幂、根式与有理指数

这一章把“幂”和“根”放在同一套语言里看。整数指数最初来自重复乘法，根式来自反向寻找底数；有理指数把两者接起来，使指数规则在更大的范围里继续可用。

学完本章，你应该能看出三件事：为什么 $a^{1/n}$ 要定义成 $n$ 次根，什么时候 $a^{m/n}$ 可以在实数范围内计算，以及幂函数 $y=x^r$ 的图像为什么会因为 $r$ 的分子、分母和正负发生明显变化。

指数规则从整数指数延伸到零指数、负指数和二分之一指数的黑板示意图

指数不是一串孤立记号，而是一套希望保持一致的运算规则。

从整数指数出发

当 $n$ 是正整数时， $a^n$ 表示 $n$ 个 $a$ 相乘。这个定义直接给出几条指数规则：

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \ne 0)

\left(a^m\right)^n = a^{mn}

这些规则的力量在于它们不只适合算具体数，还能解释新指数应该怎样定义。比如同一个底数 $2$ 的幂按指数每减少 $1$ ，数值就除以 $2$ ：

2^3=8,\quad 2^2=4,\quad 2^1=2

继续保持这个规律，就必须有：

2^0=1,\quad 2^{-1}=\frac{1}{2},\quad 2^{-2}=\frac{1}{4}

所以零指数和负指数不是额外背诵的补丁，而是为了让商的指数规则继续成立：

a^0=1\quad (a\ne0)

a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad (a\ne0)

零的负指数没有意义，因为 $0^{-n}$ 会变成 $\frac{1}{0^n}$ 。零指数也要求底数不为 $0$ ，所以 $0^0$ 在本课程中不作为普通幂来使用。

分数指数从哪里来

现在问一个更细的问题：如果指数可以走“半步”， $a^{1/2}$ 应该是什么？

我们希望幂的乘方规则继续成立。于是：

\left(a^{1/2}\right)^2=a^{(1/2)\cdot2}=a

这说明 $a^{1/2}$ 应该是一个平方后得到 $a$ 的数，也就是 $a$ 的平方根。在实数范围内，为了让它成为单值函数，约定：

a^{1/2}=\sqrt{a} \quad (a\ge0)

同理， $a^{1/3}$ 应该满足三次方后得到 $a$ ：

\left(a^{1/3}\right)^3=a

因此：

a^{1/3}=\sqrt[3]{a}

一般地，若 $n$ 是大于 $1$ 的整数，分数指数的分母 $n$ 对应 $n$ 次根：

a^{1/n}=\sqrt[n]{a}

不过这句话必须带着实数定义域一起读：当 $n$ 是偶数时， $a$ 不能为负；当 $n$ 是奇数时， $a$ 可以是任意实数。

根式与主值

如果 $x^n=a$ ，那么 $x$ 叫做 $a$ 的一个 $n$ 次方根。这里有一个容易被忽略的分界：方程 $x^n=a$ 的解，和根号 $\sqrt[n]{a}$ 表示的值，不总是同一件事。

