平面线性系统、相图与稳定性

上一章把一阶线性系统写成矩阵形式：

\mathbf{x}'=A\mathbf{x}.

本章只看最先需要掌握的二维情形。令

\mathbf{x}(t)= \begin{pmatrix} x(t)\\ y(t) \end{pmatrix}, \qquad A= \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}.

这时解不再是一条普通函数图像 $y(t)$ ，而是平面中的一个运动点 $(x(t),y(t))$ 。随着时间变化，这个点画出的曲线叫轨线。把许多轨线和方向箭头放在同一个平面里，就得到相图。

相平面中的运动示意图，展示线性系统 x'=Ax 的向量场、轨线、初始点与平衡点

图：在线性系统中，每个点都有一个由 $A\mathbf{x}$ 给出的速度箭头，轨线沿着这些箭头前进。

本章的核心问题是：特征值怎样决定相平面里的运动。你会看到，同一个矩阵的代数信息可以翻译成节点、鞍点、螺旋点、中心，以及稳定性结论。

从解曲线到相图

对二维系统

\mathbf{x}'=A\mathbf{x},

相平面中的每个点 $\mathbf{x}$ 都对应一个速度向量 $A\mathbf{x}$ 。如果某个解在时刻 $t$ 经过点 $\mathbf{x}(t)$ ，那么它在那一刻的切向速度就是 $A\mathbf{x}(t)$ 。

所以相图有两层信息：第一层是向量场，告诉你每个点附近“往哪里走”；第二层是轨线，告诉你从某个初始点出发后会沿什么路径走。

相图不是 $x$ 关于 $t$ 的图像，也不是 $y$ 关于 $t$ 的图像。它把时间藏在运动方向里，只记录点 $(x(t),y(t))$ 在平面中走过的路径。

平衡点

平衡点是速度为零的点：

A\mathbf{x}=\mathbf{0}.

若 $\det A\neq 0$ ，齐次系统只有一个平衡点，就是原点 $\mathbf{0}$ 。若 $\det A=0$ ，平衡点可能是一条直线，也可能仍然只有原点以外的退化行为需要单独分析。本章的主要分类先集中在 $\det A\neq 0$ 的典型情形。

轨线不会随意交叉

只要系统右端满足存在唯一性条件，同一个初始点只能对应一条解。对线性系统来说，右端 $A\mathbf{x}$ 很光滑，所以不同轨线不能在同一时刻穿过同一点后又分成两条未来。这个事实让相图可以被当作“交通图”来读：箭头给方向，轨线给道路。

实特征值带来的节点和鞍点

先看最容易从线性代数读懂的情形： $A$ 有两个不同实特征值 $\lambda_1,\lambda_2$ ，对应特征向量 $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ 。通解可以写成

\mathbf{x}(t)=c_1e^{\lambda_1t}\mathbf{v}_1+c_2e^{\lambda_2t}\mathbf{v}_2.

这条公式的几何意思很直接：系统中有两条特征方向。沿着特征方向出发，运动会一直留在这条直线上，只是按指数因子放大或缩小。

稳定节点、不稳定节点与鞍点的三栏相图对比

图：两个实特征值的符号决定轨线靠近原点、远离原点，还是一部分靠近一部分远离。

两个特征值都为负

若

\lambda_1<0,\qquad \lambda_2<0,

两个指数因子都会衰减到 $0$ 。不管初始点怎样组合这两个方向，解都会趋向原点。这叫稳定节点，也叫吸引节点。

若两个负特征值大小不同，长期靠近原点时，轨线通常会越来越贴近“衰减较慢”的特征方向。比如 $e^{-t}$ 比 $e^{-4t}$ 衰减慢，所以最后看起来更像 $\lambda=-1$ 对应方向。

两个特征值都为正

若

\lambda_1>0,\qquad \lambda_2>0,

两个指数因子都会增长。除了恰好在原点的解，其余解会离开原点。这叫不稳定节点，也叫排斥节点。

特征值一正一负

若

\lambda_1<0<\lambda_2,

一个方向会把点拉向原点，另一个方向会把点推出原点。这叫鞍点。鞍点总是不稳定，因为只要初始条件带有一点点不稳定方向的分量，长期就会被指数放大。

鞍点里确实有“靠近原点”的轨线，但这不表示平衡点稳定。稳定性要求原点附近的所有足够小扰动都一直留在附近；鞍点的离开方向会破坏这个要求。

例题：从矩阵读出稳定节点

判断系统

\mathbf{x}'= \begin{pmatrix} -1&2\\ 0&-3 \end{pmatrix} \mathbf{x}

在原点附近的相图类型。

因为矩阵是上三角矩阵，特征值就是对角线上的数：

\lambda_1=-1,\qquad \lambda_2=-3.

