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数学三角函数与三角学：从单位圆到周期模型正切函数与其他三角函数

正切函数与其他三角函数

正弦和余弦来自单位圆上一点的两个坐标：横坐标是 cos⁡x\cos xcosx，纵坐标是 sin⁡x\sin xsinx。正切不是新的坐标，它是这两个坐标的比值。

这个小小的比值会带来和正弦、余弦完全不同的图像。正弦、余弦总在 −1-1−1 到 111 之间摆动，正切却会冲向很大的正数或负数，并在某些位置断开。理解这一点，不需要先背图像，只要认真看分母 cos⁡x\cos xcosx 什么时候变成 000。

本章会把正切、余割、正割、余切都放回正弦和余弦的关系网中。重点不是多记四个名字，而是看清：每一个定义都带着限制条件。

从正弦和余弦得到正切

在单位圆上，角 xxx 对应的点可以写成

(cos⁡x,sin⁡x)(\cos x,\sin x)(cosx,sinx)

当 cos⁡x≠0\cos x\ne 0cosx=0 时，正切定义为

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}tanx=cosxsinx​

这就是正切和正弦、余弦之间最基本的 商关系。分子来自纵坐标，分母来自横坐标。

单位圆上一点的横向投影标为余弦、纵向投影标为正弦，右侧用正弦除以余弦说明正切的来源。

图：正切可以看作单位圆上点的纵坐标与横坐标之比。

这条定义也和直角三角形里的正切一致。在第一象限里，sin⁡x\sin xsinx 是对边除以斜边，cos⁡x\cos xcosx 是邻边除以斜边，所以

sin⁡xcos⁡x=对边斜边邻边斜边=对边邻边\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}}{\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}} = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}cosxsinx​=斜边邻边​斜边对边​​=邻边对边​

单位圆只是把这个比值扩展到了任意实数角。只要横坐标不是 000，就可以计算正切。

正切既可以看作“纵坐标除以横坐标”，也可以看作终边的斜率。因为过原点的直线斜率就是 yx\frac{y}{x}xy​，而单位圆上的点满足 x=cos⁡xx=\cos xx=cosx、y=sin⁡xy=\sin xy=sinx。

下面的实验可以拖动角度，直接观察 sin⁡x\sin xsinx、cos⁡x\cos xcosx 和 tan⁡x\tan xtanx 的数值怎样一起变化。

例题：用商关系求正切

求 tan⁡5π6\tan \frac{5\pi}{6}tan65π​。

先回忆单位圆上的坐标。5π6\frac{5\pi}{6}65π​ 在第二象限，参考角是 π6\frac{\pi}{6}6π​，所以 sin⁡5π6=12\sin \frac{5\pi}{6}=\frac12sin65π​=21​，cos⁡5π6=−32\cos \frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}cos65π​=−23​​。

使用商关系，把正切写成正弦除以余弦。

计算得到

tan⁡5π6=12−32=−13=−33\tan \frac{5\pi}{6} = \frac{\frac12}{-\frac{\sqrt3}{2}} = -\frac{1}{\sqrt3} = -\frac{\sqrt3}{3}tan65π​=−23​​21​​=−3​1​=−33​​

这个结果的符号也可以从象限判断。第二象限中正弦为正、余弦为负，所以正切为负。

分母趋近 0 时会发生什么

正切的定义里有一个不能忽略的条件：

cos⁡x≠0\cos x\ne 0cosx=0

单位圆上横坐标为 000 的位置在竖直轴上，也就是

x=π2+kπx=\frac{\pi}{2}+k\pix=2π​+kπ

其中 kkk 是整数。在这些角上，cos⁡x=0\cos x=0cosx=0，所以 tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}tanx=cosxsinx​ 没有定义。

单位圆与比值示意图，说明当 cos x 趋近 0 时 tan x 急剧增大并形成竖直渐近线。

图：当 xxx 接近 π2\frac{\pi}{2}2π​ 时，sin⁡x\sin xsinx 接近 111，而 cos⁡x\cos xcosx 趋近 000，比值会急剧变大。

