函数项级数与幂级数

函数项级数把“数列求和”的问题搬到函数空间里。我们不再只问一个数列 $\sum a_n$ 是否收敛，而是问

$$\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$$

在每个 $x$ 上是否收敛，收敛后的函数能不能保持连续、可积、可导，以及能不能把求和号和极限、积分、求导交换。

这一章的主线很短：先用 Weierstrass M 判别法得到一致收敛，再把它用到幂级数。幂级数在收敛半径内部表现得非常规整；麻烦主要在端点，以及 Taylor 级数是否真的表示原函数。

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函数项级数的收敛

设 $E \subset \mathbb{R}$，每个 $u_n:E \to \mathbb{R}$ 都是函数。函数项级数

$$\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$$

的第 $N$ 个部分和是函数

$$S_N(x)=\sum_{n=1}^{N}u_n(x)$$

如果对固定的 $x \in E$，数项级数 $\sum u_n(x)$ 收敛，就说函数项级数在这个 $x$ 处收敛。若对每个 $x \in E$ 都收敛，就得到一个和函数

$$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$$

这叫逐点收敛。逐点收敛只保证“每个点最后都到达”，不保证所有点以同一种速度到达。

一致收敛更强。若对每个 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使得当 $n\ge N$ 时，对所有 $x\in E$ 都有

$$|S_n(x)-S(x)|<\varepsilon$$

就说 $\sum u_n$ 在 $E$ 上一致收敛。这个 $N$ 只依赖 $\varepsilon$，不能依赖 $x$。

一致收敛的 Cauchy 形式是本章后面证明的常用入口：$\sum u_n$ 在 $E$ 上一致收敛，当且仅当对每个 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使得 $m>n\ge N$ 时，对所有 都有

$$\left|\sum_{k=n+1}^{m}u_k(x)\right|<\varepsilon$$

这个形式把问题变成了“尾巴是否能统一控制”。

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Weierstrass M 判别法

M 判别法给出一个非常实用的思路：不要直接估计每个 $x$ 上的求和过程，而是给每一项找一个与 $x$ 无关的数值上界。

证明只用三角不等式和数项级数的 Cauchy 判别法。给定 $\varepsilon>0$，由于 $\sum M_n$ 收敛，存在 $N$，使得 $m>n\ge N$ 时

$$\sum_{k=n+1}^{m}M_k<\varepsilon$$

于是对所有 $x\in E$，

$$\left|\sum_{k=n+1}^{m}u_k(x)\right| \le \sum_{k=n+1}^{m}|u_k(x)| \le \sum_{k=n+1}^{m}M_k <\varepsilon$$

所以 $\sum u_n$ 满足一致 Cauchy 条件。

怎么找 M_n

找 $M_n$ 时先看 $x$ 的范围。若 $x\in[0,q]$ 且 $0<q<1$，则 ，所以

$$\left|\frac{x^n}{n}\right|\le \frac{q^n}{n}$$

因为 $\sum q^n/n$ 收敛，$\sum x^n/n$ 在 $[0,q]$ 上一致收敛。

如果区间换成 $[0,1]$，同样的估计只给出 $1/n$，而 $\sum 1/n$ 发散。M 判别法此时不能证明一致收敛；它可能只是工具不够，也可能级数确实不一致收敛。不要把“M 判别法失败”误读成“级数不一致收敛”。

