比例与比率

先说一句大白话：这一部分不是在学一堆新符号，而是在学“两个量怎么绑在一起变化”。

上一部分我们用方程和不等式处理“相等”和“范围”。到了这里，主角换成了“相对关系”：谁是另一个的几倍，谁跟谁按同一个配方变化，谁翻倍以后另一个也翻倍，谁变大以后另一个反而变小。

这就是比例、比率、正比例、反比例这一整套东西的共同底层。

比：先问“谁和谁比”

比（ratio）通常写成 $a:b$ ，也可以写成 $\dfrac{a}{b}$ ，其中 $b\neq 0$ 。

它不是在说“ $a$ 有多大”，而是在说“ $a$ 相对 $b$ 有多大”。

比如某班男生 $18$ 人、女生 $12$ 人。男生和女生人数之比是

18:12.

这个比可以像分数一样约分。因为 $\gcd(18,12)=6$ ，所以

18:12=3:2.

这句话的意思是：男生每 $3$ 份，女生对应 $2$ 份。

注意一个很容易踩的坑： $3:2$ 和 $2:3$ 不是一回事。

前者是“男生 : 女生”，后者是“女生 : 男生”。比有顺序，前项和后项不能随手交换。换了位置，就要换文字说明。

比值：把比读成一个数

如果说“比 $a:b$ ”是在强调结构，那么“比值”就是把这个结构算成一个数：

\frac{a}{b}.

例如

18:12=3:2,\qquad \frac{18}{12}=\frac{3}{2}=1.5.

所以 $18:12$ 、 $3:2$ 、 $6:4$ 、 $15:10$ 看起来不一样，但比值都相同。它们描述的是同一种相对关系。

这就是后面“比例”的来源：两个比如果比值相等，就可以写成比例式。

最简比：本质就是约分

把比化成最简整数比，做法和分数约分完全一样。

前项和后项同乘或同除同一个非零数，比值不变：

\frac{a}{b}=\frac{ka}{kb}\qquad(k\neq 0).

比如

1.2:0.75.

小数看着烦，就先同乘 $100$ ：

1.2:0.75=120:75.

再除以最大公因数 $15$ ：

120:75=8:5.

所以最简整数比是 $8:5$ ，比值是

\frac{8}{5}=1.6.

论坛里经常有人问：“为什么可以同时乘 $100$ ？”原因很简单：比只关心相对关系，两边同时放大，关系没变。

率：带单位的比

比的两边如果单位不同，就常常叫“率”（rate）。

速度是率：

\frac{\text{路程}}{\text{时间}}.

单价也是率：

\frac{\text{总价}}{\text{重量}}.

人口密度、人均收入、油耗，本质也都是率。

率和普通比最大的区别是：单位不能假装不存在。

比如 $72\ \mathrm{km/h}$ 和 $20\ \mathrm{m/s}$ 数字不同，但如果换算一下：

72\ \mathrm{km/h}=20\ \mathrm{m/s}.

它们说的是同一个速度。

所以做率的问题，第一步常常不是列式，而是统一单位。单位没统一，后面的交叉相乘很可能只是“看起来像数学”。

单位率：先算“每 1 份”

单位率就是把分母化成 $1$ 。

它特别适合比较。

甲店 $12$ 元买 $3\ \mathrm{kg}$ 橘子，乙店 $15$ 元买 $4\ \mathrm{kg}$ 。直接看总价和重量，脑子容易打结。

算成每千克多少钱：

\text{甲店：}\frac{12}{3}=4\ \text{元}/\mathrm{kg},

\text{乙店：}\frac{15}{4}=3.75\ \text{元}/\mathrm{kg}.

所以乙店更便宜。

一句话：总量不一样时，先除到“每一份”，再比较。

一张对比条形图，左侧标注"甲店 4 元/kg"，右侧标注"乙店 3.75 元/kg"，纵轴为单位价格（元/kg），两根柱子高度略有差异，用颜色区分，柱顶标注具体数值，下方注明总价与总重量的原始数据，直观展示单位率比较的过程

比例：两个比相等

如果两个比的比值相等，就可以写成比例。

最常见的形式是

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\qquad(b\neq 0,\ d\neq 0).

这里 $a$ 和 $d$ 叫外项， $b$ 和 $c$ 叫内项。

比例最核心的工具是交叉相乘：

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad\Longleftrightarrow\quad ad=bc.

