从问题到优化模型

一家小型工厂每天只有 80 个工时和 60 千克材料。产品 A 每件用 2 个工时、3 千克材料，利润 40 元；产品 B 每件用 4 个工时、2 千克材料，利润 50 元。问“怎么安排最赚钱”时，真正要解决的不是某个求导题，而是把可执行方案的集合写清楚。

图：每一条资源约束都在缩小可执行方案的范围，目标函数则比较这些方案的价值。

模型的四个零件

令 $x$、$y$ 分别表示产品 A、B 的产量。变量不是“答案”，而是我们允许算法调整的决定。利润目标为

工时和材料带来两条硬约束：

还要有 $x\ge0,y\ge0$。如果今天生产件数必须是整数，还需要 $x,y\in\mathbb Z$；这一条会在第 5 章改变问题的性质。

把所有约束同时满足的点集合记作可行域。候选方案 $(10,15)$ 虽然非负，但材料消耗 $3\cdot10+2\cdot15=60$、工时消耗 $80$，所以它在边界上可行；$(20,10)$ 的工时为 80、材料为 80，不可行。可行性是目标优化之前的硬门槛。

从叙述到矩阵

线性模型常写成

这里 $x=(x,y)^T$ 是决策向量，$c=(40,50)^T$ 是单位收益，

矩阵写法不是为了让题目显得高级，而是为了把“每种资源对每种活动的消耗”集中管理。行对应资源，列对应活动；改动模型时，先问改的是哪一行或哪一列。

线性规划要求目标和约束都是变量的一次组合；出现 $xy$、$x^2$ 或 $\log x$ 就不再是线性规划，但仍可能是连续优化模型。若变量必须取整数，模型成为整数规划。分类不是标签游戏：它决定可用的几何结论和算法。

建模审计：答案出来以前就要做

可以把一次审计写成一张短清单。变量是否足以描述方案？目标方向是否与“最多/最少”一致？每条约束是否能追溯到题目中的事实？有没有遗漏非负、容量、需求下限或整数条件？代入一个明显的极端方案时，单位和数量级是否合理？

例如“至少满足 30 个订单”应写成产能 $\ge30$，而不是 $\le30$。如果配送量 $x_{ij}$ 表示从仓库 $i$ 发往门店 $j$ 的件数，仓库约束要对固定的 $i$ 把 $j$ 求和，门店需求约束则对固定的 $j$ 把 $i$ 求和。下标写反，模型仍然可能有漂亮的最优值，却解决了另一件事。

练习

1. 某餐车售卖套餐 P 和 Q。P 每份需要 1 个面包、2 份蔬菜，利润 6 元；Q 每份需要 2 个面包、1 份蔬菜，利润 5 元。当天有 40 个面包、30 份蔬菜。写出连续线性规划模型。

2. 判断约束“每周安排的夜班数不少于白班数的两倍”应写成 $n\ge2d$ 还是 $n\le2d$，并说明变量含义。

3. 一个运输模型允许从仓库向门店发货，但没有写发货量非负条件。为什么这不是小问题？