偶次方程 x²=9 有两个解 -3 和 3，而根号 √9 只取主值 3；旁边用 x³=-8 的唯一实根 -2 作对照

方程的解可以有两个，根号表达式在函数语境中必须给出一个确定值。

奇次根

当 $n$ 是奇数时，函数 $x^n$ 在整个实数轴上单调增加，所以 $x^n=a$ 对每个实数 $a$ 都有唯一实根。例如：

\sqrt[3]{-8}=-2

因为：

(-2)^3=-8

奇次根保留正负号，这一点会影响后面幂函数图像的左右两侧。

偶次根

当 $n$ 是偶数时， $x^n$ 的结果总是非负。因此 $a<0$ 时，方程 $x^n=a$ 没有实数解； $a>0$ 时，方程通常有两个实数解，互为相反数。

例如 $x^2=9$ 的解是：

x=-3\quad \text{或}\quad x=3

但根号 $\sqrt{9}$ 表示主平方根，也就是非负的那个：

\sqrt{9}=3

因此：

\sqrt{x^2}=|x|

而不是在任何情况下都等于 $x$ 。

把 $\sqrt{x^2}$ 直接写成 $x$ 是本章最常见的错误之一。只有已经知道 $x\ge0$ 时，才可以把 $|x|$ 改写成 $x$ 。

有理指数与根式互译

设 $m$ 是整数， $n$ 是正整数，且分数 $\frac{m}{n}$ 已经约到最简。只要相关根式在实数范围内有意义，就定义：

a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m

也可以写成：

a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}

a 的 m/n 次方与根式互化的路线图，展示先开 n 次根再 m 次方，以及先 m 次方再开 n 次根两种等价表达，并提示 a 大于 0 或需检查实数定义域

分母看作根指数，分子看作幂指数；但每一次转换都要先检查实数定义域。

这两个写法在 $a>0$ 时最稳定，因为正数的所有实数根都存在，指数规则不会因为符号而出意外。若 $a<0$ ，只有当最简分母 $n$ 是奇数时， $a^{m/n}$ 才能作为实数幂来解释。

例题：把有理指数化成根式

把下列表达式改写成根式，并计算能直接算出的值。

8^{2/3},\quad 16^{3/4},\quad 27^{-2/3}

对 $8^{2/3}$ ，分母 $3$ 表示立方根，分子 $2$ 表示平方，所以可以先取立方根再平方：

8^{2/3}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4

对 $16^{3/4}$ ，先取四次根，再三次方：

16^{3/4}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8

对 $27^{-2/3}$ ，先处理负指数，再计算正的有理指数：

27^{-2/3}=\frac{1}{27^{2/3}}=\frac{1}{\left(\sqrt[3]{27}\right)^2}=\frac{1}{9}

例题：负底数要看最简分母

计算：

(-27)^{2/3}

因为分数 $\frac{2}{3}$ 的分母是奇数，负底数可以取立方根：

(-27)^{2/3}=\left(\sqrt[3]{-27}\right)^2=(-3)^2=9

但下面这个式子在实数范围内没有意义：

(-16)^{1/2}

因为它要求取负数的平方根。

定义域先于化简

根式和有理指数最容易出错的地方，不在计算，而在“这个式子是否有意义”。尤其是偶次根，只要被开方数小于 $0$ ，实数范围内就不能取值。

偶次根函数 y = sqrt(x - 2) 的定义域边界示意图，x < 2 区域不可取，曲线从 x = 2 开始向右增长

偶次根的图像从定义域边界开始，边界由被开方数不小于零决定。

偶次根的定义域

对函数：

f(x)=\sqrt{x-2}

必须先要求：

x-2\ge0

所以定义域是：

[2,\infty)

对函数：

g(x)=\sqrt[4]{5-2x}

要求：

5-2x\ge0

解得：

x\le\frac{5}{2}

偶次根不一定都是“向右开始”，要看被开方数里的不等式方向。

奇次根的定义域

奇次根允许被开方数为负。比如：

h(x)=\sqrt[3]{x-2}

对所有实数 $x$ 都有意义，所以定义域是：

(-\infty,\infty)

负指数的额外限制

如果指数是负数，还要排除让分母为 $0$ 的点。例如：

f(x)=(x-1)^{-1/2}

先把它看成：

f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}

分母不仅要有意义，还不能等于 $0$ 。所以：

x-1>0

定义域是：

(1,\infty)

判断定义域时，先看根指数的奇偶，再看指数是否为负。偶次根要求被开方数不小于零；如果这个偶次根又在分母位置，就要进一步排除等于零的情况。

根式化简

根式化简的目标不是把式子变得“看起来短”，而是把可以确定提出根号外的完全幂提出去，让剩下的被开方数不再含有可继续提出的因子。

因子积木图示 sqrt(72x^5) 中 72x^5 拆成 36x^4 与 2x，完全幂部分提出为 6x^2，得到 6x^2 sqrt(2x)，并注明 x >= 0

