复合函数与反函数

前两章里，函数已经不只是“把 $x$ 代进去算”的式子。它可以表示一个输入怎样变成输出，也可以用图像说明变化趋势。本章要把这种观点再推进一步：有时一个输出会立刻成为另一个函数的输入；有时我们还想倒过来，从结果追问原来的输入。

复合函数回答的是“连续做两件事会怎样”。反函数回答的是“如果知道结果，能不能唯一地找回原来的输入”。这两个问题看起来一正一反，其实都在训练同一件事：认真追踪输入、输出和允许使用的范围。

从流水线看复合函数

复合函数最自然的画面是一条流水线。输入 $x$ 先经过函数 $g$ ，得到输出 $g(x)$ ；这个输出再作为新的输入进入函数 $f$ ，最后得到 $f(g(x))$ 。

输入 x 依次经过 g 和 f 的复合函数流水线

复合函数把一个函数的输出接到另一个函数的输入上，顺序写在符号里。

用符号写，就是：

(f \circ g)(x)=f(g(x))

这里的 $f\circ g$ 读作“ $f$ 复合 $g$ ”。注意右边的 $g(x)$ 离 $x$ 最近，所以先做 $g$ ，再做 $f$ 。符号从左到右读，计算却要从里面往外走。

例如：

f(u)=2u+1,\qquad g(x)=x^2-3

那么：

(f\circ g)(x)=f(x^2-3)=2(x^2-3)+1=2x^2-5

反过来：

(g\circ f)(x)=g(2x+1)=(2x+1)^2-3

这两个结果一般不同。取 $x=2$ 时，先做 $g$ 再做 $f$ 得到 $3$ ，先做 $f$ 再做 $g$ 得到 $22$ 。这说明复合函数不是普通乘法，不能随便交换顺序。

$f(g(x))$ 中的括号不是装饰。它说明 $g(x)$ 整个结果会被送进 $f$ 。把 $f(g(x))$ 看成 $f(x)g(x)$ ，或者把 $f\circ g$ 当成 $g\circ f$ ，都会改变题目的意思。

定义域不是最后才补

复合函数的定义域要看两道关口。第一道关口是 $x$ 本身必须能进入内层函数 $g$ ；第二道关口是 $g(x)$ 这个输出必须能进入外层函数 $f$ 。

复合函数定义域需要通过内层函数和外层函数两道关口

判断 $f(g(x))$ 是否有定义，要同时检查 $x$ 和中间输出 $g(x)$ 。

因此：

D_{f\circ g}=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}

这句话很短，但常常是复合函数最容易丢分的地方。不能只看最后化简出来的式子，也不能只看内层函数。必须把输入完整地送过流水线。

先看一个根式例子：

f(u)=\sqrt{u-1},\qquad g(x)=x^2-4

内层函数 $g$ 对所有实数都有定义，但外层函数 $f$ 要求输入满足 $u-1\ge 0$ ，也就是 $u\ge 1$ 。所以我们要让：

g(x)\ge 1

也就是：

x^2-4\ge 1

得到：

x\le -\sqrt{5}\quad \text{或}\quad x\ge \sqrt{5}

所以 $f(g(x))$ 的定义域是：

(-\infty,-\sqrt{5}]\cup[\sqrt{5},\infty)

再看一个分式例子：

f(u)=\frac{1}{u-3},\qquad g(x)=\frac{2x}{x-1}

第一道关口要求 $x\ne 1$ 。第二道关口要求 $g(x)\ne 3$ ，因为 $f$ 不能接收 $3$ ：

\frac{2x}{x-1}\ne 3

解这个限制：

2x\ne 3x-3

所以：

x\ne 3

合起来， $f(g(x))$ 的定义域是所有实数，但排除 $1$ 和 $3$ 。

如果复合后出现可以约掉的因式，原来函数的限制仍然不能随便消失。定义域来自“原来的流水线能不能走通”，不是只来自最终化简后的外观。

分解复合函数

有时题目给出的不是 $f$ 和 $g$ ，而是一个看起来比较复杂的函数。分解复合函数，就是把它看成“内层先做什么，外层再做什么”。

把根式复合函数拆成内层 3x-1 和外层平方根

分解复合函数时，先找离 $x$ 最近的操作，再找包在外面的操作。

例如：

F(x)=\sqrt{3x-1}

可以把它分成：

g(x)=3x-1,\qquad f(u)=\sqrt{u}

于是：

F(x)=f(g(x))

