最大值、最小值与顶点
前面几节里，顶点已经出现过很多次：它是抛物线改变方向的位置，是对称轴穿过图像的点，也是顶点式里最容易读出的坐标。这一节把顶点再往前推进一步：顶点的纵坐标就是二次函数在完整定义域上的最大值或最小值。
先看一个简单例子：
y=(x−3)2+2
平方项 (x−3)2 不可能小于 0，所以整个函数值不可能小于 2。当 x=3 时，平方项等于 0，函数值正好等于 2。因此这个函数的最小值是 2，取得最小值的位置是 x=3。
顶点为什么代表最值
二次函数的图像是一条抛物线。抛物线只有两种基本开口方向：向上或向下。
如果抛物线开口向上，它像一个碗，顶点是最低点。函数值从顶点向左右两边都会变大，因此顶点纵坐标是最小值。
如果抛物线开口向下，它像一座拱桥，顶点是最高点。函数值从顶点向左右两边都会变小，因此顶点纵坐标是最大值。
判断最大值还是最小值时，先看二次项系数 a 的符号。a>0 时抛物线开口向上，有最小值；a<0 时抛物线开口向下，有最大值。
用顶点式表达时，这个判断非常直接：
y=a(x−h)2+k
顶点是 (h,k)，对称轴是 x=h。因为 (x−h)2 永远大于或等于 0，所以 a(x−h)2 的符号和 a 有关。
当 a>0 时：
a(x−h)2≥0
于是：
y=a(x−h)2+k≥k
这说明 k 是最小值。
当 a<0 时：
a(x−h)2≤0
于是：
y=a(x−h)2+k≤k
这说明 k 是最大值。
从顶点式直接求最值
顶点式的优势是把最值藏得很浅。只要能读出 a 和 k，就能判断最值类型和最值大小。
例如：
f(x)=2(x+1)2−5
这里 a=2>0，所以函数有最小值。顶点是 (−1,−5)，所以最小值是 −5，当 x=−1 时取得。
再看：
g(x)=−3(x−4)2+7
这里 a=−3<0，所以函数有最大值。顶点是 (4,7)，所以最大值是 7，当 x=4 时取得。
“最大值或最小值”说的是函数值，也就是 y 的取值；“在何处取得”说的是对应的 x。顶点 (h,k) 中，h 是取得最值的自变量，k 才是最值本身。
从一般式求最值
很多题目不会直接给顶点式，而是给一般式：
f(x)=ax2+bx+c
这时有两条常用路。
第一条路是用对称轴公式先找到顶点的横坐标：
x=−2ab
再把这个 x 代回原函数，求出顶点纵坐标。
第二条路是配方法，把一般式改写成顶点式。配方法的好处是能让“为什么这里是最值”看得更清楚。
例题：求函数的最值。
f(x)=2x2−8x+5
先看二次项系数。这里 a=2>0，抛物线开口向上，因此函数有最小值。
把二次项和一次项先提出共同系数 2，得到 f(x)=2(x2−4x)+5。
对括号内的 x2−4x 配方。因为 −4 的一半是 −2，平方是 4，所以 x2−4x=(x−2)2−4。
代回原式并整理，得到 f(x)=2[(x−2)2−4]+5=2(x−2)2−3。
现在顶点式已经出现。顶点是 (2,−3)，所以最小值是 −3，当 x=2 时取得。
这个过程也可以用公式快速核对。对于 2x2−8x+5，有 a=2、b=−8，顶点横坐标是：
x=−2⋅2−8=2
再代入：
f(2)=2⋅22−8⋅2+5=−3
所以结论与配方法一致。
定义域限制会改变问题
到目前为止，我们默认 x 可以取所有实数。在这种完整定义域下，顶点一定给出二次函数的最大值或最小值。
但真实问题常常会限制 x 的范围。例如时间不能是负数，长度不能小于 0，价格也不可能随便取所有实数。这时，顶点是否能代表最值，要先看它是否落在允许的定义域内。
看这个函数：
f(x)=(x−1)2+1
如果 x 可以取所有实数，最小值是 1，当 x=1 时取得。
现在限制定义域：
2≤x≤5
顶点横坐标 x=1 不在这个区间内，所以不能直接说最小值是 1。在区间 [2,5] 上，图像只保留右侧的一段，函数值从 x=2 到 x=5 一直变大。因此最小值出现在左端点 x=2，最大值出现在右端点 x=5。
计算端点函数值：
f(2)=(2−1)2+1=2
f(5)=(5−1)2+1=17
所以在 2≤x≤5 上，最小值是 2，最大值是 17。
有定义域限制时，不能只背“顶点是最值”。正确做法是先检查顶点横坐标是否在定义域内，再和端点一起比较函数值。
端点与顶点的比较方法
在闭区间上求二次函数最值，可以按一个稳定流程做。
假设题目要求在区间 m≤x≤n 上求最值。
先求顶点横坐标。顶点式中直接读 x=h；一般式中用 x=−2ab。
