二次不等式

二次方程问的是“什么时候等于 0”，二次不等式问的是“什么时候大于 0 或小于 0”。这两个问题离得很近：先找到等于 0 的位置，再看这些位置把图像和数轴分成了哪些区域。

在这一章里，我们把二次不等式放回二次函数图像中理解。看到

ax^2+bx+c>0

时，可以先把左边看成函数

f(x)=ax^2+bx+c

然后问：抛物线在哪些 $x$ 的位置位于 $x$ 轴上方？如果是不等式 $ax^2+bx+c<0$ ，就问：抛物线在哪些位置位于 $x$ 轴下方？

从函数值正负看不等式

函数值的正负就是图像相对 $x$ 轴的位置。

当点在 $x$ 轴上方时，纵坐标 $y$ 是正数，所以 $f(x)>0$ 。当点在 $x$ 轴下方时，纵坐标 $y$ 是负数，所以 $f(x)<0$ 。当点正好落在 $x$ 轴上时，纵坐标是 0，这些 $x$ 就是零点。

解二次不等式时，不要急着把不等号当成方程来“求两个答案”。不等式的答案通常是一段区间，或者两段区间，因为满足条件的 $x$ 往往有很多个。

抛物线在 x 轴上方对应函数值为正，在 x 轴下方对应函数值为负

上图可以读成一句话：二次不等式不是只关心两个交点，而是关心交点之间、交点两侧的整段位置。

零点是分界点

如果抛物线穿过 $x$ 轴，穿过的位置就是零点。零点的特别之处在于：函数值在那里等于 0，正负可能在这里发生改变。

例如函数

f(x)=(x+2)(x-3)

的两个零点是 $x=-2$ 和 $x=3$ 。这两个数把数轴分成三个区间：

(-\infty,-2),\quad (-2,3),\quad (3,+\infty)

在每个区间里，抛物线不会再次穿过 $x$ 轴，所以函数值的正负保持一致。我们只要在每个区间里选一个简单的数试一试，就能知道整段区间的正负。

数轴被零点 -2 和 3 分成三个区间，上方抛物线与两个零点对齐

先解方程 $f(x)=0$ ，找到零点。零点就是可能改变正负的位置。

用零点把数轴分成若干区间。两个不同零点通常会分成三段。

在每个区间内取一个容易计算的测试值，代入 $f(x)$ 判断正负。

按照题目要求选择 $f(x)>0$ 或 $f(x)<0$ 的区间。最后再看不等号是否带等号，决定零点是否包含。

开口方向帮助快速判断

对有两个不同零点的二次函数来说，开口方向会给出很快的判断。

如果 $a>0$ ，抛物线开口向上。它在两侧会向上延伸，所以两侧通常是正，中间在 $x$ 轴下方时是负。

如果 $a<0$ ，抛物线开口向下。它在两侧会向下延伸，所以两侧通常是负，中间在 $x$ 轴上方时是正。

开口向上时两侧为正中间为负，开口向下时中间为正两侧为负

这条规律只适用于“有两个不同零点”的常见情形。如果只有一个零点，或者没有零点，仍然要回到图像位置和函数值正负本身来判断。

例题：解一个小于零的不等式

解不等式：

x^2-x-6<0

先把左边看成函数 $f(x)=x^2-x-6$ ，再找它的零点。

因式分解得到 $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ ，所以零点是 $x=3$ 和 $x=-2$ 。

两个零点把数轴分成 $(-\infty,-2)$ 、 $(-2,3)$ 、 $(3,+\infty)$ 三段。

因为二次项系数为正，抛物线开口向上，所以它在两个零点之间位于 $x$ 轴下方。题目要求 $f(x)<0$ ，因此选择中间区间。

所以解集是

-2<x<3

也可以写成区间：

(-2,3)

二次函数 y=x^2-x-6 在两个零点之间位于 x 轴下方，对应中间区间为解集

例题：解一个大于零的不等式

解不等式：

x^2-3x-10>0

先因式分解：

x^2-3x-10=(x-5)(x+2)