为什么成立？

因为在

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}

两边同时乘以 $bd$ ，左边变成 $ad$ ，右边变成 $bc$ 。

反过来也成立：如果 $ad=bc$ ，并且 $b,d$ 都不是 $0$ ，两边同时除以 $bd$ ，又能回到比例式。

所以交叉相乘不是玄学，是分式等式的等价变形。

列比例式时，最重要的不是“赶紧交叉相乘”，而是先把对应关系摆正。分子要对应分子，分母要对应分母；或者同一侧固定为同一个情境。拿不准时，先画一个两行两列的小表格，再竖着写成两个分式。

用比例解未知数

比例题通常长这样：

\frac{3}{5}=\frac{x}{20}.

交叉相乘：

3\times 20=5x.

也就是

60=5x.

所以

x=12.

代回去检查：

\frac{3}{5}=0.6,\qquad \frac{12}{20}=0.6.

两边相等，答案没问题。

如果分子分母里出现一次式，也不用慌。比如

\frac{2x-1}{5}=\frac{x+3}{4}.

它还是先交叉相乘，再展开、移项、合并同类项。也就是说，比例只是把你带回一元一次方程的门口。

正比例：比值一直不变

正比例可以写成

y=kx\qquad(k\neq 0).

它的关键不是“两个量都变大”，而是

\frac{y}{x}=k

一直不变。

比如匀速运动每小时走 $7\ \mathrm{km}$ 。时间是 $x$ ，路程是 $y$ ，那么

y=7x.

时间翻倍，路程也翻倍；时间变成原来的 $3$ 倍，路程也变成原来的 $3$ 倍。

在坐标系里， $y=kx$ 的图像是一条过原点的直线。斜率就是这个比例常数 $k$ 。

反比例：乘积一直不变

反比例可以写成

xy=k\qquad(k\neq 0).

它的关键是

xy

一直不变。

典型例子：总工作量固定。

$12$ 人 $10$ 天完成一项工程，总工作量可以看成

12\times 10=120

个人天。

如果改成 $15$ 人做，需要的天数 $t$ 满足

15t=120.

所以

t=8.

人数变多，天数变少。但不是随便少，而是要让“人数 $\times$ 天数”保持不变。

在同一张坐标系中绘制两条曲线：一条是过原点的直线 y=kx（标注"正比例：比值恒定"），另一条是第一象限的双曲线 xy=k（标注"反比例：乘积恒定"）。在直线上标出两点并用虚线标注它们的纵横坐标比相同；在双曲线上标出两点并用矩形面积示意它们围成的矩形面积相同。坐标轴标注 x 与 y，图例区分两条曲线的颜色

判断正比例还是反比例，可以先问一句： $x$ 翻倍时， $y$ 是跟着翻倍，还是变成一半？前者通常指向正比例，后者通常指向反比例。但最终还要看公式：正比例要求 $\dfrac{y}{x}$ 恒定，反比例要求 $xy$ 恒定。

一个常见误区： $y=5x+2$ 不是正比例

很多同学会觉得：“ $x$ 变大， $y$ 也变大，那不就是正比例吗？”

不是。

正比例必须能写成 $y=kx$ 。而

y=5x+2

多了一个常数项 $2$ 。

它的比值是

\frac{y}{x}=5+\frac{2}{x},

会随着 $x$ 改变。

所以它既不是正比例，也不是反比例。

比例尺：别忘了单位

地图比例尺 $1:50000$ 的意思是：

图上 $1\ \mathrm{cm}$ ，对应实地 $50000\ \mathrm{cm}$ 。

如果图上两点距离是 $2\ \mathrm{cm}$ ，实地距离就是

2\times 50000=100000\ \mathrm{cm}.

再换算成更顺眼的单位：

100000\ \mathrm{cm}=1000\ \mathrm{m}=1\ \mathrm{km}.

比例尺题里，单位换算是高频丢分点。厘米、米、千米混着出现时，先统一，再计算。

单位换算的本质，是乘以一个值为 $1$ 的换算因子。比如

5\ \mathrm{km}\times \frac{1000\ \mathrm{m}}{1\ \mathrm{km}}=5000\ \mathrm{m}.

数值变了，实际长度没变。

面积和比例尺：长度乘一次，面积乘两次

这个坑值得单独拎出来。

比例尺 $1:500$ 是长度比，不是面积比。

图上 $1\ \mathrm{cm}$ 对应实地 $500\ \mathrm{cm}=5\ \mathrm{m}$ 。

但图上 $1\ \mathrm{cm}^2$ 对应的实地面积是

(5\ \mathrm{m})^2=25\ \mathrm{m}^2.

所以面积比是

1:500^2=1:250000.