这里要区分两件事。

第一，x=π2x=\frac{\pi}{2}x=2π​ 时正切 没有值。不能说 tan⁡π2\tan \frac{\pi}{2}tan2π​ 等于无穷大，因为无穷大不是一个普通实数值。

第二，当 xxx 越来越接近 π2\frac{\pi}{2}2π​ 但还没有等于它时，分母 cos⁡x\cos xcosx 的绝对值越来越小，分子 sin⁡x\sin xsinx 接近 111。一个接近 111 的数除以一个非常小的数，结果会变得非常大，符号取决于分母从哪一侧接近 000。

例如在 π2\frac{\pi}{2}2π​ 左侧，cos⁡x>0\cos x>0cosx>0，所以 tan⁡x\tan xtanx 趋向很大的正数；在 π2\frac{\pi}{2}2π​ 右侧，cos⁡x<0\cos x<0cosx<0，所以 tan⁡x\tan xtanx 趋向很小的负数。

竖直渐近线不是图像的一部分。它是一条提醒线：函数值在这条线附近会无限靠近竖直方向，但函数在这条线上本身没有定义。

因此，正切函数的定义域是

{x∣x≠π2+kπ, k∈Z}\left\{x\mid x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb Z\right\}{x∣x=2π​+kπ, k∈Z}

也可以读作：所有实数角，除了 π2\frac{\pi}{2}2π​ 再加上任意整数倍 π\piπ 的位置。

正切图像的关键结构

标准正切函数 y=tan⁡xy=\tan xy=tanx 的一支图像通常画在

−π2<x<π2-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}−2π​<x<2π​

这个区间内。两端是竖直渐近线，中间经过原点。

正切函数 y = tan x 在一个周期内的图像，标出零点和渐近线。

图：正切函数一支图像的原点是零点，x=−π2x=-\frac{\pi}{2}x=−2π​ 与 x=π2x=\frac{\pi}{2}x=2π​ 是竖直渐近线。

正切图像有几条基本特征。

零点

正切等于 000，意味着

sin⁡xcos⁡x=0\frac{\sin x}{\cos x}=0cosxsinx​=0

分式等于 000 时，分子为 000 且分母不为 000。所以正切的零点来自

sin⁡x=0\sin x=0sinx=0

也就是

x=kπx=k\pix=kπ

其中 kkk 是整数。

竖直渐近线

正切无定义的位置来自

cos⁡x=0\cos x=0cosx=0

所以竖直渐近线在

x=π2+kπx=\frac{\pi}{2}+k\pix=2π​+kπ

其中 kkk 是整数。

值域

在 −π2-\frac{\pi}{2}−2π​ 到 π2\frac{\pi}{2}2π​ 之间，y=tan⁡xy=\tan xy=tanx 从很小的负数一路增加，经过 000，再变成很大的正数。它没有最大值，也没有最小值。

因此正切函数的值域是全体实数：

(−∞,∞)(-\infty,\infty)(−∞,∞)

这也说明正切图像没有振幅。振幅是正弦、余弦这类上下有界的波形才有的概念。

例题：找零点和渐近线

在区间 [−2π,2π][-2\pi,2\pi][−2π,2π] 内，找出 y=tan⁡xy=\tan xy=tanx 的零点和竖直渐近线。

零点满足 x=kπx=k\pix=kπ。在 [−2π,2π][-2\pi,2\pi][−2π,2π] 内，整数 kkk 可以取 −2,−1,0,1,2-2,-1,0,1,2−2,−1,0,1,2。

所以零点是

−2π, −π, 0, π, 2π-2\pi,\ -\pi,\ 0,\ \pi,\ 2\pi−2π, −π, 0, π, 2π

竖直渐近线满足 x=π2+kπx=\frac{\pi}{2}+k\pix=2π​+kπ。在区间内列出这些值，得到

−3π2, −π2, π2, 3π2-\frac{3\pi}{2},\ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}−23π​, −2π​, 2π​, 23π​

检查这些位置确实来自 cos⁡x=0\cos x=0cosx=0。它们不是函数图像上的点，而是图像断开的竖直位置。

正切为什么以 π 为周期

正弦和余弦的周期都是 2π2\pi2π。正切也来自它们，但正切的周期是 π\piπ。

原因在商关系里。把角增加 π\piπ，单位圆上的点会转到圆的对面：

sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x+\pi)=-\sin xsin(x+π)=−sinx cos⁡(x+π)=−cos⁡x\cos(x+\pi)=-\cos xcos(x+π)=−cosx

