判别式的图像意义

上一节里，零点、方程的实数根和 x 轴交点已经对上了：它们都在回答“哪一个 x 会让函数值变成 0”。这一页再往前一步。很多时候，我们还没必要把根逐个算出来，先想知道的是：这条抛物线会不会碰到 x 轴？会碰几次？

对于标准形式的二次方程

判别式是

它的正、零、负会提前告诉我们实数根的个数，也就告诉我们抛物线与 x 轴的关系。判别式不是额外塞进来的一条口诀；它正是求根公式中根号里的那个量。

先把判别式问的问题说准

把函数写成

要找 x 轴交点，纵坐标必须为 $0$，所以令 $y=0$，就得到二次方程 $ax^2+bx+c=0$。因此，实数根的个数和 x 轴交点的个数永远相同。

“一个实数根”和“重复根”并不矛盾。比如 $(x-2)^2=0$ 只给出 $x=2$ 这一个不同的数，可 $(x-2)$ 在乘积里出现了两次，所以 $2$ 叫重复根。图像上也只有 $(2,0)$ 这一个交点。

为什么根号里偏偏是 $b^2-4ac$

公式法写作

第一次见到这串符号，很容易觉得它像是凭空规定的。我们从原方程出发，按配方的思路走一遍，就能看到它是怎样留下来的。

先把常数项移到右边，再除以 $a$：

左边的一次项系数是 $\frac{b}{a}$。要凑成完全平方，就在两边同时加上它一半的平方：

左边合成平方，右边通分：

关键就在这里。分母 $4a^2$ 始终大于 $0$，不改变正负号；真正决定右边能不能开实数平方根的，是分子 $\Delta$。

• $\Delta\gt0$ 时，右边为正。一个平方等于正数有两种取法，于是会得到两个不同的 x 值。
• $\Delta=0$ 时，右边为 $0$。平方只能在括号内也为 $0$ 时才会是 $0$，两条求根路径合到同一个 x 值。
• $\Delta\lt0$ 时，右边为负。实数的平方不可能为负，因此找不到实数 x。

把这个平方等式开方、再把 x 单独留下，就得到求根公式。公式中的 $\pm$ 也因此有了含义：它记录的是同一个正平方根对应的正、负两条路径。

三种信号怎样落到图像上

$\Delta\gt0$：穿过 x 轴两次

看方程

这里 $a=2$、$b=-7$、$c=3$，所以

$25$ 是正数。即使不继续算，已经能确定有两个不同实根，也有两个 x 轴交点。若题目还要根的数值，再代入公式：

所以

两个零点是 $3$ 和 $\frac12$，对应交点是 $(3,0)$ 与 $\left(\frac12,0\right)$。先判别、后求值，能让你知道公式里的 $\pm$ 这次确实会分出两个不同答案。

$\Delta=0$：两条路径在顶点合并

再看

根号中的 $\sqrt{\Delta}$ 变成 $0$，于是

同一个结论也可以从

看出来。平方等于 $0$ 时只能有 $x=-2$；不过 $(x+2)$ 重复出现，所以它是重复根。函数 $y=3(x+2)^2$ 的顶点是 $(-2,0)$，开口向上，在 x 轴上碰到一下便转回去。相切有一个交点，千万别把它误作没有交点。

$\Delta\lt0$：实数坐标上没有交点

最后看

公式会要求计算 $\sqrt{-40}$，而实数中没有数的平方是负数。因此这个方程没有实数根；用函数语言说，$y=2x^2+4x+7$ 没有实数零点；用图像语言说，抛物线没有 x 轴交点。

配方也能直接看到它的位置：

平方项不小于 $0$，所以函数值不小于 $5$。顶点 $(-1,5)$ 已经在 x 轴上方，整条开口向上的抛物线自然碰不到 x 轴。

顶点高度要和开口方向一起看

“顶点在 x 轴上方还是下方”确实能帮助判断交点，但只记高度会出错，开口方向必须一起看。开口向上时，顶点是最低点；开口向下时，顶点是最高点。

对

顶点横坐标是 $-\frac{b}{2a}$。设顶点纵坐标为 $k$，把这个 x 值代回函数：

也就是

这条式子把顶点和判别式锁在了一起。

当 $a\gt0$ 时，$k\lt0$ 表示最低点在 x 轴下方，图像会穿过两次，因此 $\Delta\gt0$；$k=0$ 时相切，$\Delta=0$；$k\gt0$ 时整条图像在 x 轴上方，$\Delta\lt0$。

当 $a\lt0$ 时，顶点是最高点，结论随方向翻转：最高点在 x 轴上方才会有两个交点，最高点在 x 轴上则相切，最高点在 x 轴下方则没有交点。说到底，必须同时知道“极点在哪里”和“曲线朝哪边开口”。

把同一个想法稍稍推广：水平线放在 $y=0$，就是本页的情形；把它放在 $y=d$，就在问方程 $f(x)=d$ 有几个实数解。交点数依然由这条水平线与抛物线的相对位置决定。

例题：先预报，再决定要不要继续算

判断

在实数范围内有几个根，并说明图像与 x 轴的关系。

小练习：先看类型，再核对数字

做这组题时，每次先读出 $a$、$b$、$c$，计算 $\Delta$，再把符号翻译成实根个数和图像位置；不要只凭开口方向猜答案。

1. 方程 $x^2+6x+9=0$ 有几个不同的实数根？图像和 x 轴是什么关系？

2. 对 $x^2-4x-12=0$，判别式是正数、零还是负数？因此有几个 x 轴交点？

3. 函数 $y=-2(x-1)^2-3$ 的顶点在 x 轴下方。它有实数零点吗？

把这一页带到下一页

判别式把“是否穿过 x 轴”压缩成了 $b^2-4ac$ 的正负；顶点则告诉我们抛物线整体能到达的最高或最低高度。下一页会把视线从 $y=0$ 这条水平线移开，直接研究顶点给出的最大值、最小值，以及定义域被限制时这个结论怎样使用。