端行为

端行为描述的是当 $x$ 沿着数轴向很大的正方向或很大的负方向移动时，函数值最终怎样变化。多项式的端行为由首项决定，因为当 $|x|$ 很大时，最高次幂项增长得最快，低次项的影响会被压到相对很小。

例如

f(x)=2x^4-100x^3+7x-9

在靠近原点的一段可能受 $-100x^3$ 明显影响，但从远处看， $2x^4$ 最终会控制整体方向。因此这个函数左右两端都会向上。

四种多项式端行为：偶次正首项、偶次负首项、奇次正首项、奇次负首项

图示：次数的奇偶决定两端是同向还是反向，首项系数的正负决定向上或向下。

端行为可以用一张表快速判断：

次数	首项系数	左端行为	右端行为
偶数	正	向上	向上
偶数	负	向下	向下
奇数	正	向下	向上
奇数	负	向上	向下

如果用符号写，设首项是 $a_nx^n$ 。当 $n$ 为偶数且 $a_n>0$ 时：

x \to -\infty,\ f(x)\to +\infty

x \to +\infty,\ f(x)\to +\infty

当 $n$ 为奇数且 $a_n<0$ 时：

x \to -\infty,\ f(x)\to +\infty

x \to +\infty,\ f(x)\to -\infty

这些符号是“输入沿某个方向越来越大时，输出最终沿某个方向变化”的简写，不要把 $\infty$ 当作一个可以到达的数字。

判断端行为时，不需要展开每一项的精确值。先找最高指数，再看它的系数正负，就能决定图像两端最终的方向。

零点与 x 轴截距

如果 $f(r)=0$ ，那么 $r$ 是函数 $f$ 的一个零点。若 $r$ 是实数，图像上就有一个 $x$ 轴截距 $(r,0)$ 。所以“零点”是输入值，“截距”是图像上的点。

在因式形式中，零点很容易看出来。若

f(x)=3(x+2)(x-1)^2(x-4)

那么零点是 $x=-2$ 、 $x=1$ 、 $x=4$ 。其中 $x=1$ 来自因式 $(x-1)^2$ ，它出现了两次，所以它不是一个普通的单次零点。

零点的数量要小心数。不同的实零点最多有 $n$ 个，但也可能更少。一个 $5$ 次多项式可能只有一个实零点，因为其他零点可能是非实数，也可能多个零点重合在同一个位置。

图像上的 $x$ 轴截距只显示实零点。多项式方程在更大的数系中还可能有非实数解，但这些解不会直接表现为图像与 $x$ 轴的交点。

重数决定穿过还是贴着

如果因式 $(x-r)^m$ 出现在多项式中，就说 $r$ 是重数为 $m$ 的零点。重数控制图像在 $x=r$ 附近的局部动作。

当 $m$ 是奇数时， $(x-r)^m$ 在 $r$ 的左右两侧符号相反，所以图像会穿过 $x$ 轴。当 $m$ 是偶数时， $(x-r)^m$ 在 $r$ 的左右两侧符号相同，所以图像会贴着 $x$ 轴后折回。

不同重数的零点在 x 轴附近的局部形状

图示：奇数重数穿过，偶数重数贴着；重数越高，零点附近越平。

重数不只决定“穿过”或“贴着”，还影响曲线在零点附近的平坦程度。重数 $1$ 通常像一条斜线直接过轴；重数 $3$ 仍然穿过，但会在过轴处短暂变平；重数 $2$ 会贴着反弹；重数 $4$ 也贴着反弹，而且在接触点附近更平。

次数限制局部转折

局部转折点是图像从上升变下降，或从下降变上升的位置。一个 $n$ 次多项式最多有 $n-1$ 个局部转折点。

多项式次数与局部转折点数量上限

图示：次数给出局部转折点的上限，但实际转折点可能少于这个上限。

“最多”这两个字很重要。 $4$ 次多项式最多有 $3$ 个局部转折点，但它可以只有 $1$ 个，甚至在某些特殊情况下没有明显的多次起伏。次数提供的是图像复杂度的上限，不是精确承诺。

次数也限制零点数量。一个 $n$ 次多项式最多有 $n$ 个不同的实零点。如果按重数计算，在复数范围内会有 $n$ 个零点；在图像草图中，我们通常关注能在 $x$ 轴上看见的实零点。

不要用“看到几个转折点”直接倒推出唯一的次数。一个有两个转折点的图像可能来自 $3$ 次多项式，也可能来自更高次的多项式。图像只能给出最低可能次数或排除某些情况，不能自动锁定唯一答案。

从零点恢复函数轮廓

如果一个多项式已经写成因式形式，草图可以按固定顺序搭起来。

由因式形式逐步恢复多项式图像轮廓

图示：从因式形式读出零点、重数和端行为，再把局部动作连成整体曲线。

考虑函数

f(x)=-\frac{1}{8}(x+3)(x+1)^2(x-2)^3

我们不急着展开它。先看次数：三个因式的指数和是

1+2+3=6

所以它是 $6$ 次多项式。首项系数来自每个因式的最高次项相乘，再乘外面的 $-\frac{1}{8}$ ，因此首项系数为 $-\frac{1}{8}$ 。次数为偶数且首项系数为负，所以左右两端都向下。

先标出零点。由 $(x+3)$ 得 $x=-3$ ，由 $(x+1)^2$ 得 $x=-1$ ，由 $(x-2)^3$ 得 $x=2$ 。

再判断每个零点的重数。 $x=-3$ 是重数 $1$ ，图像穿过； $x=-1$ 是重数 $2$ ，图像贴着反弹； $x=2$ 是重数 $3$ ，图像变平后穿过。

