指数函数：增长、衰减与模型

有些变化看起来一开始很慢，后来突然变快。也有些变化一开始下降明显，后来越来越接近某个底线。银行账户的复利、细菌数量的扩张、药物在体内的减少、放射性物质的衰变，都有这种味道。

它们的共同点不是“每次多加同样多”，而是“每次乘同一个因子”。本章就从这个重复乘法出发，学习指数函数的表达式、图像、增长与衰减模型，以及怎样用数据判断一个指数模型是否合适。

从反复乘同一个因子开始

假设某个数量一开始是 100，每过 1 个时间单位就变成原来的 1.2 倍。前几项是：

时间 $x$	数量
0	$100$
1	$100 \cdot 1.2$
2	$100 \cdot 1.2^2$
3	$100 \cdot 1.2^3$
$x$	$100 \cdot 1.2^x$

这里的指数 $x$ 不是装饰，它记录“同一个因子被乘了多少次”。把初始量和因子抽象出来，就得到指数函数的常见形式：

f(x)=ab^x

其中 $a$ 是 $x=0$ 时的函数值，也叫初始值或起始值； $b$ 是每增加 1 个单位时要乘上的因子，叫增长因子或衰减因子。

指数函数由初始量和重复乘法因子构成的时间轴示意

图示：指数函数的核心动作是从初始量出发，在相同间隔内反复乘同一个因子。

严格地说，在实数范围内讨论 $f(x)=ab^x$ 时，通常要求：

b>0,\quad b\ne 1

如果 $b=1$ ，函数就是常数函数 $f(x)=a$ ，已经不再体现指数增长或衰减。如果 $b<0$ ，像 $(-2)^{1/2}$ 这样的值会脱离实数范围，所以高中代数里通常不把负底数放进指数函数的基本定义。

在真实建模中， $a$ 常常取正数，因为人口、金额、质量、浓度这些数量不能为负。代数上 $a$ 可以为负，那时图像会关于 $x$ 轴翻折，但它通常不再适合表示“实际数量”。

指数函数和幂函数不同

$2^x$ 是指数函数，因为变量在指数位置； $x^2$ 是幂函数，因为变量在底数位置。两者都会弯曲，但变化规律不同。

例如，当 $x$ 每增加 1 时， $2^x$ 总是乘以 2；而 $x^2$ 从 $3^2$ 到 $4^2$ 增加 7，从 $4^2$ 到 $5^2$ 增加 9，既不是固定加法，也不是固定乘法。

增长因子、衰减因子与百分比变化

很多题目不会直接告诉你 $b$ ，而是说“每年增长 8%”“每小时减少 15%”。这时要把百分比变化转换成乘法因子。

如果每期增长 $r$ ，其中 $r$ 用小数表示，那么增长因子是：

b=1+r

如果每期减少 $r$ ，那么衰减因子是：

b=1-r

例如，增长 8% 对应 $b=1.08$ ；减少 15% 对应 $b=0.85$ 。这里的 $0.85$ 表示“剩下原来的 85%”，不是“减少到 15%”。

百分比增长和百分比衰减转换为乘法因子的示意图

图示：百分比变化先要转换成乘法因子，再写进 $ab^x$ 。

文字描述	因子 $b$	模型方向
每期增长 30%	$1.30$	指数增长
每期增长 2.5%	$1.025$	指数增长
每期减少 30%	$0.70$	指数衰减
每期减少 2.5%	$0.975$	指数衰减

“减少 20%”对应的因子是 $0.80$ ，不是 $0.20$ 。 $0.20$ 表示只剩原来的 20%，也就是减少了 80%。很多指数模型的错误都出在这一步。

例题：从文字写出模型

一台设备现在价值 4800 元，预计每年贬值 18%。设 $t$ 表示经过的年数，写出设备价值 $V(t)$ 的模型，并求 3 年后的估计价值。

初始价值是 4800，所以模型中的 $a=4800$ 。

每年贬值 18%，表示每年还剩原来的 82%，所以衰减因子是 $b=0.82$ 。

把初始值和因子写入指数模型，得到

V(t)=4800(0.82)^t

代入 $t=3$ ，得到

V(3)=4800(0.82)^3\approx 2646

因此 3 年后的估计价值约为 2646 元。

注意这个模型不是每年少 $4800\cdot 18\%=864$ 元。第一年减少 864 元，第二年减少的是剩余价值的 18%，金额会变小。指数衰减的“百分比”保持不变，但每期减少的绝对数量通常不相同。

