非线性系统入门与综合建模

线性系统给了我们一套很强的语言：特征值、特征向量、相图、稳定性。真实模型却很少一直保持线性。捕食者吃掉猎物的速度通常取决于两者相遇的机会，摆的回复力是 $\sin \theta$，流行病传播项里常见 $SI$。这些项让方程不能再靠矩阵指数一口气解决。

本章的目标不是把非线性系统全部讲完，而是建立第一步分析流程：先找平衡点，再在平衡点附近线性化，用 Jacobian 矩阵判断局部行为；随后用相图和数值模拟检查这个局部结论在多大范围内可信。学完本章，你应当能把一个简单非线性模型从情境写成方程，并能解释它的平衡、稳定和相平面图像。

非线性系统的几何语言

本课前两章系统内容主要研究线性系统

非线性自治系统把右侧换成一般函数：

这里“自治”表示 $f$ 和 $g$ 不显含时间 $t$。在相平面里，每个点 $(x,y)$ 都对应一个速度向量 $(f(x,y),g(x,y))$。解曲线不是普通的函数图像，而是状态点沿着这些速度向量走出的轨线。

图：非线性系统的相平面语言。点给出当前状态，箭头给出当前变化方向，轨线给出状态随时间的运动。

平衡点是最先要找的对象。若

则从 $(x_*,y_*)$ 出发的解会停在那里。平衡点在模型中通常对应“长期不变的状态”：人口不再变化、摆停在某个位置、电路到达稳态，或者两个物种达到共存水平。

平衡点与零增长曲线

二维系统有一个很实用的工具：零增长曲线。曲线 $f(x,y)=0$ 上有 $x'=0$，状态点在那一瞬间没有水平变化；曲线 $g(x,y)=0$ 上有 ，状态点在那一瞬间没有竖直变化。两类曲线的交点就是平衡点。

看一个竞争模型：

这里 $x,y$ 可以理解为两个竞争种群的规模。右侧中的 $x$ 和 $y$ 互相相乘，说明增长率会受到对方数量影响，因此它是非线性系统。

求平衡点时，把两个右侧同时设为 $0$：

零增长曲线本身不是轨线。轨线通常会穿过零增长曲线，只是在穿过时某个方向的速度分量暂时为 $0$。这点很容易混淆。

Jacobian 线性化

如果平衡点附近的状态只偏离一点点，非线性函数可以用一阶近似替代。设

在平衡点 $(x_*,y_*)$ 附近，有

其中

称为 Jacobian 矩阵。它记录右侧向量场在该点附近的一阶变化。

图：线性化只描述平衡点附近的运动。离平衡点越远，高阶项越可能改变轨线形状。

线性化的关键不是“非线性系统变成了线性系统”，而是“在足够靠近平衡点的区域里，线性系统给出主要方向”。若 $J(x_*,y_*)$ 的特征值实部都不为 $0$，这个平衡点称为双曲平衡点。此时线性化给出的稳定或不稳定类型通常可靠。

回到竞争模型。它的 Jacobian 为

在内部平衡点 $(1,1)$，

这个矩阵的迹为 $-3$，行列式为 $1$，两个特征值都为负，因此 $(1,1)$ 是局部渐近稳定平衡点。换成模型语言，就是从共存状态附近出发时，两种种群会回到共存水平。

局部稳定性怎样判断

二维线性系统的分类可以直接迁移到线性化系统。设

特征方程为

所以迹 $\tau$、行列式 $\Delta$ 和判别式 $\tau^2-4\Delta$ 能快速读出局部类型。

图：双曲平衡点附近，线性化的相图类型通常决定非线性系统的局部稳定性。中心和零特征值情形需要额外判断。

最常见的失误有两个。第一个是在不是平衡点的地方计算 Jacobian 后直接谈稳定性。Jacobian 可以在任意点计算，但“平衡点稳定性”必须在平衡点处判断。第二个是看到线性化是中心，就立刻断言非线性系统一定有闭合轨线。中心属于临界情形，非线性项可能把它改成螺旋，也可能保留中心。

练习：考虑系统

找出它的平衡点，并用线性化判断每个平衡点的局部类型。

模型一：捕食者与猎物

Lotka-Volterra 捕食者-猎物模型是非线性系统中最常见的入门例子：

其中 $x$ 表示猎物数量，$y$ 表示捕食者数量。参数 $\alpha$ 是猎物在没有捕食者时的增长率，$\gamma$ 是捕食者在没有猎物时的死亡率。相遇项 $xy$ 让系统非线性：猎物越多、捕食者越多，捕食事件越频繁。