例题：用 M 判别法证明一致收敛

证明级数

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$$

在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛。

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幂级数的收敛半径

幂级数是函数项级数中最重要的一类：

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$$

其中 $x_0$ 是展开中心，$a_n$ 是系数。幂级数的收敛集合有一种特别规则的形状：以 $x_0$ 为中心，内部收敛，外部发散，边界点单独分析。

存在 $R\in[0,\infty]$，使得当 $|x-x_0|<R$ 时级数绝对收敛，当 $|x-x_0|>R$ 时级数发散。这个 称为收敛半径。

常用计算公式来自根值或比值：

$$\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$$

若极限

$$L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$$

存在，则

$$R=\frac{1}{L}$$

这里约定 $L=0$ 时 $R=\infty$，$L=\infty$ 时 $R=0$。

端点要单独分析

看一个典型例子：

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$$

由比值法，

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\frac{n}{n+1}\to 1$$

所以 $R=1$。当 $|x|<1$ 时绝对收敛，当 $|x|>1$ 时发散。端点要分别代入：

当 $x=1$ 时，得到调和级数

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$

它发散。当 $x=-1$ 时，得到交错调和级数

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$$

它收敛但不绝对收敛。因此收敛区间是 $[-1,1)$。

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幂级数的一致收敛

幂级数在整个收敛开区间上未必一致收敛，但在任何严格位于内部的闭区间上一致收敛。

设 $0<r<R$。当 $|x-x_0|\le r$ 时，

$$|a_n(x-x_0)^n|\le |a_n|r^n$$

因为 $r<R$，数项级数 $\sum |a_n|r^n$ 收敛。由 M 判别法，幂级数在

$$[x_0-r,x_0+r]$$

上一致收敛。

这句话常被简写成：幂级数在收敛半径内部局部一致收敛。这里“局部”的意思是，任取一个闭区间，只要它离边界还有正距离，就能得到一致收敛。

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逐项积分与逐项求导

一般函数项级数不能随意交换求和与积分、求导。幂级数的好处是：在收敛半径内部，它可以逐项积分，也可以逐项求导，而且积分后、求导后的幂级数收敛半径仍为 $R$。

若

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$$

在 $|x-x_0|<R$ 内成立，则对 $|x-x_0|<R$，

$$f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n a_n(x-x_0)^{n-1}$$

并且从 $x_0$ 到 $x$ 积分有

$$\int_{x_0}^{x}f(t)\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}$$

逐项求导比逐项积分更敏感。对一般函数项级数，常见的充分条件是：某一点处 $\sum u_n(x_*)$ 收敛，且导函数级数 $\sum u_n'$ 在区间上一致收敛。这样才能推出 一致收敛，并且和函数可导，导数等于 。幂级数之所以顺利，是因为导数级数在每个内部闭区间上仍可用 M 判别法控制。

例题：由几何级数得到对数级数

在 $|x|<1$ 时，

$$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$$

逐项积分从 $0$ 到 $x$ 得到

$$\int_0^x \frac{1}{1-t}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^x t^n\,dt$$

所以

$$-\ln(1-x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

也就是

$$\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$$

这个等式先在 $(-1,1)$ 内成立。若要讨论 $x=1$ 或 $x=-1$，不能靠逐项积分公式自动得到，必须回到端点级数本身。

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Taylor 级数与函数表示

若函数 $f$ 在 $x_0$ 附近有任意阶导数，它的 Taylor 级数形式是

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

第 $N$ 阶 Taylor 多项式是

$$T_N(x)=\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

它在展开点附近往往给出很好的近似。但“有 Taylor 级数”不等于“函数等于 Taylor 级数”。真正需要证明的是余项

$$R_N(x)=f(x)-T_N(x)$$

在目标区间上趋于 $0$。

如果对某个 $x$ 有

$$\lim_{N\to\infty}R_N(x)=0$$

则

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

否则 Taylor 级数可能收敛到别的值，也可能只在很小范围内表示 $f$。

常见 Taylor 展开

下面这些展开都以 $0$ 为中心：

$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

对所有 $x\in\mathbb{R}$ 成立。

$$\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

对所有 $x\in\mathbb{R}$ 成立。

$$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

对所有 $x\in\mathbb{R}$ 成立。

$$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$$

在 $|x|<1$ 内成立。端点 $x=1$ 发散，$x=-1$ 也发散，因为此时项不趋于 $0$。

$$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}$$

在 $(-1,1]$ 上成立；左端点 $x=-1$ 发散，右端点 $x=1$ 条件收敛。

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本章方法清单

遇到函数项级数，先按下面的顺序处理：

练习

1. 证明 $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n^2$ 在 $[-1,1]$ 上一致收敛。

2. 求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$ 的收敛半径和收敛区间。

3. 设 $\sum a_n x^n$ 的收敛半径为 $R>0$。说明为什么它在 $[-r,r]$ 上一致收敛，其中 。