自在学
分类课程智能体订阅
分类课程AI导师价格
课程进度
5 / 12
上一节特殊角、参考角与象限符号下一节正切函数与其他三角函数
自在学

© 2025 - 2026 自在学，保留所有权利。

公网安备湘公网安备43020302000292号 | 湘ICP备2025148919号-1

关于我们隐私政策使用条款

© 2025 自在学，保留所有权利。

公网安备湘公网安备43020302000292号湘ICP备2025148919号-1

数学三角函数与三角学：从单位圆到周期模型正弦与余弦函数图像

正弦与余弦函数图像

前面几章把角放进坐标系，又用单位圆定义了 sin⁡x\sin xsinx 和 cos⁡x\cos xcosx。这一章把这两件事接起来：当点沿单位圆匀速转动时，如果我们不断记录它的纵坐标或横坐标，就会得到熟悉的波浪形图像。

这里的关键不是背“正弦从 0 开始、余弦从 1 开始”，而是看清楚两张图之间的关系。单位圆上的点在转动；函数图像上的横轴记录角 xxx；函数图像上的纵轴记录圆上点的某个坐标。

从圆周运动看函数图像

设单位圆上一点从 (1,0)(1,0)(1,0) 出发，逆时针转过 xxx 弧度后到达点 PPP。按照单位圆定义，这个点的坐标是

P(x)=(cos⁡x,sin⁡x)P(x)=(\cos x,\sin x)P(x)=(cosx,sinx)

这句话同时包含了两个函数：cos⁡x\cos xcosx 是圆上点的横坐标，sin⁡x\sin xsinx 是圆上点的纵坐标。

单位圆坐标定义示意图，点 P 在第一象限，横坐标为 cos x，纵坐标为 sin x。

图：单位圆上一点的横坐标对应 cos⁡x\cos xcosx，纵坐标对应 sin⁡x\sin xsinx。

如果只看圆，点绕了一圈又一圈；如果把“角 xxx”放在一条水平轴上，再把对应坐标值画成高度，圆周运动就会展开成波形。

函数图像里的横轴是输入角 xxx，不是单位圆上的横坐标。单位圆上的横坐标是 cos⁡x\cos xcosx，会成为余弦图像的纵向高度。把这两个“横”混在一起，是学习本章时最常见的误会。

从单位圆到正弦图像

先看正弦函数。点 P(x)P(x)P(x) 在单位圆上转动时，sin⁡x\sin xsinx 取的是它的纵坐标。点越靠上，sin⁡x\sin xsinx 越接近 111；点越靠下，sin⁡x\sin xsinx 越接近 −1-1−1；点落在 xxx 轴上时，纵坐标为 000。

单位圆上的点转动时，圆上纵坐标同步形成 y=sin x 的正弦图像。

图：从单位圆到 y=sin⁡xy=\sin xy=sinx，圆上点的纵坐标被记录到右侧坐标平面。

把一圈分成四个四分之一圈，正弦值的变化很清楚：

角 xxx圆上位置sin⁡x\sin xsinx
000起点 (1,0)(1,0)(1,0)000
π2\frac{\pi}{2}2π​最高点 (0,1)(0,1)(0,1)111
π\piπ左端点 (−1,0)(-1,0)(−1,0)000
3π2\frac{3\pi}{2}23π​最低点 (0,−1)(0,-1)(0,−1)−1-1−1
2π2\pi2π回到起点 (1,0)(1,0)(1,0)000

所以 y=sin⁡xy=\sin xy=sinx 从中线 000 出发，先升到 111，再回到 000，继续降到 −1-1−1，最后回到 000。这一段就是一个完整周期。

下面的交互把单位圆和两条波形放在同一个画面里。拖动角度时，留意圆上点的纵坐标怎样成为正弦图像上的高度。

正弦图像不是把半圆一段一段拼起来。它记录的是“同一个圆上点的纵坐标随角变化”，所以在最高点附近会变平，在过中线附近变化最快。

从单位圆到余弦图像

余弦函数用同一个转动点，但记录的是横坐标。点在 (1,0)(1,0)(1,0) 时横坐标最大，所以 cos⁡0=1\cos 0=1cos0=1。转到最高点 (0,1)(0,1)(0,1) 时横坐标为 000；转到左端点 (−1,0)(-1,0)(−1,0) 时横坐标最小，为 −1-1−1。