比如图上有一个 $2\ \mathrm{cm}\times 3\ \mathrm{cm}$ 的长方形。

实地长是

2\times 500=1000\ \mathrm{cm}=10\ \mathrm{m}.

实地宽是

3\times 500=1500\ \mathrm{cm}=15\ \mathrm{m}.

实地面积是

10\times 15=150\ \mathrm{m}^2.

记住一句就够了：长度乘一次比例因子，面积乘两次。

连比：把多个量放进同一张表

三个或更多量一起比较，就会出现连比，比如

a:b:c.

如果已知

a:b=2:3,\qquad b:c=3:5,

中间项 $b$ 已经都是 $3$ ，所以可以直接合并：

a:b:c=2:3:5.

但如果已知

a:b=2:3,\qquad b:c=4:5,

就不能直接写 $2:3:5$ ，因为同一个 $b$ 在两个比里分别是 $3$ 和 $4$ 。

要先把 $b$ 对齐。

$3$ 和 $4$ 的最小公倍数是 $12$ ：

a:b=8:12,\qquad b:c=12:15.

于是

a:b:c=8:12:15.

连比的诀窍只有一个：公共项必须代表同一个量。

按比例分配：先求总份数

把总量 $S$ 按 $a:b:c$ 分给三部分。

最稳的做法是先求总份数：

a+b+c.

三部分分别是

S\times \frac{a}{a+b+c},\qquad S\times \frac{b}{a+b+c},\qquad S\times \frac{c}{a+b+c}.

比如三角形周长是 $48\ \mathrm{cm}$ ，三边之比是 $3:4:5$ 。

总份数是

3+4+5=12.

所以三边分别为

48\times \frac{3}{12}=12\ \mathrm{cm},

48\times \frac{4}{12}=16\ \mathrm{cm},

48\times \frac{5}{12}=20\ \mathrm{cm}.

验算：

12+16+20=48,\qquad 12:16:20=3:4:5.

配方和稀释：其实就是份数题

浓缩液和水按 $1:4$ 混合。

这句话翻译成人话就是：

$1$ 份浓缩液， $4$ 份水，一共 $5$ 份饮料。

要配 $500\ \mathrm{mL}$ 饮料，浓缩液是

500\times \frac{1}{5}=100\ \mathrm{mL}.

水是

500-100=400\ \mathrm{mL}.

这类题不要一上来就被“浓度”“稀释”吓住。先问：一共有几份？目标部分占几份？

份数思想的好处是很直接：不必先把 $1:4$ 改成 $20\%$ 。只要知道浓缩液占 $1$ 份、水占 $4$ 份、总共 $5$ 份，就能用“总量乘对应份数占比”来算。

从分数到比例：同一件事，两种说法

站在代数角度看，分数 $\dfrac{a}{b}$ 和比 $a:b$ 很接近。

当我们说“ $a$ 占 $b$ 的多少”时，更像分数。

当我们说“ $a$ 和 $b$ 相比怎样”时，更像比。

但在计算上，它们常常是同一套操作。

所以解

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}

既可以交叉相乘得到 $ad=bc$ ，也可以通分后比较分子。

比例不是一门全新的魔法。它只是把你熟悉的分数、方程、单位换算，放进了“相对关系”的语境里。

例题演练

例题 1（最简比与比值）

题：已知 $a:b=1.2:0.75$ ，求最简整数比与比值。

先消去小数：同乘 $100$ ，得到 $120:75$ 。

求最大公因数 $\gcd(120,75)=15$ ，所以 $120\div 15=8$ ， $75\div 15=5$ 。最简整数比是 $8:5$ 。

比值是 $\dfrac{8}{5}=1.6$ 。

例题 2（单位率比较）

题：两车油耗：甲车行驶 $240\ \mathrm{km}$ 耗油 $16\ \mathrm{L}$ ，乙车行驶 $315\ \mathrm{km}$ 耗油 $21\ \mathrm{L}$ 。问哪辆车每升油行驶更远？