图像：截距、渐近线与方向

先看最基本的 $f(x)=b^x$ 。无论 $b>1$ 还是 $0<b<1$ ，都有：

f(0)=b^0=1

所以图像经过 $(0,1)$ 。如果是 $f(x)=ab^x$ ，则：

f(0)=a

所以 $y$ 轴截距是 $(0,a)$ 。

指数增长曲线和指数衰减曲线的坐标图对照

图示： $b>1$ 时图像向右快速上升； $0<b<1$ 时图像向右靠近 $x$ 轴。

当 $a>0$ 时，指数函数的值始终为正。图像会接近 $x$ 轴，但不会真正碰到 $x$ 轴。因此 $y=0$ 是水平渐近线。

条件	图像方向	直观含义
$a>0,\ b>1$	向右上升	每期乘上大于 1 的因子
$a>0,\ 0<b<1$	向右下降	每期乘上小于 1 的正因子
$a<0$	关于 $x$ 轴翻折	函数值为负，通常少用于实际数量模型

用交互观察参数

下面的交互可以调整 $a$ 和 $b$ ，观察曲线、表格和相邻函数值的比值。重点看一件事：只要 $x$ 增加 1，函数值就乘以同一个 $b$ 。

判断指数增长或衰减时，先看乘法因子 $b$ ，不要只看某一段图像陡不陡。 $b=1.02$ 的增长一开始可能很慢，但只要重复足够多次，它仍然是指数增长。

倍增时间与半衰期

有些模型不用“每期增长多少百分比”描述，而是用“多久翻倍”或“多久减半”描述。

如果一个数量每 3 小时翻倍，初始量为 $Q_0$ ，那么经过 $t$ 小时后的模型可以写成：

Q(t)=Q_0\cdot 2^{t/3}

这里 $t/3$ 表示“经过了多少个 3 小时”。当 $t=3$ 时，指数是 1，数量乘以 2；当 $t=6$ 时，指数是 2，数量乘以 $2^2$ 。

如果一个药物浓度每 5 小时减半，初始浓度为 $C_0$ ，那么：

C(t)=C_0\left(\frac12\right)^{t/5}

倍增时间和半衰期的双时间轴示意图

图示：倍增时间看“每隔多久乘以 2”，半衰期看“每隔多久乘以 $\frac12$ ”。

倍增时间和半衰期本质上仍然是增长因子和衰减因子。只是它们把“每 1 单位时间乘多少”改写成了“每一个固定时间段乘 2 或乘 $\frac12$ ”。

从因子反推时间

如果模型按每 1 个时间单位写成 $Q(t)=Q_0b^t$ ，那么倍增时间 $T$ 满足：

b^T=2

半衰期 $H$ 满足：

b^H=\frac12

在下一章学习对数后，可以把它们解成：

T=\frac{\ln 2}{\ln b}

以及：

H=\frac{\ln(1/2)}{\ln b}

这些公式不是本章的重点。本章更重要的是理解：倍增和减半都来自同一个结构，也就是重复乘法。

指数增长和线性增长的区别

线性增长每期增加同样多。指数增长每期乘以同一个因子。

假设两个数量都从 100 开始。A 每期增加 20，B 每期增长 20%。前几期如下：

时间	A：线性 $100+20x$	B：指数 $100(1.2)^x$
0	100	100
1	120	120
2	140	144
3	160	172.8
4	180	207.36
5	200	248.832

线性增长和指数增长的柱状序列与曲线对比

图示：线性增长保持相同差值，指数增长保持相同倍数。

一开始，两个模型可能差得不多。时间拉长后，指数模型的每期增量会越来越大，因为它的增量也建立在前一期已经变大的数量上。

如果表格中相邻输出的差值固定，优先考虑线性模型；如果相邻输出的比值固定，优先考虑指数模型。差值看“加多少”，比值看“乘多少”。

例题：根据表格判断模型类型

判断下面两组数据更适合线性模型还是指数模型。

$x$	0	1	2	3
$P(x)$	6	10	14	18
$R(x)$	6	9	13.5	20.25

对 $P(x)$ 看差值： $10-6=4$ ， $14-10=4$ ， $18-14=4$ 。差值固定，所以 $P(x)$ 更适合线性模型。

对 $R(x)$ 看比值： $\frac96=1.5$ ， $\frac{13.5}{9}=1.5$ ， $\frac{20.25}{13.5}=1.5$ 。比值固定，所以 $R(x)$ 更适合指数模型。

