幂、根式与有理指数

你已经会算 $2^3=8$。可要是指数变成 $0$、$-2$，甚至 $\frac{3}{5}$ 呢？

先别急着背新公式。真正值得追问的是：我们能不能让原来的指数规则一直保持一致？如果答案是“能”，那么零指数、负指数和分数指数就不是突然冒出来的三个补丁，而是同一条路自然延伸出去的结果。

这一章会沿着这条路慢慢走。你会看到：

• 正整数指数为什么是重复乘法；
• 为什么 $a^0$ 必须等于 $1$，而 $a^{-n}$ 必须表示倒数；
• 根号为什么只表示一个主值，解方程时却可能出现两个根；
• 有理指数怎样把幂和根式接成一种语言；
• 实数范围里的定义域为什么要先于化简；
• $y=x^r$ 的图像怎样被指数的正负、分子奇偶和分母奇偶共同决定。

整数指数沿着固定规律向左延伸；半指数则从“平方后回到底数”这件事单独长出来。

从重复乘法开始

当 $n$ 是正整数时，$a^n$ 的意思很朴素：把 $n$ 个 $a$ 连乘。

这里 $a$ 叫底数，$n$ 叫指数。例如：

这个定义一落地，几条指数法则就不需要死记了。你把乘法真的展开，它们自己会出现。

同底数相乘：指数相加

比如：

前面有 $3$ 个 $a$，后面有 $4$ 个 $a$，合起来就是 $7$ 个。因此：

这里有个小坑：必须是同底数，才能直接把指数相加。

但 $2^3\cdot3^4$ 没有理由写成 $6^7$，也不能套“指数相加”。

同底数相除：指数相减

拿 $a^7\div a^3$ 来看。只要 $a\ne0$，分子分母可以约去三个 $a$：

所以：

条件 $a\ne0$ 不是装饰。原式有除法，底数为 $0$ 时分母可能直接变成 $0$。

幂再乘方：指数相乘

再看：

于是：

别把这条和同底数相乘混在一起：外面是乘方，指数相乘；外面是乘法，同底数的指数才相加。

积与商的乘方

把括号展开，也能得到：

例如：

括号里的系数、每一个因子都要平方。漏掉那个 $2$，是很常见的失误。

例题：把规则用完整

化简：

算这类题时，顺序比速度重要：先看括号，再看乘除，最后再整理指数。

零指数和负整数指数不是补丁

现在让指数沿着整数一步一步往左走。

指数每减少 $1$，数值就除以 $2$。如果这个规律不停下来，那么下一项只能是：

再往左：

这不是凭图猜出来之后就算完了。我们还要看它为什么被指数法则“逼”成这样。

为什么 $a^0=1$

只要 $a\ne0$，同一个非零数除以自己一定是 $1$：

而商的指数规则又希望它等于：

两边对上，只能定义：

为什么负指数表示倒数

我们希望：

那么 $a^{-n}$ 就必须是 $a^n$ 的乘法逆元：

例如：

负号要看底数和指数的奇偶。负指数本身只负责“取倒数”，它不负责把答案变成负数。

把负指数移过分数线

常见的整理方式是：

你可以把它理解成：负指数因子移过分数线后，指数变正。但最好知道背后的原因仍然是倒数：

例题：带负指数的化简

化简，并把答案写成只含正指数的形式：

系数先算，指数再减：

把 $x^{-3}$ 写成倒数：

根：把乘方倒着问

如果 $3^2=9$，那么从 $9$ 出发，能不能把底数 $3$ 找回来？这就是“开平方”在问的问题。

更一般地，给定整数 $n\ge2$，如果：

那么 $x$ 是 $a$ 的一个 $n$ 次方根。

不过这里马上会遇到一个分叉：方程的解，和根号符号表示的那个数，不完全是一回事。

方程在找所有可能的输入；根号作为函数记号，必须只交出一个确定的值。

偶次根：先看非负

任何实数的偶次幂都不小于 $0$。因此，当 $n$ 是偶数时：

• $a<0$：方程 $x^n=a$ 没有实数解；
