磁静学

通电导线旁边的磁针会偏转，两根平行导线可以相互吸引或排斥，电动机在磁场中持续转动——这些日常可见的现象，都源于稳恒电流与磁场之间的规律。与前面研究静止电荷产生电场类似，磁静学研究的是不随时间变化的稳恒电流所产生的磁场。掌握这部分内容，是理解电动机、变压器，以及后续麦克斯韦方程组的必要基础。

洛伦兹力与电流

磁场的定义

磁场通过它对运动电荷施加的力来定义。一个电荷量为 $q$、速度为 $\mathbf{v}$ 的粒子，在磁场 $\mathbf{B}$ 中所受的磁力为

力的方向垂直于速度和磁场所在平面，用右手定则判断：四指从 $\mathbf{v}$ 转向 $\mathbf{B}$，拇指所指即为正电荷受力方向。$\mathbf{B}$ 的国际单位是特斯拉，符号 $\mathrm{T}$，$1\,\mathrm{T} = 1\,\mathrm{kg/(A \cdot s^2)}$。

当空间中同时存在电场和磁场时，带电粒子所受的总电磁力——即完整的洛伦兹力——为

这是电磁学中最基本的力定律，一切带电粒子在电磁场中的运动都由它决定。

磁力不做功

磁场力有一个重要特征：它始终垂直于速度，因此磁力对运动电荷不做功。直接从叉积的几何性质可以看出——$\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ 必然与 $\mathbf{v}$ 垂直，故二者点积为零：

磁力只改变速度的方向，不改变速度的大小，因此不改变带电粒子的动能。带电粒子在均匀磁场中做匀速圆周运动，轨道半径 $r = mv/(qB)$，这一关系是回旋加速器的工作原理：磁场负责让粒子“转弯”，电场负责让粒子“加速”，两者分工明确。

电流的三种描述方式

稳恒电流是大量电荷的定向运动。根据电荷分布的几何形态，电流有三种描述方式：

• 线电流：电荷沿一维导线流动，用电流强度 $I$（单位 $\mathrm{A}$）描述，电流元为 $I\,d\mathbf{l}$，方向沿电流方向。

• 面电流：电荷在二维薄层中流动，用面电流密度 $\mathbf{K}$（单位 $\mathrm{A/m}$）描述，代表垂直于电流方向的单位线段上流过的电流。

• 体电流：电荷在三维导体中流动，用体电流密度 $\mathbf{J}$（单位 $$）描述，代表垂直于电流方向的单位截面上流过的电流。

工程中导线通常按线电流处理；地球磁层中的带电粒子环流则需要用面电流或体电流来描述。三种形式在本质上描述的是同一物理现象，只是适用的几何情形不同。

毕奥-萨伐尔定律

定律的基本形式

稳恒电流产生磁场的定量规律，由毕奥（Biot）和萨伐尔（Savart）从实验中总结归纳而来。一段微小电流元 $I\,d\mathbf{l}'$ 在空间场点 $\mathbf{r}$ 处的磁场贡献为

其中 $\boldsymbol{\mathscr{r}} = \mathbf{r} - \mathbf{r}'$ 是从源点（电流元位置 $\mathbf{r}'$）指向场点（$\mathbf{r}$）的矢量，$\widehat{\mathcal{r}}=\mathcal{r}$ 为其单位矢量， 是真空磁导率。对整条电流回路积分，得到总磁场：

叉积 $d\mathbf{l}'\times\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}$ 决定了磁场的方向：垂直于电流方向与连线方向张成的平面，形成围绕导线的同心圆分布。

无限长直导线

将一根无限长直导线沿 $z$ 轴放置，通有电流 $I$，求距导线 $s$ 处的磁场。由对称性，磁场只有 $\hat{\boldsymbol{\phi}}$ 方向分量，对毕奥-萨伐尔定律沿全长积分，结果为

磁场随距离增大而减弱，方向绕导线成圆形。用右手定则记忆最为直观：右手拇指指向电流方向，四指弯曲所指即为磁场方向。

这一结果与静电学中无限长均匀带电直线的电场 $E = \lambda/(2\pi\varepsilon_0 s)$ 在形式上高度相似，只是方向变为切向而非径向——静电场“向外辐射”，磁场“绕圈旋转”。

圆形电流轴线上的磁场

半径为 $R$、通有电流 $I$ 的圆形线圈，其轴线（通过圆心、垂直于线圈平面的直线）上距圆心 $z$ 处的磁场为

在圆心处（$z=0$）磁场最强：

距离越远（$|z|\gg R$），磁场按 $1/z^3$ 迅速衰减。两个相同线圈同轴放置、相距恰好等于线圈半径 $R$ 时（亥姆霍兹线圈），两圈之间轴线上的磁场近似均匀，是实验室制造均匀磁场区域的常用方案。

