简单方程与不等式

在《代数表达式入门》中，项、系数、同类项、去括号与代入求值已经练过一轮。表达式回答的是「怎么算、式子长什么样」；方程与不等式回答的是「在什么条件下关系成立」。 等式像平衡天平：两边同加同减、同乘同除非零数，平衡保持。

不等式像有方向的比较：加减不改方向，乘除正数不改方向，乘除负数必须翻转方向。 把一元一次方程与一元一次不等式并置学习，目的就是在同一套整式化简基础上，看清「相等」与「范围」两种答案形态。

方程是什么：含未知数的等式

一元一次方程可整理为 $ax+b=0$（$a\\neq 0$），只含一个未知数且次数为 $1$。解是让等式成立的未知数取值。像 $3x+5=14$ 可化为 $3x-9=0$，属于本章；$x^2-1=0$ 出现二次项，不属于一元一次；$x+y=1$ 因有两个未知数，也不属于当前范围。识别类型不是为了分类本身，而是为了判断能否直接套用本章的等价变形链条。

等式性质：每一步都要可追溯

若 $a=b$，两边同加同一个数、同减同一个数、同乘同一个非零数、同除同一个非零数，等式都保持成立。课堂里常说「移项」，更稳妥的解释是：把某一项从一边移到另一边并改号，等价于两边同时加上该项的相反数。这样每一步都能写出依据，而不是只靠口头口诀。

解一元一次方程：从结构到结果

当方程里有括号、分数或小数时，变形顺序会直接影响错误率。实践里常用的顺序是先去分母（若有），再去括号，再把含未知数项与常数项分开，合并同类项后把未知数系数化为 $1$，最后代入原方程检验。顺序并非唯一，但它把常见错误集中在最容易回查的位置。

例题（整数系数）

题：解方程 $2(x-3)+4=12$。

例题（分数系数）

题：解方程 $\dfrac{x}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{6}$。

例题（小数系数先化整）

题：解方程 $0.3x+1.2=0.5x-0.4$。

不等式的性质：等式之外，多了方向

一元一次不等式也只含一个未知数且次数为 $1$，由小于号、大于号、小于等于号和大于等于号连接。若 $a\gt b$，两边同加同减同一个数，方向不变；两边同乘同除正数，方向不变； 两边同乘同除负数，方向必须改变。这个翻转规律可以从数轴对称直观看出：由 $3\gt 2$ 两边同乘 $-1$，得到 $-3\lt -2$。

例题（乘除负数要变号）

题：解不等式 $-3x\ge 9$，并说明数轴表示。

例题（去括号与合并）

题：解不等式 $2(x-1)\ge x+5$。

数轴表达：端点与方向要一致

不等式解集写出后，最好再用数轴核对。含等号时端点用实心，不含等号时端点用空心；大于类向右，小于类向左。若图形方向与代数推导不一致，先回查是否在某一步乘除负数时忘了变号。双边不等式如 $-3\lt x\le 2$，左端空心右端实心，中间连线即可看出边界可取性。

应用题里何时用方程，何时用不等式

语言中的「恰好、一共、相等、是多少」通常对应方程，因为目标是确定值；「至少、不超过、至多、不少于」通常对应不等式，因为目标是可行范围。列式完成后还不能立刻收笔，应用题要回到题意检查单位、整数约束与边界是否可取。像算出 $11.3$ 支笔这样的结果，代数步骤可能没错，但语义层面的整数条件尚未处理。

例题（不等式应用）

题：预算 $50$ 元，笔记本每本 $8$ 元且至少买 $2$ 本，笔每支 $3$ 元。设再买笔 $x$ 支，总花费不超过预算，求 $x$ 的最大整数值。

方程的特殊形态与不等式组直觉

方程化简后若出现恒等式，如 $x+6=x+6$，则在有意义范围内有无穷多解；若出现矛盾式，如 $5=8$，则无解。应用题若模型看似正确却解出「人数为分数」等结果，先检查是否遗漏整数约束，再回查列式是否漏读条件。

当同一未知数需同时满足两个一元一次不等式时，解集是两条解集的公共部分。像 $x\gt 1$ 且 $x\le 5$，公共部分是 $1\lt x\le 5$；若条件互相冲突，如 $x\gt 5$ 且 $$，公共部分为空。应用语境里，空集常意味着预算与要求无法同时满足，需要回到题面复核。

读题与建模：关键词要落到符号

「不少于、至少」通常对应 $\ge$，「不超过、至多」通常对应 $\le$，「大于、小于」对应严格不等号。中文里的「增加到」强调变化后的结果，「增加了」强调增量本身，列式前要先确认基准量是谁。读题若能先圈出已知量、未知量和关系词，再决定用方程还是不等式，后续推导会稳定得多。

例题（方程建模）

题：长方形周长为 $30$ 厘米，长比宽多 $5$ 厘米，求长与宽。

例题（不等式建模）

题：某商品进价 $40$ 元，售价 $p$ 元时利润率 $\dfrac{p-40}{40}$ 不低于 $20\%$，求 $p$ 的范围。

接下来

下一部分在比例与比率中我们会讨论两组比相等。比例式可改写为方程，交叉相乘本质是把分式关系化为整式关系。 把本节课的去分母、等价变形和原式检验练稳，进入比例与比率学习时会更顺手。

习题

习题（方程）

题：解方程 $5x-9=2x+6$，并检验。

习题（不等式）

题：解不等式并说明数轴表示：$4-3x\lt 10$；$2(x-1)\ge x+5$。

习题（变号解释）

题：用文字解释为什么由 $3\gt 2$ 两边同乘 $-1$ 得到 $-3\lt -2$，不等号方向改变。

习题（自编应用）

题：自编一道含「不超过」或「至少」的实际问题，列不等式并给出符合题意的整数答案。

两边同减 $3x$ 并同加 $4$，得 $16=2x$，所以 $x=8$。

两边同乘正数 $40$，方向不变，得 $p-40\ge 8$，所以 $p\ge 48$。