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上一节角与弧度：从旋转开始下一节直角三角形三角比
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数学三角函数与三角学：从单位圆到周期模型单位圆：把三角函数放到坐标系里

单位圆：把三角函数放到坐标系里

上一章把角看成旋转，并用弧度把角和圆弧联系起来。这一章继续往前走：把旋转放进坐标系，让一个角对应单位圆上的一个点。

这一步看起来只是换了一张图，其实改变很大。直角三角形里的正弦、余弦原本只适合锐角；单位圆把角的终边延长到整个坐标平面，于是 120∘120^\circ120∘、−π3-\frac{\pi}{3}−3π​、5π5\pi5π 这样的角也能有正弦和余弦。三角函数从“边长比”变成了“输入角、输出坐标”的函数。

单位圆是什么

单位圆 是以原点为圆心、半径为 111 的圆。它的方程是

x2+y2=1x^2+y^2=1x2+y2=1

这里的 “单位” 指半径为 111。因为圆心在原点，圆上每个点到原点的距离都是 111。这让单位圆非常适合连接角和坐标：从原点出发画一条射线，只要这条射线碰到单位圆，就会得到一个确定的点。

把角 θ\thetaθ 放在标准位置：顶点在原点，始边在正 xxx 轴上，终边由旋转得到。终边和单位圆的交点记作 PPP。如果 PPP 的坐标是 (x,y)(x,y)(x,y)，那么这个角就被一对坐标记录下来。

单位圆坐标定义示意图，点 P 的坐标为 cosθ 和 sinθ

图：单位圆上角 θ\thetaθ 的终边与圆交于 PPP，横坐标为 cos⁡θ\cos\thetacosθ，纵坐标为 sin⁡θ\sin\thetasinθ。

这个交点不会模糊。只要给定一个标准位置的角，它的终边方向确定；终边和半径为 111 的圆相交于唯一的点。于是“角 θ\thetaθ”可以稳定地变成“点 PPP 的坐标”。

单位圆的半径固定为 111，不是为了让图形变小，而是为了让坐标直接等于三角函数值。半径一旦是 111，横向长度和纵向长度就不需要再除以斜边。

坐标就是正弦和余弦

现在给出单位圆定义。设角 θ\thetaθ 的终边与单位圆交于点 P=(x,y)P=(x,y)P=(x,y)，则

cos⁡θ=x\cos\theta=xcosθ=x sin⁡θ=y\sin\theta=ysinθ=y

也就是说，余弦读横坐标，正弦读纵坐标。用一个式子写，就是

Pθ=(cos⁡θ,sin⁡θ)P_\theta=(\cos\theta,\sin\theta)Pθ​=(cosθ,sinθ)

这个定义把三角函数变成了真正的函数：输入是角 θ\thetaθ，输出是一个数。cos⁡θ\cos\thetacosθ 输出横坐标，sin⁡θ\sin\thetasinθ 输出纵坐标。

例如，当 θ=0\theta=0θ=0 时，终边落在正 xxx 轴上，交点是 (1,0)(1,0)(1,0)，所以

cos⁡0=1,sin⁡0=0\cos 0=1,\qquad \sin 0=0cos0=1,sin0=0

当 θ=π2\theta=\frac{\pi}{2}θ=2π​ 时，终边落在正 yyy 轴上，交点是 (0,1)(0,1)(0,1)，所以

cos⁡π2=0,sin⁡π2=1\cos\frac{\pi}{2}=0,\qquad \sin\frac{\pi}{2}=1cos2π​=0,sin2π​=1

单位圆上一点 P 向坐标轴作投影，蓝色横坐标表示 cosθ，橙色纵坐标表示 sinθ。

图：横坐标对应 cos⁡θ\cos\thetacosθ，纵坐标对应 sin⁡θ\sin\thetasinθ。

下面的探究器可以拖动角度，观察终边点、坐标和象限怎样一起变化。先盯住点 PPP 的横坐标，再看 cos⁡θ\cos\thetacosθ；再盯住纵坐标，看 sin⁡θ\sin\thetasinθ。

不要把 sin⁡θ\sin\thetasinθ 和 cos⁡θ\cos\thetacosθ 理解成点本身。点是 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\sin\theta)(cosθ,sinθ)，其中 cos⁡θ\cos\thetacosθ 只是横坐标，sin⁡θ\sin\thetasinθ 只是纵坐标。

