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静电学 | 自在学

静电学

干燥的冬天脱毛衣时会产生电火花，塑料梳子能吸起纸屑，复印机靠电荷分布转印墨粉——这些现象都源于电荷之间存在相互作用力。静电学研究静止电荷产生的电场、电势，以及这些场所携带的能量，是理解电磁感应与麦克斯韦方程组的根基。

库仑定律与电场的建立

十八世纪法国物理学家库仑用精密扭秤实验测出，两个静止点电荷 $q_1$ 、 $q_2$ 间距为 $r$ 时，相互作用力为

\mathbf{F} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}\hat{\mathbf{r}}

其中 $\hat{\mathbf{r}}$ 从 $q_1$ 指向 $q_2$ ， $ε_{0} = 8.85 \times 10^{- 12}$ 为真空介电常数，系数。同号电荷互斥，异号电荷互吸。

电场

引入电场的目的是把源电荷对空间的影响与受力对象分离。将试验电荷 $q_0$ 置于某点，该点的电场定义为

\mathbf{E} = \frac{\mathbf{F}}{q_0}

单位为 $\mathrm{N/C}$ （等价于 $\mathrm{V/m}$ ）。单个点电荷 $q$ 在距离 $r$ 处产生

\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{\mathbf{r}}

电场是定义在空间每一点的矢量场，完整刻画了源电荷的影响；已知电场分布后，任意电荷 $Q$ 所受的力直接由 $\mathbf{F} = Q\mathbf{E}$ 给出，无需再追溯源电荷本身。

多个点电荷时，总电场由叠加原理给出：

\mathbf{E}_{\text{总}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i}\frac{q_i}{r_i^2}\hat{\mathbf{r}}_i

连续电荷分布

实际带电体用电荷密度描述，积分代替求和：

类型	密度	单位	微元
线电荷	$\lambda$	$\mathrm{C/m}$	$dq=\lambda\,dl$
面电荷	$\sigma$	$\mathrm{C/m^2}$

总电场： $\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\int \dfrac{\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}}{\mathscr{r}^2}\,dq$ ，其中从源点指向场点。

例：均匀带电细圆环轴线上的电场

半径 $R$ 、总电荷 $Q$ 的圆环，由对称性垂直轴分量抵消，轴线上距圆心 $z$ 处

E_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qz}{\left(R^2+z^2\right)^{3/2}}

当 $z\gg R$ 时退化为点电荷结果 $E\approx Q/(4\pi\varepsilon_0 z^2)$ ，验证了远处圆环等效于点电荷。

静电场的散度与旋度

电场是矢量场，其散度描述场线"源与汇"，旋度描述场线"是否环绕"，两者合在一起完整刻画静电场结构。

高斯定律

穿过任意封闭曲面的净电通量等于其内总电荷除以 $\varepsilon_0$ ：

\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}

利用散度定理即得微分形式（麦克斯韦方程组第一方程）：

\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

电荷是电场线的源（ $\rho>0$ ）或汇（ $\rho<0$ ）；无电荷处 $\nabla\cdot\mathbf{E}=0$ 。

高斯定律对任意形状的封闭曲面成立。选取与对称性匹配的高斯面（球面、柱面、“药盒”面），可将复杂积分化为简单代数。

对称性应用

旋度为零

静电场满足

\nabla\times\mathbf{E} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = 0

这意味着静电场是保守场——移动电荷时电场力做的功只与起止点位置有关，与路径无关，这是引入电势的数学前提。

旋度为零仅对静电场成立。变化的磁场会产生旋度不为零的感应电场，那是法拉第定律的内容。

电势

静电场是保守场，可以用一个标量函数——电势——来代替矢量场描述问题，大幅简化计算，尤其是叠加时只需标量加法。

定义与基本关系

取无穷远为参考零点，空间中 $\mathbf{r}$ 处的电势定义为

V(\mathbf{r}) = -\int_{\infty}^{\mathbf{r}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}

电场与电势的关系：

\mathbf{E} = -\nabla V

电场指向电势降低最快的方向。电势的单位是伏特（ $\mathrm{V}$ ）， $1\;\mathrm{V}=1\;\mathrm{J/C}$ 。将电荷 $q$ 从 $A$ 移到 $B$ 时，电场力做功 $W = q (V_{A} - V_{B}$ 。

点电荷 $q$ 的电势： $V(r) = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r}$ ，按衰减，比电场的衰减慢。

多个点电荷的总电势（标量叠加）：

V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i}\frac{q_i}{r_i}

泊松方程与拉普拉斯方程

将 $\mathbf{E}=-\nabla V$ 代入 $\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0$ ，得电势满足的泊松方程：

\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}

在无电荷区域（ $\rho=0$ ）退化为拉普拉斯方程 $\nabla^2 V=0$ 。大多数实际问题中，感兴趣的区域内部无电荷，只需在该区域求解拉普拉斯方程，配合边界条件即可确定电势分布。

边界条件

带电薄面（面密度 $\sigma$ ）两侧，电场法向分量跃变，切向分量连续：

E^{\perp}_{\text{上}} - E^{\perp}_{\text{下}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}, \qquad E^{\parallel}_{\text{上}} = E^{\parallel}_{\text{下}}

用电势表达： $V$ 本身连续，法向导数不连续：

V_{\text{上}} = V_{\text{下}}, \qquad \frac{\partial V_{\text{上}}}{\partial n} - \frac{\partial V_{\text{下}}}{\partial n} = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0}

