矢量分析

描述电磁场，离不开一套专门的数学语言。温度是一个数，无论在哪个方向测量结果都一样；而电场不同，它在每个位置既有大小又有方向。要描述这类“带方向的量”，以及它们在空间如何变化、如何积累，就需要矢量分析这套工具。

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矢量代数

推开窗，感受到风从东北方向吹来，风速 $5\ \text{m/s}$——这就是一个矢量：不仅有大小，还有方向。与之对比，气温 $25\ \text{°C}$ 是一个标量，只有大小，没有方向之说。

矢量通常用粗体字母 $\mathbf{A}$ 或带箭头的字母 $\vec{A}$ 表示，其大小（模）写作 $|\mathbf{A}|$ 或 $A$。

基本运算规则

矢量的运算有四种基本形式，各自对应不同的物理场景：

• 矢量加法遵循平行四边形定则（或首尾相接的三角形定则），满足交换律：

$$\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{B} + \mathbf{A}$$

• 数乘将矢量放大或缩小。当 $a > 0$ 时方向不变，当 $a < 0$ 时方向反转：

$$|a\mathbf{A}| = |a|\,A$$

• 点积给出两矢量“平行程度”的量化，结果是一个标量：

$$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = AB\cos\theta$$

其中 $\theta$ 是两矢量之间的夹角。点积的一个重要推论：若 $\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = 0$，则两矢量垂直。

• 叉积给出两矢量所围平行四边形的面积矢量，方向由右手定则确定——四指从 $\mathbf{A}$ 弯向 $\mathbf{B}$，大拇指所指方向即为叉积方向：

$$\mathbf{A}\times\mathbf{B} = AB\sin\theta\;\hat{n}$$

其中 $\hat{n}$ 是垂直于 $\mathbf{A}$、$\mathbf{B}$ 所在平面的单位法矢量。叉积不满足交换律：

$$\mathbf{A}\times\mathbf{B} = -\mathbf{B}\times\mathbf{A}$$

分量形式计算

引入三个相互垂直的单位矢量 $\hat{x}$、$\hat{y}$、$\hat{z}$（也写作 $\hat{i}$、、），任意矢量可展开为：

$$\mathbf{A} = A_x\hat{x} + A_y\hat{y} + A_z\hat{z}$$

其中分量 $A_x = \mathbf{A}\cdot\hat{x}$，$A_y = \mathbf{A}\cdot\hat{y}$，。矢量的模为：

$$|\mathbf{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$$

在分量形式下，点积的计算非常简洁：

$$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z$$

叉积则通过行列式展开来计算：

$$\mathbf{A}\times\mathbf{B} = \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} = (A_yB_z - A_zB_y)\hat{x} + (A_zB_x - A_xB_z)\hat{y} + (A_xB_y - A_yB_x)\hat{z}$$

• 例题：已知 $\mathbf{A} = 2\hat{x} + \hat{y} - 3\hat{z}$，$\mathbf{B}=\widehat{x}-2\stackrel{}{}$，求点积和叉积。

点积：

$$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = (2)(1) + (1)(-2) + (-3)(1) = 2 - 2 - 3 = -3$$

叉积：

$$\mathbf{A}\times\mathbf{B} = \bigl[(1)(1)-(-3)(-2)\bigr]\hat{x} + \bigl[(-3)(1)-(2)(1)\bigr]\hat{y} + \bigl[(2)(-2)-(1)(1)\bigr]\hat{z}$$ $$= (1-6)\hat{x} + (-3-2)\hat{y} + (-4-1)\hat{z} = -5\hat{x} - 5\hat{y} - 5\hat{z}$$

三重积

两个矢量和三重积组合有以下常用恒等式。

• 标量三重积：结果是一个标量，等于以三个矢量为棱所围平行六面体的体积（含符号）：

$$\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = \mathbf{B}\cdot(\mathbf{C}\times\mathbf{A}) = \mathbf{C}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})$$

• 矢量三重积（BAC-CAB 法则）：

$$\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = \mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}) - \mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})$$

这个公式乍看难以记忆，口诀“BAC 减 CAB”中，等号右边第一项包含 $\mathbf{B}$ 乘以“$\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{C}$ 的点积”，第二项包含 $\mathbf{C}$ 乘以“$\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 的点积”，符号为负。