为什么它没有抛弃直角三角形

单位圆定义看起来和直角三角形不同，但在第一象限里，它正好延续了直角三角形的定义。

假设 θ\thetaθ 是第一象限的锐角。终边与单位圆交于 P=(x,y)P=(x,y)P=(x,y)，从 PPP 向 xxx 轴作垂线，就得到一个直角三角形。这个三角形的斜边是单位圆半径，所以斜边长为 111；邻边长是 xxx，对边长是 yyy。

直角三角形中，

cos⁡θ=邻边斜边\cos\theta=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}cosθ=斜边邻边​

现在邻边是 xxx，斜边是 111，所以

cos⁡θ=x1=x\cos\theta=\frac{x}{1}=xcosθ=1x​=x

同样，

sin⁡θ=对边斜边=y1=y\sin\theta=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}=\frac{y}{1}=ysinθ=斜边对边​=1y​=y

因此单位圆定义不是另起炉灶。它先在第一象限和直角三角形定义完全一致，再把同一套坐标读法推广到其他角。

第一象限中直角三角形三角比与单位圆坐标定义的对应关系示意图

图：斜边为 111 的直角三角形移入单位圆后，邻边对应 cos⁡θ\cos\thetacosθ，对边对应 sin⁡θ\sin\thetasinθ，终边点坐标为 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\sin\theta)(cosθ,sinθ)。

如果圆的半径不是 111，这个关系也能看出来。设半径为 rrr，终边点是 (x,y)(x,y)(x,y)，那么直角三角形给出

cos⁡θ=xr\cos\theta=\frac{x}{r}cosθ=rx​ sin⁡θ=yr\sin\theta=\frac{y}{r}sinθ=ry​

单位圆只是取 r=1r=1r=1，所以坐标不用再除以半径。

例题：从单位圆点读三角函数

已知角 θ\thetaθ 的终边与单位圆交于

P=(35,45)P=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)P=(53​,54​)

求 sin⁡θ\sin\thetasinθ、cos⁡θ\cos\thetacosθ 和 tan⁡θ\tan\thetatanθ。

先确认点在单位圆上：(35)2+(45)2=925+1625=1\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1(53​)2+(54​)2=259​+2516​=1，所以它可以作为某个角的终边点。

根据单位圆定义，余弦是横坐标，正弦是纵坐标，因此 cos⁡θ=35\cos\theta=\frac{3}{5}cosθ=53​，sin⁡θ=45\sin\theta=\frac{4}{5}sinθ=54​。

正切是正弦除以余弦，所以 tan⁡θ=4535=43\tan\theta=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}tanθ=53​54​​=34​。

任意角都有终边点

直角三角形中的三角比要求角是锐角，因为三角形里没有 120∘120^\circ120∘ 这样的内角加直角后还能保持直角三角形。但在坐标系里，终边可以落到任何象限。

如果角在第二象限，终边点的横坐标为负、纵坐标为正，所以余弦为负、正弦为正。如果角在第三象限，两个坐标都为负，所以正弦和余弦都为负。负角也不麻烦：它只是顺时针旋转，终边仍然会碰到单位圆。

单位圆坐标系中四条不同角度的终边及其终边点，包含正角、超过 90° 的角、第三象限角和负角。

图：任意角都可以在单位圆上找到对应的终边点。

几个轴上角可以直接读出：

角单位圆上的点cos⁡θ\cos\thetacosθsin⁡θ\sin\thetasinθ
000(1,0)(1,0)(1,0)111000
π2\frac{\pi}{2}2π​(0,1)(0,1)(0,1)000111
π\piπ(−1,0)(-1,0)(−1,0)−1-1−1000
3π2\frac{3\pi}{2}23π​(0,−1)(0,-1)(0,−1)000−1-1−1
2π2\pi2π(1,0)(1,0)(1,0)111000

注意 000 和 2π2\pi2π 的终边点相同，所以正弦和余弦值也相同。这里已经能看到周期性的影子：转一整圈后回到原来的点。

实数也可以作为输入

在三角函数里，我们常把输入写成 xxx 或 ttt，而不是只写“角 θ\thetaθ”。原因是弧度把角变成了实数。

在单位圆上，半径是 111，弧长公式 s=rθs=r\thetas=rθ 变成

s=θs=\thetas=θ

所以一个实数 ttt 可以解释为单位圆上的有向弧长，也就是弧度角。t>0t>0t>0 时从 (1,0)(1,0)(1,0) 逆时针走，t<0t<0t<0 时顺时针走；ttt 很大时就绕过一圈又一圈。