单位圆上一点的横坐标被对应记录为右侧 y=cos x 曲线在角 x 处的高度。

图：从单位圆到 y=cos⁡xy=\cos xy=cosx，圆上点的横坐标形成余弦图像。

一圈内的余弦值如下：

角 xxx圆上位置cos⁡x\cos xcosx
000起点 (1,0)(1,0)(1,0)111
π2\frac{\pi}{2}2π​最高点 (0,1)(0,1)(0,1)000
π\piπ左端点 (−1,0)(-1,0)(−1,0)−1-1−1
3π2\frac{3\pi}{2}23π​最低点 (0,−1)(0,-1)(0,−1)000
2π2\pi2π回到起点 (1,0)(1,0)(1,0)111

余弦图像和正弦图像有同样的高度范围和同样的重复长度，只是起点不同。正弦从中线开始上升；余弦从最大值开始下降。

关键点：一圈内的五个位置

画基本正弦、余弦图像时，最有用的是一圈内的五个关键角：

0,π2,π,3π2,2π0,\quad \frac{\pi}{2},\quad \pi,\quad \frac{3\pi}{2},\quad 2\pi0,2π​,π,23π​,2π

这五个角把一个周期平均分成四段。它们对应中线、最高点、最低点和回到中线的位置。

正弦函数与余弦函数在 0 到 2π 内的关键点、最大值、最小值和零点示意图。

图：y=sin⁡xy=\sin xy=sinx 与 y=cos⁡xy=\cos xy=cosx 在一圈内五个关键位置的函数图像对照。

可以把两组关键点整理成表：

xxxsin⁡x\sin xsinxcos⁡x\cos xcosx
000000111
π2\frac{\pi}{2}2π​111000
π\piπ000−1-1−1
3π2\frac{3\pi}{2}23π​−1-1−1000
2π2\pi2π000111

正弦函数的零点在

x=kπx=k\pix=kπ

余弦函数的零点在

x=π2+kπx=\frac{\pi}{2}+k\pix=2π​+kπ

其中 kkk 是整数。

正弦函数的最大值 111 出现在

x=π2+2kπx=\frac{\pi}{2}+2k\pix=2π​+2kπ

最小值 −1-1−1 出现在

x=3π2+2kπx=\frac{3\pi}{2}+2k\pix=23π​+2kπ

余弦函数的最大值 111 出现在

x=2kπx=2k\pix=2kπ

最小值 −1-1−1 出现在

x=π+2kπx=\pi+2k\pix=π+2kπ

用下面的关键点探究器切换正弦和余弦，观察同一个角在两条曲线上的位置差异。

例题：用关键点画一段正弦图像

不用计算器，画出 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi0≤x≤2π 上 y=sin⁡xy=\sin xy=sinx 的基本形状。

先写出五个关键角：000、π2\frac{\pi}{2}2π​、π\piπ、3π2\frac{3\pi}{2}23π​、2π2\pi2π。它们把一个周期分成四个相等部分。

再写对应函数值：000、111、000、−1-1−1、000。这些值来自单位圆上点的纵坐标。

在坐标系中标出五个点 (0,0)(0,0)(0,0)、(π2,1)(\frac{\pi}{2},1)(2π​,1)、(π,0)(\pi,0)(π,0)、(3π2,−1)(\frac{3\pi}{2},-1)(23π​,−1)、(2π,0)(2\pi,0)(2π,0)。

用平滑曲线连接这些点。曲线经过最高点和最低点时会变平，经过中线附近时上升或下降最快。

周期、定义域和值域

单位圆上的点转过一整圈后回到同一个位置。一整圈是 2π2\pi2π 弧度，所以对任意实数 xxx，

sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x+2\pi)=\sin xsin(x+2π)=sinx cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x+2\pi)=\cos xcos(x+2π)=cosx

这说明正弦和余弦都是周期函数，基本周期都是 2π2\pi2π。更准确地说，2π2\pi2π 是它们的最小正周期。

因为角可以继续转下去，也可以反向转动，正弦和余弦的输入没有上下限：

定义域=(−∞,∞)\text{定义域}=(-\infty,\infty)定义域=(−∞,∞)

又因为单位圆的横坐标和纵坐标都不会超过 111，也不会小于 −1-1−1，所以

值域=[−1,1]\text{值域}=[-1,1]值域=[−1,1]

定义域来自“角可以是任意实数”，值域来自“单位圆坐标被限制在 −1-1−1 到 111 之间”。这两个结论都不是图像上硬记出来的，而是单位圆定义直接给出的。

如果一个转盘每转一圈回到同一个高度，记录高度随角度的变化，就会出现这样的重复。后面学习三角函数变换时，振幅、中线和周期会让这个模型适应更真实的摩天轮、潮汐和振动情境。

