简单方程与不等式

方程问的是“哪个数刚好让左右相等”。不等式问的是“哪些数都能让比较关系成立”。

所以方程的答案常常是一个数，比如 $x=7$。不等式的答案常常是一段范围，比如 $x\le -3$。

你之前学过代数表达式、合并同类项、去括号、代入求值。那些是工具箱。

现在我们开始用工具箱处理关系。

方程是什么：含未知数的等式

方程就是带未知数的等式。

比如：

这里的 $x$ 还不知道，但我们要找一个值，让左边和右边真的相等。

一元一次方程可以整理成：

“一元”是只有一个未知数。

“一次”是未知数最高次数是 $1$。

所以 $3x+5=14$ 属于本章范围；$x^2-1=0$ 出现了平方，先不算；$x+y=1$ 有两个未知数，也不是这一章要解决的类型。

分类不是为了背名词。

分类是为了知道：能不能用本章这套等价变形一路解下去。

等式性质：别把“移项”当玄学

等式最像天平。

如果 $a=b$，那么两边同时加同一个数，还是相等。

两边同时减同一个数，还是相等。

两边同时乘同一个数，也还是相等。

两边同时除以同一个非零数，也还是相等。

注意“非零”这两个字。除以 $0$ 没有意义，不能做。

课堂里经常说“把 $+3$ 移到右边变 $-3$”。

这句话能用，但最好知道它背后的真实动作：

两边同时减 $3$，得到：

所谓“移项变号”，其实就是把“两边同时加减同一项”说短了。

解一元一次方程：步骤不用神秘

遇到一元一次方程，常用顺序是：

先去分母。

再去括号。

再把含 $x$ 的项放一边，常数项放另一边。

然后合并同类项。

最后把 $x$ 的系数化成 $1$。

顺序不唯一，但这个顺序很适合减少手滑。

例题：括号别急着跳

题：解方程 $2(x-3)+4=12$。

这里不要把第一步写成 $2x-3+4=12$。

$2(x-3)$ 的 $2$ 要同时乘到 $x$ 和 $-3$。

例题：分数先清掉

题：解方程 $\dfrac{x}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{6}$。

分数题最怕的是只乘了某一项。

“两边同乘 $6$”的意思是等式两边的每一项都要乘。

例题：小数先化整

题：解方程 $0.3x+1.2=0.5x-0.4$。

小数不是不能算。

只是先化成整数，眼睛轻松一点，出错率低一点。

不等式是什么：答案经常是一段范围

不等式也是含未知数的关系式，只是中间不再是等号。

常见符号有：

比如：

它不是问“哪个 $x$ 刚好等于某个值”。

它问的是：哪些 $x$ 让左边大于右边？

解出来是：

也就是说，$3.1$ 可以，$4$ 可以，$100$ 也可以。

答案是一整片范围。

不等式性质：最关键是方向

不等式有一个非常容易错的规则：

两边同加或同减同一个数，方向不变。

两边同乘或同除正数，方向不变。

两边同乘或同除负数，方向必须改变。

为什么？

看一个最小例子：

两边同时乘 $-1$：

原来 $3$ 在 $2$ 的右边。

乘以负数以后，数轴左右顺序翻过来了。

所以不等号也要翻。

例题：负数系数要盯住

题：解不等式 $-3x\ge 9$，并说明数轴表示。

这个题如果写成 $x\ge -3$，后面所有图都会跟着错。

例题：去括号和方程很像

题：解不等式 $2(x-1)\ge x+5$。

你会发现，不等式大部分步骤和方程很像。

唯一要额外盯住的，就是乘除负数时变号。

数轴表达：端点和方向要对上

不等式写完，最好在脑子里过一遍数轴。

$x\gt 3$：$3$ 不能取，用空心点，向右。

$x\ge 3$：$3$ 能取，用实心点，向右。

$x\lt 3$：空心点，向左。

$x\le 3$：实心点，向左。

这四种别混。

双边不等式也一样。

比如：

意思是左边 $-3$ 不能取，右边 $2$ 能取，中间都可以。

应用题：方程还是不等式，看关键词

读题时，先别急着列式。

先判断题目到底要一个确定值，还是要一个范围。

“恰好”“一共”“等于”“是多少”，一般对应方程。

“至少”“不少于”“不低于”，一般对应 $\ge$。

“至多”“不超过”“不高于”，一般对应 $\le$。

当然，关键词不是万能遥控器。

还要看题目语境。

比如“增加到”和“增加了”就不是一回事。

“增加到 $80$”说的是结果变成 $80$。

“增加了 $80$”说的是多出来 $80$。

不等式应用：别忘了整数条件

题：预算 $50$ 元，笔记本每本 $8$ 元且至少买 $2$ 本，笔每支 $3$ 元。设再买笔 $x$ 支，总花费不超过预算，求 $x$ 的最大整数值。

这里最后一步很重要。

代数上算出 $x\le 11.333\cdots$ 没问题。

但生活里没有 $0.333$ 支笔。

所以最大整数答案是 $11$。

方程的特殊形态：有时不是一个答案

有些方程解到最后，会出现很特殊的情况。

如果化简成：

或者最后变成：

那说明只要代入的数有意义，等式都成立。

这叫有无穷多解。

如果化简成：

那就矛盾了。

这叫无解。

所以方程不一定永远只给一个数。

只是本章最常见的一元一次方程，通常会解出一个确定值。

不等式组：公共部分才算数

如果同一个 $x$ 要同时满足两个不等式，就要取公共部分。

比如：

同时满足，就是：

如果条件互相打架，比如：

那就没有公共部分。

应用题里出现空集，通常不是“数学坏了”，而是条件真的无法同时满足，或者你需要回去检查题意。

方程建模：把中文翻译成式子

题：长方形周长为 $30$ 厘米，长比宽多 $5$ 厘米，求长与宽。

建模题最推荐的习惯是：先写“设什么为 $x$”。

别省这句话。

省了以后，自己都容易忘记 $x$ 到底表示什么。

不等式建模

题：某商品进价 $40$ 元，售价 $p$ 元时利润率 $\dfrac{p-40}{40}$ 不低于 $20\%$，求 $p$ 的范围。

这里分母 $40$ 是正数，所以乘过去不用变号。

如果你在不等式里乘除的是一个未知表达式，就不能随便判断正负。

这部分的一元一次不等式通常会避开这种情况。

习题

习题：方程

题：解方程 $5x-9=2x+6$，并检验。

习题：不等式

题：解不等式并说明数轴表示：$4-3x\lt 10$；$2(x-1)\ge x+5$。

习题：变号解释

题：用文字解释为什么由 $3\gt 2$ 两边同乘 $-1$ 得到 $-3\lt -2$，不等号方向改变。

习题：自编应用

题：自编一道含“不超过”或“至少”的实际问题，列不等式并给出符合题意的整数答案。

两边同减 $3x$，再同加 $4$，得 $16=2x$。