无穷级数 II：绝对收敛、条件收敛与幂级数前奏 | 实分析 I | 自在学

无穷级数 II：绝对收敛、条件收敛与幂级数前奏

上一章把无穷级数还原为部分和数列，并主要处理正项级数。正项级数的好处是“只会往上走”：部分和单调，比较、比值、根值、积分判别法都在判断总量是否有限。

带符号级数多了一层麻烦。正项和负项会抵消，部分和可能来回摆动；有时抵消是真正的收敛机制，有时只是前几项造成的错觉。本章要把这两种情况分开：如果把每一项都取绝对值后仍能收敛，我们称为绝对收敛；如果原级数靠正负抵消收敛，但绝对值级数发散，我们称为条件收敛。

本章的核心问题不是“这个级数有没有符号”，而是“收敛是否依赖符号抵消”。绝对收敛说明总长度有限，条件收敛说明方向安排本身参与了收敛。

交错级数的夹住结构

最常见的带符号级数是交错级数：

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n

其中每个 $b_n\ge 0$ 。如果 $b_n$ 单调递减并且 $b_n\to 0$ ，那么这个级数收敛。这就是交错级数判别法。

判别法背后的图像很朴素：第一次加得太高，第二次减得太低，第三次又往上修正。因为每次修正的幅度越来越小，奇数部分和与偶数部分和从两侧夹住同一个数。

交错级数误差夹住示意图，奇数部分和与偶数部分和从两侧收敛到真和。

设

s_n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}b_k

在 $b_n$ 单调递减且趋于 $0$ 时，偶数部分和上升，奇数部分和下降，并且总有

s_{2n}\le s_{2n+2}\le s_{2n+1}\le s_{2n-1}

这说明两列部分和互相夹住。它们的差是

s_{2n+1}-s_{2n}=b_{2n+1}

右边趋于 $0$ ，所以两侧必须收敛到同一个极限。

误差估计

交错级数判别法还有一个非常实用的附加结论。若 $S$ 是级数和，则截断误差满足

|S-s_n|\le b_{n+1}

这比一般收敛结论强很多。它直接告诉我们：想把误差压到 $\varepsilon$ 以下，只要让下一项 $b_{n+1}<\varepsilon$ 。

交错级数判别法需要两个条件同时出现： $b_n$ 最终单调递减，并且 $b_n\to 0$ 。只看符号交替不够；只看通项趋于零也不够。

例子：交错调和级数

交错调和级数

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}

满足 $b_n=1/n$ 单调递减且趋于 $0$ ，所以收敛。若取前 $100$ 项，则

\left|S-s_{100}\right|\le \frac{1}{101}

这并不需要知道 $S$ 的精确值。交错结构已经给出了误差控制。

绝对收敛与条件收敛

对一般级数 $\sum a_n$ ，先看两个对象：

\sum a_n

以及

\sum |a_n|

如果 $\sum |a_n|$ 收敛，就说 $\sum a_n$ 绝对收敛。如果 $\sum a_n$ 收敛但发散，就说条件收敛。

绝对收敛与条件收敛的对照图，展示取绝对值后是否仍然收敛。

绝对收敛可以理解为“总长度有限”。把每一项想成一次位移，正负号只是在选择方向。如果所有位移长度的总和都有限，那么无论方向如何安排，走出的总位移都不会失控。

条件收敛则不同。它的原级数收敛，但收敛依赖正负项之间的抵消。一旦把方向抹掉，只剩长度，长度总和会发散。

绝对收敛推出收敛

这个结论是本章最重要的证明之一：

\sum |a_n|\ \text{收敛}\quad\Longrightarrow\quad \sum a_n\ \text{收敛}

证明可以用 Cauchy 准则。若 $\sum |a_n|$ 收敛，则对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $N$ ，使得当 $m>n\ge N$ 时，

\sum_{k=n+1}^{m}|a_k|<\varepsilon

于是由三角不等式，

\left|\sum_{k=n+1}^{m}a_k\right|\le \sum_{k=n+1}^{m}|a_k|<\varepsilon

这说明 $\sum a_n$ 的部分和数列是 Cauchy 数列，因此在实数中收敛。

绝对收敛是更强的收敛。它不是“收敛得更快”的口语说法，而是说明绝对值级数本身收敛，从而通过 Cauchy 准则保证原级数收敛。

条件收敛与重排现象

交错调和级数是条件收敛的标准例子。原级数收敛：

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}

但绝对值级数变成调和级数：

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}

后者发散，所以交错调和级数不是绝对收敛，而是条件收敛。

条件收敛的微妙之处在于：正项部分和与负项部分和分别都有无限“库存”。以交错调和级数为例，正项部分

1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots

发散，负项绝对值部分

\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots

也发散。原来的排列方式让它们互相抵消，于是部分和稳定下来；如果改变排列顺序，就可能改变部分和的走向。

条件收敛级数重排后的部分和路径示意图。

本章只给初步认识：绝对收敛的级数对重排稳定，而条件收敛的级数对重排敏感。更完整的 Riemann 重排定理会说明，对一个条件收敛级数，可以通过适当重排让它收敛到预先指定的实数，甚至使它发散。