• $a=0$：只有一个实数解 $x=0$；
• $a>0$：有两个实数解，互为相反数。

例如 $x^2=25$ 的两个解是：

但根号 $\sqrt{25}$ 只表示非负的那个值：

这个非负值叫主平方根。更一般地，对 $a\ge0$，$\sqrt[n]{a}$ 表示满足下面两个条件的唯一实数 $u$：

奇次根：负数也能开

奇次幂保留底数的正负，而且在实数轴上一直增加。因此每个实数 $a$ 都有唯一的奇次实根。

因为 $(-2)^3=-8$。同样：

这里没有“正负两个根”。奇次方程 $x^n=a$ 在实数范围内只有一个解。

两个方向别混在一起

根号和乘方互相抵消时，顺序不同，结果也可能不同。

先开根再乘方：

只要根式在实数范围内有意义，这条式子就成立。

反过来，先乘方再开根：

最熟悉的一条就是：

为什么不是 $a$？取 $a=-4$ 试一下：

而原来的 $a$ 是 $-4$。根号必须给出非负主值，所以绝对值不能丢。

根式法则：每条公式都带着条件

根式能乘、能除，也能把完整的 $n$ 次幂提出去。但这些操作不是“看着像就拆”，它们依赖根式确实有实数值。

根式的乘法

当 $n$ 为偶数时要求 $a\ge0$、$b\ge0$；当 $n$ 为奇数时，只要两边都按实数奇次根解释即可。此时：

以偶次根为例，右边两个根都是非负数，而且：

它正好满足 $ab$ 的主 $n$ 次根定义。

根式的除法

只要相关根式有意义，并且 $b\ne0$：

分母为 $0$ 时不能继续，这个限制不会因为外面套了根号就消失。

根式不能拆加减

乘积能拆，不代表和也能拆。

拿 $a=9$、$b=16$ 检验：

但：

一个反例就足够说明，这不是合法恒等式。

提取完整的平方因子

化简根式时，先问一句：被开方数里藏着哪些完整平方？

先把完整平方与剩余部分拆开，再开根；不要跳过变量取值条件。

化简：

把数字和变量一起拆：

所以：

这里 $x^2$ 本来就非负，因此不用再加绝对值。

偶次根提出去时为什么常有绝对值

化简：

注意 $81x^{12}=(3x^3)^4$，于是：

如果没有 $x\ge0$ 这样的条件，就不能擅自写成 $3x^3$。

嵌套根式

对 $a\ge0$ 和正整数 $m,n$：

例如：

分母有理化

如果分母只有一个平方根，可以分子分母同乘这个根式：

分母有两项时，常常要找共轭式。例如：

共轭式好用，是因为中间项会在平方差中消失：

分数指数：让幂和根说同一种语言

现在问最关键的一步：$a^{1/2}$ 应该是什么？

如果乘方规则继续成立，那么：

所以 $a^{1/2}$ 应该是“平方后得到 $a$”的那个主值：

同理：

这就是分数指数分母的来历：分母 $n$ 告诉你开 $n$ 次根。

一般的有理指数

设 $m$ 是整数，$n$ 是正整数，并且先把 $\frac mn$ 约成最简分数。只要相关运算在实数范围内有意义，就定义：

在定义域允许时，也可以写成：

一句好用的口令是：分母管开根，分子管乘方，负号管倒数。

先约分，再看最简分母的奇偶；这一步比按计算器更重要。

为什么一定先约成最简分数

同一个有理数可以写成不同分数：

指数表示的是有理数本身，不该因为写法不同而改变含义。因此我们规定：处理负底数前，先把指数约到最简。

例如：

如果你盯着没有约分的分母 $6$，会误以为要对负数开偶次根。这正是为什么“先约分”必须放在定义域判断前面。

正底数最省心

当 $a>0$ 时，任意正整数次的实数根都存在，倒数也不会遇到 $0$。于是所有有理指数都可以稳定计算，指数法则也能完整延续。

例如：

负底数看最简分母

