最大值、最小值与顶点

前面几节里，顶点已经出现过很多次：它是抛物线改变方向的位置，是对称轴穿过图像的点，也是顶点式里最容易读出的坐标。这一节把顶点再往前推进一步：顶点的纵坐标就是二次函数在完整定义域上的最大值或最小值。

先看一个简单例子：

$$y=(x-3)^2+2$$

平方项 $(x-3)^2$ 不可能小于 $0$，所以整个函数值不可能小于 $2$。当 $x=3$ 时，平方项等于 $0$，函数值正好等于 $2$。因此这个函数的最小值是 $2$，取得最小值的位置是 $x=3$。

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顶点为什么代表最值

二次函数的图像是一条抛物线。抛物线只有两种基本开口方向：向上或向下。

如果抛物线开口向上，它像一个碗，顶点是最低点。函数值从顶点向左右两边都会变大，因此顶点纵坐标是最小值。

如果抛物线开口向下，它像一座拱桥，顶点是最高点。函数值从顶点向左右两边都会变小，因此顶点纵坐标是最大值。

用顶点式表达时，这个判断非常直接：

$$y=a(x-h)^2+k$$

顶点是 $(h,k)$，对称轴是 $x=h$。因为 $(x-h)^2$ 永远大于或等于 $0$，所以 $$ 的符号和 有关。

当 $a>0$ 时：

$$a(x-h)^2 \ge 0$$

于是：

$$y=a(x-h)^2+k \ge k$$

这说明 $k$ 是最小值。

当 $a<0$ 时：

$$a(x-h)^2 \le 0$$

于是：

$$y=a(x-h)^2+k \le k$$

这说明 $k$ 是最大值。

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从顶点式直接求最值

顶点式的优势是把最值藏得很浅。只要能读出 $a$ 和 $k$，就能判断最值类型和最值大小。

例如：

$$f(x)=2(x+1)^2-5$$

这里 $a=2>0$，所以函数有最小值。顶点是 $(-1,-5)$，所以最小值是 $-5$，当 $x=-1$ 时取得。

再看：

$$g(x)=-3(x-4)^2+7$$

这里 $a=-3<0$，所以函数有最大值。顶点是 $(4,7)$，所以最大值是 $7$，当 $x=4$ 时取得。

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从一般式求最值

很多题目不会直接给顶点式，而是给一般式：

$$f(x)=ax^2+bx+c$$

这时有两条常用路。

第一条路是用对称轴公式先找到顶点的横坐标：

$$x=-\frac{b}{2a}$$

再把这个 $x$ 代回原函数，求出顶点纵坐标。

第二条路是配方法，把一般式改写成顶点式。配方法的好处是能让“为什么这里是最值”看得更清楚。

例题：求函数的最值。

$$f(x)=2x^2-8x+5$$

这个过程也可以用公式快速核对。对于 $2x^2-8x+5$，有 $a=2$、$b=-8$，顶点横坐标是：

$$x=-\frac{-8}{2\cdot 2}=2$$

再代入：

$$f(2)=2\cdot 2^2-8\cdot 2+5=-3$$

所以结论与配方法一致。

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定义域限制会改变问题

到目前为止，我们默认 $x$ 可以取所有实数。在这种完整定义域下，顶点一定给出二次函数的最大值或最小值。

但真实问题常常会限制 $x$ 的范围。例如时间不能是负数，长度不能小于 $0$，价格也不可能随便取所有实数。这时，顶点是否能代表最值，要先看它是否落在允许的定义域内。

看这个函数：

$$f(x)=(x-1)^2+1$$

如果 $x$ 可以取所有实数，最小值是 $1$，当 $x=1$ 时取得。

现在限制定义域：

$$2\le x\le 5$$

顶点横坐标 $x=1$ 不在这个区间内，所以不能直接说最小值是 $1$。在区间 $[2,5]$ 上，图像只保留右侧的一段，函数值从 $x=2$ 到 $x=5$ 一直变大。因此最小值出现在左端点 $$，最大值出现在右端点 。

