Riemann 积分 II：积分性质与微积分基本定理

上一章把 Riemann 积分定义为“所有足够细的分割都给出同一个极限”。这一章继续往前走：一旦积分存在，它就不只是一个数，而是一套可以计算、比较、拼接和反向求导的规则。

本章默认 $f,g$ 是定义在闭区间 $[a,b]$ 上的有界函数。写 $\int_a^b f$ 时，意思是 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积。

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积分的基本性质

Riemann 积分的定义看起来依赖分割、取样点和极限，但积分一旦存在，就表现得像一个线性泛函。最常用的三条性质是线性、单调性和区间可加性。

线性

若 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，$\alpha,\beta \in \mathbb{R}$，则 $\alpha f+\beta g$ 也 Riemann 可积，并且

$$\int_a^b (\alpha f+\beta g)(x)\,dx = \alpha\int_a^b f(x)\,dx+\beta\int_a^b g(x)\,dx$$

证明可以从 Riemann 和直接看。给定同一个带标记分割 $P^\ast$，

$$\sum_{k=1}^n (\alpha f+\beta g)(\xi_k)\Delta x_k = \alpha\sum_{k=1}^n f(\xi_k)\Delta x_k +\beta\sum_{k=1}^n g(\xi_k)\Delta x_k$$

当分割的网长趋于 $0$ 时，右边两项分别收敛到对应积分，所以左边也收敛到线性组合。

如果用 Darboux 上下和证明，需要稍微谨慎，因为上确界与下确界对负数倍数会交换方向。例如 $\alpha <0$ 时，$\sup(\alpha f)=\alpha\inf f$。这不是麻烦，而是提醒我们：线性是积分极限的性质，不是每个上和都逐字线性的性质。

单调性

若 $f(x)\le g(x)$ 对所有 $x\in[a,b]$ 成立，且 $f,g$ 都可积，则

$$\int_a^b f(x)\,dx\le \int_a^b g(x)\,dx$$

证明很短。令 $h=g-f$，则 $h\ge 0$。任意 Riemann 和都满足

$$\sum_{k=1}^n h(\xi_k)\Delta x_k\ge 0$$

取极限得 $\int_a^b h\ge 0$，再由线性得到结论。

单调性立刻给出估计。若 $m\le f(x)\le M$，则

$$m(b-a)\le \int_a^b f(x)\,dx\le M(b-a)$$

这条估计会在积分平均值定理和变上限积分的连续性证明中反复出现。

区间可加性

若 $c\in(a,b)$，且 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $f$ 在 $[a,c]$ 和 上可积，并且

$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx$$

直观上，这是“面积可以切开再相加”。严格证明时，把全区间分割细化，使 $c$ 成为分割点。任何包含 $c$ 的分割，其 Riemann 和自然分成左右两段：

$$\sum_{[a,b]} f(\xi_k)\Delta x_k = \sum_{[a,c]} f(\xi_k)\Delta x_k +\sum_{[c,b]} f(\xi_k)\Delta x_k$$

令网长趋于 $0$ 后得到可加性。若从 Darboux 定义出发，则利用上下和在 $c$ 处分裂：

$$U(f,P)=U(f,P_1)+U(f,P_2), \qquad L(f,P)=L(f,P_1)+L(f,P_2)$$

这里 $P_1$、$P_2$ 是 $P$ 在左右子区间上的限制。

方向约定

为了让区间可加性在任意端点顺序下都成立，我们约定

$$\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx, \qquad \int_a^a f(x)\,dx=0$$