两个坐标都变号，但它们的比值不变：

tan⁡(x+π)=sin⁡(x+π)cos⁡(x+π)=−sin⁡x−cos⁡x=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\tan(x+\pi) = \frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)} = \frac{-\sin x}{-\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan xtan(x+π)=cos(x+π)sin(x+π)​=−cosx−sinx​=cosxsinx​=tanx

单位圆上相隔 π 的两条终边方向相反但斜率相同，说明 tan(x+π)=tan x。

图：相隔 π\piπ 的终边在同一直线上，斜率不变，因此正切值相同。

所以正切函数每隔 π\piπ 就重复一次。它的零点每隔 π\piπ 出现一次，渐近线也每隔 π\piπ 出现一次。

正切的周期是 π\piπ，不是因为正弦或余弦自己已经重复，而是因为它们同时变号以后，商保持不变。

其他三角函数来自倒数关系

除了 sin⁡\sinsin、cos⁡\coscos、tan⁡\tantan，常见三角函数还有三个：余割、正割、余切。它们都可以由正弦、余弦、正切写出来。

csc⁡x=1sin⁡x\csc x=\frac{1}{\sin x}cscx=sinx1​ sec⁡x=1cos⁡x\sec x=\frac{1}{\cos x}secx=cosx1​ cot⁡x=1tan⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{\cos x}{\sin x}cotx=tanx1​=sinxcosx​

六个三角函数的商关系与倒数关系图。

图：正弦、余弦与正切、余切、正割、余割之间的商关系和倒数关系。

这三个函数的名字容易让人觉得它们很陌生，其实它们主要是在问“某个基础函数的倒数是多少”。倒数一出现，限制条件也跟着出现：分母不能为 000。

定义域和图像直觉

把每个函数的分母单独看出来，就能判断它在哪里无定义。

函数定义限制条件图像直觉
csc⁡x\csc xcscx1sin⁡x\frac{1}{\sin x}sinx1​sin⁡x≠0\sin x\ne 0sinx=0，所以 x≠kπx\ne k\pix=kπ在正弦为 000 的地方有竖直渐近线
sec⁡x\sec xsecx1cos⁡x\frac{1}{\cos x}cosx1​cos⁡x≠0\cos x\ne 0cosx=0，所以 x≠π2+kπx\ne \frac{\pi}{2}+k\pix=2π​+kπ在余弦为 000 的地方有竖直渐近线
cot⁡x\cot xcotxcos⁡xsin⁡x\frac{\cos x}{\sin x}sinxcosx​sin⁡x≠0\sin x\ne 0sinx=0，所以 x≠kπx\ne k\pix=kπ在正切为 000 的地方有竖直渐近线

其中 kkk 都表示整数。

余割、正割、余切倒数函数的定义域限制对照图，显示分母不能为 0 以及单位圆上的不可取位置。

图：倒数三角函数的定义域限制都来自分母不能为 000。

正割和余割的值域也和正弦、余弦不同。因为 sin⁡x\sin xsinx 和 cos⁡x\cos xcosx 的绝对值最大是 111，它们的倒数不会落在 −1-1−1 到 111 之间的开区间里。也就是说，sec⁡x\sec xsecx 和 csc⁡x\csc xcscx 的值满足

y≤−1或y≥1y\le -1 \quad \text{或} \quad y\ge 1y≤−1或y≥1

余切 cot⁡x\cot xcotx 和正切一样，值域是全体实数，周期也是 π\piπ。

例题：判断函数是否有定义

判断下列值是否有定义：sec⁡π2\sec \frac{\pi}{2}sec2π​、csc⁡π\csc \picscπ、cot⁡π2\cot \frac{\pi}{2}cot2π​。

sec⁡x=1cos⁡x\sec x=\frac{1}{\cos x}secx=cosx1​。因为 cos⁡π2=0\cos \frac{\pi}{2}=0cos2π​=0，所以 sec⁡π2\sec \frac{\pi}{2}sec2π​ 无定义。

csc⁡x=1sin⁡x\csc x=\frac{1}{\sin x}cscx=sinx1​。因为 sin⁡π=0\sin \pi=0sinπ=0，所以 csc⁡π\csc \picscπ 无定义。

cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}cotx=sinxcosx​。因为 sin⁡π2=1\sin \frac{\pi}{2}=1sin2π​=1，分母不为 000，所以 cot⁡π2\cot \frac{\pi}{2}cot2π​ 有定义，且值为 000。