实数轴上的长度绕到单位圆上，说明实数 t 可以作为弧度角，且相差 2π 的实数会到达同一个终边。

图：把实数 ttt 看作弧度角时，实数轴上的长度可以绕到单位圆圆周上；相差 2π2\pi2π 的实数对应同一个终边。

这就是“定义域扩展到所有实数”的意思。对任意实数 ttt，都可以从正 xxx 轴出发，在单位圆上走 ttt 个单位弧长，得到一个终边点。这个点的横坐标是 cos⁡t\cos tcost，纵坐标是 sin⁡t\sin tsint。

因此，

sin⁡t 和 cos⁡t 的定义域都是 R\sin t \text{ 和 } \cos t \text{ 的定义域都是 } \mathbb{R}sint 和 cost 的定义域都是 R

它们的值域都被单位圆限制在 [−1,1][-1,1][−1,1]，因为单位圆上的横坐标和纵坐标都不会超过 111 或小于 −1-1−1。

相差整圈的输入会到达同一个点。对任意整数 kkk，

Pt+2πk=PtP_{t+2\pi k}=P_tPt+2πk​=Pt​

所以

cos⁡(t+2πk)=cos⁡t\cos(t+2\pi k)=\cos tcos(t+2πk)=cost sin⁡(t+2πk)=sin⁡t\sin(t+2\pi k)=\sin tsin(t+2πk)=sint

下面的投影实验把圆上的点和两个坐标数值分开显示。拖动角度时，观察 cos⁡t\cos tcost 怎样随着横向投影变化，sin⁡t\sin tsint 怎样随着纵向投影变化。

单位圆把三角函数的输入从锐角扩展到所有实数：实数先被解释成弧度旋转，再由终边点的坐标给出函数值。

正切是坐标的比值

正弦和余弦分别是两个坐标。正切不是第三个坐标，而是这两个坐标的比值：

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}tanθ=cosθsinθ​

如果角 θ\thetaθ 的终边点是 P=(x,y)P=(x,y)P=(x,y)，那么

tan⁡θ=yx\tan\theta=\frac{y}{x}tanθ=xy​

在第一象限的直角三角形里，这个式子也会回到熟悉的边长比：

tan⁡θ=对边邻边\tan\theta=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}tanθ=邻边对边​

因为对边是 yyy，邻边是 xxx。

问题出在分母上。当 cos⁡θ=0\cos\theta=0cosθ=0 时，正切分式的分母是 000，这个值无定义。单位圆上 cos⁡θ=0\cos\theta=0cosθ=0 的位置正好是纵轴上的两个点：(0,1)(0,1)(0,1) 和 (0,−1)(0,-1)(0,−1)。对应的角是

π2+kπ,k∈Z\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}2π​+kπ,k∈Z

所以正切函数的定义域是

{θ∈R∣θ≠π2+kπ, k∈Z}\left\{\theta\in\mathbb{R}\mid \theta\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right\}{θ∈R∣θ=2π​+kπ, k∈Z}

单位圆上 cosθ 为 0 时 tanθ = sinθ/cosθ 的分母为 0，正切无定义；第一象限普通点展示 sinθ 与 cosθ 的比值可求。

图：正切定义来自 sin⁡θ\sin\thetasinθ 与 cos⁡θ\cos\thetacosθ 的比值；当点在 (0,1)(0,1)(0,1) 或 (0,−1)(0,-1)(0,−1) 时，cos⁡θ=0\cos\theta=0cosθ=0，因此正切无定义。

下面的交互专门观察正切。把角拖到接近 π2\frac{\pi}{2}2π​ 或 3π2\frac{3\pi}{2}23π​ 的位置时，注意 cos⁡θ\cos\thetacosθ 如何接近 000，以及正切为什么不能给出有限数值。

例题：判断正切是否有定义

已知 θ=3π2\theta=\frac{3\pi}{2}θ=23π​。求 sin⁡θ\sin\thetasinθ、cos⁡θ\cos\thetacosθ，并判断 tan⁡θ\tan\thetatanθ 是否有定义。

