有界集、单调性与完备性的第一批应用

上一章把实数的完备性压缩成一句话：非空且有上界的实数集有上确界。本章开始把这句话变成工具。

这里的重点不是记住几个定理名称，而是看清一种证明动作：先把想要的对象放进一个有界集合，再用确界、单调性或闭区间套把“应该存在”变成“确实存在”。这一步会贯穿后面的数列、连续函数、紧性和积分。

有界集的细节

设 $S\subset \mathbb{R}$。如果存在 $M\in\mathbb{R}$，使得对所有 $s\in S$ 都有 $s\le M$，就说 $S$ 有上界，$M$ 是 $S$ 的一个上界。下界类似定义。

一个集合有上界，并不表示它有最大值。集合 $(0,1)$ 的每个元素都小于 $1$，所以 $1$ 是上界；但 $1$ 不属于这个集合，因此它不是最大值。

上确界 $\sup S$ 的作用，是把“所有上界中最紧的那个位置”固定下来。它不一定属于 $S$，却必须贴着 $S$。

单调递增且有上界的项列会被上确界卡住：它可以不断靠近上确界，但不能越过任何上界。

上确界的逼近性质

若 $S$ 非空、有上界，并且 $\alpha=\sup S$，那么对每个 $\varepsilon>0$，都存在 $s\in S$，使得

右边的不等式来自 $\alpha$ 是上界。左边的不等式来自 $\alpha$ 是最小上界：如果没有任何 $s\in S$ 落在 $(\alpha-\varepsilon,\alpha]$ 里，那么所有 $s\in S$ 都满足 ，这会让 成为一个更小的上界，矛盾。