正弦与余弦的相位关系

正弦和余弦不是两种完全不同的波。它们是同一个圆周运动的两种坐标记录，所以形状相同，只是起点不同。

余弦从 x=0x=0x=0 的最大值开始。正弦要到 x=π2x=\frac{\pi}{2}x=2π​ 才到最大值。因此，把正弦图像向左平移 π2\frac{\pi}{2}2π​，它就会和余弦图像重合：

cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)cosx=sin(x+2π​)

等价地，把余弦图像向右平移 π2\frac{\pi}{2}2π​，可以得到正弦图像：

sin⁡x=cos⁡(x−π2)\sin x=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)sinx=cos(x−2π​)

同一坐标系中正弦与余弦曲线，标出余弦等于正弦向左平移 π/2，公式 cos x = sin(x+π/2)。

图：正弦与余弦是同一波形的不同起点，二者相差四分之一个周期。

相位关系可以用下面的交互慢慢看。把相位 aaa 从 000 调到 π2\frac{\pi}{2}2π​，观察 y=sin⁡(x+a)y=\sin(x+a)y=sin(x+a) 如何逐渐贴近 y=cos⁡xy=\cos xy=cosx。

“相位差 π2\frac{\pi}{2}2π​”也可以说成“相差四分之一个周期”。因为一个周期是 2π2\pi2π，四分之一周期就是 2π4=π2\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}42π​=2π​。

奇偶性：从对称看公式

单位圆还能解释正弦和余弦的对称性。

角 xxx 和角 −x-x−x 是从正 xxx 轴向相反方向转过同样大小。它们对应的两个点关于 xxx 轴对称：横坐标相同，纵坐标相反。因此

cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos xcos(−x)=cosx sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin xsin(−x)=−sinx

正弦函数关于原点对称，余弦函数关于 y 轴对称的左右对照图。

图：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

从函数图像看，y=sin⁡xy=\sin xy=sinx 关于原点对称，所以它是奇函数；y=cos⁡xy=\cos xy=cosx 关于 yyy 轴对称，所以它是偶函数。

这些对称性不只是图像特征，也能用来快速求值。例如

sin⁡(−π6)=−sin⁡(π6)=−12\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}sin(−6π​)=−sin(6π​)=−21​ cos⁡(−π3)=cos⁡(π3)=12\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}cos(−3π​)=cos(3π​)=21​

用图像读值与判断

读正弦、余弦图像时，可以先问三个问题。

  1. 这个角在一个周期里的哪个位置？
  2. 函数值是圆上点的横坐标还是纵坐标？
  3. 图像此时在中线、最高点、最低点，还是正在上升或下降？

例题：判断符号和大小

不计算精确值，判断 sin⁡5π6\sin\frac{5\pi}{6}sin65π​、cos⁡5π6\cos\frac{5\pi}{6}cos65π​、sin⁡7π6\sin\frac{7\pi}{6}sin67π​ 的符号，并比较它们与 000 的关系。

5π6\frac{5\pi}{6}65π​ 位于第二象限。单位圆上第二象限的纵坐标为正、横坐标为负，所以 sin⁡5π6>0\sin\frac{5\pi}{6}>0sin65π​>0，cos⁡5π6<0\cos\frac{5\pi}{6}<0cos65π​<0。

7π6\frac{7\pi}{6}67π​ 位于第三象限。第三象限的纵坐标为负，所以 sin⁡7π6<0\sin\frac{7\pi}{6}<0sin67π​<0。

从图像上看，正弦在 000 到 π\piπ 之间在横轴上方，在 π\piπ 到 2π2\pi2π 之间在横轴下方；余弦在 π2\frac{\pi}{2}2π​ 到 3π2\frac{3\pi}{2}23π​ 之间在横轴下方。这与单位圆的坐标符号一致。

例题：找一个周期内的极值

求 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi0≤x≤2π 内 y=cos⁡xy=\cos xy=cosx 的最大值、最小值及对应的 xxx。

余弦记录单位圆上的横坐标。横坐标最大为 111，出现在圆的最右端；横坐标最小为 −1-1−1，出现在圆的最左端。

在 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi0≤x≤2π 内，最右端对应 x=0x=0x=0 和 x=2πx=2\pix=2π，所以最大值为 111。

最左端对应 x=πx=\pix=π，所以最小值为 −1-1−1。

小结

正弦和余弦图像来自同一个圆周运动。y=sin⁡xy=\sin xy=sinx 记录单位圆上点的纵坐标，y=cos⁡xy=\cos xy=cosx 记录横坐标。因为圆上一圈是 2π2\pi2π，所以两个函数的基本周期都是 2π2\pi2π；因为坐标被单位圆限制，所以值域都是 [−1,1][-1,1][−1,1]。