零点是 $x=-2$ 和 $x=5$ 。由于开口向上，抛物线在两侧位于 $x$ 轴上方，在两个零点之间位于 $x$ 轴下方。题目要求大于 0，所以答案取两侧：

x<-2\quad \text{或}\quad x>5

写成区间是

(-\infty,-2)\cup(5,+\infty)

开口向上、求大于 0，经常得到“两侧”；开口向上、求小于 0，经常得到“中间”。这不是死记口号，而是因为图像两侧向上、中间在轴下。

用符号表检查结果

图像法很直观，符号表则适合在没有画准图像时检查。

以

(x+1)(x-4)>0

为例，零点是 $-1$ 和 $4$ 。数轴被切成三段。我们分别看两个因式的正负，再看乘积的正负。

二次不等式符号表显示乘积为正时应选择两侧区间

符号表的好处是它把“乘积什么时候为正”说得很清楚：两个因式同号时乘积为正，异号时乘积为负。

端点是否包含

零点处函数值等于 0，所以端点是否包含只看题目里有没有等号。

如果是不等式 $f(x)>0$ 或 $f(x)<0$ ，零点不满足条件，因为零点处 $f(x)=0$ 。区间端点要用圆括号，数轴上常画空心点。

如果是不等式 $f(x)\ge 0$ 或 $f(x)\le 0$ ，零点满足条件。区间端点要用方括号，数轴上常画实心点。

严格不等式用空心端点，含等号的不等式用实心端点

没有两个零点时怎么办

有些二次函数没有两个不同零点。此时不能机械地说“中间”或“两侧”，因为数轴可能没有被切成三段。

例如

x^2+1>0

对应的抛物线开口向上，最低点在 $x$ 轴上方。它对所有实数 $x$ 都大于 0，所以解集是全体实数。

再看

x^2+1<0

同一条抛物线从来没有到 $x$ 轴下方，所以没有实数解。

没有实根时抛物线可能始终在 x 轴上方或始终在 x 轴下方

“找零点、分区间”是常用方法，但前提是要先知道零点的情况。没有实零点时，应该看整条抛物线在 $x$ 轴的哪一侧，而不是硬造区间。

常见错误：只记根，不看方向

很多错误答案都来自同一个习惯：看到两个根以后，直接把两个根之间写成答案，或者直接把两侧写成答案，却没有检查题目要求的是大于 0 还是小于 0。

常见错误对照：只看到两个根会选反区间，正确做法是看曲线在 x 轴哪一侧

例如

-(x-1)(x-4)>0

零点是 $1$ 和 $4$ ，但二次项系数是负数，抛物线开口向下。两个零点之间在 $x$ 轴上方，所以解集是

1<x<4

如果只看到“求大于 0 就选两侧”，就会选错。真正可靠的是图像位置：在 $x$ 轴上方才是正。

把方法整理成一句话

解二次不等式，可以按下面的顺序来做。

把不等式左边看成二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ ，先确认要找的是 $f(x)>0$ 、 $f(x)<0$ 、 $f(x)\ge 0$ 还是 $f(x)\le 0$ 。

解方程 $f(x)=0$ ，找到零点。能因式分解就因式分解，不能时可以用配方法或求根公式。

用零点分割数轴，并结合开口方向、图像位置或区间试值判断每段的正负。

按不等号选择区间，再根据是否有等号决定是否把零点放进解集。

最后检查答案时，可以随便从答案区间里取一个数代回原不等式。再从没有选的区间里取一个数代回去。这个小检查能很快发现“中间和两侧选反”的错误。

练习

解不等式：

x^2-4x+3>0

先因式分解：

x^2-4x+3=(x-1)(x-3)

零点是 $1$ 和 $3$ 。抛物线开口向上，要求大于 0，所以取两侧：

x<1\quad \text{或}\quad x>3

解不等式：

-x^2+6x-8\ge 0

先把左边因式分解：

-x^2+6x-8=-(x-2)(x-4)

