无穷级数 I：收敛概念与正项级数 | 实分析 I | 自在学

无穷级数 I：收敛概念与正项级数

无穷级数的第一个要点很朴素：我们并不是一次加完无穷多项，而是先看前 $N$ 项的和，再问这些有限和有没有极限。

给定数列 $(a_n)$ ，级数写作

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

它的第 $N$ 个部分和是

S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N=\sum_{n=1}^{N}a_n

如果数列 $(S_N)$ 收敛到 $S$ ，就说级数收敛，并把 $S$ 称为级数的和；如果 $(S_N)$ 不收敛，就说级数发散。

级数与部分和数列极限关系示意图：正项依次加入形成部分和，阶梯折线逐步逼近极限候选 S。

本章所有判别法都在回答同一个问题：怎样不直接求出每个 $S_N$ ，也能判断部分和数列是否有极限。正项级数尤其清楚，因为 $a_n \ge 0$ 时， $(S_N)$ 单调递增，收敛问题就变成“它有没有上界”。

把级数转成部分和问题

级数符号容易让人误以为它是一种新的运算。实分析里更稳妥的理解是：级数是一个由部分和定义出来的数列极限。

设

S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n

那么

\sum_{n=1}^{\infty}a_n \text{ 收敛} \quad \Longleftrightarrow \quad (S_N) \text{ 收敛}

这句话把无穷加法翻译成了数列极限。前几章关于数列的语言会继续使用：极限、单调、有界、子列、柯西思想，都能在级数里重新出现。

部分和的差分

部分和之间有一个简单关系：

a_N=S_N-S_{N-1}

如果 $(S_N)$ 收敛，那么相邻两项之差必须趋于 $0$ 。于是得到级数收敛的必要条件：

\sum_{n=1}^{\infty}a_n \text{ 收敛} \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n\to\infty}a_n=0

这是必要条件，不是充分条件。也就是说， $a_n \to 0$ 只是通过了最基本的检查，并不能保证级数收敛。调和级数就是最重要的反例。

例题：先做必要条件

判断级数

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2n+1}

是否可能收敛。

先看通项极限，而不是急着套判别法。这里

\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\frac12

几何级数与调和级数

许多判别法要把陌生级数同熟悉级数比较。本章最常用的两个模型是几何级数和调和级数。

几何级数

几何级数的形式是

\sum_{n=0}^{\infty}ar^n

当 $r \neq 1$ 时，前 $N+1$ 项部分和为

S_N=a+ar+\cdots+ar^N =a\frac{1-r^{N+1}}{1-r}

因此

\sum_{n=0}^{\infty}ar^n =\frac{a}{1-r} \quad (|r|<1)

当 $|r|\ge 1$ 时，级数发散。这里的核心不是公式本身，而是 $r^{N+1}$ 是否趋于 $0$ 。

几何级数通过单位正方形面积反复按 1/2 缩小，并用部分和 1/2、3/4、7/8 逼近 1 说明收敛。

调和级数

调和级数是

\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n

它的通项趋于 $0$ ，但级数发散。一个标准证法是分组：

1+\frac12+\left(\frac13+\frac14\right) +\left(\frac15+\cdots+\frac18\right) +\left(\frac19+\cdots+\frac1{16}\right)+\cdots

从第三组开始，每一组都有 $2^k$ 项，每一项至少是这一组末项，所以每组和不少于 $\frac12$ 。部分和会不断超过

1+\frac12+\frac12+\frac12+\cdots

因此部分和无界，调和级数发散。

调和级数按 1、2、4、8 项分组，每组不少于二分之一，说明部分和无界

不要把“项越来越小”误读成“和会稳定”。无穷多个小量相加，真正要控制的是部分和，而不是单个项看起来有多小。

正项级数的基本逻辑

本章主要讨论正项级数：

a_n\ge 0

这时部分和满足

S_{N+1}=S_N+a_{N+1}\ge S_N

所以 $(S_N)$ 单调递增。由数列的单调有界定理可知：

\sum_{n=1}^{\infty}a_n \text{ 收敛} \quad \Longleftrightarrow \quad (S_N) \text{ 有上界}

如果找得到一个收敛级数从上方压住它，它就收敛；如果找得到一个发散级数从下方托住它，它就发散。比较判别法正是这句话的形式化。

比较判别法

设 $0\le a_n\le b_n$ 。

如果

\sum_{n=1}^{\infty}b_n

收敛，那么

\sum_{n=1}^{\infty}a_n

也收敛。

如果 $0\le b_n\le a_n$ ，并且

\sum_{n=1}^{\infty}b_n

发散，那么

\sum_{n=1}^{\infty}a_n

也发散。

比较判别法上下界逻辑示意图，展示非负序列 b_n、a_n、c_n 满足 0 ≤ b_n ≤ a_n ≤ c_n，上界压住 a_n、下界托住 a_n。

极限比较判别法

直接比较常常要处理不等式。极限比较把“不等式”换成“同阶”：

若 $a_n>0$ 、 $b_n>0$ ，且

\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L

其中 $0<L<\infty$ ，则

\sum a_n \quad \text{与} \quad \sum b_n

同收敛同发散。

这个结论背后的极限逻辑是：当 $n$ 足够大时， $a_n$ 与 $b_n$ 只差一个固定倍数范围。有限多个前项不会改变级数的收敛性，所以尾部同阶就足够。

例题：比较到 $p$ 级数

判断

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n+2}{n^3+n}

的收敛性。

先看主导项。分子像 $3n$ ，分母像 $n^3$ ，所以通项大约像 $\frac3{n^2}$ 。

比值判别法与根值判别法

比较判别法依赖合适的参照级数。遇到阶乘、指数、幂次连乘时，通项之间的比例或 $n$ 次根更自然。

比值判别法

设 $a_n>0$ ，若

L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}

存在，则：

若 $L<1$ ，级数 $\sum a_n$ 收敛。
若 $L>1$ 或 $L=\infty$ ，级数发散。

为什么阈值是 $1$ ？因为当 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ 最终小于某个时，尾部会被几何级数控制；当它最终大于时，通项不可能趋于。

