函数语言与图像阅读

预备微积分里的“函数”不是一个孤立公式，而是一种描述变化关系的语言。它可以写成表达式，可以列成表格，可以画成图像，也可以藏在一句现实情境里。读懂函数，就是能在这些表示法之间来回翻译。

例如“骑车离家，先匀速远离，停下来买水，又沿原路返回”是一段语言情境；“时间”和“离家距离”组成一组变量；距离随时间变化的折线图是一张图像；某些区间上还可以用线性表达式近似。进入微积分以前，我们先练的不是求导，而是看懂这种变化发生在哪里、朝哪个方向发生、是否有突然转折。

这张图把函数看成一台规则明确的机器：允许输入的数来自定义域，规则把每个输入送到一个输出，所有实际出现的输出组成值域。

本章会反复使用一个阅读顺序：先问变量是什么，再问允许哪些输入，然后读输出范围，最后观察函数在区间上的行为。这个顺序能减少很多常见错误，尤其是在图像题和情境题中。

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函数定义与记号

输入、输出和函数值

如果一个规则把集合中的每个输入 $x$ 都对应到唯一的输出，我们就说这个规则定义了一个函数，常写成 $f$。记号 $f(x)$ 读作“$f$ 在 $x$ 处的函数值”，它不是 $f$ 乘以 $x$，而是把 $x$ 放进函数规则后得到的输出。

例如

$$f(x)=2x+3$$

表示函数规则是“先把输入乘以 $2$，再加 $3$”。当 $x=4$ 时，

$$f(4)=2\cdot 4+3=11$$

这里 $4$ 是输入，$11$ 是输出，$f(4)$ 是一个数。函数名 $f$ 表示整条规则，不能和某一个函数值混为一谈。

定义域和值域

定义域是函数允许输入的全部 $x$ 值。值域是函数实际能输出的全部 $y$ 值，也就是全部可能的 $f(x)$。

这两个集合不是形式细节。一个表达式只有配上定义域，才真正确定了一个函数。例如 $g(x)=\sqrt{x-2}$ 在实数范围内要求 $x-2\ge 0$，所以定义域是 。如果题目把它限制在 ，那就是另一个函数，值域也会从 变成 。

从图像读定义域时，把图像投影到 $x$ 轴；读值域时，把图像投影到 $y$ 轴。开圆点表示端点不取，实心点表示端点取到。

自变量和因变量

在函数 $y=f(x)$ 中，$x$ 通常叫自变量，$y$ 或 $f(x)$ 叫因变量。这个说法不是说 $x$ 可以随便取任何数，而是说一旦 $x$ 在定义域内被选定， 就由函数规则决定。

现实情境里，先确定变量含义很重要。若 $h(t)$ 表示水箱中水的高度，$t$ 是时间，$h(t)$ 是高度。图像上点的横坐标不是“水箱的位置”，纵坐标也不是“时间的高度”，而是同一时刻下的一组对应数据。

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从图像读取关键位置

截距与零点

图像与 $x$ 轴的交点叫 $x$ 截距。若函数在 $x=a$ 处有 $f(a)=0$，那么 $a$ 叫函数的零点。零点是输入值，$x$ 截距通常写成坐标点 。它们关系紧密，但说话时要分清“数”和“点”。

图像与 $y$ 轴的交点叫 $y$ 截距。它发生在 $x=0$ 的位置，所以如果 $0$ 在定义域内，$y$ 截距是 $(0,f(0))$。

零点把数轴切成若干区间。在每个区间内，图像在 $x$ 轴上方时 $f(x)>0$，在 $x$ 轴下方时 $f(x)<0$。

正负区间

判断函数正负，不是看图像向上走还是向下走，而是看图像相对于 $x$ 轴的位置。图像在 $x$ 轴上方，函数值为正；在 $x$ 轴下方，函数值为负；在 $x$ 轴上，函数值为零。

例如一条曲线在 $x=-2$ 和 $x=3$ 处穿过 $x$ 轴。如果图像在 $(-2,3)$ 内位于 $x$ 轴上方，在两侧位于 $x$ 轴下方，那么函数在 上为正，在 和 上为负。