位置矢量与分离矢量

以坐标原点 $O$ 为参考，空间中一点 $P$ 的位置矢量为：

$$\mathbf{r} = x\hat{x} + y\hat{y} + z\hat{z}, \qquad r = |\mathbf{r}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

在电磁学计算中，经常遇到从“源点” $\mathbf{r}'$（产生电场的电荷所在位置）到“场点” $\mathbf{r}$（需要计算电场的位置）的矢量，称为分离矢量：

$$\boldsymbol{\mathscr{r}} = \mathbf{r} - \mathbf{r}', \qquad \mathscr{r} = |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|, \qquad \hat{\mathscr{r}} = \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}$$

这三个量将在静电学的积分计算中反复出现，提前熟悉其含义可以避免后续混淆。

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微分运算

标量场和矢量场遍布空间的每一点，为了描述它们“在空间如何变化”，需要引入三种微分算子：梯度、散度、旋度。

梯度

爬山时，向不同方向走，坡度各不相同。“哪个方向坡最陡、陡多少”——这正是梯度所描述的：它作用于一个标量场 $T(x,y,z)$，给出该场在每点变化最快的方向和速率。

梯度的定义为：

$$\nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\hat{x} + \frac{\partial T}{\partial y}\hat{y} + \frac{\partial T}{\partial z}\hat{z}$$

其中 $\nabla$（读作“纳布拉”或“del”）是微分算子：

$$\nabla = \hat{x}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{y}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{z}\frac{\partial}{\partial z}$$

梯度的几何意义：$\nabla T$ 指向 $T$ 增大最快的方向，其大小等于该方向上的变化率。标量场 $T$ 沿任意方向 $\hat{l}$ 的方向导数为：

$$\frac{dT}{dl} = \nabla T \cdot \hat{l}$$

• 例题：设 $T = x^2y + 3yz^2$，求 $\nabla T$。

$$\nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\hat{x} + \frac{\partial T}{\partial y}\hat{y} + \frac{\partial T}{\partial z}\hat{z} = 2xy\hat{x} + (x^2+3z^2)\hat{y} + 6yz\hat{z}$$

散度

将一根水管插入水桶中，水从管口向外涌出——那个“源头”处，水流向四面八方发散。散度描述的正是矢量场在某点“向外流出的净程度”。

散度作用于矢量场 $\mathbf{v}$，给出一个标量：

$$\nabla\cdot\mathbf{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}$$

• 例题：设 $\mathbf{v} = x^2\hat{x} + 3xz^2\hat{y} - 2xz\hat{z}$，求 。

$$\nabla\cdot\mathbf{v} = \frac{\partial(x^2)}{\partial x} + \frac{\partial(3xz^2)}{\partial y} + \frac{\partial(-2xz)}{\partial z} = 2x + 0 + (-2x) = 0$$

旋度

水流中放一个小叶轮，若水流在叶轮附近有旋转趋势，叶轮就会自转。旋度描述的正是矢量场在某点的“旋转程度”：

$$\nabla\times\mathbf{v} = \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}$$

展开为：

$$\nabla\times\mathbf{v} = \left(\frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z}\right)\hat{x} + \left(\frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x}\right)\hat{y} + \left(\frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y}\right)\hat{z}$$

旋度为零的场称为无旋场（或保守场），静电场便是无旋场。

• 例题：设 $\mathbf{v} = xz\hat{x} + 2\hat{y} - y\hat{z}$，求 $$。

$$\nabla\times\mathbf{v} = \left(\frac{\partial(-y)}{\partial y} - \frac{\partial 2}{\partial z}\right)\hat{x} + \left(\frac{\partial(xz)}{\partial z} - \frac{\partial(-y)}{\partial x}\right)\hat{y} + \left(\frac{\partial 2}{\partial x} - \frac{\partial(xz)}{\partial y}\right)\hat{z}$$ $$= (-1-0)\hat{x} + (x-0)\hat{y} + (0-0)\hat{z} = -\hat{x} + x\hat{y}$$