零点是 $2$ 和 $4$ 。抛物线开口向下，两个零点之间在 $x$ 轴上方。题目带等号，所以端点也包含：

2\le x\le 4

解不等式：

(x+5)(x-1)<0

零点是 $-5$ 和 $1$ 。二次项系数为正，开口向上，两个零点之间函数值为负，所以答案是

-5<x<1

判断不等式是否有解：

x^2+4x+5<0

配方得到：

x^2+4x+5=(x+2)^2+1

平方项最小是 0，所以 $(x+2)^2+1$ 始终大于 0，不可能小于 0。因此这个不等式没有实数解。

二次不等式

在这一章里，我们把二次不等式放回二次函数图像中理解。看到

ax^2+bx+c>0

时，可以先把左边看成函数

f(x)=ax^2+bx+c

然后问：抛物线在哪些 $x$ 的位置位于 $x$ 轴上方？如果是不等式 $ax^2+bx+c<0$ ，就问：抛物线在哪些位置位于 $x$ 轴下方？

从函数值正负看不等式

函数值的正负就是图像相对 $x$ 轴的位置。

解二次不等式时，不要急着把不等号当成方程来“求两个答案”。不等式的答案通常是一段区间，或者两段区间，因为满足条件的 $x$ 往往有很多个。

抛物线在 x 轴上方对应函数值为正，在 x 轴下方对应函数值为负

上图可以读成一句话：二次不等式不是只关心两个交点，而是关心交点之间、交点两侧的整段位置。

零点是分界点

如果抛物线穿过 $x$ 轴，穿过的位置就是零点。零点的特别之处在于：函数值在那里等于 0，正负可能在这里发生改变。

例如函数

f(x)=(x+2)(x-3)

的两个零点是 $x=-2$ 和 $x=3$ 。这两个数把数轴分成三个区间：

(-\infty,-2),\quad (-2,3),\quad (3,+\infty)

在每个区间里，抛物线不会再次穿过 $x$ 轴，所以函数值的正负保持一致。我们只要在每个区间里选一个简单的数试一试，就能知道整段区间的正负。

数轴被零点 -2 和 3 分成三个区间，上方抛物线与两个零点对齐

先解方程 $f(x)=0$ ，找到零点。零点就是可能改变正负的位置。

用零点把数轴分成若干区间。两个不同零点通常会分成三段。

在每个区间内取一个容易计算的测试值，代入 $f(x)$ 判断正负。

按照题目要求选择 $f(x)>0$ 或 $f(x)<0$ 的区间。最后再看不等号是否带等号，决定零点是否包含。

开口方向帮助快速判断

对有两个不同零点的二次函数来说，开口方向会给出很快的判断。

如果 $a>0$ ，抛物线开口向上。它在两侧会向上延伸，所以两侧通常是正，中间在 $x$ 轴下方时是负。

如果 $a<0$ ，抛物线开口向下。它在两侧会向下延伸，所以两侧通常是负，中间在 $x$ 轴上方时是正。

开口向上时两侧为正中间为负，开口向下时中间为正两侧为负

这条规律只适用于“有两个不同零点”的常见情形。如果只有一个零点，或者没有零点，仍然要回到图像位置和函数值正负本身来判断。

例题：解一个小于零的不等式

解不等式：

x^2-x-6<0

先把左边看成函数 $f(x)=x^2-x-6$ ，再找它的零点。

因式分解得到 $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ ，所以零点是 $x=3$ 和 $x=-2$ 。

两个零点把数轴分成 $(-\infty,-2)$ 、 $(-2,3)$ 、 $(3,+\infty)$ 三段。

因为二次项系数为正，抛物线开口向上，所以它在两个零点之间位于 $x$ 轴下方。题目要求 $f(x)<0$ ，因此选择中间区间。

所以解集是

-2<x<3

也可以写成区间：

(-2,3)

二次函数 y=x^2-x-6 在两个零点之间位于 x 轴下方，对应中间区间为解集

例题：解一个大于零的不等式

解不等式：

x^2-3x-10>0

先因式分解：

x^2-3x-10=(x-5)(x+2)