若 $a<0$，最简分母 $n$ 为奇数时，$n$ 次根仍是实数；最简分母为偶数时，没有实数值。

例如：

再看负指数：

但 $(-16)^{1/2}$ 在实数范围内没有意义。

零底数要单独看

对 $m/n>0$：

只要这个指数按实数定义能够解释即可。但指数为 $0$ 时会碰到 $0^0$，指数为负时会要求除以 $0$，这两种都不在本章的普通实数幂定义中。

有理指数法则为什么还能用

对正底数 $a>0$，设 $p=\frac{r}{s}$、$q=\frac{u}{v}$，把它们通分到同一个正分母 $L$：

于是：

所以对正底数，熟悉的规则继续成立：

对负底数就不能一句话全包。每个中间式都必须先有实数意义，否则形式上的指数运算可能把你带到不同答案。

例如：

但如果不检查条件，直接把指数相乘，会写成：

结果不同，说明 $\left(a^p\right)^q=a^{pq}$ 在负底数与有理指数混合时不能无条件套用。

定义域先于化简

函数题里，最危险的不是算慢，而是把一个本来没有实数值的式子硬算下去。

面对 $f(x)=[g(x)]^{m/n}$，先把 $m/n$ 约到最简，令 $n>0$。然后按下面的顺序检查。

定义域检查清单

1. $n$ 为偶数，$m>0$：要求 $g(x)\ge0$。
2. $n$ 为偶数，$m<0$：要求 $g(x)>0$，因为根式还在分母里。
3. $n$ 为奇数，$m>0$：$g(x)$ 可以是任意实数。
4. $n$ 为奇数，$m<0$：只需排除 $g(x)=0$。
5. 指数为 $0$：本章把底数为 $0$ 的点排除。

先看根的奇偶，再看指数正负。两道门都过了，才开始化简。

例题：偶次根从边界开始

求 $f(x)=\sqrt{x-2}$ 的定义域。

被开方数不能为负：

解得 $x\ge2$，所以定义域是：

曲线从 $(2,0)$ 出发；边界左侧不是“图像没画出来”，而是函数在实数范围内没有值。

例题：不等号方向会反过来

求定义域：

四次根要求：

移项后 $-2x\ge-5$。两边除以负数 $-2$，不等号方向反转：

所以定义域为 $(-\infty,\frac52]$。偶次根并不总是“向右取”，真正决定方向的是被开方数不等式。

例题：负指数把边界挖掉

求定义域：

先翻译：

被开方数要非负，但分母还不能为 $0$，所以条件不是 $x-1\ge0$，而是：

定义域为 $(1,\infty)$。

例题：根号里还有分式

求定义域：

要求：

分界点是 $-2$ 和 $1$。分区间检查符号：

• $x<-2$：分子、分母都负，商为正；
• $-2<x<1$：分子负、分母正，商为负；
• $x\ge1$：分子、分母都非负，商为非负。

因此定义域是：

注意 $x=-2$ 永远不能放回去；$x=1$ 可以，因为此处被开方数为 $0$，而根式没有出现在分母。

例题：奇分母也要防负指数

求定义域：

最简分母 $3$ 是奇数，负的底数也能取立方根。但指数为负，底数不能为 $0$：

所以 $x\ne-2$ 且 $x\ne2$，定义域是：

到这里，可以用一句话把定义域检查收住：先约指数，再检查开根，最后检查分母。

例如把根号里的式子换成 $4-x$，边界是 $x=4$。边界左侧应取一个真正小于 $4$ 的数，比如 $x=2$；边界右侧应取一个大于 $4$ 的数，比如 $x=6$。代入后：

因此，偶次根要求 $4-xge0$ 时取边界左侧，即 $xle4$；奇次根允许根号内为负，若指数又是正数，就不需要因为这个边界删掉任何实数。画数轴时别只写“左侧”“右侧”，一定顺手代一个具体数，标签写反的问题马上就会暴露。

