子列、Cauchy 数列与 Bolzano-Weierstrass 定理 | 实分析 I | 自在学

子列、Cauchy 数列与 Bolzano-Weierstrass 定理

前一章把数列收敛写成了 epsilon-N 语言。本章换一个角度看同一件事：有时我们不直接证明整个数列收敛，而是先看它的某些“尾部形状”。子列告诉我们如何从原数列中抽出一条仍保留顺序的轨迹；limsup 和 liminf 记录尾部反复能达到的上边界和下边界；Bolzano-Weierstrass 定理说明有界数列一定藏着收敛子列；Cauchy 准则则把“是否收敛”改写成“尾部项彼此是否足够接近”。

这一章的目标不是背几条定理，而是学会三种判断动作：从数列中构造收敛子列，用尾部上界和下界读出振荡范围，用 Cauchy 条件证明收敛或发散。

子列是什么

给定数列 $(a_n)$ 。如果选出一列严格递增的正整数

n_1<n_2<n_3<\cdots,

那么

a_{n_1},a_{n_2},a_{n_3},\ldots

称为 $(a_n)$ 的一个子列，常写作 $(a_{n_k})$ 。

子列不是随便重排，也不是任意挑一堆项。它必须保留原数列中的先后顺序。可以跳过项，可以跳过很多项，但不能回头。

子列抽取示意图：从原数列中按严格递增下标选出若干项形成子列

子列的核心条件在下标上： $n_k$ 必须严格递增。项值本身不需要单调，也不需要互不相同。例如常数列的任何子列仍是常数列。

子列极限

如果某个子列 $(a_{n_k})$ 收敛到 $L$ ，我们说 $L$ 是原数列的一个子列极限，也常称为聚点或极限点。这里的“极限点”只要求有一条子列靠近它，不要求整个数列都靠近它。

例如

a_n=(-1)^n+\frac{1}{n}

有两个自然子列。偶数项为

a_{2k}=1+\frac{1}{2k}\to 1,

奇数项为

a_{2k-1}=-1+\frac{1}{2k-1}\to -1.

所以这个数列不收敛，但它有两个收敛子列。

振荡数列的偶数子列趋向 1、奇数子列趋向 -1，展示同一数列有不同子列极限

如果整个数列 $(a_n)$ 收敛到 $L$ ，那么它的每一个子列都收敛到同一个 $L$ 。反过来，如果你找到两个子列分别收敛到不同的极限，就已经证明原数列不收敛。

构造子列的常见方法

构造子列时，常见任务是让项值落进越来越小的目标区间。做法通常是：先选 $n_1$ ，再要求 $n_2>n_1$ ，再要求 $n_3>n_2$ ，如此递推。每一步都不能只说“存在一个下标”，还要说这个下标可以选得比前一个更大。

先明确目标。例如要构造趋向 $L$ 的子列，可以设第 $k$ 步的目标为 $|a_{n_k}-L|<1/k$ 。

下面的交互可以用来练习“下标严格递增”这个条件。它看起来小，但很多子列证明的错误正是从这里开始的。

limsup 与 liminf 的尾部视角

有界数列未必收敛，但它的尾部经常有稳定的上边缘和下边缘。limsup 与 liminf 就是用来记录这两个边缘的。

对有界数列 $(a_n)$ ，定义尾部上确界和尾部下确界：

s_N=\sup\{a_n:n\ge N\},

t_N=\inf\{a_n:n\ge N\}.

随着 $N$ 增大，尾部集合变小，所以 $(s_N)$ 单调不增， $(t_N)$ 单调不减。由于原数列有界，两个辅助数列都收敛。于是定义

\limsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{N\to\infty}s_N,

\liminf_{n\to\infty}a_n=\lim_{N\to\infty}t_N.

limsup 和 liminf 的直观图示：有界振荡点列的尾部上确界逐渐下降到上极限，尾部下确界逐渐上升到下极限。

直观地说， $\limsup a_n$ 是“从足够靠后的位置开始，数列还会反复逼近的最高高度”； $\liminf a_n$ 是对应的最低高度。它们不是前若干项的最大值或最小值，而是尾部长期行为的边界。

基础用法

limsup 和 liminf 最常用的判断是：

\liminf_{n\to\infty}a_n\le \limsup_{n\to\infty}a_n.

如果两者相等，并且共同值为 $L$ ，则原数列收敛到 $L$ 。反过来，如果原数列收敛到 $L$ ，那么

\liminf_{n\to\infty}a_n=\limsup_{n\to\infty}a_n=L.

对有界数列来说，证明收敛可以转化为压住尾部上下边界：只要尾部上确界和尾部下确界最终挤到同一个数，原数列就没有空间继续振荡。

例子：振荡不消失

令 $a_n=(-1)^n+1/n$ 。偶数项趋向 $1$ ，奇数项趋向 $-1$ 。尾部上确界会贴近，尾部下确界会贴近，所以

\limsup_{n\to\infty}a_n=1,

\liminf_{n\to\infty}a_n=-1.