常用乘积法则

类比单变量微积分的乘积法则，矢量微分也有对应的乘积法则。以下是最常用的几条：

二阶导数：拉普拉斯算子

对梯度再取散度，得到拉普拉斯算子 $\nabla^2$（也写作 $\Delta$）：

$$\nabla^2 T = \nabla\cdot(\nabla T) = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}$$

拉普拉斯算子在电磁学中极为重要：泊松方程和拉普拉斯方程的核心就是这个算子。

其他常见的二阶组合满足以下恒等式，值得记住：

$$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) = 0 \qquad \text{（旋度的散度恒为零）}$$ $$\nabla\times(\nabla f) = \mathbf{0} \qquad \text{（梯度的旋度恒为零）}$$

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积分定理

微分算子描述场在一点的局部变化，积分定理则将局部信息与整体效果联系起来。

线积分、面积分与体积分

• 线积分沿一条曲线 $\mathcal{C}$ 对矢量场做积分，物理上对应力沿路径做的功：

$$\int_{\mathcal{C}} \mathbf{v}\cdot d\mathbf{l}$$

其中 $d\mathbf{l}$ 是沿路径的有向微元线段。若积分路径是封闭曲线，写作 $\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{v}\cdot d\mathbf{l}$。

• 面积分（通量）描述矢量场穿过一个曲面 $\mathcal{S}$ 的“流量”：

$$\int_{\mathcal{S}} \mathbf{v}\cdot d\mathbf{a}$$

其中 $d\mathbf{a} = da\,\hat{n}$ 是面积微元矢量，$\hat{n}$ 是曲面的单位法矢量。封闭曲面的通量写作 $\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{v}\cdot d\mathbf{a}$。

• 体积分对一个区域 $\mathcal{V}$ 内的标量或矢量场进行积分：

$$\int_{\mathcal{V}} T\,d\tau \qquad \text{或} \qquad \int_{\mathcal{V}} \mathbf{v}\,d\tau$$

其中 $d\tau = dx\,dy\,dz$ 是体积微元。

梯度定理

梯度定理是微积分基本定理的三维推广：标量场 $T$ 从点 $\mathbf{a}$ 到点 $\mathbf{b}$ 沿任意路径的线积分，只与端点值有关，与路径无关：

$$\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} (\nabla T)\cdot d\mathbf{l} = T(\mathbf{b}) - T(\mathbf{a})$$

这个定理直接说明：若某矢量场是某标量场的梯度（即 $\mathbf{v} = \nabla T$），则它的线积分与路径无关，沿封闭路径的积分为零。

高斯散度定理

这是积分定理中最重要的一个。它将整个体积内散度的积分，与封闭曲面上的通量联系起来：

$$\int_{\mathcal{V}} (\nabla\cdot\mathbf{v})\,d\tau = \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{v}\cdot d\mathbf{a}$$

直观理解：体积内所有“源”产生的东西，最终都要从边界面流出去。就像一个房间里不断向外涌水的水管，通过墙面流出的总水量，等于房间内所有水管出水量之和。

• 应用示例：验证 $\mathbf{v} = r^2\hat{r}$（球坐标，向外指的径向场）满足散度定理。

取半径为 $R$ 的球面，通量为：

$$\oint \mathbf{v}\cdot d\mathbf{a} = R^2 \cdot 4\pi R^2 = 4\pi R^4$$

球坐标中 $\nabla\cdot\mathbf{v} = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2 \cdot r^2) = \frac{1}{r^2}\cdot 4r^3 = 4r$，因此体积分为：

$$\int_0^R 4r \cdot 4\pi r^2\,dr = 16\pi \int_0^R r^3\,dr = 16\pi \cdot \frac{R^4}{4} = 4\pi R^4$$

两者相等，验证了散度定理。

斯托克斯定理

斯托克斯定理将曲面上旋度的面积分，与曲面边界上的线积分联系起来：

$$\int_{\mathcal{S}} (\nabla\times\mathbf{v})\cdot d\mathbf{a} = \oint_{\mathcal{C}} \mathbf{v}\cdot d\mathbf{l}$$