磁场的散度与旋度

无磁单极：$\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$

在静电学中，点电荷是电场线的起点（正）或终点（负）；但在自然界中，从未发现过孤立的磁荷（磁单极子）。磁场线总是闭合的，没有起点也没有终点。这一实验事实写成数学形式，就是磁场的高斯定律：

其积分形式为

穿过任意封闭曲面的磁通量恒为零：进入多少，就穿出多少。这与静电学的 $\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ 形成鲜明对比——电场有“源”（电荷），磁场无“源”（无磁单极）。

安培定律

安培定律描述了磁场的旋度与电流密度之间的关系。对稳恒电流，微分形式为

积分形式为

$I_{\text{enc}}$ 是穿过以回路 $\mathcal{C}$ 为边界的任意曲面的总电流。选取形状合适的“安培回路”，再利用电流分布的对称性，就可以极为简洁地求出磁场——就像利用高斯定律求电场一样。

安培定律的三类典型应用

• 无限长直导线

对半径 $s$ 的圆形安培回路，对称性保证 $B$ 沿回路处处相等且方向与 $d\mathbf{l}$ 一致：

与毕奥-萨伐尔积分结果完全一致，但推导只需一行。

• 无限长螺线管

截面半径 $R$，单位长度匝数 $n$，通有电流 $I$。对跨越管壁的矩形安培回路（一边在管内，一边在管外），管外磁场为零，内侧：

管内磁场均匀，方向沿轴线，管外磁场严格为零。螺线管是产生均匀强磁场的标准元件。

• 环形线圈（螺绕环）

总匝数 $N$，环中心半径 $R$，通有电流 $I$。对环内半径为 $r$ 的圆形安培回路：

磁场全部集中在环内，环外磁场为零，大小随半径略有变化。

静磁学与静电学的对比

静磁学与静电学在数学结构上高度对称，将两者并列对比有助于建立整体认识：

静电场“有源无旋”，静磁场“无源有旋”——这是两类场最核心的区别，也是引入各自对应的“势”的出发点。

磁矢势

磁矢势的引入

由于 $\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$，根据矢量分析中的结论（散度恒为零的矢量场，必然可以写成某矢量场的旋度），可以引入磁矢势 $\mathbf{A}$，令

这样 $\nabla\cdot\mathbf{B} = \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) = 0$ 自动得到满足。$\mathbf{A}$ 的单位为 $\mathrm{T{\cdot}m}$（即 $$，韦伯每米）。

将 $\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}$ 代入安培定律，利用矢量恒等式展开，选取合适规范后得到

这与泊松方程 $\nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0$ 在结构上完全对应，只是标量换成了矢量，三个分量各自独立满足泊松方程。由此可以直接写出磁矢势的积分公式：

对线电流，相应地：

$\mathbf{A}$ 的方向与电流方向一致——在直导线附近，$\mathbf{A}$ 平行于导线，而 $\mathbf{B}$ 则绕导线成圆，两者方向正交。

规范的概念

$\mathbf{A}$ 并不唯一：对任意标量函数 $\lambda$，令 $\mathbf{A}' = \mathbf{A} + \nabla\lambda$，则

物理上可观测的磁场 $\mathbf{B}$ 不受影响。这种对势的不同选择就叫做规范变换，对应的自由度叫规范自由度。

常用的约定是库仑规范：

在此规范下，$\nabla^2\mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J}$ 的形式最为简洁，与静电泊松方程直接类比，计算最为方便。

磁静学边界条件

在两种不同介质的界面处，$\mathbf{B}$ 的各分量有固定的衔接规则，与静电学边界条件形成完整的对应。

$\mathbf{B}$ 的法向分量：由 $\nabla\cdot\mathbf{B}=0$，对界面取“薄药盒”高斯面，得

法向磁场分量在界面处连续。

$\mathbf{B}$ 的切向分量：若界面处存在面电流密度 $\mathbf{K}$，由安培定律对界面取矩形回路，得

$\hat{\mathbf{n}}$ 由介质1指向介质2。无面电流时切向磁场连续；有面电流时存在跳变，跳变量为 $\mu_0 K$。

磁矢势在界面处连续（$\mathbf{A}_1 = \mathbf{A}_2$），其法向导数则存在与面电流对应的跳变。

练习

选择题

• 题一（洛伦兹力方向）

一正电荷以速度 $\mathbf{v} = v\hat{\mathbf{x}}$（$v>0$）进入匀强磁场 $\mathbf{B} = B\hat{\mathbf{z}}$（）中，该电荷所受磁场力的方向为