先分解出完全幂，再使用根式乘法性质。

基本性质

在实数范围内，根式乘除性质要带着条件使用。若相关根式都有意义，且分母不为 $0$ ，则：

\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}

\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

但根式不能随意拆加减：

\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}

一个反例已经足够说明：

\sqrt{9+16}=5

而：

\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7

例题：提取完全平方因子

化简：

\sqrt{72x^5} \quad (x\ge0)

先把数字和变量都拆出完全平方因子：

72x^5=36x^4\cdot2x

把完全平方部分写成平方：

36x^4=(6x^2)^2

提出根号外，剩下不能继续提出的部分留在根号内：

\sqrt{72x^5}=6x^2\sqrt{2x}

例题：偶次根下的绝对值

化简：

\sqrt[4]{81x^{12}}

因为：

81x^{12}=(3x^3)^4

所以：

\sqrt[4]{81x^{12}}=|3x^3|=3|x|^3

如果题目额外说明 $x\ge0$ ，才可以写成：

3x^3

分母有根式时

有时需要把分母中的根式消去，叫作分母有理化。例如：

\frac{5}{\sqrt3}

分子分母同乘 $\sqrt3$ ：

\frac{5}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3} =\frac{5\sqrt3}{3}

若分母是两项，如 $2-\sqrt5$ ，常用共轭式：

\frac{1}{2-\sqrt5}\cdot\frac{2+\sqrt5}{2+\sqrt5} =\frac{2+\sqrt5}{4-5}=-(2+\sqrt5)

幂函数图像

幂函数通常写成：

f(x)=kx^r

本章先看 $k=1$ 的基本形态，也就是 $y=x^r$ 。指数 $r$ 的大小、符号，以及写成最简分数后分母的奇偶，会共同决定图像。

幂函数图像家族对比图，展示 y=x²、y=x³、y=√x、y=∛x 以及负指数函数的渐近线行为

同样叫幂函数，图像可能是抛物线形、S 形、半条根式曲线，也可能带渐近线。

正整数指数

$y=x^2$ 关于 $y$ 轴对称，左右两侧都向上。 $y=x^3$ 关于原点对称，穿过原点后继续增加。

更一般地，正整数指数为偶数时，图像有偶函数特征；正整数指数为奇数时，图像有奇函数特征。

分数指数

对：

y=x^{1/2}=\sqrt{x}

定义域是 $[0,\infty)$ ，图像只在右半边出现。

对：

y=x^{1/3}=\sqrt[3]{x}

定义域是全体实数，图像穿过原点，负数输入也有实数输出。

如果：

y=x^{2/3}

那么：

x^{2/3}=\left(\sqrt[3]{x}\right)^2

立方根允许负数，平方后输出非负，所以图像关于 $y$ 轴对称，并且在 $x=0$ 处形成尖点。

负指数

负指数会把幂放到分母里。例如：

y=x^{-1}=\frac{1}{x}

它在 $x=0$ 处无意义，并且有两条渐近线：

x=0,\quad y=0

再看：

y=x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}

这里既有偶次根限制，又有分母不能为 $0$ 的限制，所以定义域是：

(0,\infty)