其中 $\mathcal{C}$ 是曲面 $\mathcal{S}$ 的边界曲线。

直观理解：曲面内部所有小环路上的“旋转”，在彼此相邻时内部互相抵消，只剩下最外圈边界上的净循环。

以下表格对比三个积分定理：

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曲线坐标系

直角坐标系在处理球形或柱形对称问题时非常繁琐。一个均匀带电球壳在外部产生的电场，用直角坐标写出来极为复杂；换成球坐标，则可以简洁地表达出来。

球坐标系

球坐标用三个参数 $(r, \theta, \phi)$ 描述空间中的点：$r$ 是到原点的距离，$\theta$ 是与 $z$ 轴的夹角（极角，$0 \leq \theta \leq \pi$）， 是在 平面内与 轴的夹角（方位角，）。

与直角坐标的转换关系：

$$x = r\sin\theta\cos\phi, \qquad y = r\sin\theta\sin\phi, \qquad z = r\cos\theta$$

球坐标中的体积微元：

$$d\tau = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$$

球坐标中的微分算子：

$$\nabla T = \frac{\partial T}{\partial r}\hat{r} + \frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial \theta}\hat{\theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial T}{\partial \phi}\hat{\phi}$$ $$\nabla\cdot\mathbf{v} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 v_r) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta\, v_\theta) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial v_\phi}{\partial \phi}$$ $$\nabla^2 T = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\frac{\partial T}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial T}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 T}{\partial \phi^2}$$

旋度较为复杂，下面给出完整形式：

$$(\nabla\times\mathbf{v})_r = \frac{1}{r\sin\theta}\left[\frac{\partial(\sin\theta\, v_\phi)}{\partial\theta} - \frac{\partial v_\theta}{\partial\phi}\right]$$ $$(\nabla\times\mathbf{v})_\theta = \frac{1}{r}\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial v_r}{\partial\phi} - \frac{\partial(r v_\phi)}{\partial r}\right]$$ $$(\nabla\times\mathbf{v})_\phi = \frac{1}{r}\left[\frac{\partial(r v_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial v_r}{\partial\theta}\right]$$

柱坐标系

柱坐标用 $(s, \phi, z)$ 描述空间中的点：$s$ 是到 $z$ 轴的垂直距离（$s \geq 0$），$\phi$ 是方位角，$z$ 是沿 轴的高度。

与直角坐标的转换：

$$x = s\cos\phi, \qquad y = s\sin\phi, \qquad z = z$$

柱坐标中的体积微元：

$$d\tau = s\,ds\,d\phi\,dz$$

柱坐标中的微分算子：

$$\nabla T = \frac{\partial T}{\partial s}\hat{s} + \frac{1}{s}\frac{\partial T}{\partial\phi}\hat{\phi} + \frac{\partial T}{\partial z}\hat{z}$$ $$\nabla\cdot\mathbf{v} = \frac{1}{s}\frac{\partial(s\, v_s)}{\partial s} + \frac{1}{s}\frac{\partial v_\phi}{\partial\phi} + \frac{\partial v_z}{\partial z}$$ $$\nabla^2 T = \frac{1}{s}\frac{\partial}{\partial s}\!\left(s\frac{\partial T}{\partial s}\right) + \frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 T}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}$$

两种坐标系的对比：

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Dirac $\delta$ 函数

一个令人困惑的问题

考虑矢量场 $\mathbf{v} = \dfrac{1}{r^2}\hat{r}$（从原点向外的径向场），计算其散度：

$$\nabla\cdot\mathbf{v} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2 \cdot \frac{1}{r^2}\right) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(1)}{\partial r} = 0 \quad (r \neq 0)$$

散度处处为零！然而，对半径为 $R$ 的球面取通量：

$$\oint \mathbf{v}\cdot d\mathbf{a} = \frac{1}{R^2}\cdot 4\pi R^2 = 4\pi$$

这个通量与 $R$ 无关，且不为零。按照散度定理，散度的体积分应等于这个通量，但散度处处为零，体积分怎么可能等于 $4\pi$？

矛盾来源于原点。在原点 $r=0$ 处，$\mathbf{v}$ 本身发散，所有的“源”都集中在这一个数学意义上的点上。描述这种“无处不在的零、但积分不为零”的情形，需要引入 Dirac $\delta$ 函数。

