介质中的电场

将一块玻璃片插入平行板电容器两极板之间，电容会明显增大；高压线路依靠瓷绝缘子将强电场与地面隔离；手机触控屏通过感知手指引起的电场变化来定位——这些应用都涉及一类特殊材料：电介质。与导体不同，电介质中没有可以自由流动的电荷，但在外电场作用下，其内部正负电荷会发生微小的相对位移，形成极化现象，从而深刻影响周围的电场分布。

电介质的极化

微观图像

从微观角度看，物质由原子或分子组成。没有外电场时，非极性分子（如 $\mathrm{O_2}$、$\mathrm{N_2}$）中正电荷中心与负电荷中心重合，对外不显电性；极性分子（如 $\mathrm{H_2O}$）内正负中心虽不重合，但大量分子取向杂乱，宏观上也相互抵消。

施加外电场后，两类极化机制同时起作用：

第一类是位移极化（电子极化）：电场迫使电子云相对原子核发生微小偏移，使原本重合的正负电荷中心分开，每个原子等效成一个微小电偶极子。这一响应速度极快，几乎在电场建立的瞬间完成。

第二类是取向极化：对极性分子，电场对固有偶极矩施加力矩，使偶极子趋于沿场方向排列。温度越高，热运动越剧烈，这种排列越难实现，极化程度越弱。水在常温下相对介电常数高达 $80$ 左右，正是取向极化极为强烈的体现。

无论哪种机制，宏观效果相同：整块电介质呈现出一端偏正、另一端偏负的极化状态。

电偶极矩

单个电偶极子由相距 $d$、等量异号的电荷 $\pm q$ 构成，其偶极矩定义为

方向从负电荷指向正电荷，大小 $p = qd$，单位为 $\mathrm{C{\cdot}m}$。偶极矩越大，单个分子的极性越强。原子尺度下，典型的 $d \sim 10^{-10}\;\mathrm{m}$，$q \sim 10^{-19}\;\mathrm{C}$，偶极矩量级约 。

极化强度

为描述宏观极化程度，定义单位体积内所有偶极矩的矢量和为极化强度：

单位为 $\mathrm{C/m^2}$，方向沿偶极矩净排列方向。均匀极化时 $\mathbf{P}$ 为常矢量；非均匀极化时 $\mathbf{P}$ 是位置的函数。$\mathbf{P}$ 越大，表示单位体积内偶极矩的排列越整齐、越强，介质被极化得越充分。

极化产生的束缚电荷

束缚电荷的来源

极化后，介质内部出现了哪些等效电荷？先考虑均匀极化：介质内部任意一对相邻体元，一个体元的“正端”恰好被另一体元的“负端”抵消，净电荷为零；但在介质表面，偶极子一端没有对应的抵消，造成宏观面电荷。

对非均匀极化，相邻体元的偶极矩密度不同，不能完全抵消，因此介质内部也会出现体电荷。这两类被“束缚”在分子上、无法自由流动的电荷，统称束缚电荷，以区别于可以在导线中流动的自由电荷。

束缚电荷的计算公式

通过对极化偶极子分布的细致分析，可以推导出精确结果：

面束缚电荷密度由极化强度的法向分量决定：

$\hat{\mathbf{n}}$ 是介质表面外法向单位矢量。极化方向越“朝外”，正面束缚电荷越多。

体束缚电荷密度由极化强度的散度决定：

均匀极化时 $\nabla\cdot\mathbf{P}=0$，体内无束缚电荷，与直觉一致。

均匀极化介质球的例子

均匀极化的电介质球，极化强度 $\mathbf{P}=P\hat{z}$（常矢量），球面上 $\hat{\mathbf{n}}=\hat{r}$，与 $\hat{z}$ 夹角为 ，面束缚电荷为