错误边界

这一节把容易踩到的边界集中放在一起。它们看起来像“小符号问题”，实际会改变定义域、值域和答案。

边界一：根号不是方程解集合

方程：

x^2=25

有两个解：

x=\pm5

但：

\sqrt{25}=5

如果题目写的是 $\sqrt{25}$ ，不要把它写成 $\pm5$ 。如果题目写的是解方程 $x^2=25$ ，就不能只写 $5$ 。

边界二：加减不能拆根号

错误写法：

\sqrt{x^2+9}=\sqrt{x^2}+\sqrt9

这个等式一般不成立。取 $x=4$ 时，左边是：

\sqrt{25}=5

右边是：

4+3=7

边界三：负底数不能随意套指数规则

对于正底数，下面的规则很稳定：

\left(a^p\right)^q=a^{pq}

但负底数和有理指数混在一起时，要先检查每一步是否有实数意义。例如：

\left((-8)^2\right)^{1/6}=64^{1/6}=2

而如果先把指数相乘：

(-8)^{2/6}=(-8)^{1/3}=-2

两条路线得到不同结果，说明不能在负底数下不加条件地使用乘方规则。处理负底数时，先把有理指数写成最简分数，再按根式定义判断。

边界四：负指数不是负数

错误直觉常把 $a^{-2}$ 看成“负的 $a^2$ ”。实际上：

a^{-2}=\frac{1}{a^2}

例如：

3^{-2}=\frac{1}{9}

而不是 $-9$ 。

应用中的根式与分数指数

有理指数经常出现在“反过来求尺度”的问题里。平方、立方表达增长或面积、体积；根式则把面积、体积、距离等结果反解回原来的长度或时间。

面积反求半径

球的表面积为：

S=4\pi r^2

若已知表面积 $S$ ，半径应满足：

r=\sqrt{\frac{S}{4\pi}}

也可以写成：

r=\left(\frac{S}{4\pi}\right)^{1/2}

这里 $r$ 表示长度，所以取非负值。

体积反求边长

正方体体积为：

V=s^3

边长为：

s=\sqrt[3]{V}=V^{1/3}

如果体积扩大到原来的 $8$ 倍，边长只扩大到原来的 $2$ 倍，因为：

8^{1/3}=2

自由落体的时间

近似模型：

d=4.9t^2

表示物体自由下落 $t$ 秒经过的距离 $d$ 米。已知距离求时间：

t=\sqrt{\frac{d}{4.9}}

因为时间不能为负，所以这里只取主平方根。

应用题中的根式常常带有自然限制：长度、时间、质量通常取非负值。数学上方程可能有两个解，但实际情境会帮我们筛掉不合意义的解。

练习

基础互译

把下列各式在根式形式和有理指数形式之间互译，并在能计算时给出数值。

$32^{3/5}$
$\sqrt[4]{x^3}$
$81^{-3/4}$
$\sqrt[3]{a^5}$

$32^{3/5}=(\sqrt[5]{32})^3=2^3=8$ 。
$\sqrt[4]{x^3}=x^{3/4}$ ，在实数函数语境下通常要求 $x\ge0$ 。
$81^{-3/4}=\frac{1}{81^{3/4}}=\frac{1}{(\sqrt[4]{81})^3}=\frac{1}{27}$ 。
$\sqrt[3]{a^5}=a^{5/3}$ ，立方根允许 $a$ 为任意实数。

定义域判断

求下列函数的定义域。

$f(x)=\sqrt{3x+6}$
$g(x)=\sqrt[3]{2-x}$
$h(x)=(x+4)^{-1/2}$
$p(x)=\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+2}}$

$3x+6\ge0$ ，所以定义域为 $[-2,\infty)$ 。
立方根对所有实数有意义，所以定义域为 $(-\infty,\infty)$ 。
$(x+4)^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x+4}}$ ，所以 $x+4>0$ ，定义域为 $(-4,\infty)$ 。
四次根要求 $\frac{x-1}{x+2}\ge0$ ，且 $x\ne-2$ 。分界点为 $-2$ 和 $1$ ，检验区间得到定义域 $(-\infty,-2)\cup[1,\infty)$ 。