上下极限不同，说明振荡没有消失，原数列不收敛。

Bolzano-Weierstrass 定理

Bolzano-Weierstrass 定理是本章的第一个存在性定理。

每个有界实数数列都有一个收敛子列。

这句话很短，但它把“有界”变成了“至少能抽出某种收敛结构”。以后学习紧集时，会反复看到同一种思想：整体不一定收敛，任意序列却能抽出收敛子列。

Bolzano-Weierstrass 定理示意图：在有界区间内通过反复二分保留含无限多项的子区间，并抽取收敛到极限 L 的子列。

区间套式证明思路

设 $(a_n)$ 有界，所以所有项都落在某个闭区间 $[A,B]$ 中。把 $[A,B]$ 二分，至少有一个半区间包含无限多项；保留那个半区间。再把保留下来的半区间二分，仍然至少有一个半区间包含无限多项；继续保留。

这样得到一列闭区间

I_1\supset I_2\supset I_3\supset\cdots,

并且每个 $I_k$ 都包含原数列的无限多项，长度趋向 $0$ 。由区间套定理，这些闭区间交于唯一一点 $L$ 。

接着在第 $k$ 个区间中选一个下标 $n_k$ ，要求

n_k>n_{k-1},\qquad a_{n_k}\in I_k.

因为 $I_k$ 中有无限多项，这个选择总能做到。区间长度趋向 $0$ ，且 $L\in I_k$ ，于是

|a_{n_k}-L|\le |I_k|\to 0.

所以 $(a_{n_k})$ 收敛到 $L$ 。

证明中“每个保留区间含有无限多项”不是装饰语。它保证下一步还能选到更大的下标。如果只知道区间里有一个项，递推抽取可能会卡住。

定理怎么用

Bolzano-Weierstrass 定理常用于从“有界但不清楚是否收敛”的数列中先抽取一个收敛子列，再研究这个子列的极限。它不能直接证明原数列收敛；它只保证至少有一条收敛子列。

例如若 $(a_n)$ 有界，并且所有收敛子列的极限都等于同一个数 $L$ ，那么原数列必须收敛到 $L$ 。证明方法是反证：若原数列不趋向 $L$ ，则存在 $\varepsilon_0>0$ ，有无限多项满足。这些项形成一个有界子列，再由 Bolzano-Weierstrass 定理抽出收敛子列，其极限不可能是，矛盾。

Cauchy 数列

收敛定义要求先知道候选极限 $L$ 。Cauchy 条件不提极限，而是只比较数列项之间的距离。

数列 $(a_n)$ 称为 Cauchy 数列，如果对任意 $\varepsilon>0$ ，存在正整数 $N$ ，使得当 $m,n\ge N$ 时，

|a_m-a_n|<\varepsilon.

这句话的意思是：足够靠后的任意两项都彼此接近。它比“相邻两项接近”强得多。

Cauchy 数列尾部聚拢示意图，前段点列散开，从 N 以后全部落入宽度小于 ε 的窄水平带中。

只证明 $|a_{n+1}-a_n|\to 0$ 不足以证明 Cauchy。调和部分和 $1+\frac12+\cdots+\frac1n$ 的相邻差趋向，但这个数列发散，也不是 Cauchy 数列。

收敛数列一定是 Cauchy

假设 $a_n\to L$ 。给定 $\varepsilon>0$ ，取 $N$ 使得当 $n\ge N$ 时

|a_n-L|<\frac{\varepsilon}{2}.

若 $m,n\ge N$ ，则

|a_m-a_n|\le |a_m-L|+|a_n-L|<\varepsilon.

所以 $(a_n)$ 是 Cauchy 数列。

Cauchy 数列有界

Cauchy 数列一定有界。取 $\varepsilon=1$ ，存在 $N$ ，使得 $m,n\ge N$ 时 $|a_m-a_n|<1$ 。固定，可得所有的项都落在区间

(a_N-1,a_N+1)

中。前面有限多个项也有最大绝对值，所以整个数列有界。

用 Cauchy 条件证明收敛

在实数中，Cauchy 条件不仅是必要条件，也是充分条件。

实数数列收敛，当且仅当它是 Cauchy 数列。

证明“Cauchy 推出收敛”的常用路线是：先由 Cauchy 得到有界，再由 Bolzano-Weierstrass 定理抽出收敛子列，最后用 Cauchy 条件把整个数列拉到这个子列极限附近。

设 $(a_n)$ 是 Cauchy 数列。先证明它有界，因此可以使用 Bolzano-Weierstrass 定理。

由 Bolzano-Weierstrass 定理，存在子列 $(a_{n_k})$ 收敛到某个实数。

下面的交互工具用于观察 Cauchy 尾部条件。它只能检查有限窗口，不替代证明；但它能帮助你看清“任意两项”比“相邻两项”强在哪里。

完备性与 Cauchy 准则

Cauchy 准则之所以在实数中成立，本质原因是实数完备。完备性的意思可以用一句话概括：数列内部已经表现出“应该收敛”的尾部聚拢时，实数轴上确实有那个极限点。

完备的数系中 Cauchy 数列收敛到实数极限，并对比有理数中趋向 √2 的有理逼近存在缺口

在有理数 $\mathbb{Q}$ 中，Cauchy 条件就不够。例如用有理小数逐步逼近 $\sqrt2$ ：

1,\ 1.4,\ 1.41,\ 1.414,\ 1.4142,\ldots

把它看作有理数列，它是 Cauchy 的；任意两项在足够靠后时小数前很多位都相同，所以彼此接近。但它在 $\mathbb{Q}$ 中没有极限，因为极限应当是 $\sqrt2$ ，而 $\sqrt2\notin\mathbb{Q}$ 。