限制条件比公式更早检查

三角函数计算里，一个常见错误是先化简，再忘记原式的限制条件。例如看到

tan⁡x⋅cos⁡x\tan x\cdot \cos xtanx⋅cosx

有人会直接写成

sin⁡x\sin xsinx

因为 tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}tanx=cosxsinx​。这个变形在 cos⁡x≠0\cos x\ne 0cosx=0 时是对的，但原式 tan⁡x⋅cos⁡x\tan x\cdot \cos xtanx⋅cosx 本来就要求 tan⁡x\tan xtanx 有定义，也就是 cos⁡x≠0\cos x\ne 0cosx=0。

所以它和 sin⁡x\sin xsinx 的函数并不完全相同。sin⁡x\sin xsinx 在所有实数上有定义，而原式在

x=π2+kπx=\frac{\pi}{2}+k\pix=2π​+kπ

处没有定义。

化简三角表达式时，不能只看最后形式。只要中间出现了分式、倒数函数或正切、余切，就要保留“分母不能为 0”的限制。

可以按下面的顺序检查：

  1. 先把 tan⁡x\tan xtanx、cot⁡x\cot xcotx、sec⁡x\sec xsecx、csc⁡x\csc xcscx 写成 sin⁡x\sin xsinx 和 cos⁡x\cos xcosx。
  2. 标出每一个分母。
  3. 写下所有分母不为 000 的条件。
  4. 再进行代数化简。

例题：化简但保留限制

化简

sec⁡xtan⁡x\frac{\sec x}{\tan x}tanxsecx​

并写出原式的限制条件。

先写成正弦和余弦：

sec⁡xtan⁡x=1cos⁡xsin⁡xcos⁡x\frac{\sec x}{\tan x} = \frac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x}}tanxsecx​=cosxsinx​cosx1​​

原式中 sec⁡x\sec xsecx 要求 cos⁡x≠0\cos x\ne 0cosx=0，tan⁡x\tan xtanx 也要求 cos⁡x≠0\cos x\ne 0cosx=0。另外，作为分母的 tan⁡x\tan xtanx 不能为 000，所以 sin⁡x≠0\sin x\ne 0sinx=0。

在这些条件下化简：

1cos⁡xsin⁡xcos⁡x=1sin⁡x=csc⁡x\frac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{1}{\sin x} = \csc xcosxsinx​cosx1​​=sinx1​=cscx

所以原式可化为 csc⁡x\csc xcscx，但限制条件是 sin⁡x≠0\sin x\ne 0sinx=0 且 cos⁡x≠0\cos x\ne 0cosx=0。不能只写 csc⁡x\csc xcscx 的限制，因为原式还包含 sec⁡x\sec xsecx 和 tan⁡x\tan xtanx。

小结

正切函数的核心是商关系：

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}tanx=cosxsinx​

它的定义域要排除所有让 cos⁡x=0\cos x=0cosx=0 的角：

x≠π2+kπx\ne \frac{\pi}{2}+k\pix=2π​+kπ

这些位置正是正切图像的竖直渐近线。正切的零点来自 sin⁡x=0\sin x=0sinx=0，所以零点在 x=kπx=k\pix=kπ。由于 sin⁡(x+π)\sin(x+\pi)sin(x+π) 和 cos⁡(x+π)\cos(x+\pi)cos(x+π) 同时变号，正切的周期是 π\piπ。

其他三个常见函数也不神秘：

csc⁡x=1sin⁡x,sec⁡x=1cos⁡x,cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\csc x=\frac{1}{\sin x},\quad \sec x=\frac{1}{\cos x},\quad \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}cscx=sinx1​,secx=cosx1​,cotx=sinxcosx​