这与均匀带电球面的电荷分布形式完全相同（$\sigma \propto \cos\theta$）。利用已知的静电学结果，可以证明球内部由此产生一个均匀退极化场

方向与 $\mathbf{P}$ 相反，起到削弱极化的作用——这解释了为什么介质中的实际电场总弱于外加电场。

电位移矢量

有介质时高斯定律的整理

有介质后，空间中同时存在自由电荷密度 $\rho_f$ 和束缚电荷密度 $\rho_b$。高斯定律对总电荷成立：

将右边整理：

括号内的组合只由自由电荷决定，值得单独命名。

电位移矢量的定义与高斯定律

定义电位移矢量：

单位为 $\mathrm{C/m^2}$，则有介质时的高斯定律写为

积分形式：

封闭面内只需统计自由电荷，束缚电荷的贡献已被 $\mathbf{P}$ 吸收进 $\mathbf{D}$ 中。这在处理实际电容器时极为方便，因为工程上通常只知道极板上施加的自由电荷量，束缚电荷很难直接测量。

$\mathbf{D}$ 与 $\mathbf{E}$ 的对比

下表列出两个矢量场的主要区别：

边界条件

在两种介质的界面处，各有一条边界条件：

若界面处自由面电荷密度为 $\sigma_f$，$\mathbf{D}$ 的法向分量满足

无自由面电荷时，$\mathbf{D}$ 的法向分量连续。$\mathbf{E}$ 的切向分量则由 $\nabla\times\mathbf{E}=0$ 保证始终连续：

这两条边界条件合在一起，足以确定界面处场量的衔接关系。

线性介质

电极化率与介电常数

绝大多数常用电介质在不太强的电场下，极化强度 $\mathbf{P}$ 与场内的电场 $\mathbf{E}$ 成正比：

比例系数 $\chi_e$ 称为电极化率（量纲为一，$\chi_e \geq 0$），是材料本身的属性。由此：

其中 $\varepsilon_r = 1+\chi_e$ 称为相对介电常数（相对电容率），$\varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_r$ 称为介电常数，单位 。对线性介质， 与 方向一致，大小成正比，问题大为简化。

常见材料的相对介电常数：

含介质的平行板电容器

极板面积 $S$、间距 $d$，板间充满相对介电常数为 $\varepsilon_r$ 的均匀介质，极板上自由面电荷密度为 $\sigma_f$。

对“药盒”形高斯面应用 $\mathbf{D}$ 的高斯定律：

由线性关系得板间电场：

与真空相比，电场削弱为原来的 $1/\varepsilon_r$。板间电压和电容分别为

其中 $C_0 = \varepsilon_0 S/d$ 是无介质时的电容。插入介质后，电容增大为原来的 $\varepsilon_r$ 倍——这是电容器填充介质的核心工程价值。

介质中的静电能

有线性介质时，系统的静电能密度为

与真空中 $u_0 = \varepsilon_0 E^2/2$ 对比，只需将 $\varepsilon_0$ 替换为 ，能量密度增大为原来的 倍——介质“协助”储存了更多能量。

以含介质的平行板电容器为例，若保持极板电荷量 $Q$ 不变（断开电源后插入介质），板间电压由 $U_0$ 降至 $U_0/\varepsilon_r$，储能变为

储能减小，减少的部分转化为极化力对介质做的正功，这是介质被“吸入”电容器间隙的能量来源。

练习

选择题

• 题一（束缚电荷）

均匀极化的电介质平板，极化强度 $\mathbf{P}$ 垂直板面向外，大小为 $P$。该板两表面上的面束缚电荷密度分别为

A. 两面均为 $+P$   B. 正面（$\mathbf{P}$ 穿出侧）$+P$，背面 $-P$   C. 两面均为 $-P$   D. 均为零

• 题二（电位移矢量）

大块均匀线性介质（相对介电常数 $\varepsilon_r$）内部有一自由点电荷 $Q$。距该电荷 $r$ 处，电位移矢量 $D$ 的大小为

A. $\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$   B. $\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r^2}$   C.   D.