统一比较“每升能跑多少千米”：甲车 $\dfrac{240}{16}=15\ \mathrm{km/L}$ 。

乙车 $\dfrac{315}{21}=15\ \mathrm{km/L}$ 。

两者单位率相同，所以每升油行驶距离一样远。

例题 3（解比例与检验）

题：求解 $\dfrac{2x-1}{5}=\dfrac{x+3}{4}$ 。

交叉相乘： $4(2x-1)=5(x+3)$ 。

展开： $8x-4=5x+15$ ，移项合并得 $3x=19$ 。

所以 $x=\dfrac{19}{3}$ 。代回原式，左右两边都等于 $\dfrac{7}{3}$ ，解正确。

例题 4A（正比例）

题：某匀速运动， $3\ \mathrm{h}$ 走了 $21\ \mathrm{km}$ 。问 $5\ \mathrm{h}$ 走多少千米？

路程与时间成正比例，速度 $v=\dfrac{21}{3}=7\ \mathrm{km/h}$ 。

所以 $5\ \mathrm{h}$ 的路程是 $s=7\times 5=35\ \mathrm{km}$ 。

例题 4B（反比例）

题：一项工程， $12$ 人 $10$ 天完成。若改由 $15$ 人做（每人效率不变），需要多少天？

人数 $n$ 与天数 $t$ 反比例，满足 $nt=k$ 。

由已知得 $k=12\times 10=120$ ，所以 $15t=120$ ，解得 $t=8$ 天。

例题 5（比例尺与面积）

题：某平面图比例尺 $1:500$ ，图上有一个 $2\ \mathrm{cm}\times 3\ \mathrm{cm}$ 的长方形，求实地面积。

先算实地线性尺寸：长 $=2\times 500=1000\ \mathrm{cm}=10\ \mathrm{m}$ 。

宽 $=3\times 500=1500\ \mathrm{cm}=15\ \mathrm{m}$ 。

实地面积 $=10\times 15=150\ \mathrm{m}^2$ 。注意面积比是 $1:500^2$ ，不是 $1:500$ 。

例题 6（连比与分配）

题：三角形的周长为 $48\ \mathrm{cm}$ ，三边长之比为 $3:4:5$ ，求三边长。

设三边分别为 $3k$ 、 $4k$ 、 $5k$ （ $k>0$ ）。

由周长得 $3k+4k+5k=48$ ，即 $12k=48$ ，所以 $k=4$ 。

三边为 $12\ \mathrm{cm}$ 、 $16\ \mathrm{cm}$ 、 $20\ \mathrm{cm}$ 。验算： $12+16+20=48$ 且 $12:16:20=3:4:5$ 。

小结

比 $a:b$ 讲的是两个量的相对关系，比值 $\dfrac{a}{b}$ 是把这个关系算成一个数。化简比和分数约分是同一件事。

率是带单位的比。比较价格、速度、油耗时，单位率很有用：先算“每 $1$ 份”，再比较。

比例就是两个比相等。交叉相乘

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Longleftrightarrow ad=bc

是比例题的核心工具。

正比例看比值是否恒定： $y=kx$ 。反比例看乘积是否恒定： $xy=k$ 。

比例尺题别忘单位；面积题别把长度比误当面积比。连比和配方题的关键都是“份数”：先求总份数，再按份分配。

习题

习题（最简比与比值）

题：把 $2.4:3.6$ 化为最简整数比，并求比值。

同乘 $10$ 得 $24:36$ ，再同除以 $12$ ，得到最简整数比 $2:3$ 。比值为 $\dfrac{2}{3}$ 。

习题（解比例）

题：解比例： $\dfrac{5}{x}=\dfrac{15}{12}$ ； $\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{3}{5}$ 。

第一题： $5\times 12=15x$ ，所以 $60=15x$ ，得 $x=4$ 。

第二题： $5(x+1)=12$ ，所以 $5x+5=12$ ，得 $x=\dfrac{7}{5}$ 。

习题（比例尺）

题：某地图比例尺 $1:200000$ ，图上两点相距 $3.5\ \mathrm{cm}$ ，求实地距离（千米）。

实地距离 $=3.5\times 200000=700000\ \mathrm{cm}=7000\ \mathrm{m}=7\ \mathrm{km}$ 。

习题（正比例判断）

题：判断：若 $y$ 与 $x$ 满足 $y=5x+2$ ，是否成正比例？说明理由。

不成正比例。正比例要求 $y=kx$ ，而 $y=5x+2$ 含常数项 $2$ ；并且 $\dfrac{y}{x}=5+\dfrac{2}{x}$ 会随着 $x$ 改变，不是常数。

习题（反比例应用）

题：一件工作 $8$ 人 $6$ 天完成；若希望 $4$ 天完成，假设每人效率不变，需要多少人？

人数与天数反比例，总工作量为 $8\times 6=48$ 人天。若 $4$ 天完成，则需人数 $n=\dfrac{48}{4}=12$ 人。

比例与比率

先说一句大白话：这一部分不是在学一堆新符号，而是在学“两个量怎么绑在一起变化”。

这就是比例、比率、正比例、反比例这一整套东西的共同底层。

比：先问“谁和谁比”

比（ratio）通常写成 $a:b$ ，也可以写成 $\dfrac{a}{b}$ ，其中 $b\neq 0$ 。

它不是在说“ $a$ 有多大”，而是在说“ $a$ 相对 $b$ 有多大”。

比如某班男生 $18$ 人、女生 $12$ 人。男生和女生人数之比是

18:12.