这里内层函数负责把 $x$ 变成 $3x-1$ ，外层函数负责对这个结果开平方。

再看一个稍微长一点的例子：

H(x)=\left(\frac{5}{x^2+1}\right)^4

一种自然的分解是：

g(x)=\frac{5}{x^2+1},\qquad f(u)=u^4

于是：

H(x)=f(g(x))

分解不一定唯一。例如 $\sqrt{3x-1}$ 也可以拆成更多层：先算 $3x$ ，再减 $1$ ，再开平方。选择哪种拆法，要看题目要你做什么。如果只是说明复合结构，两层就够；如果后面要研究定义域、反函数或变化率，分得更细可能更有帮助。

先找最靠近 $x$ 的操作。若表达式是 $\sqrt{3x-1}$ ，离 $x$ 最近的是 $3x-1$ 这一整块，所以可以把它当成内层输出。

再看外层怎样处理这块输出。这里外层是“开平方”，所以外层函数可以写成 $f(u)=\sqrt{u}$ 。

最后代回检查。把 $g(x)=3x-1$ 放入 $f(u)=\sqrt{u}$ ，得到 $f(g(x))=\sqrt{3x-1}$ ，与原函数一致。

反函数：把输出当成新的输入

复合函数是把函数接起来。反函数则像把一台函数机器反向运行：原函数把 $a$ 送到 $b$ ，反函数就把 $b$ 送回 $a$ 。

函数 f 把 a 送到 b，反函数 f^-1 把 b 送回 a

反函数不是倒数，而是把原函数的输入和输出关系反过来。

如果 $f(a)=b$ ，并且这个 $b$ 只来自唯一的 $a$ ，那么可以定义：

f^{-1}(b)=a

这就是反函数的核心。它不是说把式子里的 $x$ 和 $y$ 机械交换，而是说原来由输入推出输出，现在由输出找回输入。

当 $f$ 和 $f^{-1}$ 真的是一对反函数时，它们会互相抵消：

f^{-1}(f(x))=x

同时：

f(f^{-1}(y))=y

这两条式子都有定义域条件。第一条里的 $x$ 必须在 $f$ 的定义域内；第二条里的 $y$ 必须在 $f$ 的值域内，也就是 $f^{-1}$ 的定义域内。

一个日常例子是温度换算。若用 $F$ 表示华氏温度，用 $C$ 表示摄氏温度，可以把“华氏转摄氏”的函数记为 $c$ ：

c(F)=\frac{5}{9}(F-32)

这个函数把华氏温度变成摄氏温度。反过来，如果知道摄氏温度，要找原来的华氏温度，就解：

C=\frac{5}{9}(F-32)

得到：

F=\frac{9}{5}C+32

所以反函数可以写成：

c^{-1}(C)=\frac{9}{5}C+32

如果为了统一书写，也常把输入变量重新命名为 $x$ ：

c^{-1}(x)=\frac{9}{5}x+32

$f^{-1}(x)$ 中的 $-1$ 不是指数 $-1$ 。一般情况下， $f^{-1}(x)$ 不等于 $\frac{1}{f(x)}$ 。前者是反函数，后者是函数值的倒数。

怎样求反函数

求反函数时，最可靠的语言是“把输出当成已知，解出原来的输入”。下面用线性函数示范完整过程。

题目：求 $f(x)=3x-5$ 的反函数。

先把输出写成一个临时变量。令 $y=3x-5$ ，这表示原函数把输入 $x$ 送到输出 $y$ 。

现在反过来，把 $y$ 看成已知结果，解出原来的 $x$ 。由 $y=3x-5$ 得到 $y+5=3x$ 。

继续解得 $x=\frac{y+5}{3}$ 。这说明如果输出是 $y$ ，原来的输入就是 $\frac{y+5}{3}$ 。

因此反函数可以写成 $f^{-1}(y)=\frac{y+5}{3}$ 。为了使用习惯，也可以把自变量改名为 $x$ ，写成 $f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}$ 。

