函数列与一致收敛 | 实分析 I | 自在学

函数列与一致收敛

函数列把“一个函数”变成“一串函数”。它看起来只是把数列的下标搬到了函数上，但本质上多了一个变量：我们既要让下标 $n$ 趋于无穷，又要照顾自变量 $x$ 在整个定义域里的变化。逐点收敛问的是每个固定位置最终会怎样；一致收敛问的是能否用同一个阶段同时管住所有位置。

本章的主线是：什么时候极限函数还保留原来函数列的好性质，什么时候可以把极限号穿过积分号或导数号。答案通常不在“每一点都收敛”，而在“收敛得足够整齐”。

逐点收敛中固定点处函数列逐步靠近极限值的示意图

逐点收敛是“每个点都有自己的等待时间”，一致收敛是“全体点共享同一个等待时间”。这一个量词顺序的差别，会决定连续性、积分和求导能不能与极限交换。

函数列与逐点收敛

设 $E\subset \mathbb R$ ，每个 $f_n:E\to\mathbb R$ 都是一个函数。这样的序列

(f_1,f_2,\ldots,f_n,\ldots)

称为定义在 $E$ 上的函数列。说 $f_n$ 在 $E$ 上逐点收敛到 $f$ ，意思是对每个固定的 $x\in E$ ，数列收敛到。用量词写就是：

\forall x\in E,\ \forall \varepsilon>0,\ \exists N=N(\varepsilon,x),\ \forall n\ge N,\quad |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon.

注意 $N$ 可以依赖 $x$ 。这正是逐点收敛的宽松之处：靠近端点、靠近尖峰、靠近振荡剧烈的地方，可以等得更久。

先固定一个 $x$ ，把 $f_n(x)$ 当成普通数列来研究。此时 $x$ 只是一个参数，不再移动。

例如在 $[0,1]$ 上令 $f_n(x)=x^n$ 。若 $0\le x<1$ ，则；若，则。因此逐点极限为

f(x)= \begin{cases} 0, & 0\le x<1,\\ 1, & x=1. \end{cases}

每个 $f_n$ 都连续，但逐点极限 $f$ 在 $x=1$ 处不连续。这说明逐点收敛本身太弱，不能保证连续性传到极限。

函数列 x 的 n 次方在闭区间上逐点收敛但非一致收敛的图像

一致收敛的定义

说 $f_n$ 在 $E$ 上一致收敛到 $f$ ，记作 $f_n\rightrightarrows f$ ，是指：

\forall \varepsilon>0,\ \exists N=N(\varepsilon),\ \forall n\ge N,\ \forall x\in E,\quad |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon.

和逐点收敛相比，唯一的变化是 $N$ 不再依赖 $x$ 。也就是说，从某一项开始，整张函数图像都落进极限函数的同一条 $\varepsilon$ -误差带中。

一致收敛中同一个 N 控制所有自变量的统一误差带示意图

如果定义域上可以使用上确界范数，这个定义可以写得很短。令

\|g\|_{\infty,E}=\sup_{x\in E}|g(x)|.

则 $f_n$ 在 $E$ 上一致收敛到 $f$ ，等价于

\|f_n-f\|_{\infty,E}\to 0.

这个形式很有用，因为它把函数列问题重新变成一个数列问题：误差的最大高度是否趋于 $0$ 。

逐点误差 $|f_n(x)-f(x)|$ 对每个固定 $x$ 趋于 $0$ ，并不意味着最大误差 $\sup_{x \in E} ∣ f_{n} (x$ 趋于。许多反例都把误差藏在一个随移动的位置上。

以 $f_n(x)=x^n$ 为例，在 $[0,1]$ 上它不一致收敛到上面的 $f$ 。因为对 $0 \leq$ ，误差是，而

\sup_{0\le x<1}x^n=1.

虽然每个固定 $x<1$ 处的误差都会降到 $0$ ，但在靠近 $1$ 的地方总能找到误差接近 $1$ 的点。这个“坏点”不断向 $1$ 移动，所以单点检查看不见它。

一致收敛的 Cauchy 准则

数列的 Cauchy 准则说：在完备的实数中，收敛等价于尾部项彼此靠近。函数列也有完全对应的版本。函数列 $f_n:E\to\mathbb R$ 在 $E$ 上一致收敛，当且仅当它在 $E$ 上一致 Cauchy：

\forall \varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall m,n\ge N,\ \forall x\in E,\quad |f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon.

它的价值在于：判断一致收敛时，有时我们还不知道极限函数 $f$ 是什么。Cauchy 准则只比较尾部函数之间的距离，避开了先猜极限的步骤。

一致柯西准则中尾部函数列彼此靠近的示意图

证明思路和数列情形相似，但要注意“逐点”和“一致”的衔接。

如果 $f_n$ 一致收敛到 $f$ ，取 $N$ 使得 $n\ge N$ 时对所有都有。

一致 Cauchy 准则把“存在极限函数”隐藏在完备性里。它常用于函数项级数：只要部分和函数列的尾部一致小，就能得到一致收敛。

一致极限保持连续

一致收敛最经典的用途，是保护连续性。设 $E\subset\mathbb R$ ， $a\in E$ 。如果每个 $f_n$ 都在 $a$ 处连续，并且 $f_n$ 在上一致收敛到，那么在处连续。若每个在上连续，则在上连续。

证明的核心是一条三段估计：

|f(x)-f(a)|\le |f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(a)|+|f_N(a)-f(a)|.

