配方法：从一般式到顶点式
上一节我们认识了一般式：
y=ax2+bx+c
它很适合看二次项系数、一次项系数和 y 轴截距，却不太适合一眼看出顶点。配方法要做的事，就是把一般式整理成平方结构，让顶点重新露出来。
本节先从 a=1 的简单情形开始，再处理 a=1 的情形。你会看到，所谓“配”，不是随意凑公式，而是在不改变函数值的前提下，把二次项和一次项合成一个完全平方。
为什么要配成平方
顶点式的优势很直接：
y=a(x−h)2+k
因为平方项 (x−h)2 最小只能到 0，所以顶点是 (h,k)。如果 a>0，顶点是最低点；如果 a<0，顶点是最高点。
一般式里，x2 和 x 分散在两个项中。配方法的目标，是把它们合并成类似 (x−h)2 的结构。这样一来，代数式不仅等价，图像信息也更容易读。
配方法不是为了把式子变得更长，而是为了把“顶点在哪里”这件事变得可见。一般式适合看系数，顶点式适合看图像位置。
一个完全平方展开后会出现固定结构：
(x+p)2=x2+2px+p2
反过来看，如果二次式里已经有 x2+2px，那就只差一个 p2，它就能成为完整的平方。
例如：
x2+8x+16=(x+4)2
这里 8x 的系数是 8，取一半得到 4，再平方得到 16。这就是“补”的那个数。
从一个例子看完整过程
先看函数：
y=x2+6x+5
我们想把 x2+6x 配成完全平方。因为 6 的一半是 3，32=9，所以要补 9。但如果只加 9，式子的值就变了。为了保持等价，必须同时减去 9。
先把二次项和一次项放在一起，常数项暂时跟在后面：
y=x2+6x+5取一次项系数 6 的一半，再平方，得到要补的数：
(26)2=9在式子中同时加 9 和减 9，这样整体值不变：
y=x2+6x+9−9+5把前三项写成完全平方，再合并常数：
y=(x+3)2−4于是，y=x2+6x+5 的顶点式是：
y=(x+3)2−4
它也可以写成：
y=(x−(−3))2−4
所以顶点是 (−3,−4)，对称轴是 x=−3。
一般式到顶点式的固定动作
对于简单情形：
y=x2+bx+c
配方法可以按这条线走：
y=x2+bx+c
y=x2+bx+(2b)2−(2b)2+c
y=(x+2b)2+c−(2b)2
如果把它写成顶点式 y=(x−h)2+k，那么：
h=−2b
k=c−(2b)2
这不是要你死记一个新公式，而是告诉你：一次项系数决定平方括号里的平移量，常数项和“补出来又减掉”的平方数共同决定顶点高度。
再练一个：
y=x2−10x+18
一次项系数是 −10，一半是 −5，平方是 25。因此：
y=x2−10x+25−25+18
y=(x−5)2−7
顶点是 (5,−7)，对称轴是 x=5。
从顶点式读图像
配方完成后，图像信息会非常集中。比如：
y=x2−4x+1
配方：
y=x2−4x+4−4+1
y=(x−2)2−3
所以顶点是 (2,−3)，对称轴是 x=2，开口向上。
把这个过程和上一节的一般式联系起来：一般式中的 b 会影响对称轴的位置。配方法给了我们一个理由，因为 b 的一半进入了平方括号。
当二次函数被写成 y=a(x−h)2+k 时，顶点就是 (h,k)。注意括号里是 x−h，所以 y=(x+3)2−4 的顶点横坐标是 −3，不是 3。
当 a 不是 1 时
如果二次项系数不是 1，不要急着对原来的一次项系数直接取一半。先把 a 从二次项和一次项里提出来。
看例子：
y=2x2+8x+3
先从前两项中提出 2：
y=2(x2+4x)+3
括号内配方。4 的一半是 2，平方是 4：
y=2(x2+4x+4−4)+3
再把前三项写成平方：
y=2((x+2)2−4)+3
注意外面的 2 会乘到 −4：
y=2(x+2)2−8+3
y=2(x+2)2−5
因此顶点是 (−2,−5)。
当 a=1 时，配方发生在括号里面。括号里补了多少，拿出来合并常数时还要考虑外面的 a。很多错误就出在忘记乘回这个系数。
常见错误：只补不抵消
配方法里最容易犯的错误，是把 x2+6x 看成差不多等于 (x+3)2，却忘了 (x+3)2 展开后多了 9。
错误写法是：
x2+6x+5=(x+3)2+5
右边展开为：
(x+3)2+5=x2+6x+14
这已经不是原来的函数了。正确做法必须补 9，再减 9：
x2+6x+5=x2+6x+9−9+5
x2+6x+5=(x+3)2−4
配方时不能只把 x2+bx 改写成平方而不处理多出来的常数。每一次“补”，都要有对应的“抵消”，否则函数图像会被整体移高或移低。
练习：把顶点找出来
下面几题先独立做，再展开核对。每题的目标不是只写答案，而是把“补什么、抵消什么、顶点是什么”说清楚。
练习 1
把下面函数改写成顶点式，并写出顶点：
y=x2+4x+1
一次项系数 4 的一半是 2，平方是 4。
y=x2+4x+4−4+1y=(x+2)2−3顶点是 (−2,−3)。
练习 2
把下面函数改写成顶点式，并写出顶点：
y=x2−8x+20
一次项系数 −8 的一半是 −4，平方是 16。
y=x2−8x+16−16+20y=(x−4)2+4顶点是 (4,4)。
练习 3
把下面函数改写成顶点式，并写出顶点：
y=3x2−12x+7
先从前两项中提出 3。
y=3(x2−4x)+7括号内配方，−4 的一半是 −2，平方是 4。
y=3(x2−4x+4−4)+7y=3((x−2)2−4)+7y=3(x−2)2−12+7y=3(x−2)2−5顶点是 (2,−5)。
小结
配方法的核心动作可以压缩成一句话：把二次项和一次项整理成完全平方，同时用加减同一个数保持等价。
从一般式到顶点式，你要盯住三件事：
- 对 x2+bx，补的是 (2b)2。
- 补进去的数不能凭空增加函数值，必须抵消。
- 如果 a=1，先把 a 从二次项和一次项中提出，再在括号内配方。
学会配方法后，一般式和顶点式之间就不是两套孤立写法了。一般式告诉你函数由哪些项组成，顶点式告诉你图像从哪里转弯；配方法把这两种视角接在一起。