这个比可以像分数一样约分。因为 $\gcd(18,12)=6$ ，所以

18:12=3:2.

这句话的意思是：男生每 $3$ 份，女生对应 $2$ 份。

注意一个很容易踩的坑： $3:2$ 和 $2:3$ 不是一回事。

前者是“男生 : 女生”，后者是“女生 : 男生”。比有顺序，前项和后项不能随手交换。换了位置，就要换文字说明。

比值：把比读成一个数

如果说“比 $a:b$ ”是在强调结构，那么“比值”就是把这个结构算成一个数：

\frac{a}{b}.

例如

18:12=3:2,\qquad \frac{18}{12}=\frac{3}{2}=1.5.

所以 $18:12$ 、 $3:2$ 、 $6:4$ 、 $15:10$ 看起来不一样，但比值都相同。它们描述的是同一种相对关系。

这就是后面“比例”的来源：两个比如果比值相等，就可以写成比例式。

最简比：本质就是约分

把比化成最简整数比，做法和分数约分完全一样。

前项和后项同乘或同除同一个非零数，比值不变：

\frac{a}{b}=\frac{ka}{kb}\qquad(k\neq 0).

比如

1.2:0.75.

小数看着烦，就先同乘 $100$ ：

1.2:0.75=120:75.

再除以最大公因数 $15$ ：

120:75=8:5.

所以最简整数比是 $8:5$ ，比值是

\frac{8}{5}=1.6.

论坛里经常有人问：“为什么可以同时乘 $100$ ？”原因很简单：比只关心相对关系，两边同时放大，关系没变。

率：带单位的比

比的两边如果单位不同，就常常叫“率”（rate）。

速度是率：

\frac{\text{路程}}{\text{时间}}.

单价也是率：

\frac{\text{总价}}{\text{重量}}.

人口密度、人均收入、油耗，本质也都是率。

率和普通比最大的区别是：单位不能假装不存在。

比如 $72\ \mathrm{km/h}$ 和 $20\ \mathrm{m/s}$ 数字不同，但如果换算一下：

72\ \mathrm{km/h}=20\ \mathrm{m/s}.

它们说的是同一个速度。

所以做率的问题，第一步常常不是列式，而是统一单位。单位没统一，后面的交叉相乘很可能只是“看起来像数学”。

单位率：先算“每 1 份”

单位率就是把分母化成 $1$ 。

它特别适合比较。

甲店 $12$ 元买 $3\ \mathrm{kg}$ 橘子，乙店 $15$ 元买 $4\ \mathrm{kg}$ 。直接看总价和重量，脑子容易打结。

算成每千克多少钱：

\text{甲店：}\frac{12}{3}=4\ \text{元}/\mathrm{kg},

\text{乙店：}\frac{15}{4}=3.75\ \text{元}/\mathrm{kg}.

所以乙店更便宜。

一句话：总量不一样时，先除到“每一份”，再比较。

比例：两个比相等

如果两个比的比值相等，就可以写成比例。

最常见的形式是

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\qquad(b\neq 0,\ d\neq 0).

这里 $a$ 和 $d$ 叫外项， $b$ 和 $c$ 叫内项。

比例最核心的工具是交叉相乘：

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad\Longleftrightarrow\quad ad=bc.

为什么成立？

因为在

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}

两边同时乘以 $bd$ ，左边变成 $ad$ ，右边变成 $bc$ 。

反过来也成立：如果 $ad=bc$ ，并且 $b,d$ 都不是 $0$ ，两边同时除以 $bd$ ，又能回到比例式。

所以交叉相乘不是玄学，是分式等式的等价变形。

用比例解未知数

比例题通常长这样：

\frac{3}{5}=\frac{x}{20}.

交叉相乘：

3\times 20=5x.

也就是

60=5x.

所以

x=12.

代回去检查：

\frac{3}{5}=0.6,\qquad \frac{12}{20}=0.6.

两边相等，答案没问题。

如果分子分母里出现一次式，也不用慌。比如

\frac{2x-1}{5}=\frac{x+3}{4}.

它还是先交叉相乘，再展开、移项、合并同类项。也就是说，比例只是把你带回一元一次方程的门口。

正比例：比值一直不变

正比例可以写成

y=kx\qquad(k\neq 0).

