函数变换、复合函数与反函数

上一章我们练习了从图像读函数。现在换一个角度：很多看起来复杂的函数，其实是从几个简单函数出发，经过移动、拉伸、翻折、拼接和套入得到的。

这一章的目标不是背一串图像规则，而是养成一个习惯：看到一个函数表达式时，先问“它对输入做了什么？对输出做了什么？有没有把一个函数的结果送进另一个函数？”这个习惯会直接通向微积分里的链式法则。

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把函数看成机器

函数可以看成一台机器。输入 $x$ 进入机器，机器按照固定规则输出 $f(x)$。变换函数时，我们可以在输入进入机器之前动手，也可以在输出离开机器之后动手。

例如：

$$y = a f(b(x-h)) + k$$

这个表达式里有两类动作。$b(x-h)$ 是在输入进入 $f$ 之前发生的变化，$a$ 和 $k$ 是 $f$ 算完之后对输出做的变化。这个分界非常重要。

如果 $f$ 原来在 $x=3$ 处有一个特点，比如顶点、尖点或截距，那么 $f(x-2)$ 会让这个特点出现在 $x=5$。原因不是“减 2 所以向左”，而是新输入 $x=5$ 时，括号里的 才等于旧输入 。

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平移、伸缩与翻折

先看最常见的四种变换。

上下平移

如果 $g(x)=f(x)+k$，每一个输出值都增加 $k$。图像整体向上移动 $k$ 个单位；如果 $k\lt 0$，就向下移动 $\mathrm{\mid }$ 个单位。

例如 $g(x)=x^2+3$ 是把 $y=x^2$ 向上移动 3 个单位。原来点 $(2,4)$ 变成 。

左右平移

如果 $g(x)=f(x-h)$，图像向右移动 $h$ 个单位；如果 $h\lt 0$，图像向左移动 $|h|$ 个单位。

这个规则容易被误记。最稳的判断方法是追踪一个旧点。若旧图像上有点 $(p,f(p))$，新图像 $g(x)=f(x-h)$ 中，要让括号里仍然等于 $p$，需要 $x-h=p$，也就是 。所以旧点会移动到 。

竖直伸缩与关于 x 轴翻折

如果 $g(x)=a f(x)$，每一个输出都乘以 $a$。当 $|a|\gt 1$ 时，图像在竖直方向被拉长；当 $0\lt |a|\lt 1$ 时，图像在竖直方向被压扁；当 时，图像还会关于 轴翻折。

例如 $g(x)=-2f(x)$ 会把所有高度放大到原来的 2 倍，再把正负号反过来。

水平伸缩与关于 y 轴翻折

如果 $g(x)=f(bx)$，输入在进入 $f$ 前被乘以 $b$。当 $|b|\gt 1$ 时，图像在水平方向压缩；当 $0\lt |b|\lt 1$ 时，图像在水平方向拉长；当 时，图像还会关于 轴翻折。

水平伸缩也适合追踪旧点。旧点的输入是 $p$，新函数要让 $bx=p$，所以 $x=\frac{p}{b}$。这就是为什么 $f(2x)$ 不是水平拉长 2 倍，而是水平压缩到原来的一半。

下面的交互可以直接拖动参数，观察 $a$、$b$、$h$、$k$ 对图像和参考点的影响。

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变换的顺序

实际题目常把多种变换写在一起。一个稳妥的顺序是：先处理函数内部的输入变化，再处理函数外部的输出变化。用点来跟踪时，可以从母函数上的一个点出发，一步一步移动。

以 $f(x)=\sqrt{x}$ 为母函数，考虑：

$$g(x)=-2f(x-2)+1$$

它等价于：

$$g(x)=-2\sqrt{x-2}+1$$

母函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 的起点是 $(0,0)$。因为 $x-2$ 在函数内部，图像先向右移动 2 个单位，起点变成 。然后乘以 ，所有输出先拉伸 2 倍再关于 轴翻折。最后加 1，整体向上移动 1 个单位，起点变成 。

