数列极限的严格定义

这一章把“越来越接近”改写成可以证明的语言。实分析里的数列极限不是靠图像感觉判断，也不是靠“项变小了”这类口头描述判断，而是靠一个量化句子：

读懂这句话以后，常见的极限证明会变成一种可练习的技能：先听对方给出精度 $\varepsilon$，再选一个足够靠后的门槛 $N$，保证门槛之后的所有项都落进指定误差范围。

数列是在自然数上排队的实数

一个实数数列是一个从自然数集到实数集的函数。通常记为 $(a_n)$，其中 $a_n$ 是第 $n$ 项。

数列的下标 $n$ 只负责排序。它告诉我们“第几项”，不表示数列一定单调，也不表示每一项必须不同。

例如：

给出的是

而

给出的是

这两个数列都很简单，却分别代表两种完全不同的尾部行为：一个越来越贴近 $0$，另一个永远在两个值之间跳动。

收敛的定义

设 $(a_n)$ 是实数数列，$L$ 是实数。如果对每个 $\varepsilon>0$，都存在自然数 $N$，使得只要 $n\ge N$，就有 ，那么称 收敛到 ，记作：

也写作：

这里的 $\varepsilon$ 是别人指定的误差容忍度，$N$ 是我们根据这个误差选择的门槛。$\varepsilon$ 越小，要求越严格，所需的 $N$ 通常越大。