它的关键不是“两个量都变大”，而是

\frac{y}{x}=k

一直不变。

比如匀速运动每小时走 $7\ \mathrm{km}$ 。时间是 $x$ ，路程是 $y$ ，那么

y=7x.

时间翻倍，路程也翻倍；时间变成原来的 $3$ 倍，路程也变成原来的 $3$ 倍。

在坐标系里， $y=kx$ 的图像是一条过原点的直线。斜率就是这个比例常数 $k$ 。

反比例：乘积一直不变

反比例可以写成

xy=k\qquad(k\neq 0).

它的关键是

xy

一直不变。

典型例子：总工作量固定。

$12$ 人 $10$ 天完成一项工程，总工作量可以看成

12\times 10=120

个人天。

如果改成 $15$ 人做，需要的天数 $t$ 满足

15t=120.

所以

t=8.

人数变多，天数变少。但不是随便少，而是要让“人数 $\times$ 天数”保持不变。

一个常见误区： $y=5x+2$ 不是正比例

很多同学会觉得：“ $x$ 变大， $y$ 也变大，那不就是正比例吗？”

不是。

正比例必须能写成 $y=kx$ 。而

y=5x+2

多了一个常数项 $2$ 。

它的比值是

\frac{y}{x}=5+\frac{2}{x},

会随着 $x$ 改变。

所以它既不是正比例，也不是反比例。

比例尺：别忘了单位

地图比例尺 $1:50000$ 的意思是：

图上 $1\ \mathrm{cm}$ ，对应实地 $50000\ \mathrm{cm}$ 。

如果图上两点距离是 $2\ \mathrm{cm}$ ，实地距离就是

2\times 50000=100000\ \mathrm{cm}.

再换算成更顺眼的单位：

100000\ \mathrm{cm}=1000\ \mathrm{m}=1\ \mathrm{km}.

比例尺题里，单位换算是高频丢分点。厘米、米、千米混着出现时，先统一，再计算。

单位换算的本质，是乘以一个值为 $1$ 的换算因子。比如

5\ \mathrm{km}\times \frac{1000\ \mathrm{m}}{1\ \mathrm{km}}=5000\ \mathrm{m}.

数值变了，实际长度没变。

面积和比例尺：长度乘一次，面积乘两次

这个坑值得单独拎出来。

比例尺 $1:500$ 是长度比，不是面积比。

图上 $1\ \mathrm{cm}$ 对应实地 $500\ \mathrm{cm}=5\ \mathrm{m}$ 。

但图上 $1\ \mathrm{cm}^2$ 对应的实地面积是

(5\ \mathrm{m})^2=25\ \mathrm{m}^2.

所以面积比是

1:500^2=1:250000.

比如图上有一个 $2\ \mathrm{cm}\times 3\ \mathrm{cm}$ 的长方形。

实地长是

2\times 500=1000\ \mathrm{cm}=10\ \mathrm{m}.

实地宽是

3\times 500=1500\ \mathrm{cm}=15\ \mathrm{m}.

实地面积是

10\times 15=150\ \mathrm{m}^2.

记住一句就够了：长度乘一次比例因子，面积乘两次。

连比：把多个量放进同一张表

三个或更多量一起比较，就会出现连比，比如

a:b:c.

如果已知

a:b=2:3,\qquad b:c=3:5,

中间项 $b$ 已经都是 $3$ ，所以可以直接合并：

a:b:c=2:3:5.

但如果已知

a:b=2:3,\qquad b:c=4:5,

就不能直接写 $2:3:5$ ，因为同一个 $b$ 在两个比里分别是 $3$ 和 $4$ 。

要先把 $b$ 对齐。

$3$ 和 $4$ 的最小公倍数是 $12$ ：

a:b=8:12,\qquad b:c=12:15.

于是

a:b:c=8:12:15.

连比的诀窍只有一个：公共项必须代表同一个量。

按比例分配：先求总份数

把总量 $S$ 按 $a:b:c$ 分给三部分。

最稳的做法是先求总份数：

a+b+c.

三部分分别是

S\times \frac{a}{a+b+c},\qquad S\times \frac{b}{a+b+c},\qquad S\times \frac{c}{a+b+c}.

比如三角形周长是 $48\ \mathrm{cm}$ ，三边之比是 $3:4:5$ 。

总份数是

3+4+5=12.

所以三边分别为

48\times \frac{3}{12}=12\ \mathrm{cm},

48\times \frac{4}{12}=16\ \mathrm{cm},

48\times \frac{5}{12}=20\ \mathrm{cm}.