静电能

将分散的电荷聚拢成某一构型需要做功，这些功以能量形式储存在系统中，称为静电势能。

点电荷系与连续分布

逐步将 $n$ 个点电荷从无穷远移入，总静电能为

W = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n} q_i V(\mathbf{r}_i)

系数 $\frac{1}{2}$ 是因为每对相互作用被重复计入两次。对连续分布，求和变为积分： $W = \dfrac{1}{2}\int\rho V\,d\tau$ 。

利用高斯定律将 $\rho$ 换成 $\nabla\cdot\mathbf{E}$ ，经分部积分化简，得到以场表达的能量：

W = \frac{\varepsilon_0}{2}\int_{\text{全空间}} E^2\,d\tau

能量密度

上式说明静电能以能量密度的形式弥散于整个电场中：

u = \frac{\varepsilon_0}{2}E^2

单位为 $\mathrm{J/m^3}$ 。电场越强处储存的能量越多。

能量不集中在电荷上，而是储存在电场所占据的全部空间里。这一图像在理解电磁波传递能量时至关重要。

导体

金属导体内有大量自由电子，这使导体在静电场中表现出与绝缘体截然不同的一组性质。

封闭导体壳内部完全屏蔽外电场，这是法拉第笼效应的来源：汽车车厢防雷、微波炉金属网隔离微波、精密仪器用金属外壳隔绝干扰，都是同一原理。

感应电荷

中性导体置于外电场中，自由电子重新分布，一侧积累负电荷，另一侧积累正电荷，使导体内净场为零。若导体空腔内有点电荷 $q$ ，内壁感应 $-q$ ，外壁出现 $+q$ ，腔外电场完全由外壁分布决定，与内腔电荷位置无关。

电容与储能

两导体间储存电荷的能力用电容 $C=Q/V$ 描述，单位法拉（ $\mathrm{F}$ ）。

充电至电荷量 $Q$ 时，储存的静电能为

W = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}CV^2

对平行板而言，此能量等于板间电场的能量密度 $u=\varepsilon_0 E^2/2$ 乘以板间体积 $Ad$ ，两种算法结果一致，再次印证能量储存于场中。

练习

选择题

题一（库仑定律）

两点电荷 $q_1=+2\;\mathrm{\mu C}$ ， $q_2=-4\;\mathrm{\mu C}$ ，相距，静电力大小约为（）

A. $0.9\;\mathrm{N}$ B. $1.8\;\mathrm{N}$ C. $3.6\;\mathrm{N}$ D. $7.2\;\mathrm{N}$

答案：B

$F = k\frac{|q_1||q_2|}{r^2} = 9\times10^9\times\frac{2\times10^{-6}\times4\times10^{-6}}{0.04} = 1.8\;\mathrm{N}$

题二（高斯定律）

均匀带电绝缘实心球体，半径 $R$ ，总电荷 $Q$ ，球内距球心 $r$ （ $r<R$ ）处电场大小为

A. $\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ B. $\dfrac{Qr}{4\pi\varepsilon_0 R^3}$ C. D.

答案：B

半径 $r$ 高斯球面内包围电荷 $Q_{\text{enc}}=Q\cdot r^3/R^3$ ，由高斯定律：

题三（电势与电场）

已知电势 $V=3x^2y-z$ （SI 单位），该点电场的 $x$ 分量 $E_x$ 为

A. $6xy$ B. $-6xy$ C. $3x^2$ D. $-3x^2$

答案：B

$E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -6xy$

题四（导体性质）

关于静电平衡导体，正确的是

A. 导体内部电势为零 B. 导体表面电场与表面平行

C. 导体内部自由电荷体密度为零 D. 导体表面各处面电荷密度相同

答案：C

由 $\mathbf{E}=0$ （导体内）代入 $\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0$ ，直接得 $\rho=0$ 。

A 错：导体是等势体，电势为常数，但不一定为零。B 错：表面电场垂直于表面。D 错：一般形状导体表面曲率大处电荷密度更高。

计算题

题五（连续分布电场）

长 $L$ 、总电荷 $Q$ 的均匀带电细棒（ $\lambda=Q/L$ ），求垂直平分线上距中点 $d$ 处的电场大小与方向。

以棒中点为原点，棒沿 $x$ 轴，场点 $P=(0,d,0)$ 。由对称性， $x$ 方向分量抵消，只保留 $y$ 分量：

$d E_{y} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{λ d x}{x^{2} + d^{2}} \cdot \frac{d}{\sqrt{x^{2} +}}$

题六（平行板电容器）

平行板电容器极板面积 $S=0.02\;\mathrm{m^2}$ ，间距 $d=10^{-3}\;\mathrm{m}$ ，充电后板间电压 $U=100\;\mathrm{V}$ （）。求：①电容；②板间电场强度；③储能；④验证。

① 电容

$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{8.85\times10^{-12}\times0.02}{10^{-3}} \approx 177\;\mathrm{pF}$

C^{2}

/

(

N

\cdot

m^{2}

)

\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}\;\mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}

)

W = q(V_A - V_B)

E\cdot4\pi r^2 = \frac{Qr^3/R^3}{\varepsilon_0} \implies E = \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0 R^3}

d^{2}

dE_y = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\lambda\,dx}{x^2+d^2}\cdot\frac{d}{\sqrt{x^2+d^2}}