复特征值带来的旋转

若特征值是一对共轭复数

\lambda=\alpha\pm i\beta,\qquad \beta\neq 0,

解中会出现正弦和余弦。这说明相平面里有旋转。实部 $\alpha$ 决定旋转时半径怎样变化：

e^{\alpha t}

是共同的包络因子。

复特征值相图对比：稳定螺旋轨线向原点衰减，中心轨线为闭合椭圆且不衰减

图：复特征值的虚部带来旋转，实部决定轨线向内收缩、向外扩张，还是保持封闭。

稳定螺旋和不稳定螺旋

若 $\alpha<0$ ，包络 $e^{\alpha t}$ 衰减，轨线一边旋转一边靠近原点。这叫稳定螺旋点。

若 $\alpha>0$ ，包络增长，轨线一边旋转一边离开原点。这叫不稳定螺旋点。

旋转方向不能只从特征值看出来。一个实用方法是看点 $(1,0)$ 处的速度向量。若速度大致向上，轨线从右侧往上走，旋转方向就是逆时针；若速度大致向下，就是顺时针。

中心

若 $\alpha=0$ ，特征值是纯虚数：

\lambda=\pm i\beta.

这时没有指数衰减，也没有指数增长。典型轨线是围绕原点的闭合曲线，原点叫中心。

中心是稳定的，但不是渐近稳定的。靠近中心的解会一直绕着转，不会跑远；可是它也不会趋向原点。

阻尼振子的相平面

二阶振动方程

m u''+\gamma u'+ku=0

可以改写成一阶系统。令 $x=u$ ， $y=u'$ ，则

\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 0&1\\ -\frac{k}{m}&-\frac{\gamma}{m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}.

这里 $x$ 是位移， $y$ 是速度。矩阵的迹和行列式为

T=-\frac{\gamma}{m},\qquad D=\frac{k}{m}.

若没有阻尼， $\gamma=0$ ，相图是中心，表示能量在位移和速度之间来回交换。若有阻尼， $\gamma>0$ ，迹变成负数，系统会趋向平衡。阻尼较小时是稳定螺旋，阻尼很大时会变成稳定节点。

迹和行列式给出分类地图

对二维矩阵

A= \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix},

两个最有用的标量是迹和行列式：

T=\operatorname{tr}(A)=a+d,\qquad D=\det(A)=ad-bc.

特征方程可以写成

\lambda^2-T\lambda+D=0.

因此特征值的和是 $T$ ，乘积是 $D$ 。判别式

\Delta=T^2-4D

决定特征值是实数还是复数。

迹-行列式平面分类二维线性系统稳定性示意图

图：迹 $T$ 控制整体增长或衰减，行列式 $D$ 和判别式 $\Delta$ 控制节点、鞍点、螺旋和中心。

分类表

条件	特征值形态	相图类型	稳定性
$D<0$	一正一负实特征值	鞍点	不稳定
$D>0,\ \Delta>0,\ T<0$	两个负实特征值	稳定节点	渐近稳定
$D > 0, Δ > 0,$

边界情形也要认识，但不要把它们和典型区域混在一起。 $D=0$ 表示有零特征值，平衡点可能不孤立； $\Delta=0$ 表示重特征值，可能是星形节点，也可能是退化节点； $T=0,D>0$ 且 $\Delta<0$ 才是中心。

只看行列式正负不够。 $D>0$ 只说明两个特征值同号，或是一对共轭复数；稳定还是不稳定，还要看迹 $T$ 的符号。

快速判断例题

设

A= \begin{pmatrix} 1&-4\\ 2&-3 \end{pmatrix}.

先算

T=1+(-3)=-2,\qquad D=1\cdot(-3)-(-4)\cdot2=5.

判别式为

\Delta=T^2-4D=4-20=-16.

因为 $D>0$ 、 $\Delta<0$ 、 $T<0$ ，特征值是一对实部为负的复数，所以原点是稳定螺旋点。这里不需要先完整求出特征向量；迹和行列式已经给出了相图类型和稳定性。

稳定、渐近稳定和不稳定

稳定性描述的是平衡点附近的解对扰动的反应。对齐次线性系统来说，讨论的平衡点通常是原点。

稳定

如果初始点足够靠近原点，那么之后的整条轨线都能留在原点附近，就说原点稳定。中心就是典型例子：小圆附近的轨线一直绕着转，不会跑远。

渐近稳定

如果原点稳定，并且附近的解还会满足

\lim_{t\to\infty}\mathbf{x}(t)=\mathbf{0},

就说原点渐近稳定。稳定节点和稳定螺旋都是渐近稳定。

不稳定

如果无论把初始点放得多靠近原点，都能找到某些解最终离开指定小邻域，就说原点不稳定。鞍点、不稳定节点和不稳定螺旋都属于这一类。

对二维线性系统，最常用的稳定性判据可以压缩成一句话：

若所有特征值的实部都小于 $0$ ，原点渐近稳定；若至少有一个特征值的实部大于 $0$ ，原点不稳定；若特征值在虚轴上，通常需要单独检查边界情形。

在本章的典型分类里，边界情形最常见的是中心。它稳定但不渐近稳定。这个区别在物理模型里很自然：无阻尼振子不会爆炸，但也不会自己停在平衡位置。

非齐次系统的平衡点平移

现在看非齐次线性系统：

\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{b}.