一维 $\delta$ 函数

一维 $\delta$ 函数 $\delta(x)$ 的定义通过其性质给出：

$$\delta(x) = \begin{cases} 0 & x \neq 0 \\ \infty & x = 0 \end{cases}$$

且满足归一化条件：

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x)\,dx = 1$$

$\delta$ 函数不是普通意义下的函数，而是一个广义函数（分布）。可以把它理解为一个极窄、极高的“脉冲”，宽度趋于零而面积恒为 $1$。

最重要的性质是筛选性质：

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\delta(x-a)\,dx = f(a)$$

$\delta(x-a)$ 在 $x=a$ 处“筛选”出被积函数 $f$ 在该点的值。

另一个常用公式：

$$\delta(kx) = \frac{1}{|k|}\delta(x)$$

三维 $\delta$ 函数

三维 $\delta$ 函数是三个一维 $\delta$ 函数的乘积：

$$\delta^3(\mathbf{r}) = \delta(x)\,\delta(y)\,\delta(z)$$

其积分性质：

$$\int_{\text{全空间}} \delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\,d\tau = 1$$ $$\int_{\text{全空间}} f(\mathbf{r})\,\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\,d\tau = f(\mathbf{r}')$$

回到之前的矛盾，正确结果是：

$$\nabla\cdot\!\left(\frac{\hat{r}}{r^2}\right) = 4\pi\,\delta^3(\mathbf{r})$$

这个公式的含义：$\dfrac{\hat{r}}{r^2}$ 的“散度”在 $r\neq 0$ 处为零，但在原点处有一个强度为 的点源，整体积分恰好等于 ，与通量完全吻合。

在点电荷的静电学中，这个关系将直接出现，帮助我们把库仑定律与高斯定律统一起来。

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练习

选择题

• 第一题（矢量运算）

已知 $\mathbf{A} = 3\hat{x} + 4\hat{y}$，$\mathbf{B} = -4\hat{x} + 3\hat{y}$，则 和 分别为：

A. $0$ 和 $25$

B. $25$ 和 $0$

C. $0$ 和 $0$

D. $-7$ 和 $24$

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• 第二题（散度的物理意义）

下列关于散度的说法中，正确的是：

A. 散度是矢量场的“旋转程度”，结果是一个矢量

B. 若某点散度为正，说明该点是场的“源”，场线向外发散

C. 静电场 $\mathbf{E}$ 在真空中处处散度为零

D. 散度定理将体积分与线积分联系起来

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• 第三题（球坐标体积微元）

在球坐标系中，半径从 $R_1$ 到 $R_2$、极角从 $0$ 到 $\pi$、方位角从 $0$ 到 所围球壳的体积，等于：

A. $\dfrac{4\pi}{3}(R_2^3 - R_1^3)$

B. $4\pi(R_2^2 - R_1^2)$

C. $\pi(R_2^3 - R_1^3)$

D. $\dfrac{2\pi}{3}(R_2^3 - R_1^3)$

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• 第四题（$\delta$ 函数的筛选性质）

计算积分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}(x^3 + 2x + 5)\,\delta(x - 2)\,dx$，结果为：

A. $5$

B. $13$

C. $17$

D. $21$

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计算题

• 计算题一（验证斯托克斯定理）

设矢量场 $\mathbf{v} = y\hat{x} - x\hat{y}$，取曲面为 $z = 0$ 平面上以原点为圆心、半径为 $R$ 的圆盘，边界为该圆盘的边界圆（逆时针方向）。

（1）计算 $\nabla\times\mathbf{v}$；

（2）计算面积分 $\displaystyle\int_{\mathcal{S}}(\nabla\times\mathbf{v})\cdot d\mathbf{a}$；

（3）计算边界线积分 $\displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{v}\cdot d\mathbf{l}$，并验证斯托克斯定理。

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• 计算题二（球坐标中的梯度与拉普拉斯算子）

设标量场 $T = \dfrac{e^{-r}}{r}$（$r \neq 0$），其中 为球坐标中的径向距离。

（1）计算 $\nabla T$（结果用球坐标分量表示）；

（2）计算 $\nabla^2 T$（$r \neq 0$ 处）。