一个重排的感觉

把交错调和级数写成正项库存和负项库存：

1,\frac{1}{3},\frac{1}{5},\ldots

以及

-\frac{1}{2},-\frac{1}{4},-\frac{1}{6},\ldots

如果目标是让部分和靠近某个数 $L$ ，可以反复做这样的操作：先取若干正项，使部分和超过 $L$ ；再取若干负项，使部分和低于 $L$ ；再取正项越过 $L$ 。因为项的大小趋于 $0$ ，越过目标时的偏差会越来越小。

重排现象不是说“有限次换序会改变和”。有限次换序只改变前面几步，不改变尾部极限。真正敏感的是无限重排：每一个正项、负项最终都出现，但出现顺序被整体改变。

幂级数的收敛半径

幂级数是形如

\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n

的函数项级数。这里 $c$ 是中心， $a_n$ 是系数。对每一个固定的 $x$ ，它都是一个普通数项级数；但当 $x$ 变化时，我们实际上在同时研究一整族级数。

先把 $x$ 固定。若 $x=c$ ，级数只剩第一项 $a_0$ ，必然收敛。若 $x$ 离 $c$ 很远， $(x-c)^n$ 可能让项变大，级数可能发散。收敛半径描述的就是从中心向外可以走多远。

幂级数收敛半径示意图，中心两侧半径内绝对收敛，端点另判。

通常用根值判别法得到半径。若

L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}

则约定

R=\frac{1}{L}

其中 $L=0$ 时 $R=\infty$ ， $L=\infty$ 时 $R=0$ 。当 $|x-c|<R$ 时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散。

端点要重新判断

半径只负责内部与外部。端点 $x=c-R$ 和 $x=c+R$ 不能直接由半径决定，需要代入原幂级数，把它们变回普通数项级数，再分别判别。

幂级数端点分析示意图，左右端点代入后化为普通级数重新判别。

例如

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}

的半径是 $1$ 。当 $|x|<1$ 时绝对收敛，当 $|x|>1$ 时发散。两个端点要单独代入：

x=1:\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}

这是调和级数，发散。

x=-1:\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}

这是交错调和级数，收敛但不绝对收敛。

所以它的收敛区间是

[-1,1)

从逐点收敛到一致收敛的动机

幂级数迫使我们面对一个新问题：级数的和不再只是一个数，而是一个函数。设

S_N(x)=\sum_{n=0}^{N}a_n(x-c)^n

如果对某个固定 $x$ ，数列 $S_N(x)$ 收敛，我们说在这个点上收敛。把所有点合在一起，就得到逐点收敛的想法。

逐点收敛允许每个 $x$ 有自己的等待时间。也就是说，对给定误差 $\varepsilon$ ，不同的点可能需要不同的 $N(x)$ 才进入误差范围。这在数项级数里没有出现，因为那里没有 $x$ 这个变量。

逐点收敛与一致收敛动机示意图，比较每点各自等待与同一个 N 控制整段区间。

一致收敛要求更强：同一个 $N$ 对整个区间都有效。若 $S_N$ 在集合 $E$ 上一致收敛到 $S$ ，意思是对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $N$ ，使得当时，对所有都有

|S_n(x)-S(x)|<\varepsilon

这句话的量词顺序很关键。逐点收敛是每个点可以自己选等待时间；一致收敛是先选一个统一等待时间，然后它管住整个集合。

本章不系统证明一致收敛定理，只说明为什么需要它。后面研究函数列、函数项级数、逐项求导和逐项积分时，问题会变成：极限过程是否能和函数性质和平相处。

判别路线小结

分析一个带符号级数时，可以按下面的顺序走。

先检查通项是否趋于零。若 $a_n$ 不趋于 $0$ ，级数一定发散，不需要继续使用更精细的判别法。

再检查绝对值级数 $\sum |a_n|$ 。若它收敛，原级数绝对收敛，因此一定收敛。

常见误区

不能把“通项趋于零”当成收敛判别法。它只是必要条件。调和级数的通项趋于零，但级数发散；交错调和级数能收敛，是因为它还有单调递减的交错抵消结构。

不能说“条件收敛就是不稳定，所以没有和”。在原来的顺序下，条件收敛级数有确定的和；敏感的是无限重排后的结果。

练习

判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt n}

令 $b_n=1/\sqrt n$ ，它单调递减且趋于 $0$ ，所以原级数由交错级数判别法收敛。但绝对值级数是

_{}^{}

求幂级数的收敛区间。

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{n2^n}

把它写成

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{x-2}{2}\right)^n

比较逐点收敛与一致收敛的量词差别。

逐点收敛允许等待时间依赖点：

\forall x\in E,\ \forall \varepsilon>0,\ \exists N(x,\varepsilon),\ \forall n\ge N,\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon

\sum

n = 1

\infty

\frac{1}{\sqrt{n}}

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt n}