用二次函数建模

当题目不再直接给出函数，而是给出“围栏有多长”“价格怎样变化”“球什么时候落地”这类情境时，我们要做的第一件事不是急着套公式，而是把问题翻译成变量之间的关系。

二次函数建模的核心很朴素：先选一个可以改变的量，把另一个我们关心的量写成它的函数，再用顶点、零点和定义域解释结果。模型不是现实本身，它是为了回答一个具体问题而做的简化。

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建模到底在做什么

建模就是把现实问题改写成数学问题。对本章来说，我们常常希望把情境整理成一个二次函数：

$$y = ax^2 + bx + c$$

这里的 $x$ 是自变量，表示我们主动选择或观察的量；$y$ 是因变量，表示随着 $x$ 改变而改变、并且是题目真正关心的量。

例如，“围栏怎样围面积最大”中，常把一条边长设为 $x$，面积设为 $A$；“商品定价怎样利润最大”中，常把价格设为 $p$，利润设为 $P$；“球抛出后多高”中，常把时间设为 $t$，高度设为 $h$。

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先把问题翻译成变量

一个简单二次模型通常按四步建立。

变量定义要足够具体。写“设 $x$ 为长度”还不够，最好写成“设 $x$ 为长方形垂直于墙的一边，单位是米”。这样后面的式子和定义域才不容易乱。

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合理定义域不是装饰

二次函数图像可以向左右无限延伸，但真实模型常常不能。时间不能小于 $0$，长度不能为负，销量不能为负，价格也不能随便取到让题目失去意义的范围。

例如高度模型

$$h(t) = -5t^2 + 20t + 1.5$$

在代数上，$t$ 可以取任何实数；在抛球问题中，$t$ 表示从抛出开始经过的秒数，所以至少要有 $t \geq 0$。当球落地后，这个高度模型也不再描述空中的运动。因此，我们真正解释的是从抛出到落地之间的那段图像。

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例题一：围栏面积怎样最大

一面墙可以作为长方形的一边，现有 $40$ 米围栏，只围另外三边。怎样围面积最大？

我们设垂直于墙的边长为 $x$ 米，那么两条这样的边共用去 $2x$ 米，平行于墙的那条边长为 $40 - 2x$ 米。面积为

$$A(x) = x(40 - 2x)$$

展开得到

$$A(x) = -2x^2 + 40x$$

因为长度必须为正，并且 $40 - 2x$ 也必须为正，所以合理定义域是

$$0 < x < 20$$

这是开口向下的二次函数，顶点给出最大面积。对称轴为

$$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-40}{2(-2)} = 10$$

代回面积函数：

$$A(10) = -2 \cdot 10^2 + 40 \cdot 10 = 200$$

所以垂直于墙的两边各为 $10$ 米，平行于墙的一边为 $20$ 米，最大面积是 $200$ 平方米。

这个例题里，顶点的横坐标 $10$ 不是抽象数字，而是可行方案中的最佳边长；顶点的纵坐标 $200$ 是最大面积。

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例题二：价格和利润

某活动门票原价 $30$ 元时，预计能卖出 $200$ 张。每涨价 $1$ 元，预计少卖 $5$ 张。忽略其他成本，票价定为多少时收入最大？

设票价为 $p$ 元。相比 $30$ 元，涨价了 $p - 30$ 元，所以少卖

$$5(p - 30)$$

张。销量为

$$q(p) = 200 - 5(p - 30) = 350 - 5p$$

收入等于价格乘销量：

$$R(p) = p(350 - 5p) = -5p^2 + 350p$$

销量不能为负，价格也不能为负，所以这个模型的合理定义域可以写成

$$0 \leq p \leq 70$$

收入函数开口向下，顶点给出最大收入。顶点横坐标是

$$p = \frac{-350}{2(-5)} = 35$$

代回：

$$R(35) = -5 \cdot 35^2 + 350 \cdot 35 = 6125$$

所以在这个简化模型中，票价为 $35$ 元时收入最大，最大收入为 $6125$ 元。

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例题三：抛出物什么时候最高，什么时候落地

一个球从离地 $1.5$ 米处向上抛出，高度近似满足

$$h(t) = -5t^2 + 20t + 1.5$$

其中 $t$ 表示抛出后的秒数，$h(t)$ 表示离地高度，单位是米。

最高点由顶点给出。这里 $a=-5$，$b=20$，所以

$$t = \frac{-20}{2(-5)} = 2$$

代回高度：

$$h(2) = -5 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 + 1.5 = 21.5$$

因此，球在抛出后 $2$ 秒达到最高点，最高约 $21.5$ 米。

落地时高度为 $0$，所以要解

$$-5t^2 + 20t + 1.5 = 0$$

用求根公式可得

$$t = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4(-5)(1.5)}}{2(-5)}$$

两个解中，一个为负数，不符合 $t \geq 0$；另一个约为 $4.07$。所以球大约在抛出后 $4.07$ 秒落地。

在这个模型里，顶点解释“最高”，正零点解释“落地”。负零点虽然是方程的解，但不在情境的合理时间范围内。

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模型结果要翻译回情境

二次函数建模中，计算只是中间步骤。一个完整答案至少要解释三件事。

第一，顶点是什么意思。开口向下时，顶点常表示最大面积、最大收入、最高高度；开口向上时，顶点常表示最小成本、最短距离或最低点。

第二，零点是什么意思。零点常表示面积为 $0$ 的边界、利润为 $0$ 的盈亏平衡点、高度为 $0$ 的落地时刻，或者某个量刚好消失的时刻。

第三，定义域是否允许这个答案。数学上算出的点只有落在合理定义域里，才是情境中的可行解释。

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常见错误

把自变量和因变量写反

如果题目问“面积怎样随边长变化”，边长通常是自变量，面积是因变量。把面积设成自变量也许能做代数变形，但会让题意变得别扭，后面解释顶点也不自然。

忘记限制定义域

围栏题中 $x=30$ 代入函数也能得到一个数，但此时 $40-2x$ 是负数，不可能是边长。模型中每个变量都来自现实对象，所以要守住现实限制。

把零点都当成现实答案

抛物运动题中，高度方程可能有一个负时间解。它在代数上存在，但“抛出前的某个时刻落地”通常不是本题要解释的结果。

只回答数值，不解释意义

建模题的答案要回到问题本身。顶点、零点、最大值、最小值都要翻译成带单位、带对象的结论。

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练习

练习 1

一根 $24$ 米长的绳子围成一个长方形。设一边长为 $x$ 米。

1. 写出另一边长。
2. 写出面积函数。
3. 说明合理定义域。
4. 求最大面积。

练习 2

某商品售价为 $20$ 元时，每天能卖出 $100$ 件。每涨价 $1$ 元，销量减少 $4$ 件。设售价为 $p$ 元。

1. 写出销量 $q(p)$。
2. 写出收入 $R(p)$。
3. 求使收入最大的售价，并解释结果。

练习 3

某物体高度近似满足

$$h(t)=-4t^2+16t+3$$

其中 $t$ 是秒，$h(t)$ 是米。求最高点出现的时间和最高高度，并说明为什么负时间不属于本题的合理定义域。

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本章小结

用二次函数建模时，先定义变量，再列出关系式，并检查定义域。顶点帮助我们解释最大值或最小值，零点帮助我们解释某个量为 $0$ 的边界或时刻。

遇到真实问题时，不要只问“公式是什么”。更好的顺序是：变量是什么，函数为什么是二次的，哪些 $x$ 值合理，顶点或零点在情境中说的是什么。