端点和孤立点

图像题常用开圆点、实心点或单独的点来表示特殊取值。开圆点说“靠近这里，但这个点不属于函数图像”；实心点说“这个输入处的函数值就是这个点的纵坐标”。

如果同一个 $x$ 位置附近有一个开圆点和一个实心点，函数值看实心点。开圆点告诉你附近图像的趋势，实心点告诉你这个输入真正输出什么。

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读取函数行为

单调性

单调性描述函数在某个区间上从左到右怎样变化。若 $x$ 增大时 $f(x)$ 也增大，函数在这个区间上递增；若 $x$ 增大时 $f(x)$ 减小，函数在这个区间上递减；若函数值保持不变，就在这个区间上为常数。

读单调性时，眼睛沿着 $x$ 轴从左向右移动。不要顺着曲线走，也不要把曲线某一小段看成山路的真实坡度。横轴才是输入增加的方向。

局部高点和局部低点是单调性发生改变的地方。局部高点附近，图像通常先递增再递减；局部低点附近，图像通常先递减再递增。这里的“局部”表示只和附近点比较，不一定是全图最高或最低。

端行为

端行为关注 $x$ 变得很大或很小时，函数值大致朝哪里去。它不是问某个具体点的值，而是看图像远端的趋势。

例如一次函数 $f(x)=2x-1$ 的图像右端向上、左端向下。用语言可以说：当 $x$ 越来越大时，$f(x)$ 也越来越大；当 $x$ 越来越小时，$f(x)$ 越来越小。以后学习极限时，这种“越来越接近”“越来越大”“远处趋向哪里”的说法会变得更精确。

变化故事

函数图像经常讲的是变量之间的关系，而不是物体的真实形状。距离-时间图像中的水平线表示距离不变，常常意味着停留；向下倾斜的线表示离家距离减少，常常意味着返回；陡一些的线表示单位时间内距离变化更快。

这类图像的横轴是时间，纵轴是离家距离。图像的折线不是实际路线，而是距离随时间变化的记录。

把图像翻译成故事时，可以按区间逐段读。每一段都问三个问题：横轴变量在增加吗，纵轴变量怎样变化，变化速度大约是否稳定。这样读出的故事通常比只盯着几个点更可靠。

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分段函数

分段函数用不同规则处理定义域的不同部分。它不是多个函数随便拼在一起，而是一个函数在不同区间上有不同表达式。

例如

$$p(x)= \begin{cases} x+2, & x<0\\ 4-x^2, & 0\le x\le 2\\ x-2, & x>2 \end{cases}$$

这个函数的定义域被分成三段：$x<0$、$0\le x\le 2$、$x>2$。计算 $p(1)$ 时只能使用中间规则，因为 $1$ 落在 中；计算 时只能使用右侧规则。

分段函数的边界点最容易出错。要看不等号是否包含等号，也要看图像上对应的是开圆点还是实心点。如果 $x=2$ 被中间规则包含，那么函数值由中间规则决定，即使右侧曲线从 $x=2$ 附近开始延伸。

例题：设

$$q(x)= \begin{cases} 2x+1, & x<1\\ 5, & x=1\\ -x+4, & x>1 \end{cases}$$

求 $q(0)$、$q(1)$、$q(3)$，并说明 $x=1$ 附近图像会出现什么情况。

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四种表示法之间转换

同一个函数可以有不同外观。表达式便于计算，表格便于记录数据，图像便于观察变化趋势，语言情境说明变量来自哪里。

表达式到表格

表达式给出计算规则，表格给出若干输入和输出。由表达式造表格时，要选能显示函数特征的输入值。线性函数可以选几个简单点；二次函数要选顶点附近和对称位置；有根号或分母的函数要避开定义域外的输入。

以 $f(x)=x^2-4$ 为例：

这个表格已经显示出两个零点、一个最低函数值附近的位置，以及左右对称的线索。

表格到图像

由表格画图时，先把每对数看成一个点，再考虑点与点之间是否应该连线。若变量是连续变化的时间、长度、温度，通常可以连成曲线或线段；若变量是人数、购买件数、试验次数这类离散量，点之间未必有意义。

表格不能自动告诉你所有函数行为。它只记录有限个输入。如果表格中 $x=1$ 和 $x=2$ 的函数值都增加，不代表整个区间 $[1,2]$ 上一定递增。要判断区间行为，还需要表达式、图像或情境信息。