这说明 Cauchy 条件本身描述的是“内部靠拢”。是否真的收敛，还取决于所在空间是否把缺口补齐。实数正是把这些缺口补齐后的数系。

在本课程中，Cauchy 准则、Bolzano-Weierstrass 定理、区间套定理、单调收敛定理都可以看成实数完备性的不同表现。它们长得不一样，但都在处理同一件事：无限逼近过程是否有落点。

证明模板与典型例题

例题：用两个子列证明不收敛

证明 $a_n=(-1)^n+\frac1n$ 不收敛。

取偶数子列，得到 $a_{2k}=1+\frac{1}{2k}$ ，所以。

例题：证明 $1/n$ 是 Cauchy 数列

给定 $\varepsilon>0$ ，取 $N$ 使得

N>\frac{2}{\varepsilon}.

当 $m,n\ge N$ 时，

\left|\frac1m-\frac1n\right|\le \frac1m+\frac1n\le \frac2N<\varepsilon.

所以 $(1/n)$ 是 Cauchy 数列。由 Cauchy 准则，它收敛；事实上它收敛到 $0$ 。

例题：证明 $(-1)^n$ 不是 Cauchy 数列

取 $\varepsilon=1$ 。对任意 $N$ ，都可以取一个偶数 $m\ge N$ 和一个奇数 $n\ge N$ 。于是

|(-1)^m-(-1)^n|=2>1.

因此不存在一个尾部能让任意两项距离都小于 $1$ ，所以 $((-1)^n)$ 不是 Cauchy 数列。

例题：用 limsup 与 liminf 判断收敛

设 $(a_n)$ 有界，且

\limsup_{n\to\infty}a_n=\liminf_{n\to\infty}a_n=L.

证明 $a_n\to L$ 。

记 $s_N=\sup\{a_n:n\ge N\}$ ，。对所有，都有。

本章练习

证明：如果 $a_n\to L$ ，则任意子列 $a_{n_k}\to L$ 。

给定 $\varepsilon>0$ ，由 $a_n\to L$ ，存在 $N$ ，使得 $n\ge N$ 时。因为严格递增，所以存在使得对所有成立。于是时，即子列收敛到。

求 $a_n=\sin(n\pi/2)$ 的所有明显子列极限，并判断原数列是否收敛。

这个数列按 $1,0,-1,0,1,0,-1,0,\ldots$ 循环。取 $n=4k+1$ 得子列恒为 $1$ ，取得子列恒为，取得子列恒为。所以至少有子列极限。由于存在不同子列极限，原数列不收敛。

证明：若 $(a_n)$ 是 Cauchy 数列，且某个子列收敛到 $L$ ，则 $a_n\to L$ 。

给定 $\varepsilon>0$ 。由 Cauchy 条件，存在 $N_1$ ，使得 $m,n\ge N_1$ 时。由子列，存在，使得时。选且。当时，，所以。

判断调和部分和 $s_n=1+\frac12+\cdots+\frac1n$ 是否是 Cauchy 数列。

它不是 Cauchy 数列。取 $\varepsilon=1/2$ 。对任意 $N$ ，令 $n=N$ ， $m=2N$ ，则

s_{2 N} - s_{N} = \frac{1}{N + 1} + \dots + \frac{1}{}

设 $(a_n)$ 有界。解释为什么 Bolzano-Weierstrass 定理不能推出 $(a_n)$ 收敛。

Bolzano-Weierstrass 定理只保证存在一个收敛子列，不保证所有子列有同一极限，更不保证原数列整体靠近某个数。例如 $a_n=(-1)^n$ 有界，并且偶数子列收敛到 $1$ 、奇数子列收敛到 $-1$ ，但原数列不收敛。

小结

本章把数列极限从“直接找极限”扩展为“观察尾部结构”。子列让我们抽取局部稳定行为；limsup 和 liminf 描述尾部振荡的上下边界；Bolzano-Weierstrass 定理保证有界实数数列一定有收敛子列；Cauchy 准则把收敛改写成尾部项之间的互相接近。

后面学习实直线拓扑和紧性时，本章的语言会继续出现。闭有界区间的紧性，在序列层面上正是“每个序列都有收敛子列并且极限还留在集合里”。

1

1

|a_n-L|<\varepsilon

2

N

\geq

N

\cdot

\frac{1}{2 N}

=

\frac{1}{2}

.

s_{2N}-s_N=\frac{1}{N+1}+\cdots+\frac{1}{2N}\ge N\cdot\frac{1}{2N}=\frac12.