代回检查：

f^{-1}(f(x))=\frac{(3x-5)+5}{3}=x

反过来也要成立：

f(f^{-1}(x))=3\cdot \frac{x+5}{3}-5=x

两边都能化成 $x$ ，说明这两个函数确实互为反函数。

水平线检验与定义域限制

不是每个函数都有反函数。关键问题是：一个输出能不能唯一找回一个输入。

如果不同的输入给出同一个输出，反过来就会出现“一个输入对应多个输出”的关系，这不再是函数。例如 $f(x)=x^2$ 在全体实数上不是一对一的，因为：

f(2)=4,\qquad f(-2)=4

如果只知道输出是 $4$ ，原来的输入可能是 $2$ ，也可能是 $-2$ ，无法唯一找回。

水平线检验比较一对一函数和不是一对一的抛物线

水平线如果能与图像交两次，就说明某个输出来自两个输入，反关系不是函数。

图像上判断一对一函数，可以用水平线检验：任意水平线与图像最多相交一次，函数才是一对一的，才有反函数。

竖线检验检查的是“这是不是一个函数”：同一个 $x$ 不能对应多个 $y$ 。水平线检验检查的是“它能不能反过来仍是函数”：同一个 $y$ 不能来自多个 $x$ 。

有些函数本身不是一对一，但可以通过限制定义域得到反函数。平方函数就是最典型的例子。把 $f(x)=x^2$ 的定义域限制为 $x\ge 0$ ，它在这个半边上是递增的，通过水平线检验，因此有反函数：

f^{-1}(x)=\sqrt{x}

这里必须同时写清楚定义域和值域：

f:[0,\infty)\to[0,\infty),\qquad f(x)=x^2

于是：

f^{-1}:[0,\infty)\to[0,\infty),\qquad f^{-1}(x)=\sqrt{x}

如果把原函数限制为 $x\le 0$ ，得到的反函数会是：

f^{-1}(x)=-\sqrt{x}

这不是矛盾。因为这两个反函数对应的是两个不同的受限原函数。

图像中的反函数

反函数图像最重要的特征，是关于直线 $y=x$ 对称。

函数与反函数的图像关于 y=x 对称，点 (a,b) 与 (b,a) 互为镜像

原函数上一点 $(a,b)$ 反过来会成为反函数上的点 $(b,a)$ 。

如果点 $(a,b)$ 在 $y=f(x)$ 上，就表示 $f(a)=b$ 。反函数把 $b$ 送回 $a$ ，所以 $(b,a)$ 在 $y=f^{-1}(x)$ 上：

(a,b)\in y=f(x)\quad \Longleftrightarrow\quad (b,a)\in y=f^{-1}(x)

把所有点都这样交换坐标，图像就会沿着 $y=x$ 翻折。直线 $y=x$ 上的点满足横坐标等于纵坐标，所以翻折后不动。

这也解释了为什么反函数会交换定义域和值域。原函数的横向范围变成反函数的纵向范围；原函数的纵向范围变成反函数的横向范围。

例题串讲

例题：验证一对反函数

题目：证明 $f(x)=2x-3$ 与 $g(x)=\frac{x+3}{2}$ 互为反函数。

先算 $f(g(x))$ 。把 $g(x)=\frac{x+3}{2}$ 放入 $f$ ，得到 $f(g(x))=2\cdot \frac{x+3}{2}-3$ 。