幂函数图像：指数在决定形状

幂函数的基本形式是：

同样只换一个指数 $r$，图像就可能是一条直线、一只开口向上的“碗”、穿过原点的弯曲曲线，或者两支永远碰不到坐标轴的曲线。

看幂函数图像时，不要只盯着指数大小；正负、最简分母和分子奇偶都在起作用。

正整数指数：先看奇偶

当 $n$ 是正偶数：

所以 $y=x^n$ 是偶函数，图像关于 $y$ 轴对称。典型例子是 $y=x^2$、$y=x^4$。

当 $n$ 是正奇数：

所以 $y=x^n$ 是奇函数，图像关于原点中心对称。典型例子是 $y=x^3$、$y=x^5$。

为什么高次幂有时更小，有时更大

比较 $x^2$ 和 $x^3$，不要只说“三次方长得快”。先看 $x$ 在哪里。

当 $0<x<1$ 时，再乘一个 $x$ 会让数变小：

所以在 $(0,1)$ 内，$y=x^3$ 位于 $y=x^2$ 下方，也更贴近 $x$ 轴。

当 $x>1$ 时，再乘一个 $x$ 会让数变大：

所以过了共同点 $(1,1)$，三次幂反而冲得更快。

一般地，对 $x>1$，正整数指数越大，$x^n$ 增长越快；对 $0<x<1$，指数越大，$x^n$ 越接近 $0$。这就是高次幂图像在原点附近贴着横轴、过了 $1$ 后又迅速抬头的原因。

正分数指数：根式决定左右范围

定义域是 $[0,\infty)$，图像只在右半平面出现。

定义域是全体实数，图像穿过原点，并关于原点对称。

再看：

立方根允许负输入，外面的平方又把输出变成非负，所以定义域是全体实数，值域是 $[0,\infty)$，图像关于 $y$ 轴对称，并在原点形成尖点。

负指数：原点被挖掉

当 $x$ 靠近 $0$ 时，分母越来越小，函数值的绝对值越来越大；当 $|x|$ 越来越大时，函数值越来越接近 $0$。因此有两条渐近线：

再看：

偶次根要求 $x\ge0$，分母又要求 $x\ne0$，所以 $x>0$。图像只有第一象限的一支，同样以 $x=0$、$y=0$ 为渐近线。

用最简分数快速分类

把 $r=\frac mn$ 约到最简，$n>0$。下面这张表可以当作图像检查单。

指数 $r=0$ 要单独看。本章中：

图像是直线 $y=1$，但在 $x=0$ 处挖去一个点。

例题：只看指数判断图像骨架

不画精确图，说明 $y=x^{-2/3}$ 的定义域、值域、对称性和渐近线。

应用题里，根式常在“倒着求尺度”