验算：

12+16+20=48,\qquad 12:16:20=3:4:5.

配方和稀释：其实就是份数题

浓缩液和水按 $1:4$ 混合。

这句话翻译成人话就是：

$1$ 份浓缩液， $4$ 份水，一共 $5$ 份饮料。

要配 $500\ \mathrm{mL}$ 饮料，浓缩液是

500\times \frac{1}{5}=100\ \mathrm{mL}.

水是

500-100=400\ \mathrm{mL}.

这类题不要一上来就被“浓度”“稀释”吓住。先问：一共有几份？目标部分占几份？

份数思想的好处是很直接：不必先把 $1:4$ 改成 $20\%$ 。只要知道浓缩液占 $1$ 份、水占 $4$ 份、总共 $5$ 份，就能用“总量乘对应份数占比”来算。

从分数到比例：同一件事，两种说法

站在代数角度看，分数 $\dfrac{a}{b}$ 和比 $a:b$ 很接近。

当我们说“ $a$ 占 $b$ 的多少”时，更像分数。

当我们说“ $a$ 和 $b$ 相比怎样”时，更像比。

但在计算上，它们常常是同一套操作。

所以解

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}

既可以交叉相乘得到 $ad=bc$ ，也可以通分后比较分子。

比例不是一门全新的魔法。它只是把你熟悉的分数、方程、单位换算，放进了“相对关系”的语境里。

例题演练

例题 1（最简比与比值）

题：已知 $a:b=1.2:0.75$ ，求最简整数比与比值。

先消去小数：同乘 $100$ ，得到 $120:75$ 。

求最大公因数 $\gcd(120,75)=15$ ，所以 $120\div 15=8$ ， $75\div 15=5$ 。最简整数比是 $8:5$ 。

比值是 $\dfrac{8}{5}=1.6$ 。

例题 2（单位率比较）

题：两车油耗：甲车行驶 $240\ \mathrm{km}$ 耗油 $16\ \mathrm{L}$ ，乙车行驶 $315\ \mathrm{km}$ 耗油 $21\ \mathrm{L}$ 。问哪辆车每升油行驶更远？

统一比较“每升能跑多少千米”：甲车 $\dfrac{240}{16}=15\ \mathrm{km/L}$ 。

乙车 $\dfrac{315}{21}=15\ \mathrm{km/L}$ 。

两者单位率相同，所以每升油行驶距离一样远。

例题 3（解比例与检验）

题：求解 $\dfrac{2x-1}{5}=\dfrac{x+3}{4}$ 。

交叉相乘： $4(2x-1)=5(x+3)$ 。

展开： $8x-4=5x+15$ ，移项合并得 $3x=19$ 。

所以 $x=\dfrac{19}{3}$ 。代回原式，左右两边都等于 $\dfrac{7}{3}$ ，解正确。

例题 4A（正比例）

题：某匀速运动， $3\ \mathrm{h}$ 走了 $21\ \mathrm{km}$ 。问 $5\ \mathrm{h}$ 走多少千米？

路程与时间成正比例，速度 $v=\dfrac{21}{3}=7\ \mathrm{km/h}$ 。

所以 $5\ \mathrm{h}$ 的路程是 $s=7\times 5=35\ \mathrm{km}$ 。

例题 4B（反比例）

题：一项工程， $12$ 人 $10$ 天完成。若改由 $15$ 人做（每人效率不变），需要多少天？

人数 $n$ 与天数 $t$ 反比例，满足 $nt=k$ 。

由已知得 $k=12\times 10=120$ ，所以 $15t=120$ ，解得 $t=8$ 天。

例题 5（比例尺与面积）

题：某平面图比例尺 $1:500$ ，图上有一个 $2\ \mathrm{cm}\times 3\ \mathrm{cm}$ 的长方形，求实地面积。

先算实地线性尺寸：长 $=2\times 500=1000\ \mathrm{cm}=10\ \mathrm{m}$ 。

宽 $=3\times 500=1500\ \mathrm{cm}=15\ \mathrm{m}$ 。

实地面积 $=10\times 15=150\ \mathrm{m}^2$ 。注意面积比是 $1:500^2$ ，不是 $1:500$ 。

例题 6（连比与分配）

题：三角形的周长为 $48\ \mathrm{cm}$ ，三边长之比为 $3:4:5$ ，求三边长。

设三边分别为 $3k$ 、 $4k$ 、 $5k$ （ $k>0$ ）。

由周长得 $3k+4k+5k=48$ ，即 $12k=48$ ，所以 $k=4$ 。

三边为 $12\ \mathrm{cm}$ 、 $16\ \mathrm{cm}$ 、 $20\ \mathrm{cm}$ 。验算： $12+16+20=48$ 且 $12:16:20=3:4:5$ 。