判断顶点横坐标是否在区间 [m,n] 内。如果在，就把顶点作为候选点；如果不在，就不要把顶点值当成这个区间上的最值。
一定计算两个端点的函数值 f(m) 和 f(n)。端点是区间问题中最容易漏掉的候选点。
比较所有候选函数值。最大的函数值就是最大值，最小的函数值就是最小值。
例题：求函数
f(x)=−x2+4x+1
在 0≤x≤5 上的最大值和最小值。
先配方：
f(x)=−(x2−4x)+1
f(x)=−[(x−2)2−4]+1
f(x)=−(x−2)2+5
顶点是 (2,5)，且 2 在区间 [0,5] 内，所以顶点是候选点。再算端点：
f(0)=1
f(5)=−25+20+1=−4
候选函数值有 5、1、−4。因此最大值是 5，当 x=2 时取得；最小值是 −4，当 x=5 时取得。
建模中的最值
二次函数的最值常常来自真实问题中的“最省、最多、最高、最大利润”。这些词一般在提醒你：模型可能需要找顶点。
面积最大
一段长 40 米的篱笆靠墙围成矩形，只需要围三边。设垂直墙的宽为 x 米，那么平行墙的一边长是 40−2x 米，面积是：
A(x)=x(40−2x)
整理得到：
A(x)=−2x2+40x
这是开口向下的二次函数，有最大值。顶点横坐标是：
x=−2⋅(−2)40=10
最大面积是：
A(10)=10(40−20)=200
这里还要注意定义域。因为宽 x 和长 40−2x 都不能为负，所以合理范围是 0<x<20。顶点 x=10 在这个范围内，结论才有现实意义。
利润最大
在简单定价模型中，价格太低时单件利润少，价格太高时销量下降。利润随价格变化可能形成开口向下的二次函数。
比如某商品利润模型为：
P(p)=−20(p−8)2+720
这里 p 表示价格，P(p) 表示利润。顶点是 (8,720)，所以当价格为 8 元时，最大利润是 720 元。
高度最高
抛物运动中，高度随时间变化也常用二次函数近似描述。例如：
h(t)=−5(t−2)2+20
因为 a=−5<0，图像开口向下，所以顶点表示最高点。小球在 t=2 秒时达到最高，高度是 20 米。
常见错误
把顶点横坐标当成最值
如果顶点是 (3,−4)，最小值或最大值是 −4，不是 3。3 只表示函数在 x=3 时取得这个最值。
只看开口方向，不写取得位置
完整答案通常包括三件事：有最大值还是最小值，最值是多少，在什么 x 值处取得。例如“最小值为 −4，当 x=3 时取得”。
忽略定义域
顶点法最容易在定义域限制题中出错。只要题目出现“在某区间上”“时间从多少到多少”“长度范围为多少”，就要把端点纳入比较。
小练习
- 求函数 f(x)=3(x−2)2+4 的最值。
因为 a=3>0，抛物线开口向上，所以有最小值。顶点是 (2,4)，最小值是 4，当 x=2 时取得。
- 求函数 g(x)=−2(x+5)2+6 的最值。
因为 a=−2<0，抛物线开口向下，所以有最大值。顶点是 (−5,6)，最大值是 6，当 x=−5 时取得。
- 用配方法求 f(x)=x2−6x+11 的最值。
配方得到 f(x)=(x−3)2+2。因为 a=1>0，函数有最小值。最小值是 2，当 x=3 时取得。
- 求 f(x)=x2−4x+1 在 0≤x≤5 上的最大值和最小值。
配方得到 f(x)=(x−2)2−3。顶点横坐标 2 在区间 [0,5] 内，所以计算 f(2)=−3。端点值为 f(0)=1，f(5)=6。因此最小值是 −3，当 x=2 时取得；最大值是 6，当 x=5 时取得。
- 某高度模型为 h(t)=−4(t−3)2+36，其中 t 的单位是秒，h 的单位是米。物体什么时候最高？最高是多少？
函数开口向下，所以顶点表示最高点。顶点是 (3,36)，因此物体在 3 秒时最高，最高为 36 米。
- 判断这句话是否一定正确：“二次函数的最小值一定等于顶点纵坐标。”
不一定。若函数开口向下，在完整定义域上没有最小值；若题目限制定义域，最小值也可能出现在端点。只有在开口向上且考虑完整定义域时，最小值才等于顶点纵坐标。
本节收束
二次函数的最值问题，本质上是在问图像最高或最低的位置。顶点式能直接读出顶点，一般式可以通过配方法或对称轴公式找到顶点。完整定义域下，开口向上看最小值，开口向下看最大值；有限区间上，还要把端点一起比较。
记住这个顺序：先判断开口方向，再找到顶点，最后检查定义域。这样处理最值题时，公式不会变成孤立的记忆点，而会回到抛物线图像本身。