计算端点函数值：

$$f(2)=(2-1)^2+1=2$$ $$f(5)=(5-1)^2+1=17$$

所以在 $2\le x\le 5$ 上，最小值是 $2$，最大值是 $17$。

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端点与顶点的比较方法

在闭区间上求二次函数最值，可以按一个稳定流程做。

假设题目要求在区间 $m\le x\le n$ 上求最值。

例题：求函数

$$f(x)=-x^2+4x+1$$

在 $0\le x\le 5$ 上的最大值和最小值。

先配方：

$$f(x)=-(x^2-4x)+1$$ $$f(x)=-[(x-2)^2-4]+1$$ $$f(x)=-(x-2)^2+5$$

顶点是 $(2,5)$，且 $2$ 在区间 $[0,5]$ 内，所以顶点是候选点。再算端点：

$$f(0)=1$$ $$f(5)=-25+20+1=-4$$

候选函数值有 $5$、$1$、$-4$。因此最大值是 $5$，当 $x=2$ 时取得；最小值是 $-4$，当 $x=5$ 时取得。

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建模中的最值

二次函数的最值常常来自真实问题中的“最省、最多、最高、最大利润”。这些词一般在提醒你：模型可能需要找顶点。

面积最大

一段长 $40$ 米的篱笆靠墙围成矩形，只需要围三边。设垂直墙的宽为 $x$ 米，那么平行墙的一边长是 $40-2x$ 米，面积是：

$$A(x)=x(40-2x)$$

整理得到：

$$A(x)=-2x^2+40x$$

这是开口向下的二次函数，有最大值。顶点横坐标是：

$$x=-\frac{40}{2\cdot (-2)}=10$$

最大面积是：

$$A(10)=10(40-20)=200$$

这里还要注意定义域。因为宽 $x$ 和长 $40-2x$ 都不能为负，所以合理范围是 $0<x<20$。顶点 $x=10$ 在这个范围内，结论才有现实意义。

利润最大

在简单定价模型中，价格太低时单件利润少，价格太高时销量下降。利润随价格变化可能形成开口向下的二次函数。

比如某商品利润模型为：

$$P(p)=-20(p-8)^2+720$$

这里 $p$ 表示价格，$P(p)$ 表示利润。顶点是 $(8,720)$，所以当价格为 $8$ 元时，最大利润是 $720$ 元。

高度最高

抛物运动中，高度随时间变化也常用二次函数近似描述。例如：

$$h(t)=-5(t-2)^2+20$$

因为 $a=-5<0$，图像开口向下，所以顶点表示最高点。小球在 $t=2$ 秒时达到最高，高度是 $20$ 米。

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常见错误

把顶点横坐标当成最值

如果顶点是 $(3,-4)$，最小值或最大值是 $-4$，不是 $3$。$3$ 只表示函数在 $x=3$ 时取得这个最值。

只看开口方向，不写取得位置

完整答案通常包括三件事：有最大值还是最小值，最值是多少，在什么 $x$ 值处取得。例如“最小值为 $-4$，当 $x=3$ 时取得”。

忽略定义域

顶点法最容易在定义域限制题中出错。只要题目出现“在某区间上”“时间从多少到多少”“长度范围为多少”，就要把端点纳入比较。

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小练习

1. 求函数 $f(x)=3(x-2)^2+4$ 的最值。

显示答案

因为 $a=3>0$，抛物线开口向上，所以有最小值。顶点是 $(2,4)$，最小值是 $4$，当 $x=2$ 时取得。

2. 求函数 $g(x)=-2(x+5)^2+6$ 的最值。

显示答案

因为 $a=-2<0$，抛物线开口向下，所以有最大值。顶点是 $(-5,6)$，最大值是 $6$，当 $x=-5$ 时取得。

3. 用配方法求 $f(x)=x^2-6x+11$ 的最值。

显示答案

配方得到 $f(x)=(x-3)^2+2$。因为 $a=1>0$，函数有最小值。最小值是 $2$，当 时取得。

4. 求 $f(x)=x^2-4x+1$ 在 $0\le x\le 5$ 上的最大值和最小值。

显示答案

配方得到 $f(x)=(x-2)^2-3$。顶点横坐标 $2$ 在区间 $[0,5]$ 内，所以计算 $$。端点值为 ，。因此最小值是 ，当 时取得；最大值是 ，当 时取得。

5. 某高度模型为 $h(t)=-4(t-3)^2+36$，其中 $t$ 的单位是秒，$h$ 的单位是米。物体什么时候最高？最高是多少？

显示答案

函数开口向下，所以顶点表示最高点。顶点是 $(3,36)$，因此物体在 $3$ 秒时最高，最高为 $36$ 米。

6. 判断这句话是否一定正确：“二次函数的最小值一定等于顶点纵坐标。”

显示答案

不一定。若函数开口向下，在完整定义域上没有最小值；若题目限制定义域，最小值也可能出现在端点。只有在开口向上且考虑完整定义域时，最小值才等于顶点纵坐标。

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本节收束

二次函数的最值问题，本质上是在问图像最高或最低的位置。顶点式能直接读出顶点，一般式可以通过配方法或对称轴公式找到顶点。完整定义域下，开口向上看最小值，开口向下看最大值；有限区间上，还要把端点一起比较。

记住这个顺序：先判断开口方向，再找到顶点，最后检查定义域。这样处理最值题时，公式不会变成孤立的记忆点，而会回到抛物线图像本身。