$R(x)$ 的初始值是 6，增长因子是 1.5，因此可以写成

R(x)=6(1.5)^x

用数据建立指数模型

建立指数模型时，最理想的情况是你知道初始值和每期因子。比如一种细菌初始有 200 个，每小时变成原来的 1.35 倍，那么模型就是：

N(t)=200(1.35)^t

很多实际数据不会直接给因子，只给两个测量点。假设数据适合指数模型，并且给出两个点 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ ，其中 $y_1>0,\ y_2>0,\ x_2>x_1$ 。从：

y=ab^x

出发，两点的比值满足：

\frac{y_2}{y_1}=b^{x_2-x_1}

所以：

b=\left(\frac{y_2}{y_1}\right)^{1/(x_2-x_1)}

再用其中一个点代回去求 $a$ ：

a=\frac{y_1}{b^{x_1}}

散点图、指数拟合曲线和对数检查小图的教学示意

图示：如果散点在原图上呈指数弯曲，而 $\log(y)$ 对 $x$ 近似成直线，指数模型通常值得尝试。

例题：由两个点建立模型

某城市某项指标在 $t=0$ 年时为 800，5 年后为 1100。假设它按指数方式增长，建立模型并估计 10 年后的值。

因为 $t=0$ 时函数值为 800，所以 $a=800$ 。

5 年内从 800 变为 1100，总增长倍数是 $\frac{1100}{800}=1.375$ 。如果每年因子为 $b$ ，则有

b^5=1.375

因此每年因子是

b=(1.375)^{1/5}\approx 1.066

指数模型为

P(t)=800(1.066)^t

估计 10 年后的值，可以直接利用 10 年是两个 5 年周期：

P(10)=800(1.375)^2=1512.5

所以 10 年后的估计值约为 1513。

用交互比较指数模型和线性模型

下面的交互可以输入两个数据点，自动生成通过这两个点的指数模型和线性模型。它们在两个已知点上都吻合，但在中间和外推位置可能给出不同预测。

拟合时要问的三个问题

第一，数据是否都为正？指数模型 $ab^x$ 在 $a>0$ 时只能给出正值。如果数据出现 0 或负数，需要先理解情境，不能机械套用。

第二，相邻数据的比值是否比较稳定？真实数据会有波动，但如果比值大致稳定，指数模型通常有解释空间。

第三，模型能否在情境上说得通？例如资源有限的人口增长、传播过程、市场占有率，早期可能近似指数增长，但长期常会受到上限影响。此时指数模型适合局部预测，不适合无限外推。

指数模型拟合得好，不等于它可以永远预测下去。任何模型都要回到情境：容量上限、政策变化、测量误差、季节波动，都可能让后续数据偏离指数规律。

常见误区

把增长率当成增长因子

增长 12% 的因子是 $1.12$ ，不是 $0.12$ 。如果写成 $500(0.12)^t$ ，模型会迅速衰减到接近 0，这和“增长”相反。

把连续减少同一百分比看成连续减少同一数量

从 100 连续减少 10%，得到的是 $100,90,81,72.9,\ldots$ 。每次减少的金额不同，但每次保留的比例相同。

以为先增长 20% 再减少 20% 会回到原值

从 100 开始，先增长 20% 得到 120，再减少 20% 得到 96。百分比变化是相对“当时的数量”计算的，基准变了，结果就不会回到原点。

看到曲线就一定选指数模型

二次函数、根式函数、有理函数、对数函数也会弯曲。指数模型的关键证据是“相同输入间隔内，输出大致乘同一个因子”，不是“图像弯了”。

忘记水平渐近线

像 $300(0.7)^t$ 这样的衰减模型会越来越接近 0，但不会在有限时间内真正等于 0。在现实中，测量仪器可能读成 0，模型本身却仍然给出一个正数。

自主检查

某数量初始为 75，每天增长 6%。写出模型，并求 4 天后的近似值。

模型是

Q(t)=75(1.06)^t

4 天后：

Q(4)=75(1.06)^4\approx 94.69

某药物浓度初始为 40，每小时减少 25%。写出模型，并说明 3 小时后是否等于 10。

每小时减少 25%，表示每小时保留 75%，所以模型是

C(t)=40(0.75)^t

3 小时后：

C(3)=40(0.75)^3=16.875

它不等于 10。减少 25% 不是每小时减少初始值的 25%，而是每小时减少当前值的 25%。

一组数据为 $4,6,9,13.5$ ，对应 $x=0,1,2,3$ 。判断模型类型并写出函数。

相邻比值都是 $1.5$ ，所以适合指数模型。初始值为 4，增长因子为 1.5，因此：

f(x)=4(1.5)^x

某数据从 $x=2$ 时的 50 增长到 $x=6$ 时的 200。若按指数模型变化，求每单位因子 $b$ 。

两个点相隔 4 个单位，总倍数是 $\frac{200}{50}=4$ 。因此：

b^4=4

所以：

b=4^{1/4}=\sqrt2\approx 1.414

本章小结

指数函数 $f(x)=ab^x$ 描述的是从初始值 $a$ 出发，在相同输入间隔内反复乘同一个因子 $b$ 的变化。

$b>1$ 表示指数增长， $0<b<1$ 表示指数衰减。百分比增长要转成 $1+r$ ，百分比减少要转成 $1-r$ 。

线性模型看固定差值，指数模型看固定比值。用数据建模时，除了计算 $a$ 和 $b$ ，还要检查数据是否为正、比值是否稳定、情境是否允许长期按指数规律发展。