接着确定端行为。函数是偶次且首项系数为负，所以最左端向下，最右端也向下。

最后用符号变化检查连接方式。因为 $x=-1$ 是偶数重数，图像经过它时不换到 $x$ 轴另一侧；因为 $x=-3$ 和 $x=2$ 是奇数重数，图像会换到另一侧。

这个例子的 $y$ 轴截距也可以顺手计算：

f(0)=-\frac{1}{8}(3)(1)(-8)=3

所以草图应经过 $(0,3)$ 。这个点能帮助我们避免把中间部分连得太高或太低。

草图不是猜线条，而是把四类信息拼起来：端行为、零点位置、重数动作和一个或几个辅助点。只要这些信息彼此一致，草图就有可靠的骨架。

例题：由图像特征写一个可能的函数

有时题目不给公式，而给图像特征。比如：一个多项式函数满足以下条件：

左端向上，右端向下；
在 $x=-2$ 处穿过 $x$ 轴；
在 $x=1$ 处贴着 $x$ 轴后折回；
在 $x=4$ 处变平后穿过 $x$ 轴。

先把零点和重数转成因式。穿过通常可以先用奇数重数，最简单是 $1$ ；贴着用偶数重数，最简单是 $2$ ；变平后穿过可用 $3$ 。

(x+2)(x-1)^2(x-4)^3

这个乘积的次数是

1+2+3=6

偶次多项式的两端应同向，但题目要求左端向上、右端向下，两端反向。这说明我们不能选这些最小重数后就结束，因为当前次数的奇偶不对。

保留局部动作不变的前提下，可以把某个奇数重数增加 $2$ ，例如把 $x=-2$ 的重数从 $1$ 改为 $3$ ：

g(x)=a(x+2)^3(x-1)^2(x-4)^3

次数变为

3+2+3=8

仍然是偶次，不合要求。若把贴着的 $x=1$ 从 $2$ 改为 $4$ ，也只会增加偶数，仍不会改变奇偶。因此这组要求本身有矛盾：两个奇数重数零点和一个偶数重数零点的重数和必为偶数，端行为应同向，不可能左端向上右端向下。

从图像特征写函数时，不能只把“穿过”和“贴着”翻译成因式，还要检查次数奇偶和端行为是否一致。有些描述看似完整，其实互相冲突。

如果把题目第一条改成“左右两端都向下”，那么一个可能的函数是

h(x)=-(x+2)(x-1)^2(x-4)^3

负号让偶次多项式的两端都向下，三个零点附近的局部动作也符合描述。

应用中的多项式模型

多项式常用于描述一段区间内的变化趋势。二次函数可以描述抛物线形轨迹和面积优化；三次或四次多项式可以拟合一段销售量、温度、材料形变或生产成本数据；更高次多项式还可以在计算中近似一些不容易直接计算的函数。

多项式模型在观测区间内拟合良好但区间外外推要谨慎

图示：多项式模型适合服务当前数据窗口，离开观测区间后端行为可能变得不合理。

不过，多项式模型要有使用窗口。一个三次函数可能在某几个月内很好地拟合销量，但如果把它向未来很远处外推，它可能预测出负销量或无限增长。端行为提醒我们：多项式的远端趋势很强，不一定符合真实世界的长期限制。

因此，在实际问题中使用多项式模型时，要同时说明两件事：模型在哪个输入范围内由数据支持，以及在这个范围外是否仍有现实意义。图像的端行为越夸张，越要谨慎外推。

常见误区整理

把次数看成项数。 $7x^6-x+3$ 有三项，但次数是 $6$ 。

把首项系数看成最大的系数。 $100x^2+x^5$ 的首项是 $x^5$ ，首项系数是 $1$ ，不是 $100$ 。

只数不同零点，不数重数。 $(x-2)^4(x+1)$ 的不同实零点有两个，但按重数计算的次数是 $5$ 。

以为偶数重数一定在 $x$ 轴上方反弹。偶数重数只说明不穿过，图像可以从上方贴着反弹，也可以从下方贴着反弹。

把图像窗口边缘当成端行为。屏幕上看到的左右边缘只是当前窗口，不一定足够远。判断端行为应先看首项。

以为 $n$ 次多项式一定有 $n-1$ 个转折点。次数只给上限，不保证达到上限。

自我检查

练习一：判断函数

f(x)=5x^4-2x^3+9x-1

的次数、首项系数和端行为。

次数是 $4$ ，首项系数是 $5$ 。因为次数为偶数且首项系数为正，图像左右两端都向上。

练习二：函数

g(x)=-2(x+4)^2(x-1)^3(x-5)

有哪些实零点？在每个零点处图像是穿过还是贴着？

零点是 $x=-4$ 、 $x=1$ 、 $x=5$ 。 $x=-4$ 的重数为 $2$ ，图像贴着 $x$ 轴； $x=1$ 的重数为 $3$ ，图像变平后穿过； $x=5$ 的重数为 $1$ ，图像直接穿过。

练习三：一个多项式左端向下、右端向上，并且在 $x=-1$ 贴着 $x$ 轴，在 $x=2$ 穿过 $x$ 轴。写出一个可能的函数。

左端向下、右端向上说明它可以是奇次且首项系数为正。 $x=-1$ 贴着，可用偶数重数 $2$ ； $x=2$ 穿过，可用奇数重数 $1$ 。一个可能的函数是

f(x)=(x+1)^2(x-2)

它是三次，首项系数为正，符合端行为要求。

练习四：判断下面说法是否一定正确：“一个 $5$ 次多项式一定有 $4$ 个局部转折点。”

不一定。 $5$ 次多项式最多有 $4$ 个局部转折点，但实际数量可能少于 $4$ 。例如某些五次函数只显示两个甚至更少的明显转折。