A. $+\hat{\mathbf{y}}$ 方向   B. $-\hat{\mathbf{y}}$ 方向   C. $+\hat{\mathbf{z}}$ 方向   D. $$ 方向

• 题二（毕奥-萨伐尔定律）

无限长直导线通有电流 $I$，距导线 $d$ 处的磁感应强度大小为

A. $\dfrac{\mu_0 I}{4\pi d^2}$   B. $\dfrac{\mu_0 I}{4\pi d}$   C.   D.

• 题三（螺线管磁场）

一理想无限长螺线管，单位长度匝数 $n = 1000\,\mathrm{m^{-1}}$，通有电流 $I = 2\,\mathrm{A}$，管内磁场大小约为（取 $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{T{\cdot}m/A}$）

A. $1.26\,\mathrm{mT}$   B. $2.51\,\mathrm{mT}$   C. $0.63\,\mathrm{mT}$   D. $5.02\,\mathrm{mT}$

• 题四（磁场边界条件）

两种均匀线性磁介质（磁导率分别为 $\mu_1$ 和 $\mu_2$，且 $\mu_1 \neq \mu_2$）的平面界面处无自由面电流，下列说法正确的是

A. 界面两侧 $\mathbf{B}$ 的法向分量和切向分量均连续

B. 界面两侧 $\mathbf{B}$ 的法向分量连续，切向分量不连续

C. 界面两侧 $\mathbf{B}$ 的切向分量连续，法向分量不连续

D. 界面两侧 $\mathbf{B}$ 的法向分量和切向分量均不连续

计算题

• 题五（安培定律：同轴电缆各区域磁场）

一同轴电缆，内导体半径为 $a$，外导体内径为 $b$（$b > a$），两者之间为真空。内导体通有沿 $+z$ 方向的均匀体电流，总电流为 $I$；外导体通有等量的 $-z$ 方向电流。求三个区域（$r < a$，，）内磁感应强度的大小，并绘制 - 关系的定性示意图。

• 题六（磁矢势求磁场）

已知某区域的磁矢势为 $\mathbf{A} = ky\,\hat{\mathbf{x}} - kx\,\hat{\mathbf{y}}$（$k$ 为正常数，单位 $\mathrm{T}\cdot \mathrm{m}$）。求该区域的磁感应强度 ，并说明它代表什么样的磁场分布，以及验证该矢势是否满足库仑规范。

由叉积规则 $\hat{\mathbf{x}}\times\hat{\mathbf{z}} = -\hat{\mathbf{y}}$，故 $\mathbf{F} = -qvB\hat{\mathbf{y}}$，方向为 $-\hat{\mathbf{y}}$。正电荷受力偏向 $-y$ 方向。

内导体截面积为 $\pi a^2$，电流均匀分布，穿过半径 $r$ 圆面的电流为

$I_{\text{enc}} = I\cdot\frac{\pi r^2}{\pi a^2} = \frac{I r^2}{a^2}$

$B = \frac{\mu_0 I\, r}{2\pi a^2}$

磁场随 $r$ 线性增大，在 $r=a$ 处取得最大值 $\mu_0 I/(2\pi a)$。

• 区域 $a < r < b$（两导体之间）

穿过圆面的净电流为内导体的全部电流 $I$：

$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

磁场随 $r$ 增大而反比减小。

• 区域 $r > b$（外导体以外）

内导体电流 $+I$ 与外导体电流 $-I$ 相互抵消，$I_{\text{enc}} = 0$：

$B = 0$

同轴电缆外部磁场为零，这正是同轴结构被广泛用于信号传输的重要原因——内外电磁场完全隔离，不对外产生干扰，也不受外部磁场影响。$B$-$r$ 曲线：在 $r<a$ 段线性上升，在 $a<r<b$ 段按 $1/r$ 下降，在 $r>b$ 段降为零。

$B_y = \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} = \frac{\partial(ky)}{\partial z} - 0 = 0$

$B_z = \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} = \frac{\partial(-kx)}{\partial x} - \frac{\partial(ky)}{\partial y} = -k - k = -2k$

因此

$\mathbf{B} = -2k\,\hat{\mathbf{z}}$

这是一个大小为 $2k$、沿 $-z$ 方向的均匀磁场，与位置无关。实验室中的均匀磁场可用大型螺线管或亥姆霍兹线圈来实现。

验证库仑规范：

$\nabla\cdot\mathbf{A} = \frac{\partial(ky)}{\partial x} + \frac{\partial(-kx)}{\partial y} + 0 = 0 + 0 = 0\quad\checkmark$

满足 $\nabla\cdot\mathbf{A}=0$，即库仑规范条件成立。