其中第一段和第三段由一致收敛控制，中间一段由某一个固定函数 $f_N$ 的连续性控制。三个误差各取 $\varepsilon/3$ ，就得到 $f$ 的连续性。

连续函数列一致收敛时极限函数保持连续的证明示意图

给定 $\varepsilon>0$ 。由一致收敛，选取 $N$ ，使得对所有 $y\in E$ ，都有 $∣ f_{N} (y) - f (y) ∣ < ε / 3$ 。

这个证明也解释了为什么 $x^n$ 的例子不可能是一致收敛：若它在 $[0,1]$ 上一致收敛，而每个 $x^n$ 都连续，那么极限函数也必须连续；但逐点极限在 $1$ 处跳跃。

不能把“每个 $f_n$ 连续且 $f_n$ 逐点收敛”误读成“极限函数连续”。连续性保持需要一致收敛，或者需要其他能替代一致控制的条件。

极限与积分交换

积分对误差很友好：只要整个区间上的函数误差一致小，积分误差就被区间长度放大一个固定倍数。设 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，且 $f_n$ 一致收敛到 $f$ 。若也可积，则

\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx.

在常见课程设定中，如果每个 $f_n$ 连续并且一致收敛到 $f$ ，上一节已经保证 $f$ 连续，因此 $f$ 可积。

证明只用一个估计：

\left|\int_a^b f_n(x)\,dx-\int_a^b f(x)\,dx\right| \le \int_a^b |f_n(x)-f(x)|\,dx \le (b-a)\|f_n-f\|_{\infty,[a,b]}.

当右端趋于 $0$ ，积分也随之收敛。

积分交换比求导交换宽容得多。积分会平均误差，求导会放大局部变化。因此一致收敛足以交换极限与 Riemann 积分，但不一定足以交换极限与导数。

一个反例能说明逐点收敛仍然不够。令

f_n(x)=n x^{n-1},\quad 0\le x\le 1.

对每个 $0\le x<1$ ，有 $f_n(x)\to 0$ ，而在 $x=1$ 处发散，所以它甚至不逐点收敛到一个有限函数。若改造为在端点附近越来越高、越来越窄的尖峰，也可以让函数几乎处处逐点趋于，但积分始终保持不小。这类例子提醒我们：积分看的是面积，逐点看的是固定位置，两者不自动一致。

极限与积分及导数交换条件的路线图示意图

极限与导数交换条件

求导最容易出错。即使 $f_n$ 一致收敛到 $f$ ，也不能保证

f_n'(x)\to f'(x).

例如

f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{\sqrt n}

在任意有界区间上一致收敛到 $0$ ，但

f_n'(x)=\sqrt n\cos(nx)

并不收敛到 $0$ ，甚至通常没有逐点收敛。

正确的常用定理把控制放在导数列上。设 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上可导，存在一点 $x_0\in[a,b]$ 使得数列收敛，并且在上一致收敛到某个函数。那么在上一致收敛到某个函数，且

f'(x)=g(x)

也就是说，

\left(\lim_{n\to\infty} f_n\right)'=\lim_{n\to\infty} f_n'.

为什么条件长成这样？因为微积分基本定理给出

f_n(x)=f_n(x_0)+\int_{x_0}^{x} f_n'(t)\,dt.

如果 $f_n(x_0)$ 有极限，且 $f_n'$ 一致收敛，就可以把极限穿过右侧积分，得到

f(x)=L+\int_{x_0}^{x} g(t)\,dt.

于是 $f$ 可导，导数正是 $g$ 。求导交换不是直接靠 $f_n$ 一致收敛，而是靠“在一个点钉住函数值”加上“导数列一致收敛”。

判断流程

面对一个函数列，建议按下面的顺序分析。

先求逐点极限。固定 $x$ ，把 $f_n(x)$ 当数列处理，必要时把端点、零点、间断点、参数边界单独拿出来。

再估计统一误差。计算或估计，判断它是否趋于。如果坏点随移动，优先怀疑非一致收敛。

例题：一个移动坏点

设

f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2x^2},\quad x\in[0,1].

判断 $f_n$ 是否逐点收敛、一致收敛，并计算积分极限。

固定 $x=0$ ，有 $f_n(0)=0$ 。固定 $x>0$ ，分子是，分母主项是，所以

练习

设 $f_n(x)=x/(1+nx)$ ， $x\in[0,1]$ 。求逐点极限，并判断是否一致收敛。

对 $x=0$ ， $f_n(0)=0$ 。对 $x>0$ ， $x/(1+nx)\to 0$ ，所以逐点极限是。又因为

设 $f_n(x)=\sin(x/n)$ ， $x\in\mathbb R$ 。它是否在 $\mathbb R$ 上一致收敛到 $0$ ？是否在任意有界区间上一致收敛到？

在整个 $\mathbb R$ 上不一致收敛，因为对任意 $n$ ，可以取 $x=n\pi/2$ ，使 $|\sin(x/n)|=1$ 。但在 $[-M,M]$ 上，

设 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f_n\rightrightarrows f$ 。证明可积并且积分可以交换极限。

由一致极限保持连续， $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，因此 Riemann 可积。又由一致收敛，

\left|\int_a^b f_n-\int_a^b f\right| \le (b-a)\|f_n-f\|_{\infty,[a,b]}\to0.

小结

函数列的核心不是“有没有极限”，而是“极限过程对整个定义域是否统一可控”。逐点收敛只保证每个固定位置最终稳定；一致收敛保证整张图像最终稳定。正因为有统一误差控制，连续性可以传到极限，积分可以和极限交换。

求导交换更严格：函数列本身一致收敛仍然不够，通常需要导数列一致收敛，并在一个点控制函数值。把这三件事分清，后面学习函数项级数、幂级数、Fourier 级数时，很多看似神秘的“逐项运算条件”都会变得有章可循。

{

f_{n}

(

x

)

}

\{f_n(x)\}

)

-

f

(

x

)

∣

\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|

x

<

1

0\le x<1

|f_N(y)-f(y)|<\varepsilon/3

f_n(1)=n

\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|

f