定义的量词顺序

收敛定义里最容易出错的是量词顺序。正确顺序是：

这说明 $N$ 可以依赖 $\varepsilon$，但不能依赖某一个具体的 $n$。一旦 $N$ 选定，门槛之后的所有项都必须同时合格。

例子：用定义证明一除以 n 收敛

证明：

给定任意 $\varepsilon>0$，我们希望找到 $N$，使得 $n\ge N$ 时：

由于

只要保证

即可。这个不等式等价地提示我们需要 $n>\frac{1}{\varepsilon}$。因此取自然数 $N$ 满足

当 $n\ge N$ 时，有

所以

这就完成了证明。

例子：一个有偏移的分式

证明：

先看误差：

给定 $\varepsilon>0$，只要

即可。取自然数 $N$ 满足

当 $n\ge N$ 时，$n+5>n\ge N$，于是

所以该数列收敛到 $3$。

极限唯一性

一个收敛数列不可能同时收敛到两个不同实数。这个结论叫极限唯一性。

定理

如果 $a_n\to A$ 且 $a_n\to B$，那么：

证明

我们反证。假设 $A\ne B$，令

取

因为 $a_n\to A$，存在 $N_1$，使得 $n\ge N_1$ 时：

因为 $a_n\to B$，存在 $N_2$，使得 $n\ge N_2$ 时：

取

当 $n\ge N$ 时，上面两个不等式同时成立。由三角不等式：

这与 $d>0$ 矛盾。因此 $A=B$。

收敛数列一定有界

如果一个数列收敛，那么它的所有项不会无限逃远。更准确地说，收敛数列必有界。

定理

若 $a_n\to L$，则存在常数 $M>0$，使得对所有 $n\in\mathbb{N}$ 都有：

证明

因为 $a_n\to L$，对 $\varepsilon=1$，存在 $N$，使得当 $n\ge N$ 时：

于是对所有 $n\ge N$，由三角不等式：

尾部已经有界。前面有限多项

也有最大绝对值。取

如果 $N=1$，就只取 $M=|L|+1$。这样对所有 $n$ 都有 $|a_n|\le M$。

极限的四则运算

设

那么：

若 $B\ne 0$，并且从某一项以后 $b_n\ne 0$，则：

加法法则的证明

要证明 $a_n+b_n\to A+B$，给定 $\varepsilon>0$，需要控制：

由三角不等式：

因为 $a_n\to A$，存在 $N_1$，使得 $n\ge N_1$ 时：

因为 $b_n\to B$，存在 $N_2$，使得 $n\ge N_2$ 时：

取 $N=\max\{N_1,N_2\}$。当 $n\ge N$ 时：

所以 $a_n+b_n\to A+B$。

乘法法则的证明思路

乘法比加法多一个有界性环节。先分解误差：

于是：

因为 $a_n$ 收敛，所以 $(a_n)$ 有界。存在 $M>0$，使得：

接下来只要分别让

和

即可。若 $B=0$，第二项本来就是 $0$；若 $B\ne 0$，就要求：

这说明乘法法则不是“把极限代进去”这么简单。真正支撑它的是误差拆分、收敛数列有界性，以及取最大门槛。

夹逼定理

夹逼定理处理的是“中间数列没有好算的显式误差，但被两个好控制的数列夹住”的情况。

定理

若存在自然数 $N_0$，使得对所有 $n\ge N_0$ 都有：

并且

则：

证明

给定 $\varepsilon>0$。因为 $x_n\to L$，存在 $N_1$，使得 $n\ge N_1$ 时：

因为 $z_n\to L$，存在 $N_2$，使得 $n\ge N_2$ 时：

取

当 $n\ge N$ 时，有

所以

因此 $y_n\to L$。

例子

证明：

由于

对 $n\ge 1$ 有：

而

由夹逼定理：

发散与不收敛证明

如果不存在任何实数 $L$ 使 $a_n\to L$，就称 $(a_n)$ 发散。发散不只一种形态：可能无界逃向无穷，也可能有界但振荡，也可能在多个子列之间来回切换。

用定义否定收敛

“$a_n$ 不收敛到 $L$”是收敛定义的否定。收敛到 $L$ 是：

否定它得到：

这句话的意思是：能找到一个固定误差 $\varepsilon_0$，无论你把门槛推多远，总还能在门槛后找到一项离 $L$ 至少 $\varepsilon_0$。

例子：证明 $(-1)^n$ 不收敛

设

如果它收敛到某个 $L$，那么偶数项子列恒为 $1$，应当也收敛到 $L$；奇数项子列恒为 $-1$，也应当收敛到 $L$。但恒等于 $1$ 的数列极限是 $1$，恒等于 $-1$ 的数列极限是 。由极限唯一性，这要求 ，矛盾。

所以 $(-1)^n$ 发散。

也可以直接用定义做。任意实数 $L$，$1$ 和 $-1$ 不可能都离 $L$ 小于 $1$。事实上，如果同时有

和

那么由三角不等式：

矛盾。因此至少有一类项总是离 $L$ 不小于 $1$。无论 $N$ 多大，门槛后都有奇数项也有偶数项，于是总能找到 $n\ge N$ 使：

所以它不收敛到任何实数 $L$。

例子：证明 $n$ 不收敛

设 $a_n=n$。如果 $(n)$ 收敛，那么由“收敛数列有界”定理，它应当有界。但对任何 $M>0$，取自然数 $n>M$，就有：

因此 $(n)$ 无界，不可能收敛。

这个证明用的是定理反推：收敛必有界，所以无界必不收敛。

反例构造的方法

反例不是随便找一个奇怪数列，而是针对错误命题的漏洞来造。

错误命题：有界数列必收敛

反例：

它满足

但不收敛。

错误命题：若 $|a_n|\to |L|$，则 $a_n\to L$

取 $L=1$，令

则

但 $a_n$ 不收敛到 $1$。

错误命题：若 $a_n b_n\to 0$，则 $a_n\to 0$ 或

令

这两个数列分别在 $0$ 和 $1$ 之间交替，因此都不收敛到 $0$。但对每个 $n$，其中一个因子必为 $0$，所以

于是

却没有 $a_n\to 0$，也没有 $b_n\to 0$。

证明训练

下面的题目都建议先自己写量词，再展开答案。重点不是背最终的 $N$，而是练习从误差反推门槛。

练习一

用定义证明：

练习二

用定义证明：

练习三

证明：

练习四

用定义证明数列

不收敛到任何实数。

本章检查清单

学完本章后，可以用下面几句话检查自己是否真的会用定义。

• 我能把 $a_n\to L$ 写成完整的 $\varepsilon$-$N$ 量词句。
• 我知道 $N$ 可以依赖 $\varepsilon$，但选定后必须同时管住所有 $n\ge N$。

这一章最重要的习惯是：先把“靠近”翻译成绝对值，再把“最终都靠近”翻译成门槛 $N$。只要这一步稳定，后面的定理证明和反例构造都会清楚很多。

取自然数 $N>\frac{7}{\varepsilon}$。当 $n\ge N$ 时：

因此该数列收敛到 $2$。

只要让 $\frac{2}{n}<\varepsilon$ 即可。取自然数 $N>\frac{2}{\varepsilon}$。当 $n\ge N$ 时：

所以 $\frac{4}{2n+1}\to 0$。

取自然数 $N>\frac{1}{\varepsilon}$。当 $n\ge N$ 时：

因此 $\frac{(-1)^n}{n}\to 0$。注意振荡因子 $(-1)^n$ 并不妨碍收敛，因为振荡幅度被 $\frac{1}{n}$ 压到 $0$。

也可以直接否定定义。任意 $L$，$0$ 和 $1$ 不可能都离 $L$ 小于 $\frac12$；否则

矛盾。无论 $N$ 多大，门槛后都有偶数项和奇数项，所以总能找到 $n\ge N$ 使 $|a_n-L|\ge \frac12$。因此它不收敛到 $L$。由于 $L$ 任意，它不收敛。