根值判别法

设 $a_n\ge 0$ ，若

L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}

存在，则：

若 $L<1$ ，级数 $\sum a_n$ 收敛。
若 $L>1$ ，级数 $\sum a_n$ 发散。

根值判别法适合形如“整体的 $n$ 次方”的通项，例如 $(\frac{n}{2n+1})^n$ 。它同样是在把尾部压到某个几何级数附近。

比值判别法和根值判别法的阈值 1 信息图，展示极限小于 1 收敛、等于 1 无法判断、大于 1 发散

例题：阶乘与比值

判断

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}

的收敛性。

这类通项同时有阶乘和 $n$ 次幂，优先考虑比值判别法。

计算相邻两项的比：

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!/(n+1)^{n+1}}{n!/n^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n

积分判别法

积分判别法把正项级数看成矩形面积和。设 $f$ 在 $[1,\infty)$ 上正、连续、单调递减，并且 $a_n=f(n)$ 。那么

\sum_{n=1}^{\infty}a_n

与反常积分

\int_1^\infty f(x)\,dx

同收敛同发散。

单调递减是关键条件。它保证每个矩形可以稳定地夹住相邻区间的曲线面积，从而把部分和与积分互相比较。

积分判别法示意图：正的单调下降曲线下方用青色面积表示积分，用琥珀色矩形表示级数矩形和，并标出同收敛同发散。

例题： $p$ 级数

用积分判别法判断

\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}

的收敛性。

对 $p>0$ ，取

f(x)=\frac1{x^p}

怎样选择判别法

选择判别法时，先不要背“题型标签”，而要看通项暴露了什么信息。

通项特征	优先尝试	背后的逻辑
通项极限不为 $0$	必要条件	收敛级数的相邻部分和差必须趋于 $0$
像 $1/n^p$ 或几何级数	比较或极限比较	用已知模型控制部分和
有阶乘、指数连乘	比值判别法	相邻项比例接近几何公比
整体带 $n$ 次方	根值判别法	$n$ 次根提取平均增长率
来自正的递减函数 $f ($

正项级数的判断路线可以压缩成一句话：先看必要条件，再找能控制尾部的模型；控制成功就是收敛，证明无界就是发散，极限等于判别法阈值时要换方法。

例题：同一个级数的两种眼光

判断

\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{n\log n}

的收敛性。

通项趋于 $0$ ，必要条件不能排除收敛。

它不像简单的几何级数，也不能直接比较到 $1/n^p$ 得到结论。因为 $\frac1{n\log n}$ 比小，但这不够说明收敛；它又比大或小的关系会随改变，直接比较不顺手。

练习

判断下列级数的收敛性，并说明你选择判别法的理由。

练习：必要条件

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{n+3}

通项极限为

\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n+3}=2

不趋于 $0$ ，所以级数发散。

练习：极限比较

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2+1}{n^4+7}

通项像 $\frac5{n^2}$ 。取 $b_n=\frac1{n^2}$ ，则

练习：比值判别法

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n!}

设 $a_n=\frac{3^n}{n!}$ 。则

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{3^{}}{}

练习：根值判别法

\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+1}{5n}\right)^n

使用根值判别法：

\sqrt[n]{a_n} = \frac{2n+1}{5n} \to \frac25

练习：积分判别法

\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{n(\log n)^2}

取 $f(x)=\frac1{x(\log x)^2}$ 。它在 $[2,\infty)$ 上正、连续、单调递减。积分

小结

本章的核心不是记住一串判别法名称，而是养成一个动作：把级数还原成部分和数列。对正项级数来说，部分和单调递增，收敛就等价于有上界。比较、极限比较、比值、根值、积分判别法，都在用不同方式给尾部建立上界，或者证明部分和必然无界。

下一章遇到含负项的级数时，部分和仍然是中心对象，但“单调递增”这条便利条件会消失。那时我们需要绝对收敛、条件收敛和交错级数判别法来继续控制部分和。

r

<

1

r<1

n

)

f(n)

n + 1

/

(

n

+

1

)

!

3^{n} / n!

=

\frac{3}{n + 1}

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}/(n+1)!}{3^n/n!} = \frac3{n+1}

无穷级数 I：收敛概念与正项级数

把级数转成部分和问题

部分和的差分

例题：先做必要条件

几何级数与调和级数

几何级数

调和级数

正项级数的基本逻辑

比较判别法

极限比较判别法

例题：比较到 ppp 级数

比值判别法与根值判别法

比值判别法

根值判别法

例题：阶乘与比值

积分判别法

例题：ppp 级数

怎样选择判别法

例题：同一个级数的两种眼光

练习

练习：必要条件

练习：极限比较

练习：比值判别法

练习：根值判别法

练习：积分判别法

小结

例题：比较到 $p$ 级数

例题： $p$ 级数