• 题三（线性介质与电容）

平行板电容器原电容为 $C_0$，充电后断开电源，再插入相对介电常数 $\varepsilon_r=3$ 的介质（充满板间），此后板间电压 $U$ 与原电压 $U_0$ 的关系为

A. $U = 3U_0$   B. $U = U_0$   C. $U = U_0/3$   D.

• 题四（边界条件）

两种线性介质（$\varepsilon_{r1}=2$，$\varepsilon_{r2}=5$）的平面界面处无自由面电荷。已知介质 1 中电场法向分量 $E_{1n}=10\mathrm{V}\mathrm{/}\mathrm{m}$，则介质 2 中法向电场分量 为

A. $25\;\mathrm{V/m}$   B. $10\;\mathrm{V/m}$   C. $4\;\mathrm{V/m}$   D. $2\;\mathrm{V/m}$

计算题

• 题五（均匀极化球的束缚电荷验证）

半径为 $R$ 的电介质球被均匀极化，极化强度 $\mathbf{P}=P\hat{z}$（$P$ 为正常数）。求：① 球面上面束缚电荷密度 $\sigma_b(\theta)$ 的表达式（ 为极角）；② 验证球面上总束缚电荷为零。

• 题六（含介质电容器储能分析）

平行板电容器极板面积 $S=0.01\;\mathrm{m^2}$，板间距 $d=2\;\mathrm{mm}$，充电至 $U_0=200\;\mathrm{V}$ 后断开电源，再插入相对介电常数 的均匀介质（充满板间）。求：① 插入前后的电容 、；② 插入前后板间电场 、；③ 插入前后储能 、，并解释能量减小的来源。（）

对应的电场 $E=D/(\varepsilon_0\varepsilon_r)=Q/(4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r^2)$，介质使电场减弱了 $\varepsilon_r$ 倍。

$U = \frac{Q}{C} = \frac{C_0 U_0}{3C_0} = \frac{U_0}{3}$

电压降低为原来的 $1/\varepsilon_r$。

$E_{2n} = \frac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}E_{1n} = \frac{2}{5}\times10 = 4\;\mathrm{V/m}$

法向电场在界面处不连续，而法向 $D$ 分量连续。

$\sigma_b = \mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf{n}} = P\cos\theta$

在球的“北极”附近（$\theta\approx0$）$\sigma_b>0$，在“南极”附近（$\theta\approx\pi$）$\sigma_b<0$，与极化方向朝上一致。

• ② 验证总束缚电荷为零

$Q_b = \int\sigma_b\,da = \int_0^{\pi}P\cos\theta\cdot2\pi R^2\sin\theta\,d\theta = 2\pi R^2 P\int_0^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta$

$= 2\pi R^2 P\cdot\left[\frac{\sin^2\theta}{2}\right]_0^{\pi} = 2\pi R^2 P\cdot(0-0) = 0\quad\checkmark$

极化不产生净电荷，正负束缚电荷恰好等量，符合电介质整体电中性的要求。

$C = \varepsilon_r C_0 = 5\times44.25\;\mathrm{pF} = 221.25\;\mathrm{pF}$

• ② 板间电场

断开电源后极板自由电荷量 $Q=C_0U_0$ 保持不变，$D=Q/S$ 不变。

插入前：

$E_0 = \frac{U_0}{d} = \frac{200}{2\times10^{-3}} = 1.0\times10^5\;\mathrm{V/m}$

插入后，$E = D/(\varepsilon_0\varepsilon_r) = E_0/\varepsilon_r$：

$E = \frac{1.0\times10^5}{5} = 2.0\times10^4\;\mathrm{V/m}$

• ③ 储能

$W_0 = \frac{1}{2}C_0U_0^2 = \frac{1}{2}\times4.425\times10^{-11}\times200^2 = 8.85\times10^{-7}\;\mathrm{J}$

插入后板间电压 $U=Q/C=C_0U_0/C=U_0/\varepsilon_r=40\;\mathrm{V}$：

$W = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2}\times2.2125\times10^{-10}\times40^2 = 1.77\times10^{-7}\;\mathrm{J}$

储能减小为原来的 $1/\varepsilon_r=1/5$，减少量 $\Delta W\approx7.08\times10^{-7}\;\mathrm{J}$。

减小的能量转化为极化力对介质做的正功：当电介质被电场“吸入”极板间隙时，偶极子沿场方向排列的极化力做了正功，相当于将储存的电场能转化为使介质运动的机械能（实验中可观察到介质片被电容器“吸入”的现象）。