平衡点不一定在原点，而是满足

A\mathbf{x}_*+\mathbf{b}=\mathbf{0}.

若 $A$ 可逆，则平衡点唯一，并且

\mathbf{x}_*=-A^{-1}\mathbf{b}.

令

\mathbf{y}=\mathbf{x}-\mathbf{x}_*.

因为 $\mathbf{x}_*$ 是常向量，所以 $\mathbf{y}'=\mathbf{x}'$ 。代入非齐次系统：

\mathbf{y}'=A(\mathbf{y}+\mathbf{x}_*)+\mathbf{b} =A\mathbf{y}+(A\mathbf{x}_*+\mathbf{b}) =A\mathbf{y}.

所以非齐次系统的相图，就是齐次系统 $\mathbf{y}'=A\mathbf{y}$ 的相图平移到新平衡点 $\mathbf{x}_*$ 附近。

左右对照图：齐次系统相图以原点为中心，非齐次系统相图整体平移到新的平衡点 x_*

图：当 $A$ 可逆时， $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$ 的轨线形状由 $A$ 决定， $\mathbf{b}$ 改变平衡点位置。

例题：先找平衡点，再判断类型

考虑

\mathbf{x}'= \begin{pmatrix} -2&1\\ -1&-2 \end{pmatrix} \mathbf{x} + \begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}.

先求平衡点。设 $\mathbf{x}_*=(x_*,y_*)^T$ ，解

处理非齐次系统时，不要默认原点是平衡点。先代入 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 检查：若 $\mathbf{b}\neq \mathbf{0}$ ，原点处速度就是 $\mathbf{b}$ ，当然不会静止。

一套读相图的流程

面对一个平面线性系统，建议按固定顺序读，不要一上来凭图像猜类型。

平面线性系统从矩阵 A 到迹、行列式、判别式与稳定性结论的中文分类流程图

图：先算迹、行列式和判别式，再把代数信息翻译成相图类型和稳定性。

先确认系统是齐次还是非齐次。齐次系统 $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ 的典型平衡点是原点；非齐次系统 $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$ 要先解。

常见误区

把中心说成渐近稳定

中心附近的解不会离开平衡点很远，所以它稳定；但它不会趋向平衡点，所以不是渐近稳定。很多物理模型里的“永远振荡”都属于这种情况。

只看特征值符号，不看实部

复特征值没有“正负”之说。要看的是实部 $\alpha$ 。若 $\alpha<0$ ，螺旋向内；若 $\alpha>0$ ，螺旋向外；若 $\alpha=0$ ，进入中心情形。

忘记非齐次系统的平衡点

对 $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$ ，平衡点要解 $A\mathbf{x}_*+\mathbf{b}=0$ 。只有时，原点才自动是平衡点。

把重特征值当成一种固定图形

当 $\Delta=0$ 时，两个特征值相同。若有两个独立特征向量，可能是星形节点；若只有一个特征方向，轨线会有退化节点的弯曲形状。稳定性仍由特征值实部控制，但相图形状要更小心。

本章的分类不是背图形，而是在做翻译：矩阵 $A$ 的特征值决定增长、衰减和旋转；特征向量决定实特征值情形下的关键方向；非齐次项负责移动平衡点。

练习

练习一

判断系统

\mathbf{x}'= \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} \mathbf{x}

的相图类型和稳定性。

特征值是 $2$ 和 $-1$ ，一正一负，所以原点是鞍点。鞍点不稳定。 $x$ 轴方向对应增长， $y$ 轴方向对应衰减。

练习二

设

A= \begin{pmatrix} 0&1\\ -4&-2 \end{pmatrix}.

不用求特征向量，判断原点的类型和稳定性。

有

T=-2,\qquad D=4,\qquad \Delta=T^2-4D=4-16=-12.

练习三

非齐次系统

\mathbf{x}'= \begin{pmatrix} -1&0\\ 0&-2 \end{pmatrix} \mathbf{x} + \begin{pmatrix} 3\\ -4 \end{pmatrix}

的平衡点在哪里？它是什么类型？

平衡点满足

-x+3=0,\qquad -2y-4=0.

所以

\mathbf{x}_*= \begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix}.

练习四

某二维线性系统的迹和行列式为

T=0,\qquad D=9.

若它的判别式为负，原点是什么类型？它是否渐近稳定？

因为

\Delta=T^2-4D=-36<0,

特征值是一对复数。又因为 $T=0$ ，复特征值的实部为 $0$ ，所以原点是中心。中心稳定，但不渐近稳定。

T

>

0

D>0,\ \Delta>0,\ T>0

常微分方程 I：一阶方程、线性系统与建模｜第 17 章：平面线性系统、相图与稳定性 | 自在学