在单位圆上，3π2\frac{3\pi}{2}23π​ 的终边落在负 yyy 轴上，终边点是 (0,−1)(0,-1)(0,−1)。

根据坐标定义，cos⁡θ=0\cos\theta=0cosθ=0，sin⁡θ=−1\sin\theta=-1sinθ=−1。

正切需要计算 tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=−10\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{-1}{0}tanθ=cosθsinθ​=0−1​。分母为 000，所以 tan⁡3π2\tan\frac{3\pi}{2}tan23π​ 无定义。

看到 tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}tanθ=cosθsinθ​ 时，必须先留意 cos⁡θ\cos\thetacosθ 是否为 000。不能把“除以 000”当成很大或很小的数，它在实数范围内没有定义。

把本章的定义放在一起

单位圆给三角函数提供了一本小词典：

单位圆对象三角函数语言
半径为 111 的圆 x2+y2=1x^2+y^2=1x2+y2=1三角函数的坐标舞台
标准位置角 θ\thetaθ 的终边点 P=(x,y)P=(x,y)P=(x,y)输入角对应的几何位置
点 PPP 的横坐标 xxxcos⁡θ\cos\thetacosθ
点 PPP 的纵坐标 yyysin⁡θ\sin\thetasinθ
坐标比 yx\frac{y}{x}xy​tan⁡θ\tan\thetatanθ，前提是 x≠0x\ne0x=0
实数 ttt 对应的有向弧长三角函数可以接受任意实数输入

到这里，正弦和余弦已经不再只属于直角三角形。直角三角形仍然重要，但它只是单位圆第一象限里的一部分。单位圆把同一个关系扩展到四个象限、负角、超过一圈的角，以及所有实数输入。

练习

  1. 已知角 θ\thetaθ 的终边与单位圆交于
P=(−32,12)P=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)P=(−23​​,21​)

求 sin⁡θ\sin\thetasinθ、cos⁡θ\cos\thetacosθ 和 tan⁡θ\tan\thetatanθ，并判断终边所在象限。

由单位圆定义，cos⁡θ=−32\cos\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ=−23​​，sin⁡θ=12\sin\theta=\frac{1}{2}sinθ=21​。正切为 tan⁡θ=12−32=−13=−33\tan\theta=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}tanθ=−23​​21​​=−3​1​=−33​​。横坐标为负、纵坐标为正，所以终边在第二象限。

  1. 判断 tan⁡(−π2)\tan\left(-\frac{\pi}{2}\right)tan(−2π​) 是否有定义。

−π2-\frac{\pi}{2}−2π​ 表示从正 xxx 轴顺时针转到负 yyy 轴，终边点是 (0,−1)(0,-1)(0,−1)。此时 cos⁡(−π2)=0\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0cos(−2π​)=0，所以正切分母为 000，tan⁡(−π2)\tan\left(-\frac{\pi}{2}\right)tan(−2π​) 无定义。

  1. 一个实数输入 ttt 和 t+2πt+2\pit+2π 对应同一个终边点。说明为什么 sin⁡(t+2π)=sin⁡t\sin(t+2\pi)=\sin tsin(t+2π)=sint 且 cos⁡(t+2π)=cos⁡t\cos(t+2\pi)=\cos tcos(t+2π)=cost。

2π2\pi2π 是单位圆上的一整圈。输入从 ttt 变成 t+2πt+2\pit+2π，终边点绕一圈后回到原来的位置。终边点的横坐标不变、纵坐标也不变，因此余弦值和正弦值都不变。

  1. 用一句话解释：单位圆为什么能把正弦和余弦的定义域扩展到所有实数？

因为任意实数都可以看作单位圆上的有向弧长，也就是一个弧度角；沿单位圆走这个长度后会得到唯一的终边点，点的横坐标和纵坐标分别定义为余弦和正弦。

  • 单位圆是什么
  • 坐标就是正弦和余弦
  • 为什么它没有抛弃直角三角形
    • 例题：从单位圆点读三角函数
  • 任意角都有终边点
  • 实数也可以作为输入
  • 正切是坐标的比值
    • 例题：判断正切是否有定义
  • 把本章的定义放在一起
  • 练习

目录

  • 单位圆是什么
  • 坐标就是正弦和余弦
  • 为什么它没有抛弃直角三角形
    • 例题：从单位圆点读三角函数
  • 任意角都有终边点
  • 实数也可以作为输入
  • 正切是坐标的比值
    • 例题：判断正切是否有定义
  • 把本章的定义放在一起
  • 练习