化简与辨错

判断下列变形是否正确；若不正确，说明原因并改正。

$\sqrt{x^2+16}=x+4$
$\sqrt[3]{-64}=-4$
$\sqrt{x^6}=x^3$
$(-32)^{2/5}=4$

不正确。根号不能拆加法， $\sqrt{x^2+16}$ 一般不能化成 $x+4$ 。
正确。因为 $(-4)^3=-64$ 。
不完全正确。 $\sqrt{x^6}=|x^3|$ ，只有当 $x\ge0$ 时才等于 $x^3$ 。
正确。 $(-32)^{2/5}=(\sqrt[5]{-32})^2=(-2)^2=4$ 。

幂、根式与有理指数

指数规则从整数指数延伸到零指数、负指数和二分之一指数的黑板示意图

指数不是一串孤立记号，而是一套希望保持一致的运算规则。

从整数指数出发

当 $n$ 是正整数时， $a^n$ 表示 $n$ 个 $a$ 相乘。这个定义直接给出几条指数规则：

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \ne 0)

\left(a^m\right)^n = a^{mn}

这些规则的力量在于它们不只适合算具体数，还能解释新指数应该怎样定义。比如同一个底数 $2$ 的幂按指数每减少 $1$ ，数值就除以 $2$ ：

2^3=8,\quad 2^2=4,\quad 2^1=2

继续保持这个规律，就必须有：

2^0=1,\quad 2^{-1}=\frac{1}{2},\quad 2^{-2}=\frac{1}{4}

所以零指数和负指数不是额外背诵的补丁，而是为了让商的指数规则继续成立：

a^0=1\quad (a\ne0)

a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad (a\ne0)

零的负指数没有意义，因为 $0^{-n}$ 会变成 $\frac{1}{0^n}$ 。零指数也要求底数不为 $0$ ，所以 $0^0$ 在本课程中不作为普通幂来使用。

分数指数从哪里来

现在问一个更细的问题：如果指数可以走“半步”， $a^{1/2}$ 应该是什么？

我们希望幂的乘方规则继续成立。于是：

\left(a^{1/2}\right)^2=a^{(1/2)\cdot2}=a

这说明 $a^{1/2}$ 应该是一个平方后得到 $a$ 的数，也就是 $a$ 的平方根。在实数范围内，为了让它成为单值函数，约定：

a^{1/2}=\sqrt{a} \quad (a\ge0)

同理， $a^{1/3}$ 应该满足三次方后得到 $a$ ：

\left(a^{1/3}\right)^3=a

因此：

a^{1/3}=\sqrt[3]{a}

一般地，若 $n$ 是大于 $1$ 的整数，分数指数的分母 $n$ 对应 $n$ 次根：

a^{1/n}=\sqrt[n]{a}

不过这句话必须带着实数定义域一起读：当 $n$ 是偶数时， $a$ 不能为负；当 $n$ 是奇数时， $a$ 可以是任意实数。

根式与主值

如果 $x^n=a$ ，那么 $x$ 叫做 $a$ 的一个 $n$ 次方根。这里有一个容易被忽略的分界：方程 $x^n=a$ 的解，和根号 $\sqrt[n]{a}$ 表示的值，不总是同一件事。