正弦从中线开始，余弦从最大值开始。它们形状相同，相差 π2\frac{\pi}{2}2π​ 的相位。正弦是奇函数，余弦是偶函数，这些对称性都能从单位圆和图像上同时看出来。

练习

  1. 写出 y=sin⁡xy=\sin xy=sinx 在 000、π2\frac{\pi}{2}2π​、π\piπ、3π2\frac{3\pi}{2}23π​、2π2\pi2π 处的函数值。

依次为 000、111、000、−1-1−1、000。这些值对应单位圆上点的纵坐标。

  1. 写出 y=cos⁡xy=\cos xy=cosx 在 000、π2\frac{\pi}{2}2π​、π\piπ、3π2\frac{3\pi}{2}23π​、2π2\pi2π 处的函数值。

依次为 111、000、−1-1−1、000、111。这些值对应单位圆上点的横坐标。

  1. 判断 sin⁡4π3\sin\frac{4\pi}{3}sin34π​ 和 cos⁡4π3\cos\frac{4\pi}{3}cos34π​ 的符号。

4π3\frac{4\pi}{3}34π​ 在第三象限，横坐标和纵坐标都为负，所以 sin⁡4π3<0\sin\frac{4\pi}{3}<0sin34π​<0，cos⁡4π3<0\cos\frac{4\pi}{3}<0cos34π​<0。

  1. 求 y=sin⁡xy=\sin xy=sinx 在 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi0≤x≤2π 内的零点。

零点是 x=0x=0x=0、x=πx=\pix=π、x=2πx=2\pix=2π。如果写成一般形式，正弦零点是 x=kπx=k\pix=kπ，其中 kkk 是整数。

  1. 求 y=cos⁡xy=\cos xy=cosx 在 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi0≤x≤2π 内的零点。

零点是 x=π2x=\frac{\pi}{2}x=2π​ 和 x=3π2x=\frac{3\pi}{2}x=23π​。一般形式为 x=π2+kπx=\frac{\pi}{2}+k\pix=2π​+kπ，其中 kkk 是整数。

  1. 说明为什么正弦和余弦的值域都是 [−1,1][-1,1][−1,1]。

因为它们分别是单位圆上点的纵坐标和横坐标。单位圆半径为 111，圆上点的横坐标、纵坐标都不可能大于 111 或小于 −1-1−1。

  1. 用相位关系把 cos⁡x\cos xcosx 写成正弦函数的形式。

可以写成 cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)cosx=sin(x+2π​)。这表示把正弦图像向左平移 π2\frac{\pi}{2}2π​。

  1. 判断下面说法是否正确：因为 sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin xsin(−x)=−sinx，所以正弦图像关于 yyy 轴对称。

不正确。sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin xsin(−x)=−sinx 表示正弦函数是奇函数，图像关于原点对称。关于 yyy 轴对称的是余弦函数，因为 cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos xcos(−x)=cosx。

  1. 一个点在单位圆上从 (1,0)(1,0)(1,0) 出发逆时针转动。若只记录它的横坐标，得到的是哪一个函数图像？为什么这个图像从最大值开始？

得到的是 y=cos⁡xy=\cos xy=cosx。因为出发点 (1,0)(1,0)(1,0) 的横坐标为 111，这是单位圆横坐标的最大值，所以余弦图像从最大值开始。

  1. 一个函数满足 f(x+2π)=f(x)f(x+2\pi)=f(x)f(x+2π)=f(x)。这句话能直接说明它一定是正弦函数吗？

不能。它只说明这个函数以 2π2\pi2π 为一个周期，很多函数都可能有这个周期。要判断是不是正弦函数，还要看它的形状、值域、起点、最大最小值等特征。

  • 从圆周运动看函数图像
  • 从单位圆到正弦图像
  • 从单位圆到余弦图像
  • 关键点：一圈内的五个位置
    • 例题：用关键点画一段正弦图像
  • 周期、定义域和值域
  • 正弦与余弦的相位关系
  • 奇偶性：从对称看公式
  • 用图像读值与判断
    • 例题：判断符号和大小
    • 例题：找一个周期内的极值
  • 小结
  • 练习

目录

  • 从圆周运动看函数图像
  • 从单位圆到正弦图像
  • 从单位圆到余弦图像
  • 关键点：一圈内的五个位置
    • 例题：用关键点画一段正弦图像
  • 周期、定义域和值域
  • 正弦与余弦的相位关系
  • 奇偶性：从对称看公式
  • 用图像读值与判断
    • 例题：判断符号和大小
    • 例题：找一个周期内的极值
  • 小结
  • 练习