零增长曲线给出两类平衡：

第二个点是共存平衡。它说：若捕食者数量等于 $\alpha/\beta$，猎物刚好不增不减；若猎物数量等于 $\gamma/\delta$，捕食者刚好不增不减。

图：经典捕食者-猎物模型中，零增长线的交点给出共存平衡。轨线常呈现猎物先变、捕食者后变的周期性循环。

在共存平衡处，Jacobian 为

它的特征值是纯虚数，因此线性化给出中心。这是一个需要谨慎的情形。经典模型确实有封闭轨线，但这依赖模型的特殊结构；一旦加入猎物环境容量、捕食饱和、季节变化或随机扰动，结论可能改变。

模型二：非线性摆

无阻尼单摆的精确方程是

把时间重新缩放后，可以写成一阶系统

如果只在 $\theta=0$ 附近看，$\sin\theta\approx\theta$，于是得到线性近似

这就是小角度近似。它解释了小幅摆动为什么近似为简谐振动，但它不能描述大角度翻转、越过最高点或分界轨线。

图：非线性摆的相平面同时包含闭合振动轨线、分界轨线和连续翻转轨线。线性小角度模型只能描述局部区域。

平衡点满足

所以 $\theta=n\pi$。当 $n$ 为偶数时，摆在最低点附近，线性化为中心；当 $n$ 为奇数时，摆在最高点附近，线性化为鞍点。

能量函数可以帮助理解全局图像：

能量较小时，轨线围绕最低点闭合，表示来回摆动。能量达到分界值时，轨线经过最高点附近。能量更大时，角度持续增加或减少，表示摆完成连续翻转。

综合建模项目

本章最后把流程串起来。考虑一个更接近真实生态情境的捕食者-猎物模型：猎物自身受环境容量限制，捕食者依赖猎物维持种群。

令 $x(t)$ 表示猎物数量，$y(t)$ 表示捕食者数量。取模型

参数含义如下：$r$ 是猎物低密度时的增长率，$K$ 是环境容量，$a$ 是捕食相遇强度，$b$ 是捕食转化为捕食者增长的效率，$m$ 是捕食者死亡率。

图：综合建模不只写出方程，还要检查单位、求平衡、做局部分析、用数值模拟看全局趋势，并把结论翻译回情境。

这个模型可以按下面的步骤分析：

这个项目展示了本章最重要的工作顺序。先用模型假设决定方程，再用平衡点和 Jacobian 做局部判断，然后用数值模拟检查你没有把局部结论说成全局结论。

常见误区与检查清单

非线性系统的困难不在于每一步都复杂，而在于每一步都有适用范围。下面几条可以作为做题和建模时的检查清单。

检查非线性系统时，可以按这个顺序问自己：

• 变量是否有明确单位，初值是否在现实允许范围内。
• 右侧每一项是否能用情境解释，而不是只因为形式好看。
• 平衡点是否已经全部找出，尤其是边界平衡点。
• Jacobian 是否在平衡点处计算，而不是在一般点处停下。
• 特征值是否有零实部；如果有，线性化结论是否被适当保留。
• 数值模拟的步长是否足够小，结果是否保持非负或满足模型约束。
• 图像结论是否已经翻译回原情境。

练习：一个简化传染病模型为

其中 $S$ 是易感者数量，$I$ 是感染者数量。请找出感染者不再增加的零增长曲线，并解释它的含义。

再看一个稳定性练习。系统

有平衡点 $(1,0)$。请判断它的局部稳定性，并解释这对两个种群意味着什么。

到这里，本课程的四条线已经汇合：建模负责把情境变成方程，定性分析负责读平衡和相图，数值方法负责观察没有显式解时的轨线，解析方法负责在可处理的局部或特殊结构中给出精确判断。非线性系统不会让这些工具失效，只是要求我们更诚实地说明每个结论的范围。

在 $(0,0)$，矩阵为 $\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$，特征值为 $\pm i$，线性化是中心，不能只靠线性化给出渐近稳定结论。在 $(1,0)$ 和 $(-1,0)$，矩阵为 $\begin{bmatrix}0&1\\2&0\end{bmatrix}$，特征值为 $\pm\sqrt{2}$，所以这两个点都是鞍点，不稳定。

可得 $I=0$ 或 $S=\gamma/\beta$。曲线 $I=0$ 表示没有感染者；直线 $S=\gamma/\beta$ 表示感染者数量处在“临界易感者水平”上。若 $S>\gamma/\beta$，则在 $I>0$ 时感染者增加；若 $S<\gamma/\beta$，感染者减少。

在 $(1,0)$，

特征值为 $-1$ 和 $1$，所以 $(1,0)$ 是鞍点，不稳定。模型语言是：只有 $x$ 种群处在自身平衡时，如果引入很少的 $y$ 种群，$y$ 会增长，系统会离开这个边界平衡。