偶次方程 x²=9 有两个解 -3 和 3，而根号 √9 只取主值 3；旁边用 x³=-8 的唯一实根 -2 作对照

方程的解可以有两个，根号表达式在函数语境中必须给出一个确定值。

奇次根

当 $n$ 是奇数时，函数 $x^n$ 在整个实数轴上单调增加，所以 $x^n=a$ 对每个实数 $a$ 都有唯一实根。例如：

\sqrt[3]{-8}=-2

因为：

(-2)^3=-8

奇次根保留正负号，这一点会影响后面幂函数图像的左右两侧。

偶次根

当 $n$ 是偶数时， $x^n$ 的结果总是非负。因此 $a<0$ 时，方程 $x^n=a$ 没有实数解； $a>0$ 时，方程通常有两个实数解，互为相反数。

例如 $x^2=9$ 的解是：

x=-3\quad \text{或}\quad x=3

但根号 $\sqrt{9}$ 表示主平方根，也就是非负的那个：

\sqrt{9}=3

因此：

\sqrt{x^2}=|x|

而不是在任何情况下都等于 $x$ 。

把 $\sqrt{x^2}$ 直接写成 $x$ 是本章最常见的错误之一。只有已经知道 $x\ge0$ 时，才可以把 $|x|$ 改写成 $x$ 。

有理指数与根式互译

设 $m$ 是整数， $n$ 是正整数，且分数 $\frac{m}{n}$ 已经约到最简。只要相关根式在实数范围内有意义，就定义：

a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m

也可以写成：

a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}

a 的 m/n 次方与根式互化的路线图，展示先开 n 次根再 m 次方，以及先 m 次方再开 n 次根两种等价表达，并提示 a 大于 0 或需检查实数定义域

分母看作根指数，分子看作幂指数；但每一次转换都要先检查实数定义域。

例题：把有理指数化成根式

把下列表达式改写成根式，并计算能直接算出的值。

8^{2/3},\quad 16^{3/4},\quad 27^{-2/3}

对 $8^{2/3}$ ，分母 $3$ 表示立方根，分子 $2$ 表示平方，所以可以先取立方根再平方：

8^{2/3}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4

对 $16^{3/4}$ ，先取四次根，再三次方：

16^{3/4}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8

对 $27^{-2/3}$ ，先处理负指数，再计算正的有理指数：

27^{-2/3}=\frac{1}{27^{2/3}}=\frac{1}{\left(\sqrt[3]{27}\right)^2}=\frac{1}{9}

例题：负底数要看最简分母

计算：

(-27)^{2/3}

因为分数 $\frac{2}{3}$ 的分母是奇数，负底数可以取立方根：

(-27)^{2/3}=\left(\sqrt[3]{-27}\right)^2=(-3)^2=9

但下面这个式子在实数范围内没有意义：

(-16)^{1/2}

因为它要求取负数的平方根。

定义域先于化简

根式和有理指数最容易出错的地方，不在计算，而在“这个式子是否有意义”。尤其是偶次根，只要被开方数小于 $0$ ，实数范围内就不能取值。

偶次根函数 y = sqrt(x - 2) 的定义域边界示意图，x < 2 区域不可取，曲线从 x = 2 开始向右增长

偶次根的图像从定义域边界开始，边界由被开方数不小于零决定。

偶次根的定义域

对函数：

f(x)=\sqrt{x-2}

必须先要求：

x-2\ge0

所以定义域是：

[2,\infty)

对函数：

g(x)=\sqrt[4]{5-2x}

要求：

5-2x\ge0

解得：

x\le\frac{5}{2}

偶次根不一定都是“向右开始”，要看被开方数里的不等式方向。

奇次根的定义域

奇次根允许被开方数为负。比如：

h(x)=\sqrt[3]{x-2}

对所有实数 $x$ 都有意义，所以定义域是：

(-\infty,\infty)

负指数的额外限制

如果指数是负数，还要排除让分母为 $0$ 的点。例如：

f(x)=(x-1)^{-1/2}

先把它看成：

f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}

分母不仅要有意义，还不能等于 $0$ 。所以：

x-1>0

定义域是：

(1,\infty)

根式化简

根式化简的目标不是把式子变得“看起来短”，而是把可以确定提出根号外的完全幂提出去，让剩下的被开方数不再含有可继续提出的因子。

因子积木图示 sqrt(72x^5) 中 72x^5 拆成 36x^4 与 2x，完全幂部分提出为 6x^2，得到 6x^2 sqrt(2x)，并注明 x >= 0

先分解出完全幂，再使用根式乘法性质。

基本性质

在实数范围内，根式乘除性质要带着条件使用。若相关根式都有意义，且分母不为 $0$ ，则：

\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}

\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

但根式不能随意拆加减：

\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}

一个反例已经足够说明：

\sqrt{9+16}=5

而：

\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7

例题：提取完全平方因子

化简：

\sqrt{72x^5} \quad (x\ge0)