例题：已知点 $(1,2)$ 在 $y=f(x)$ 上，求它在 $y=3f(2(x-4))-5$ 上对应到哪里。

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复合函数

复合函数描述的是“一个函数的输出，继续作为另一个函数的输入”。如果先用 $g$，再用 $f$，就写成：

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))$$

读这个式子时，不要从左往右算。先算括号里的 $g(x)$，再把结果送进 $f$。

例如：

$$f(x)=x^2+1,\qquad g(x)=x-3$$

那么：

$$(f\circ g)(x)=f(x-3)=(x-3)^2+1$$

而：

$$(g\circ f)(x)=g(x^2+1)=x^2+1-3=x^2-2$$

这两个函数通常不同。复合函数的顺序不是装饰，它决定了先发生什么变化。

复合函数的定义域

复合函数还有一个经常被漏掉的条件：内层函数必须能算，内层算出的结果还必须能进入外层函数。

例如：

$$f(x)=\sqrt{x},\qquad g(x)=x-5$$

对于 $f(g(x))=\sqrt{x-5}$，内层 $g(x)$ 对所有实数都能算，但外层平方根要求输入不能小于 0，所以需要：

$$x-5\ge 0$$

因此定义域是 $x\ge 5$。

如果换成 $g(f(x))=\sqrt{x}-5$，先算平方根，所以只需要 $x\ge 0$。同样两个函数，换一个顺序，定义域也变了。

下面的实验室可以输入同一个 $x$，比较 $f(g(x))$ 与 $g(f(x))$ 的顺序、结果和定义域限制。

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反函数

反函数做的是“倒回去”。如果 $f$ 把输入 $a$ 送到输出 $b$，那么反函数 $f^{-1}$ 会把 $b$ 送回 $a$。

也就是说：

$$f(a)=b \quad \Longleftrightarrow \quad f^{-1}(b)=a$$

图像上，反函数和原函数关于直线 $y=x$ 对称。点 $(a,b)$ 会变成 $(b,a)$，定义域和值域也会互换。

为什么反函数需要一一对应

不是每个函数都有反函数。原因很简单：如果两个不同输入给出同一个输出，倒回去时就不知道该回到哪一个输入。

例如 $f(x)=x^2$ 在全体实数上不是一一对应，因为：

$$f(2)=4,\qquad f(-2)=4$$

如果要从输出 $4$ 倒回输入，就会同时得到 $2$ 和 $-2$。这不符合函数“一个输入只能对应一个输出”的要求。

图像上可以用水平线检验：如果某条水平线和图像交于两个或更多点，说明有同一个输出来自多个输入，这个函数在当前定义域上没有反函数。

限制定义域

限制定义域可以让一个原本不能反过来的函数变成可以反过来。对 $f(x)=x^2$，如果只取 $x\ge 0$，它就变成单调递增。每个输出只对应一个输入，反函数是：

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x}$$

如果只取 $x\le 0$，反函数则是：

$$f^{-1}(x)=-\sqrt{x}$$

限制定义域不是为了让题目麻烦，而是为了保留“倒回去仍然是函数”这个要求。

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分段函数

分段函数不是一种新的运算，它只是把不同规则安排在不同区间里。遇到分段函数，第一步不是代入，而是先判断输入落在哪个区间。

一个简单的分段函数可以写成：

$$p(x)= \begin{cases} 4, & 0\le x\lt 1 \\ 4+2(x-1), & 1\le x\lt 3 \\ 8, & x\ge 3 \end{cases}$$

这个函数可以描述某种阶梯计费：第一个小时固定 4 元，之后一段按小时增加，到某个上限后封顶。它也可以描述考试评分、停车费、网络套餐或折扣规则。

分段函数里断点尤其值得看清楚。$x=1$ 到底用上一段还是下一段，要看不等号是否包含等号。图像上，实心点表示取到这个点，空心点表示靠近但不取到。

例题：设

$$q(x)= \begin{cases} x+2, & x\lt 0 \\ x^2, & 0\le x\le 2 \\ 5-x, & x\gt 2 \end{cases}$$

求 $q(-3)$、$q(0)$、$q(2)$、$q(4)$。

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常见误区

把水平平移方向看反

$f(x-3)$ 是向右移动 3 个单位，因为新输入 $x=3$ 时，函数内部看到的是旧输入 $0$。把“括号里减 3”直接读成“向左 3”会出错。

忘记复合函数的定义域

化简表达式只完成了一半。写 $f(g(x))$ 时，必须检查 $x$ 能不能进入 $g$，还要检查 $g(x)$ 能不能进入 $f$。根号、分母、对数和反三角函数在后续章节里都会让这个问题变得更明显。

把反函数和倒数混在一起

$f^{-1}$ 的上标 $-1$ 是“反操作”的记号，不是指数运算。判断它是不是反函数，可以检查两个复合：

$$f(f^{-1}(x))=x$$ $$f^{-1}(f(x))=x$$

这两个等式成立时，要同时注意各自的定义域。

在分段函数中先代入再选规则

分段函数要先选区间，再套公式。尤其在断点处，等号属于哪一段，函数值就由哪一段决定。

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练习

1. 已知 $f(x)=|x|$。写出 $g(x)=-3f(x+2)+4$ 的图像相对于 $f$ 的变换过程。

2. 已知 $f(x)=\sqrt{x}$，$g(x)=2x-1$。分别求 和 ，并写出定义域。

3. 函数 $f(x)=x^2-4$ 在全体实数上有没有反函数？如果限制为 $x\ge 0$，反函数是什么？

4. 设

$$r(x)= \begin{cases} 2x+1, & x\lt -1 \\ 3, & -1\le x\lt 2 \\ x^2-1, & x\ge 2 \end{cases}$$

求 $r(-2)$、$r(-1)$、$r(2)$。

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通向微积分

微积分中的链式法则，其实就是复合函数思想的延续。像

$$F(x)=\sqrt{3x^2+1}$$

这样的函数，可以看成先用内层函数 $u=3x^2+1$，再用外层函数 $\sqrt{u}$。进入求导时，我们会关心外层变化和内层变化怎样同时影响最终输出。

函数变换也会继续出现。平移不会改变图像的基本形状，伸缩会改变变化速度，翻折会改变增长和下降的方向。反函数则会出现在对数、反三角函数和隐函数问题里。分段函数会帮助我们讨论“某点附近”的行为，也就是极限和连续性的入口。

本章要带走的不是一张孤立公式表，而是一种读函数的方法：先分清输入和输出，再看函数怎样套函数，最后检查能不能倒回去。