实数系统与完备性

上一章我们把“会算”和“会证明”分开。现在要补上实分析的地基：我们到底在哪个数系里做极限？

如果只看四则运算，有理数已经很方便。两个有理数相加、相减、相乘、相除，只要不除以 $0$，结果仍是有理数。可是一进入长度、极限和连续变化，有理数就开始露出缝隙。边长为 $1$ 的正方形有对角线，它的长度满足 $x^2=2$；越来越好的有理数近似可以逼近这个长度，却没有一个有理数真正等于它。

根号二逼近：有理数可以不断靠近某个长度，但“靠近”本身还不能保证目标仍在有理数里。

本章的目标不是构造实数，而是学会使用实数最关键的性质：非空、有上界的实数集合一定有上确界。以后数列收敛、连续函数取最大值、中值定理、积分存在性，都会在某个位置回到这条性质。

有理数为什么不够

有理数是形如 $p/q$ 的数，其中 $p,q$ 是整数且 $q\ne 0$。它们在数轴上非常密：任意两个不同有理数之间还有有理数。密不等于完整。一个集合可以到处都有点，却仍然漏掉某些极限位置。

设

这个集合在 $\mathbb{Q}$ 中非空，例如 $1\in A$；它也有上界，例如 $2$ 是上界，因为若有理数 $x\ge 2$，则 $x^2\ge 4$，不可能满足 。

直觉上，$A$ 的最小上界应该是 $\sqrt{2}$。问题是 $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$。所以如果我们只待在有理数里，就会遇到一种尴尬：集合有上界，也似乎应该有“刚好卡住它”的边界，但这个边界不属于当前数系。

有理数的空洞：密密麻麻的有理点仍然可能缺少某个极限位置。

根号二不是有理数

我们回忆一个标准反证法。假设 $\sqrt{2}$ 是有理数，则可写成最简分数

其中 $p,q\in\mathbb{Z}$，$q\ne 0$，且 $p,q$ 没有大于 $1$ 的公因数。两边平方得

所以 $p^2$ 是偶数，从而 $p$ 是偶数。令 $p=2k$，代回去：

于是

所以 $q$ 也是偶数。这与 $p/q$ 是最简分数矛盾。因此 $\sqrt{2}$ 不是有理数。

实数的代数性质和序性质

在本课程里，我们把实数 $\mathbb{R}$ 看成一个有序域，并额外满足完备性。先把“有序域”拆开。

代数性质说的是加法和乘法可以像平常那样运算。对任意实数 $a,b,c$，有交换律、结合律、分配律；有加法单位元 $0$ 和乘法单位元 $1$；每个 $a$ 有加法逆元 $-a$；每个非零 $a$ 有乘法逆元 $a^{-1}$。

序性质说的是实数可以比较大小，而且比较与运算相容：

若 $c>0$，则

若 $c<0$，则不等号方向反过来：

这些规则看起来朴素，却是证明中每一步不等式变形的合法来源。

正数平方为正

一个常用结论是：若 $x\ne 0$，则 $x^2>0$。

如果 $x>0$，由序与乘法相容，$x\cdot x>0\cdot x=0$。如果 $x<0$，则 $-x>0$，所以

而 $(-x)^2=x^2$。因此非零实数的平方总为正。

上界、最大值和上确界

设 $S\subset\mathbb{R}$。如果存在一个实数 $M$，使得对所有 $s\in S$ 都有 $s\le M$，那么 $M$ 是 $$ 的一个上界。若存在 ，使得对所有 都有 ，那么 是 的一个下界。

上界不要求属于集合。对区间 $(0,1)$ 来说，$1$ 是上界，$2$ 也是上界，$100$ 也是上界。上界通常有很多个。

最大值要求更强：$M$ 是 $S$ 的最大值，意思是 $M\in S$，并且对所有 $s\in S$ 都有 $s\le M$。所以最大值必须是集合的成员。

上确界介于二者之间。$\alpha$ 是 $S$ 的上确界，记作 $\sup S=\alpha$，意思是：

并且

等价地，对每个 $\varepsilon>0$，都能找到 $s\in S$，使得

上确界与最大值：最大值必须被集合取到，上确界只要求是所有上界中最小的那个。

四个词不要混用

看两个集合：

它们都有上确界 $1$。但 $S_1$ 没有最大值，因为 $1\notin S_1$；$$ 有最大值，且最大值是 。

同理，$0$ 是两个集合的下确界。但 $S_1$ 和 $S_2$ 都没有最小值，因为 $0$ 不在集合中。

证明一个数是上确界

实际解题中，证明 $\sup S=\alpha$ 最常用的是“两步法”。

例题：证明区间的上确界

证明

第一步，$1$ 是上界。任取 $x\in(0,1)$，按定义有 $x<1$，所以 $x\le 1$。

第二步，$1$ 是最小上界。任取 $\varepsilon>0$。我们要找一个 $x\in(0,1)$，使得

如果 $\varepsilon\ge 1$，取 $x=1/2$ 即可。如果 $0<\varepsilon<1$，取

则 $0<x<1$，且

所以 $1-\varepsilon$ 不是上界。由 $\varepsilon$ 的任意性可知，任何小于 $1$ 的数都不是上界。因此 $\sup(0,1)=1$。