先把数字和变量都拆出完全平方因子：

72x^5=36x^4\cdot2x

把完全平方部分写成平方：

36x^4=(6x^2)^2

提出根号外，剩下不能继续提出的部分留在根号内：

\sqrt{72x^5}=6x^2\sqrt{2x}

例题：偶次根下的绝对值

化简：

\sqrt[4]{81x^{12}}

因为：

81x^{12}=(3x^3)^4

所以：

\sqrt[4]{81x^{12}}=|3x^3|=3|x|^3

如果题目额外说明 $x\ge0$ ，才可以写成：

3x^3

分母有根式时

有时需要把分母中的根式消去，叫作分母有理化。例如：

\frac{5}{\sqrt3}

分子分母同乘 $\sqrt3$ ：

\frac{5}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3} =\frac{5\sqrt3}{3}

若分母是两项，如 $2-\sqrt5$ ，常用共轭式：

\frac{1}{2-\sqrt5}\cdot\frac{2+\sqrt5}{2+\sqrt5} =\frac{2+\sqrt5}{4-5}=-(2+\sqrt5)

幂函数图像

幂函数通常写成：

f(x)=kx^r

本章先看 $k=1$ 的基本形态，也就是 $y=x^r$ 。指数 $r$ 的大小、符号，以及写成最简分数后分母的奇偶，会共同决定图像。

幂函数图像家族对比图，展示 y=x²、y=x³、y=√x、y=∛x 以及负指数函数的渐近线行为

同样叫幂函数，图像可能是抛物线形、S 形、半条根式曲线，也可能带渐近线。

正整数指数

$y=x^2$ 关于 $y$ 轴对称，左右两侧都向上。 $y=x^3$ 关于原点对称，穿过原点后继续增加。

更一般地，正整数指数为偶数时，图像有偶函数特征；正整数指数为奇数时，图像有奇函数特征。

分数指数

对：

y=x^{1/2}=\sqrt{x}

定义域是 $[0,\infty)$ ，图像只在右半边出现。

对：

y=x^{1/3}=\sqrt[3]{x}

定义域是全体实数，图像穿过原点，负数输入也有实数输出。

如果：

y=x^{2/3}

那么：

x^{2/3}=\left(\sqrt[3]{x}\right)^2

立方根允许负数，平方后输出非负，所以图像关于 $y$ 轴对称，并且在 $x=0$ 处形成尖点。

负指数

负指数会把幂放到分母里。例如：

y=x^{-1}=\frac{1}{x}

它在 $x=0$ 处无意义，并且有两条渐近线：

x=0,\quad y=0

再看：

y=x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}

这里既有偶次根限制，又有分母不能为 $0$ 的限制，所以定义域是：

(0,\infty)