容易混淆的四个词

最大值、上界、上确界、集合外的临界点经常被混在一起。可以用下面的例子区分：

这个集合是

它有上界，例如 $1$、$2$、$100$ 都是上界。它的上确界是 $1$。但是它没有最大值，因为每一项 $1-\frac{1}{n}$ 后面都有更大的项 。

单调数列

数列 $(a_n)$ 单调递增，是指对所有 $n$ 都有

单调递减类似：

这里的“递增”和“递减”允许相等。有些教材会把严格不等号称为“严格递增”或“严格递减”。本章默认使用允许相等的版本。

单调性本身不保证收敛。数列 $a_n=n$ 单调递增，但没有上界，所以不会收敛到实数。单调性加有界性才会触发完备性。

递减有下界的情形与递增有上界完全对偶：下确界给出最后的收敛位置。

单调收敛定理

若 $(a_n)$ 单调递增且有上界，则 $(a_n)$ 收敛，并且

若 $(a_n)$ 单调递减且有下界，则 $(a_n)$ 收敛，并且

我们先证明递增情形。令

因为 $(a_n)$ 有上界，所以 $S$ 非空且有上界。由完备性，$S$ 有上确界，记为 $L=\sup S$。

要证明 $a_n\to L$。给定任意 $\varepsilon>0$。由上确界的逼近性质，存在某个 $N$，使得

当 $n\ge N$ 时，单调递增性给出

于是

也就是

所以 $a_n\to L$。

证明里真正使用了什么

这段证明用到三件事：

第一，完备性保证上确界存在。没有这一步，候选极限可能只是图像上的直觉位置。

第二，上确界的逼近性质保证某个数列项已经足够接近 $L$。这不是由单调性自动给出的，而是由“最小上界”给出的。

第三，单调性把“某一项接近 $L$”扩展成“所有后续项都接近 $L$”。这正好匹配数列极限定义中“从某个 $N$ 以后”的要求。

区间套定理

闭区间套是一列闭区间

满足一层套一层：

等价地说，左端点不下降，右端点不上升：

如果还满足区间长度趋于 $0$：

那么所有这些闭区间恰好有一个共同点。

区间套把一个点从外部夹出来：左端点向右推，右端点向左推，长度趋于零时共同点唯一。

为什么共同点存在

因为 $I_{n+1}\subset I_n$，左端点数列 $(a_n)$ 单调递增，并且被 控制住：

由单调收敛定理，$(a_n)$ 收敛。设

同理，右端点数列 $(b_n)$ 单调递减，并且有下界 $a_1$，所以也收敛。设

由于对每个 $n$ 都有 $a_n\le b_n$，取极限得到 $\alpha\le \beta$。又因为 $b_{}$，所以

从而 $\alpha=\beta$。记这个共同值为 $x$。

接下来说明 $x$ 在每个区间里。固定任意 $k$。当 $n\ge k$ 时，由嵌套性有

令 $n\to\infty$，得到

所以 $x\in [a_k,b_k]$。由于 $k$ 任意，$x$ 属于所有区间。

最后说明唯一性。若 $y$ 也属于所有 $I_n$，那么对所有 $n$ 都有

右边趋于 $0$，所以 $|x-y|=0$，即 $x=y$。

条件不能随便删

闭区间这一条件很重要。开区间

一层套一层，长度也趋于 $0$，但没有共同点。唯一可能的候选点是 $0$，而 $0$ 不属于任何一个开区间。

长度趋于 $0$ 也很重要。如果取

那么所有区间当然有共同点，但不是唯一点，而是整个 $[0,1]$。

小数展开与实数逼近

小数展开看起来像小学算术，但它背后也有完备性。每多保留一位小数，就是把目标实数夹进一个长度更短的十进制区间。

设 $x\ge 0$。对每个 $n\in\mathbb{N}$，令

这是把 $x$ 截断到小数点后 $n$ 位得到的数。它满足

于是 $x$ 被夹在区间

里。随着 $n$ 增大，区间长度 $10^{-n}$ 趋于 $0$，截断小数也越来越接近 $x$。

每多确定一位小数，就把目标实数压进一个更短的区间。

从小数列构造实数

反过来，若给定一串十进制位数，也可以用区间套构造它代表的实数。比如给定整数部分和小数位，形成一列截断小数

并考虑区间

这些闭区间嵌套，长度趋于 $0$。由区间套定理，它们有唯一共同点。这个共同点就是那串小数定义的实数。

这说明“小数表示一个实数”并不是单靠书写习惯成立，而是依靠实数的完备性来保证无限位数有一个确定的落点。

有理数不够用的影子

如果只在有理数里工作，许多“应该收敛”的逼近过程会卡住。例如用有理数不断逼近 $\sqrt{2}$，可以得到越来越精确的有理数区间，但最终目标不在有理数集合里。

实数完备性的作用，是把这种无限逼近过程的极限留在系统内部。后面学习 Cauchy 数列时，这个思想会变得更明确：项之间越来越接近，还要保证有一个实数作为它们的共同归宿。

完备性的几种面孔

现在已经看到三种说法互相呼应：

完备性可以用不同工具出现：确界给出边界点，单调收敛控制尾部，区间套用闭区间锁定对象，柯西思想关注项与项之间的距离。

上确界性质

非空有上界的实数集有上确界。这是本课程目前采用的完备性公理。

单调收敛定理

单调有界数列收敛。它由上确界性质推出，证明时直接取所有数列项的上确界或下确界。

区间套定理

嵌套闭区间若长度趋于 $0$，就锁定唯一实数。它可以由单调收敛定理推出，也可以反过来作为完备性的等价表述之一。

柯西思想的预告

如果一个数列的后续项彼此之间越来越接近，我们会称它为 Cauchy 数列。实数中的 Cauchy 数列一定收敛，这也是完备性的另一种表达。完整定义会在后续章节给出。

存在性证明的常见流程

本章的几个证明可以整理成一条流程。以后遇到“证明某个数存在”的题目时，可以先问自己：能不能把目标改写成一个确界、一个单调极限，或一个区间套的共同点？

完备性常以流程的形式进入证明：先搭出有界对象，再取极限候选，最后验证它确实满足目标性质。

例如要证明某个方程在区间中有根，后面会用连续性和区间套不断对半分；要证明某个函数在闭区间上取得最大值，后面会从函数值集合的上确界出发，再证明这个上确界确实被取到。

练习

练习一。设 $S$ 非空、有上界，且 $\alpha=\sup S$。证明：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $s\in S$，使得 $\alpha-\varepsilon<s$。

练习二。证明数列

收敛，并求其极限。

练习三。令

求所有 $I_n$ 的共同点，并说明区间套定理如何适用。

练习四。设 $(a_n)$ 单调递减且有下界。仿照递增情形，用下确界证明它收敛。

小结

本章把完备性第一次真正用起来。上确界的逼近性质让边界点可以被集合元素逼近；单调收敛定理把“有方向、有边界”的无限过程收束到一个实数；区间套定理用闭区间逐层夹出唯一点；小数展开则说明日常的小数逼近也依赖同一套存在性机制。

下一章会把“收敛”本身写成完整的 $\varepsilon$-$N$ 定义。到那时，单调收敛定理不再只是一个定理名称，而会成为证明数列极限存在的第一件可靠工具。

所以 $(a_n)$ 单调递增。又因为 $a_n<1$，它有上界。由单调收敛定理，数列收敛。它的极限是 $\sup\{1-1/n:n\in\mathbb{N}\}=1$。