例题：证明一个离散集合的上确界

设

证明 $\sup S=1$。

任取 $s\in S$，则存在 $n\ge 1$，使得

所以 $1$ 是上界。

再任取 $\varepsilon>0$。我们需要找到 $n$，使得

这等价于

只要取足够大的自然数 $n$ 即可。这里用到后面要证明的 Archimedean 性质：存在 $n\in\mathbb{N}$ 使得 $n>1/\varepsilon$。于是 $1/n<\varepsilon$，从而 $1-\varepsilon<1-1/n\in S$。

因此 $\sup S=1$。注意 $1$ 不是 $S$ 的最大值，因为没有自然数 $n$ 使得 $1-1/n=1$。

完备性公理

实数的完备性公理可以表述为：

这句话有两个条件：$S$ 非空，$S$ 有上界。少掉任何一个条件都不能直接谈“由公理保证上确界存在”。例如空集的每个实数都是上界，没有最小的那个；而 $\mathbb{R}$ 本身没有上界。

实数轴完备性：非空且有上界的集合不会停在一个缺失的边界前。

完备性为什么是根基

许多分析定理都在证明某个对象存在。比如一个有界单调数列应该收敛到某个数；一个连续函数在闭区间上应该取得最大值；一个被上下和夹住的面积应该有确定的积分值。这些“应该存在”的对象，往往不是由公式直接给出，而是作为某个集合的上确界、下确界或极限出现。

有理数里这些说法会失败。集合

在有理数中有上界，但没有有理数上确界。实数把这种缺口补上，使“越来越接近的边界”有地方落脚。

完备性定理地图：上确界性质会在后续章节化身为多种等价或相关工具。

从完备性推出 Archimedean 性质

Archimedean 性质说：对任意实数 $x$，存在自然数 $n$，使得

更一般地，若 $a>0$ 且 $b$ 是实数，则存在 $n\in\mathbb{N}$，使得

直觉上，自然数一步一步往右走，迟早会超过任何给定实数。严格证明可以从完备性出发。

Archimedean 性质：自然数阶梯没有上界，足够多步总能越过给定实数。

证明自然数无上界

假设 $\mathbb{N}$ 在 $\mathbb{R}$ 中有上界。由于 $\mathbb{N}$ 非空，完备性公理保证 $\mathbb{N}$ 有上确界，记为 $\alpha=\sup\mathbb{N}$。

因为 $\alpha-1<\alpha$，而 $\alpha$ 是最小上界，所以 $\alpha-1$ 不是 $\mathbb{N}$ 的上界。因此存在某个 $k\in\mathbb{N}$，使得

于是

但 $k+1\in\mathbb{N}$，这与 $\alpha$ 是 $\mathbb{N}$ 的上界矛盾。因此 $\mathbb{N}$ 无上界。

既然 $\mathbb{N}$ 无上界，对任意实数 $x$，总有 $n\in\mathbb{N}$ 满足 $n>x$。若 $a>0$，把这个结论用于 $b/a$，即可得到某个 满足 ，也就是 。

一个直接推论

对任意 $\varepsilon>0$，存在 $n\in\mathbb{N}$，使得

证明很短：由 Archimedean 性质，存在 $n$ 使得 $n>1/\varepsilon$。因为 $\varepsilon>0$，取倒数得到 $1/n<\varepsilon$。

这条推论会频繁出现。它让“选足够大的 $n$”变成合法证明，而不是口头直觉。

稠密性

稠密性说的是：任意两个不同实数之间，都能找到有理数；也能找到无理数。

先证明有理数稠密。设 $a<b$。我们要找整数 $m$ 和自然数 $n$，使得

由 Archimedean 性质，取 $n$ 足够大，使得

于是区间 $(na,nb)$ 的长度大于 $1$，它里面至少能放进一个整数 $m$。因此

两边除以正数 $n$ 得

所以 $\frac{m}{n}$ 是区间 $(a,b)$ 内的有理数。

稠密性：任意小的实数区间里，都能找到有理数和无理数。

无理数也稠密。既然 $a<b$，由有理数稠密性可在

之间取一个正有理数 $r$。则

而 $r\sqrt{2}$ 是无理数：若它是有理数，除以非零有理数 $r$ 后会推出 $\sqrt{2}$ 是有理数，矛盾。

本章的证明工具箱

到这里，本章已经形成一个小工具箱。

第一，判断上确界要用两步：证明它是上界，再证明任何更小的数都不是上界。

第二，完备性公理只处理非空且有上界的实数集合。使用它之前，要先检查这两个条件。

第三，Archimedean 性质让“足够大的自然数”和“足够小的 $1/n$”进入严格证明。

第四，稠密性让我们可以在任意开区间中插入有理数或无理数。这常用于构造例子、反例和逼近。

小练习

练习一：求下列集合的上确界、下确界、最大值和最小值。如果不存在，说明原因。

练习二：证明

练习三：设 $S\subset\mathbb{R}$ 非空且有上界。解释为什么若 $\alpha=\sup S$，则对任意 $\varepsilon>0$，存在 $s\in S$ 使得 $$。

练习四：证明任意开区间 $(a,b)$ 中有无穷多个有理数。

本章的重点不是背下几个定义，而是开始熟悉“存在性证明”的味道：有些数不是由公式直接递到手上，而是由边界、上确界和逼近过程逼出来的。下一章会把这些工具用于有界集和单调数列，完备性第一次真正变成收敛定理。

所以任何小于 $1$ 的数都不是上界，故 $\sup S=1$。集合没有最大值，因为 $n/(n+1)$ 永远小于 $1$。