化简得到 $f(g(x))=x+3-3=x$ 。这说明先做 $g$ 再做 $f$ 可以回到原输入。

再算 $g(f(x))$ 。把 $f(x)=2x-3$ 放入 $g$ ，得到 $g(f(x))=\frac{(2x-3)+3}{2}$ 。

化简得到 $g(f(x))=x$ 。两个方向都成立，所以 $f$ 与 $g$ 互为反函数。

例题：求复合函数定义域

题目：设 $f(u)=\sqrt{u+2}$ ， $g(x)=3-x$ ，求 $f(g(x))$ 的定义域。

内层函数 $g(x)=3-x$ 对所有实数都有定义，所以第一道关口没有排除值。

外层函数 $f(u)=\sqrt{u+2}$ 要求 $u+2\ge 0$ ，也就是 $u\ge -2$ 。

中间输出是 $g(x)=3-x$ ，所以要满足 $3-x\ge -2$ 。

解得 $x\le 5$ 。因此复合函数的定义域是 $(-\infty,5]$ 。

例题：限制定义域后求反函数

题目：求 $h(x)=(x-2)^2+1$ 在 $x\ge 2$ 上的反函数。

先注意限制。 $x\ge 2$ 时， $x-2\ge 0$ ，函数在这一半边递增，可以有反函数。

令 $y=(x-2)^2+1$ ，把输出 $y$ 看成已知，解原来的输入 $x$ 。

得到 $y-1=(x-2)^2$ 。由于原函数限制为 $x\ge 2$ ，所以 $x-2\ge 0$ ，取正平方根。

因此 $x=2+\sqrt{y-1}$ 。反函数是 $h^{-1}(y)=2+\sqrt{y-1}$ ，通常写成 $h^{-1}(x)=2+\sqrt{x-1}$ 。

原函数的最小值是 $1$ ，所以反函数的定义域是 $[1,\infty)$ ，值域是 $[2,\infty)$ 。

常见误区

把 $f(g(x))$ 当成 $f(x)g(x)$ 。复合是“把输出送进另一个函数”，不是两个函数值相乘。
忘记顺序。 $f\circ g$ 是先做 $g$ 再做 $f$ ，通常不等于 $g\circ f$ 。
只看化简后的式子来写定义域。复合函数的定义域要看原来的每一道输入关口。
把 $f^{-1}(x)$ 看成 $\frac{1}{f(x)}$ 。反函数和倒数是两件事。
求反函数后不写定义域。尤其是平方、根式和分式函数，公式看起来对，但范围可能已经错了。
只验证 $f(g(x))=x$ ，没有验证 $g(f(x))=x$ 。两个方向都要检查，且要注意各自的定义域。
对非一对一函数直接写反函数。完整的抛物线、绝对值函数等通常要先限制定义域。
把“交换 $x$ 和 $y$ ”当成全部理解。真正的含义是交换输入和输出的角色。

小结与练习

复合函数和反函数都要求你追踪输入与输出。复合函数关心一个输入能否顺利经过多层函数；反函数关心一个输出能否唯一找回原来的输入。定义域、值域、图像和公式不能分开看，它们描述的是同一条关系的不同侧面。

练习时可以用三句话自查：先做哪一个函数？中间输出能不能进入下一层？如果反过来，输出能不能唯一找回输入？

练习 1：设 $f(x)=x+4$ ， $g(x)=x^2$ 。求 $(f\circ g)(x)$ 与 $(g\circ f)(x)$ ，并判断它们是否相同。

$(f\circ g)(x)=f(x^2)=x^2+4$ 。 $(g\circ f)(x)=g(x+4)=(x+4)^2$ 。它们一般不同，例如 $x=1$ 时分别是 $5$ 和 $25$ 。

练习 2：设 $f(u)=\sqrt{4-u}$ ， $g(x)=x^2$ 。求 $f(g(x))$ 的定义域。

内层 $g(x)=x^2$ 对所有实数都有定义。外层要求 $4-u\ge 0$ ，所以 $u\le 4$ 。代入中间输出 $u=x^2$ ，得到 $x^2\le 4$ ，因此定义域是 $[-2,2]$ 。

练习 3：设 $f(x)=\sqrt{x+3}$ ，求反函数，并写出反函数的定义域。

原函数定义域是 $[-3,\infty)$ ，值域是 $[0,\infty)$ 。令 $y=\sqrt{x+3}$ ，平方得 $y^2=x+3$ ，所以 $x=y^2-3$ 。反函数为 $f^{-1}(x)=x^2-3$ ，定义域是 $[0,\infty)$ 。

练习 4：函数 $p(x)=(x+1)^2$ 如果限制在 $x\ge -1$ ，它的反函数是什么？

令 $y=(x+1)^2$ 。因为限制 $x\ge -1$ ，所以 $x+1\ge 0$ ，取正平方根： $\sqrt{y}=x+1$ ，所以 $x=\sqrt{y}-1$ 。反函数为 $p^{-1}(x)=\sqrt{x}-1$ ，定义域是 $[0,\infty)$ 。