错误边界

这一节把容易踩到的边界集中放在一起。它们看起来像“小符号问题”，实际会改变定义域、值域和答案。

边界一：根号不是方程解集合

方程：

x^2=25

有两个解：

x=\pm5

但：

\sqrt{25}=5

如果题目写的是 $\sqrt{25}$ ，不要把它写成 $\pm5$ 。如果题目写的是解方程 $x^2=25$ ，就不能只写 $5$ 。

边界二：加减不能拆根号

错误写法：

\sqrt{x^2+9}=\sqrt{x^2}+\sqrt9

这个等式一般不成立。取 $x=4$ 时，左边是：

\sqrt{25}=5

右边是：

4+3=7

边界三：负底数不能随意套指数规则

对于正底数，下面的规则很稳定：

\left(a^p\right)^q=a^{pq}

但负底数和有理指数混在一起时，要先检查每一步是否有实数意义。例如：

\left((-8)^2\right)^{1/6}=64^{1/6}=2

而如果先把指数相乘：

(-8)^{2/6}=(-8)^{1/3}=-2

两条路线得到不同结果，说明不能在负底数下不加条件地使用乘方规则。处理负底数时，先把有理指数写成最简分数，再按根式定义判断。

边界四：负指数不是负数

错误直觉常把 $a^{-2}$ 看成“负的 $a^2$ ”。实际上：

a^{-2}=\frac{1}{a^2}

例如：

3^{-2}=\frac{1}{9}

而不是 $-9$ 。

应用中的根式与分数指数

有理指数经常出现在“反过来求尺度”的问题里。平方、立方表达增长或面积、体积；根式则把面积、体积、距离等结果反解回原来的长度或时间。

面积反求半径

球的表面积为：

S=4\pi r^2

若已知表面积 $S$ ，半径应满足：

r=\sqrt{\frac{S}{4\pi}}

也可以写成：

r=\left(\frac{S}{4\pi}\right)^{1/2}

这里 $r$ 表示长度，所以取非负值。

体积反求边长

正方体体积为：

V=s^3

边长为：

s=\sqrt[3]{V}=V^{1/3}

如果体积扩大到原来的 $8$ 倍，边长只扩大到原来的 $2$ 倍，因为：

8^{1/3}=2

自由落体的时间

近似模型：

d=4.9t^2

表示物体自由下落 $t$ 秒经过的距离 $d$ 米。已知距离求时间：

t=\sqrt{\frac{d}{4.9}}

因为时间不能为负，所以这里只取主平方根。

应用题中的根式常常带有自然限制：长度、时间、质量通常取非负值。数学上方程可能有两个解，但实际情境会帮我们筛掉不合意义的解。

练习

基础互译

把下列各式在根式形式和有理指数形式之间互译，并在能计算时给出数值。

$32^{3/5}$
$\sqrt[4]{x^3}$
$81^{-3/4}$
$\sqrt[3]{a^5}$

$32^{3/5}=(\sqrt[5]{32})^3=2^3=8$ 。
$\sqrt[4]{x^3}=x^{3/4}$ ，在实数函数语境下通常要求 $x\ge0$ 。
$81^{-3/4}=\frac{1}{81^{3/4}}=\frac{1}{(\sqrt[4]{81})^3}=\frac{1}{27}$ 。
$\sqrt[3]{a^5}=a^{5/3}$ ，立方根允许 $a$ 为任意实数。

定义域判断

求下列函数的定义域。

$f(x)=\sqrt{3x+6}$
$g(x)=\sqrt[3]{2-x}$
$h(x)=(x+4)^{-1/2}$
$p(x)=\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+2}}$

$3x+6\ge0$ ，所以定义域为 $[-2,\infty)$ 。
立方根对所有实数有意义，所以定义域为 $(-\infty,\infty)$ 。
$(x+4)^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x+4}}$ ，所以 $x+4>0$ ，定义域为 $(-4,\infty)$ 。
四次根要求 $\frac{x-1}{x+2}\ge0$ ，且 $x\ne-2$ 。分界点为 $-2$ 和 $1$ ，检验区间得到定义域 $(-\infty,-2)\cup[1,\infty)$ 。

化简与辨错

判断下列变形是否正确；若不正确，说明原因并改正。

$\sqrt{x^2+16}=x+4$
$\sqrt[3]{-64}=-4$
$\sqrt{x^6}=x^3$
$(-32)^{2/5}=4$

不正确。根号不能拆加法， $\sqrt{x^2+16}$ 一般不能化成 $x+4$ 。
正确。因为 $(-4)^3=-64$ 。
不完全正确。 $\sqrt{x^6}=|x^3|$ ，只有当 $x\ge0$ 时才等于 $x^3$ 。
正确。 $(-32)^{2/5}=(\sqrt[5]{-32})^2=(-2)^2=4$ 。