平方和立方常常描述面积、体积或随时间累积的量。根式做的事，就是从结果倒推原来的长度或时间。

面积反求半径

圆的面积是：

如果已知面积 $A$，那么 $r^2=A/\pi$。解方程本来会得到正负两个代数值，但半径不能为负，因此：

这里取主平方根，不只是符号约定，也符合实际意义。

体积反求边长

正方体体积为 $V=s^3$，所以边长：

若体积扩大到原来的 $27$ 倍，边长只扩大到原来的 $27^{1/3}=3$ 倍。这提醒你：体积倍数和边长倍数不是同一个东西。

自由落体时间

在一个简化模型中，下落距离 $d$ 米与时间 $t$ 秒满足：

已知距离求时间，代数方程有两个形式上的根：

但时间取非负值，所以实际答案是：

比例缩放

如果两个相似物体的体积比是 $V_2/V_1=k$，那么对应长度比是：

例如体积增加到 $125$ 倍，长度只增加到 $125^{1/3}=5$ 倍。

把最容易混淆的边界放在一起

根号前的 $\pm$ 从哪里来

根号本身不带 $\pm$。解方程 $x^2=36$ 时，才写：

因为方程要找两个输入，而根号只表示非负主值。

负指数不是负数

它不是 $-16$。先取倒数，再判断底数正负和指数奇偶。

约分不能忘记原定义域

如果一个表达式经过代数化简，某个因子被约掉，原式中被排除的点仍不能自动回来。

例如在 $x\ne0$ 的前提下：

右边单独看在 $x=0$ 有意义，但原式分母在 $x=0$ 为 $0$，所以原函数的定义域仍不包含 $0$。

乘方再乘方不能无条件合并

对 $x<0$：

如果机械地把指数相乘成 $x^1=x$，就错了。问题不在算术，而在中间的主平方根改变了符号信息。

根号不能穿过加减号

一般不能化成 $|x|+3$。取 $x=4$，左边是 $5$，右边是 $7$。检查一个具体数，往往能立刻拦住一个“看起来很顺”的错误变形。

本章练习

A. 指数规则

化简或求值，答案尽量只保留正指数。

1. $2^3\cdot2^{-5}$
2. $(3^{-2})^3$
3. $(2a^{-3}b^2)^2$
4. $\dfrac{12x^5y^{-2}}{3x^{-1}y}$
5. 解方程 $5^{2x-1}=125$
6. 用科学记数法计算 $(6\times10^7)(3\times10^{-4})$

B. 根式与主值

1. 计算 $\sqrt{196}$。
2. 解方程 $x^4=81$。
3. 计算 $\sqrt[3]{-125}$。
4. 化简 $\sqrt{t^2}$。
5. 化简 $\sqrt[4]{16x^8}$。
6. 将 $\dfrac{3}{\sqrt5-1}$ 的分母有理化。

C. 有理指数与根式互译

1. $32^{3/5}$
2. $16^{-3/4}$
3. $(-32)^{4/5}$
4. $(-32)^{-3/5}$
5. 把 $x^{7/3}$ 写成根式。
6. 化简 $(81a^4)^{1/2}$。

D. 定义域

求下列函数的实数定义域。

1. $f(x)=\sqrt{3x+6}$
2. $g(x)=\sqrt[3]{2-x}$
3. $h(x)=(x+4)^{-1/2}$
4. $p(x)=\sqrt[4]{\dfrac{x-1}{x+2}}$
5. $q(x)=(x^2-9)^{-2/3}$
6. $r(x)=(5-2x)^{7/4}$
7. $s(x)=(x-1)^0$

E. 图像与性质

1. 判断下列函数是偶函数、奇函数，还是在实数定义域上两者都不是：

2. 比较 $(\frac12)^6$ 与 $(\frac12)^3$，再比较 $2^6$ 与 $2^3$。
3. 写出 $y=x^{-3}$ 的定义域、值域和渐近线。
4. 写出 $y=x^{-1/2}$ 的定义域和值域。
5. 求 $y=x^2$ 与 $y=x^3$ 的交点。
6. 解方程 $x^{2/3}=1$。

F. 辨错与综合

判断下列说法是否正确；若不正确，写出正确结论。

1. $\sqrt{x^2}=x$
2. $\sqrt{x^2+16}=|x|+4$
3. $(-8)^{2/6}$ 在实数范围内没有意义
4. $(x^{2/3})^{3/2}=x$
5. $\sqrt[4]{a^4}=a$

最后把整章压成五句话

1. 正整数指数来自重复乘法；指数法则来自因子个数的合并。
2. 为了让指数法则继续成立，必须定义 $a^0=1$、$a^{-n}=1/a^n$，并排除相应的零底数。
3. 根号表示主值：偶次根取非负值，奇次根可以保留负号。
4. 有理指数先约分，再按“分母开根、分子乘方、负号取倒数”计算。
5. 函数题先查定义域，再化简；画 $y=x^r$ 时同时看指数正负、最简分母奇偶和分子奇偶。

真正熟练之后，你不会把这些当成几十条零散规则。你看到一个指数，就会先问：底数能不能取？分母是奇是偶？指数是不是负的？每一步有没有把主值和方程解混在一起？

这几句自问，能拦住本章绝大多数错误。