图像到语言

从图像写语言描述时，不要只列点。点告诉你某个时刻发生了什么，区间告诉你变化怎样进行。比较下面两种说法：

“在 $t=0$ 时距离为 $0$，在 $t=2$ 时距离为 $4$。”这只是点的信息。

“从 $t=0$ 到 $t=2$，离家距离稳定增加，说明对象正以大致稳定速度远离起点。”这才是区间行为。

语言到函数

从语言情境建立函数时，先确定输入变量、输出变量和单位，再决定定义域。比如“停车场每小时收费 6 元，最多收 48 元”可以让 $t$ 表示停车小时数，$C(t)$ 表示费用。若只考虑 $0\le t\le 12$，一个简化模型可以写成

$$C(t)= \begin{cases} 6t, & 0\le t\le 8\\ 48, & 8<t\le 12 \end{cases}$$

这里的定义域来自情境，不是表达式自己决定的。停车时间不能是负数，也不会在这个模型中超过 $12$ 小时。

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常见误区与检查方法

把图像当成实物路径

距离-时间图像不是地图。图像向上不一定表示人往北走，图像向下也不表示下坡。它只表示两个变量的关系：时间增加时，距离怎样变化。

把斜率、高度和函数值混在一起

在同一张图像上，点的高度表示函数值，线段的倾斜程度表示变化快慢。高的位置不一定变化快，低的位置也可以变化很快。微积分中的导数会专门研究“变化快慢”，但现在先要把它和函数值分开。

忽略定义域限制

很多代数表达式看起来可以代入任意数，但函数的定义域可能被题目、情境或表达式本身限制。根号内不能为负、分母不能为零、现实时间通常不能为负，这些都会改变函数图像和答案。

检查函数阅读的四句话

读完一个函数后，可以用四句话检查自己是否真的理解：

1. 输入变量是什么，允许哪些输入？
2. 输出变量是什么，可能输出哪些值？
3. 哪些点或区间有特殊意义，例如截距、零点、端点、局部高低点？
4. 从左到右看，函数在哪些区间增加、减少或保持不变？

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综合例题

一个水箱开始时有 $20$ 升水。前 $4$ 分钟匀速注水，每分钟增加 $5$ 升；接着暂停 $3$ 分钟；最后打开排水口，$2$ 分钟内匀速排出 $12$ 升。设 $V(t)$ 表示第 $t$ 分钟时水箱中的水量，单位是升。

建立分段模型

因此模型可以写成

$$V(t)= \begin{cases} 20+5t, & 0\le t\le 4\\ 40, & 4<t\le 7\\ 40-6(t-7), & 7<t\le 9 \end{cases}$$

读取图像行为

这个函数在 $[0,4]$ 上递增，在 $(4,7]$ 上保持不变，在 $(7,9]$ 上递减。它没有零点，因为水量始终大于 $0$。值域是 $[28,40]$ 吗？不是。初始水量是 升，前段会经过 到 的全部水量，最后只从 降到 。所以值域是 。

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自检练习

练习 1：函数 $f(x)=\sqrt{6-x}$ 在实数范围内的定义域是什么？若只考虑 $0\le x\le 6$，它的值域是什么？

练习 2：某函数图像在 $x=-1$ 和 $x=4$ 处与 $x$ 轴相交，并且在 $(-1,4)$ 内位于 $x$ 轴下方，在两侧位于 $x$ 轴上方。写出它的零点和正负区间。

练习 3：一个距离-时间图像先上升，再水平，再下降到 $0$。请用一句话解释这三段分别可能表示什么。

练习 4：设

$$r(x)= \begin{cases} x^2, & x<2\\ 1, & x=2\\ 2x-3, & x>2 \end{cases}$$

求 $r(1)$、$r(2)$、$r(3)$。

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通向微积分

微积分会继续追问两个问题：函数在某一点附近变化得有多快，函数在一段区间上累计了多少量。前一个问题通向导数，后一个问题通向积分。

本章的图像阅读是这两个问题的前置语言。单调性帮助我们判断函数值是在增加还是减少；端行为帮助我们理解“趋近”；分段函数帮助我们处理规则改变的情境；从图像读故事的能力帮助我们把现实变化翻译成数学对象。

如果现在能清楚说出定义域、值域、截距、零点、正负区间、单调区间和端行为，那么进入极限与导数时，就不会只盯着公式变形。你会知道每一个符号背后，对应的是图像上的哪种变化。