零点与 x 轴交点
二次函数的图像是一条抛物线。前面我们已经会从表达式看顶点、对称轴、开口方向，也会把一般式整理成顶点式。现在要把图像和方程接起来：当抛物线遇到 x 轴时，它告诉我们的不只是一个点，还告诉我们一个方程的解。
在坐标系里，x 轴上的点都有一个共同特征：纵坐标是 0。因此，如果二次函数 的图像与 x 轴相交，就说明这些交点对应的函数值满足 。这些让函数值变成 0 的 x 值，叫作函数的零点。
零点是一个 x 值，x 轴交点是一个坐标点。比如零点是 和 ，对应的 x 轴交点是 和 。
零点到底是什么
设二次函数为：
如果某个数 代入函数后得到 0，也就是：
那么 就是这个函数的一个零点。这里的“零”说的是函数值为 0，不是说 本身一定等于 0。
例如：
当 时：
当 时：
所以这个函数的零点是 和 。在图像上，它们对应的点是 和 。
不要把“零点”写成 。零点回答的是“哪个 x 值让 y 等于 0”，所以零点写作 ；只有说“x 轴交点”时，才写作 。
从函数到方程
二次函数和二次方程之间的联系，可以用一句话说明：求二次函数的零点，就是解一个二次方程。
如果：
那么零点满足：
也就是：
这个方程的解，叫作二次方程的根。放到函数图像里看，根就是抛物线与 x 轴交点的横坐标。
先把函数值看成图像上的纵坐标。若题目问零点，就等于在问图像上哪些位置的纵坐标是 0。
再把 换成 0。函数 在 x 轴上的位置满足 。
最后解这个二次方程。解出来的每个 x 值，就是函数的零点，也是对应 x 轴交点的横坐标。
例如求 的零点，就是解：
把左边因式分解：
所以：
函数的零点是 和 ，x 轴交点是 和 。
从图像判断根的个数
二次方程 的实数解个数，可以直接从抛物线和 x 轴的关系看出来。
如果抛物线穿过 x 轴两次，就有两个不同的实数根；如果抛物线刚好碰到 x 轴一次，就有一个实数根，也可以说有一个重复根；如果抛物线没有碰到 x 轴，就没有实数根。
这个判断不需要先算出根的具体数值。只要图像已经画好，就先看它和 x 轴有几个交点。
图像语言和方程语言是一一对应的：两个 x 轴交点对应两个实数根，一个接触点对应一个重复根，没有 x 轴交点对应没有实数根。
下面的交互可以拖动参数，观察同一类抛物线在上移、下移、左右移动或翻转时，零点个数怎样变化。
相切时为什么只算一个零点
有些抛物线不是穿过 x 轴，而是刚好碰到 x 轴后又转回去。比如：
当 时：
除此之外，任何其他 x 值代入后都会得到正数。因此它只有一个零点 。
从方程角度看：
它也只要求 ，所以 。因为同一个因式重复出现，我们说 是重复根。
相切不是“没有交点”。只要图像碰到了 x 轴，就有交点；只是这个交点只有一个，所以对应一个零点。
从图像读近似零点
有时图像给出的交点不一定落在整数刻度上。这时不必强行算出精确值，可以先从图像读出近似零点。
读图时要记住顺序：先找图像与 x 轴的交点，再读这些交点的横坐标。
如果交点大约在 和 附近，就可以说函数的零点约为 和 。对应的方程有两个实数解，近似解也是这两个数。
先在图像上找到抛物线与 x 轴相交的位置。不要看它与 y 轴的交点，因为那对应的是 时的函数值。
再沿着交点向下或向上读 x 轴刻度。读到的是 x 值，不是 y 值。
如果交点在两个刻度之间，就给出合理近似，并用“约”等词说明它不是精确值。
例题：把图像、方程和根连起来
已知二次函数：
求它的零点，并写出对应的 x 轴交点。
零点满足 ，所以先列出方程：
对左边因式分解：
让每个因式分别等于 0：
所以：
函数的零点是 和 。因为 x 轴上的点纵坐标为 0，所以对应的 x 轴交点是 和 。
同一个结果也可以从图像理解：抛物线 与 x 轴相交两次，所以方程 有两个实数根，根就是这两个交点的横坐标。
练习：先判断，再计算
下面的交互练习会给出不同位置的抛物线。先不要急着算式子，先根据图像判断方程有几个实数解。
- 函数 的零点是多少？对应的 x 轴交点是什么？
先解方程：
因式分解得：
所以零点是 和 ，对应的 x 轴交点是 和 。
- 函数 有几个零点？图像与 x 轴是什么关系？
因为平方等于 0 只可能来自括号内为 0，所以：
解得 。函数只有一个零点 ，图像在 处与 x 轴相切。
- 如果一条开口向上的抛物线的顶点在 x 轴上方，它对应的二次方程有几个实数根？
开口向上的抛物线如果顶点已经在 x 轴上方，那么整条抛物线都在 x 轴上方，不会与 x 轴相交。因此对应的二次方程没有实数根。
- 某个二次函数的图像与 x 轴交于 和 。它的零点是什么？对应方程有几个实数根？
零点只取交点的横坐标，所以零点是 和 。图像与 x 轴有两个不同交点，因此对应的二次方程有两个实数根。
小结
零点把二次函数、抛物线和二次方程连在一起。看函数时，零点是让 的 x 值；看图像时，它是 x 轴交点的横坐标；看方程时，它就是二次方程的根。
判断根的个数时，先看抛物线与 x 轴的关系：穿过两次、相切一次、完全不碰，分别对应两个实数根、一个重复根、没有实数根。下一步再学习判别式时，我们会看到同样的判断也可以从 这个代数式里读出来。