它们的定义域限制都来自同一句话：分母不能为 000。

练习

  1. 写出 y=tan⁡xy=\tan xy=tanx 的定义域、零点和竖直渐近线。

定义域是 x≠π2+kπx\ne \frac{\pi}{2}+k\pix=2π​+kπ，其中 k∈Zk\in\mathbb Zk∈Z。零点是 x=kπx=k\pix=kπ。竖直渐近线是 x=π2+kπx=\frac{\pi}{2}+k\pix=2π​+kπ。

  1. 不用计算器，求 tan⁡7π4\tan \frac{7\pi}{4}tan47π​。

7π4\frac{7\pi}{4}47π​ 在第四象限，参考角是 π4\frac{\pi}{4}4π​。此时 sin⁡7π4=−22\sin \frac{7\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}sin47π​=−22​​，cos⁡7π4=22\cos \frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}cos47π​=22​​，所以 tan⁡7π4=−1\tan \frac{7\pi}{4}=-1tan47π​=−1。

  1. 判断 sec⁡π\sec \pisecπ、csc⁡3π2\csc \frac{3\pi}{2}csc23π​、cot⁡π\cot \picotπ 是否有定义，并求出有定义的值。

sec⁡π=1cos⁡π=−1\sec \pi=\frac{1}{\cos \pi}=-1secπ=cosπ1​=−1，有定义。csc⁡3π2=1sin⁡3π2=−1\csc \frac{3\pi}{2}=\frac{1}{\sin \frac{3\pi}{2}}=-1csc23π​=sin23π​1​=−1，有定义。cot⁡π=cos⁡πsin⁡π\cot \pi=\frac{\cos \pi}{\sin \pi}cotπ=sinπcosπ​，因为 sin⁡π=0\sin \pi=0sinπ=0，所以无定义。

  1. 说明为什么 tan⁡(x+π)=tan⁡x\tan(x+\pi)=\tan xtan(x+π)=tanx，并指出这和正切周期有什么关系。

因为 sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x+\pi)=-\sin xsin(x+π)=−sinx，cos⁡(x+π)=−cos⁡x\cos(x+\pi)=-\cos xcos(x+π)=−cosx，所以

tan⁡(x+π)=−sin⁡x−cos⁡x=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\tan(x+\pi)=\frac{-\sin x}{-\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan xtan(x+π)=−cosx−sinx​=cosxsinx​=tanx

这说明正切每隔 π\piπ 重复一次，因此基本周期是 π\piπ。

  1. 化简 sec⁡xcos⁡x\sec x\cos xsecxcosx，并说明原式的限制条件。

因为 sec⁡x=1cos⁡x\sec x=\frac{1}{\cos x}secx=cosx1​，所以

sec⁡xcos⁡x=1cos⁡x⋅cos⁡x=1\sec x\cos x=\frac{1}{\cos x}\cdot \cos x=1secxcosx=cosx1​⋅cosx=1

但原式要求 sec⁡x\sec xsecx 有定义，所以必须有 cos⁡x≠0\cos x\ne 0cosx=0。化简后的 111 在所有实数上有定义，原式不是。

  • 从正弦和余弦得到正切
    • 例题：用商关系求正切
  • 分母趋近 0 时会发生什么
  • 正切图像的关键结构
    • 零点
    • 竖直渐近线
    • 值域
    • 例题：找零点和渐近线
  • 正切为什么以 π 为周期
  • 其他三角函数来自倒数关系
    • 定义域和图像直觉
    • 例题：判断函数是否有定义
  • 限制条件比公式更早检查
    • 例题：化简但保留限制
  • 小结
  • 练习

目录

  • 从正弦和余弦得到正切
    • 例题：用商关系求正切
  • 分母趋近 0 时会发生什么
  • 正切图像的关键结构
    • 零点
    • 竖直渐近线
    • 值域
    • 例题：找零点和渐近线
  • 正切为什么以 π 为周期
  • 其他三角函数来自倒数关系
    • 定义域和图像直觉
    • 例题：判断函数是否有定义
  • 限制条件比公式更早检查
    • 例题：化简但保留限制
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