于是只要 $f$ 在包含 $a,b,c$ 的闭区间上可积，就有统一公式

$$\int_a^b f+\int_b^c f=\int_a^c f$$

这条公式在做代换、拆区间和证明微积分基本定理第二部分时很方便。

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积分平均值定理

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $a<b$。积分平均值定理说，存在 $\xi\in[a,b]$，使得

$$\int_a^b f(x)\,dx=f(\xi)(b-a)$$

换句话说，连续函数在区间上的“平均高度”

$$\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$

确实等于函数在某一点的函数值。

注意这里的连续性有两次作用：先保证最大值和最小值能取到，再保证两者之间的值也能取到。若 $f$ 只是可积，平均值仍然是一个数，但未必等于某个点的函数值。

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变上限积分函数

从现在开始，令 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，并定义

$$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt, \qquad x\in[a,b]$$

这里 $t$ 是积分变量，$x$ 是上限。函数 $F$ 记录从固定点 $a$ 到当前位置 $x$ 的累积积分。

连续性

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，则它有界。取 $M>0$ 使得 $|f(t)|\le M$。对任意 $x,y\in [$，由区间可加性和单调性，

$$|F(x)-F(y)| = \left|\int_y^x f(t)\,dt\right| \le \int_{\min\{x,y\}}^{\max\{x,y\}} |f(t)|\,dt \le M|x-y|$$

因此 $F$ 在 $[a,b]$ 上连续，事实上是 Lipschitz 连续。

这条结论很有用：即使 $f$ 只有 Riemann 可积，累积函数 $F$ 也不会跳跃。积分把有界振荡压成了连续变化的累积量。

可导性需要更强条件

若 $f$ 在点 $x_0\in(a,b)$ 连续，则 $F$ 在 $x_0$ 可导，并且

$$F'(x_0)=f(x_0)$$

证明只看差商。对足够小的 $h\ne0$，

$$\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} = \frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\,dt$$

减去 $f(x_0)$，得到

$$\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0) = \frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}\bigl(f(t)-f(x_0)\bigr)\,dt$$

由 $f$ 在 $x_0$ 连续，给定 $\varepsilon>0$，当 $t$ 足够靠近 $x_0$ 时，

$$|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon$$

于是

$$\left| \frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}\bigl(f(t)-f(x_0)\bigr)\,dt \right| \le \varepsilon$$