小结

比 $a:b$ 讲的是两个量的相对关系，比值 $\dfrac{a}{b}$ 是把这个关系算成一个数。化简比和分数约分是同一件事。

率是带单位的比。比较价格、速度、油耗时，单位率很有用：先算“每 $1$ 份”，再比较。

比例就是两个比相等。交叉相乘

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Longleftrightarrow ad=bc

是比例题的核心工具。

正比例看比值是否恒定： $y=kx$ 。反比例看乘积是否恒定： $xy=k$ 。

比例尺题别忘单位；面积题别把长度比误当面积比。连比和配方题的关键都是“份数”：先求总份数，再按份分配。

习题

习题（最简比与比值）

题：把 $2.4:3.6$ 化为最简整数比，并求比值。

同乘 $10$ 得 $24:36$ ，再同除以 $12$ ，得到最简整数比 $2:3$ 。比值为 $\dfrac{2}{3}$ 。

习题（解比例）

题：解比例： $\dfrac{5}{x}=\dfrac{15}{12}$ ； $\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{3}{5}$ 。

第一题： $5\times 12=15x$ ，所以 $60=15x$ ，得 $x=4$ 。

第二题： $5(x+1)=12$ ，所以 $5x+5=12$ ，得 $x=\dfrac{7}{5}$ 。

习题（比例尺）

题：某地图比例尺 $1:200000$ ，图上两点相距 $3.5\ \mathrm{cm}$ ，求实地距离（千米）。

实地距离 $=3.5\times 200000=700000\ \mathrm{cm}=7000\ \mathrm{m}=7\ \mathrm{km}$ 。

习题（正比例判断）

题：判断：若 $y$ 与 $x$ 满足 $y=5x+2$ ，是否成正比例？说明理由。

不成正比例。正比例要求 $y=kx$ ，而 $y=5x+2$ 含常数项 $2$ ；并且 $\dfrac{y}{x}=5+\dfrac{2}{x}$ 会随着 $x$ 改变，不是常数。

习题（反比例应用）

题：一件工作 $8$ 人 $6$ 天完成；若希望 $4$ 天完成，假设每人效率不变，需要多少人？

人数与天数反比例，总工作量为 $8\times 6=48$ 人天。若 $4$ 天完成，则需人数 $n=\dfrac{48}{4}=12$ 人。

比例与比率

比：先问“谁和谁比”

比值：把比读成一个数

最简比：本质就是约分

率：带单位的比

单位率：先算“每 1 份”

比例：两个比相等

用比例解未知数

正比例：比值一直不变

反比例：乘积一直不变

一个常见误区：y=5x+2y=5x+2y=5x+2 不是正比例

比例尺：别忘了单位

面积和比例尺：长度乘一次，面积乘两次

连比：把多个量放进同一张表

按比例分配：先求总份数

配方和稀释：其实就是份数题

从分数到比例：同一件事，两种说法

例题演练

例题 1（最简比与比值）

例题 2（单位率比较）

例题 3（解比例与检验）

例题 4A（正比例）

例题 4B（反比例）

例题 5（比例尺与面积）

例题 6（连比与分配）

小结

习题

习题（最简比与比值）

习题（解比例）

习题（比例尺）

习题（正比例判断）

习题（反比例应用）

比例与比率

比：先问“谁和谁比”

比值：把比读成一个数

最简比：本质就是约分

率：带单位的比

单位率：先算“每 1 份”

比例：两个比相等

用比例解未知数

正比例：比值一直不变

反比例：乘积一直不变

一个常见误区：y=5x+2y=5x+2y=5x+2 不是正比例

比例尺：别忘了单位

面积和比例尺：长度乘一次，面积乘两次

连比：把多个量放进同一张表

按比例分配：先求总份数

配方和稀释：其实就是份数题

从分数到比例：同一件事，两种说法

例题演练

例题 1（最简比与比值）

例题 2（单位率比较）

例题 3（解比例与检验）

例题 4A（正比例）

例题 4B（反比例）

例题 5（比例尺与面积）

例题 6（连比与分配）

小结

习题

习题（最简比与比值）

习题（解比例）

习题（比例尺）

习题（正比例判断）

习题（反比例应用）

一个常见误区： $y=5x+2$ 不是正比例

一个常见误区： $y=5x+2$ 不是正比例