零点是 $x=-2$ 和 $x=5$ 。由于开口向上，抛物线在两侧位于 $x$ 轴上方，在两个零点之间位于 $x$ 轴下方。题目要求大于 0，所以答案取两侧：

x<-2\quad \text{或}\quad x>5

写成区间是

(-\infty,-2)\cup(5,+\infty)

开口向上、求大于 0，经常得到“两侧”；开口向上、求小于 0，经常得到“中间”。这不是死记口号，而是因为图像两侧向上、中间在轴下。

用符号表检查结果

图像法很直观，符号表则适合在没有画准图像时检查。

以

(x+1)(x-4)>0

为例，零点是 $-1$ 和 $4$ 。数轴被切成三段。我们分别看两个因式的正负，再看乘积的正负。

二次不等式符号表显示乘积为正时应选择两侧区间

符号表的好处是它把“乘积什么时候为正”说得很清楚：两个因式同号时乘积为正，异号时乘积为负。

端点是否包含

零点处函数值等于 0，所以端点是否包含只看题目里有没有等号。

如果是不等式 $f(x)>0$ 或 $f(x)<0$ ，零点不满足条件，因为零点处 $f(x)=0$ 。区间端点要用圆括号，数轴上常画空心点。

如果是不等式 $f(x)\ge 0$ 或 $f(x)\le 0$ ，零点满足条件。区间端点要用方括号，数轴上常画实心点。

严格不等式用空心端点，含等号的不等式用实心端点

没有两个零点时怎么办

有些二次函数没有两个不同零点。此时不能机械地说“中间”或“两侧”，因为数轴可能没有被切成三段。

例如

x^2+1>0

对应的抛物线开口向上，最低点在 $x$ 轴上方。它对所有实数 $x$ 都大于 0，所以解集是全体实数。

再看

x^2+1<0

同一条抛物线从来没有到 $x$ 轴下方，所以没有实数解。

没有实根时抛物线可能始终在 x 轴上方或始终在 x 轴下方

“找零点、分区间”是常用方法，但前提是要先知道零点的情况。没有实零点时，应该看整条抛物线在 $x$ 轴的哪一侧，而不是硬造区间。

常见错误：只记根，不看方向

常见错误对照：只看到两个根会选反区间，正确做法是看曲线在 x 轴哪一侧

例如

-(x-1)(x-4)>0

零点是 $1$ 和 $4$ ，但二次项系数是负数，抛物线开口向下。两个零点之间在 $x$ 轴上方，所以解集是

1<x<4

如果只看到“求大于 0 就选两侧”，就会选错。真正可靠的是图像位置：在 $x$ 轴上方才是正。

把方法整理成一句话

解二次不等式，可以按下面的顺序来做。

把不等式左边看成二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ ，先确认要找的是 $f(x)>0$ 、 $f(x)<0$ 、 $f(x)\ge 0$ 还是 $f(x)\le 0$ 。

解方程 $f(x)=0$ ，找到零点。能因式分解就因式分解，不能时可以用配方法或求根公式。

用零点分割数轴，并结合开口方向、图像位置或区间试值判断每段的正负。

按不等号选择区间，再根据是否有等号决定是否把零点放进解集。

练习

解不等式：

x^2-4x+3>0

先因式分解：

x^2-4x+3=(x-1)(x-3)

零点是 $1$ 和 $3$ 。抛物线开口向上，要求大于 0，所以取两侧：

x<1\quad \text{或}\quad x>3

解不等式：

-x^2+6x-8\ge 0

先把左边因式分解：

-x^2+6x-8=-(x-2)(x-4)

零点是 $2$ 和 $4$ 。抛物线开口向下，两个零点之间在 $x$ 轴上方。题目带等号，所以端点也包含：

2\le x\le 4

解不等式：

(x+5)(x-1)<0

零点是 $-5$ 和 $1$ 。二次项系数为正，开口向上，两个零点之间函数值为负，所以答案是

-5<x<1

判断不等式是否有解：

x^2+4x+5<0

配方得到：

x^2+4x+5=(x+2)^2+1

平方项最小是 0，所以 $(x+2)^2+1$ 始终大于 0，不可能小于 0。因此这个不等式没有实数解。