令 $h\to0$，差商收敛到 $f(x_0)$。

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微积分基本定理

微积分基本定理把两个看似相反的过程接起来：积分生成累积函数，求导又把累积函数还原为被积函数；反过来，若已知一个原函数，定积分就可以通过端点差计算。

第一部分

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，定义

$$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$

则 $F$ 在 $(a,b)$ 上可导，且

$$F'(x)=f(x)$$

这就是上一节可导性结论在每一点成立的版本。它说明连续函数总有一个原函数：这个原函数可以由变上限积分构造出来。

第一部分的要点不在计算，而在存在性。很多函数的原函数未必能用初等函数写出，但只要 $f$ 连续，函数

$$x\mapsto \int_a^x f(t)\,dt$$

就已经是一个合法原函数。

第二部分

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $\Phi$ 是 $f$ 的任一原函数，也就是

$$\Phi'(x)=f(x)$$

则

$$\int_a^b f(x)\,dx=\Phi(b)-\Phi(a)$$

证明有两种常见写法。

也可以用分割和微分中值定理证明。取分割

$$a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$$

对每个小区间 $[x_{k-1},x_k]$，中值定理给出 $\xi_k\in(x_{k-1},x_k)$，使

$$\Phi(x_k)-\Phi(x_{k-1}) = \Phi'(\xi_k)\Delta x_k = f(\xi_k)\Delta x_k$$

把 $k=1,\dots,n$ 相加，左边望远镜相消：

$$\Phi(b)-\Phi(a) = \sum_{k=1}^n f(\xi_k)\Delta x_k$$

当分割网长趋于 $0$ 时，右边 Riemann 和收敛到 $\int_a^b f$。

两部分如何配合

第一部分回答“谁是原函数”：连续函数 $f$ 的一个原函数是

$$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$

第二部分回答“怎样算定积分”：只要找到任意原函数 $\Phi$，就有

$$\int_a^b f=\Phi(b)-\Phi(a)$$

这两句话合起来，才是完整的基本定理。第一部分保证积分和导数互相连接；第二部分把这个连接变成计算工具。

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严格应用示例

例题：用基本定理计算定积分

计算

$$\int_0^2 (3x^2-4x+1)\,dx$$

因此

$$\int_0^2 (3x^2-4x+1)\,dx=2$$

例题：证明一个变上限函数的导数

设

$$G(x)=\int_1^{x^2}\sqrt{1+t^4}\,dt$$

求 $G'(x)$。

这里上限不是 $x$，而是 $x^2$。令

$$H(u)=\int_1^u \sqrt{1+t^4}\,dt$$

由基本定理第一部分，

$$H'(u)=\sqrt{1+u^4}$$

而 $G(x)=H(x^2)$，用链式法则得到

$$G'(x)=H'(x^2)\cdot 2x=2x\sqrt{1+x^8}$$

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反常积分入门

Riemann 积分最初定义在闭区间 $[a,b]$ 上，并要求被积函数有界。反常积分处理两类超出这个框架的对象：积分区间无穷长，或函数在端点附近无界。

无穷区间

若 $f$ 在每个 $[a,R]$ 上 Riemann 可积，定义

$$\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{R\to\infty}\int_a^R f(x)\,dx$$

如果右边极限存在且为有限实数，就说反常积分收敛；否则发散。

例如

$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{R\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^R = 1$$

而

$$\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx = \lim_{R\to\infty}\log R$$

发散。

端点奇性

若 $f$ 在 $(a,b]$ 上有定义，且在每个 $[a+\varepsilon,b]$ 上 Riemann 可积，则定义

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx$$

只要这个极限存在且有限，反常积分就收敛。

例如

$$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_\varepsilon^1 x^{-1/2}\,dx = \lim_{\varepsilon\to0^+}2(1-\sqrt{\varepsilon}) = 2$$

但

$$\int_0^1 \frac{1}{x}\,dx = \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_\varepsilon^1 \frac{1}{x}\,dx = \lim_{\varepsilon\to0^+}(-\log\varepsilon)$$

发散。

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常见误区

把可积和连续混为一谈

连续函数一定 Riemann 可积，但 Riemann 可积函数不一定连续。阶跃函数有跳跃间断，却仍然可积。对变上限积分来说，可积性足以给出连续的 $F$，但要得到 $F'(x)=f(x)$，需要 $f$ 在该点连续。

忽略积分方向

若把 $\int_b^a f$ 当成 $\int_a^b f$，区间可加性和 FTC 的端点公式都会出错。方向改变时积分变号，这是定积分作为“有向累积量”的基本约定。

对反常积分只看被积函数是否趋于零

当 $x\to\infty$ 时，$f(x)\to0$ 只是收敛的必要直觉，不是充分条件。$\frac{1}{x}$ 趋于 $0$，但 发散。反常积分真正比较的是截断积分的极限。

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练习

1. 设 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上可积，且 $f\le g$。证明对任意 $c\ge0$，有

$$\int_a^b cf\le \int_a^b cg$$

若 $c<0$，不等号方向怎样变化？

2. 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $0\le f(x)\le 3$。证明存在 $\xi\in[0,1]$，使

$$\int_0^1 f(x)\,dx=f(\xi)$$

3. 求

$$\frac{d}{dx}\int_0^{\sin x} e^{-t^2}\,dt$$

4. 判断下列反常积分是否收敛：

$$\int_1^\infty \frac{1}{x^{3/2}}\,dx, \qquad \int_0^1 \frac{1}{x^{3/2}}\,dx$$

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本章小结

Riemann 积分的基本性质让定积分可以像代数量一样运算：线性处理加法和数乘，单调性给出比较，区间可加性允许拆分与拼接。

积分平均值定理把连续函数的积分解释为某个真实高度乘以底长。变上限积分函数把定积分变成函数；可积性保证它连续，连续性进一步保证它可导，并且导数回到被积函数。

微积分基本定理的第一部分说明连续函数可以由积分构造原函数，第二部分说明原函数端点差可以计算定积分。反常积分则把“无穷区间”和“端点无界”统一放回极限框架中处理。