比例与比率
先说一句大白话:这一部分不是在学一堆新符号,而是在学“两个量怎么绑在一起变化”。
上一部分我们用方程和不等式处理“相等”和“范围”。到了这里,主角换成了“相对关系”:谁是另一个的几倍,谁跟谁按同一个配方变化,谁翻倍以后另一个也翻倍,谁变大以后另一个反而变小。
这就是比例、比率、正比例、反比例这一整套东西的共同底层。
比:先问“谁和谁比”
比(ratio)通常写成 a:b,也可以写成 ba,其中 b=0。
它不是在说“a 有多大”,而是在说“a 相对 b 有多大”。
比如某班男生 18 人、女生 12 人。男生和女生人数之比是
18:12.
这个比可以像分数一样约分。因为 gcd(18,12)=6,所以
18:12=3:2.
这句话的意思是:男生每 3 份,女生对应 2 份。
注意一个很容易踩的坑:3:2 和 2:3 不是一回事。
前者是“男生 : 女生”,后者是“女生 : 男生”。比有顺序,前项和后项不能随手交换。换了位置,就要换文字说明。
比值:把比读成一个数
如果说“比 a:b”是在强调结构,那么“比值”就是把这个结构算成一个数:
ba.
例如
18:12=3:2,1218=23=1.5.
所以 18:12、3:2、6:4、15:10 看起来不一样,但比值都相同。它们描述的是同一种相对关系。
这就是后面“比例”的来源:两个比如果比值相等,就可以写成比例式。
最简比:本质就是约分
把比化成最简整数比,做法和分数约分完全一样。
前项和后项同乘或同除同一个非零数,比值不变:
ba=kbka(k=0).
比如
1.2:0.75.
小数看着烦,就先同乘 100:
1.2:0.75=120:75.
再除以最大公因数 15:
120:75=8:5.
所以最简整数比是 8:5,比值是
58=1.6.
论坛里经常有人问:“为什么可以同时乘 100?”原因很简单:比只关心相对关系,两边同时放大,关系没变。
率:带单位的比
比的两边如果单位不同,就常常叫“率”(rate)。
速度是率:
时间路程.
单价也是率:
重量总价.
人口密度、人均收入、油耗,本质也都是率。
率和普通比最大的区别是:单位不能假装不存在。
比如 72 km/h 和 20 m/s 数字不同,但如果换算一下:
72 km/h=20 m/s.
它们说的是同一个速度。
所以做率的问题,第一步常常不是列式,而是统一单位。单位没统一,后面的交叉相乘很可能只是“看起来像数学”。
单位率:先算“每 1 份”
单位率就是把分母化成 1。
它特别适合比较。
甲店 12 元买 3 kg 橘子,乙店 15 元买 4 kg。直接看总价和重量,脑子容易打结。
算成每千克多少钱:
甲店:312=4 元/kg,
乙店:415=3.75 元/kg.
所以乙店更便宜。
一句话:总量不一样时,先除到“每一份”,再比较。

比例:两个比相等
如果两个比的比值相等,就可以写成比例。
最常见的形式是
ba=dc(b=0, d=0).
这里 a 和 d 叫外项,b 和 c 叫内项。
比例最核心的工具是交叉相乘:
ba=dc⟺ad=bc.
为什么成立?
因为在
ba=dc
两边同时乘以 bd,左边变成 ad,右边变成 bc。
反过来也成立:如果 ad=bc,并且 b,d 都不是 0,两边同时除以 bd,又能回到比例式。
所以交叉相乘不是玄学,是分式等式的等价变形。
列比例式时,最重要的不是“赶紧交叉相乘”,而是先把对应关系摆正。分子要对应分子,分母要对应分母;或者同一侧固定为同一个情境。拿不准时,先画一个两行两列的小表格,再竖着写成两个分式。
用比例解未知数
比例题通常长这样:
53=20x.
交叉相乘:
3×20=5x.
也就是
60=5x.
所以
x=12.
代回去检查:
53=0.6,2012=0.6.
两边相等,答案没问题。
如果分子分母里出现一次式,也不用慌。比如
52x−1=4x+3.
它还是先交叉相乘,再展开、移项、合并同类项。也就是说,比例只是把你带回一元一次方程的门口。
正比例:比值一直不变
正比例可以写成
y=kx(k=0).
它的关键不是“两个量都变大”,而是
xy=k
一直不变。
比如匀速运动每小时走 7 km。时间是 x,路程是 y,那么
y=7x.
时间翻倍,路程也翻倍;时间变成原来的 3 倍,路程也变成原来的 3 倍。
在坐标系里,y=kx 的图像是一条过原点的直线。斜率就是这个比例常数 k。
反比例:乘积一直不变
反比例可以写成
xy=k(k=0).
它的关键是
xy
一直不变。
典型例子:总工作量固定。
12 人 10 天完成一项工程,总工作量可以看成
12×10=120
个人天。
如果改成 15 人做,需要的天数 t 满足
15t=120.
所以
t=8.
人数变多,天数变少。但不是随便少,而是要让“人数 × 天数”保持不变。

判断正比例还是反比例,可以先问一句:x 翻倍时,y 是跟着翻倍,还是变成一半?前者通常指向正比例,后者通常指向反比例。但最终还要看公式:正比例要求 xy 恒定,反比例要求 xy 恒定。
一个常见误区:y=5x+2 不是正比例
很多同学会觉得:“x 变大,y 也变大,那不就是正比例吗?”
不是。
正比例必须能写成 y=kx。而
y=5x+2
多了一个常数项 2。
它的比值是
xy=5+x2,
会随着 x 改变。
所以它既不是正比例,也不是反比例。
比例尺:别忘了单位
地图比例尺 1:50000 的意思是:
图上 1 cm,对应实地 50000 cm。
如果图上两点距离是 2 cm,实地距离就是
2×50000=100000 cm.
再换算成更顺眼的单位:
100000 cm=1000 m=1 km.
比例尺题里,单位换算是高频丢分点。厘米、米、千米混着出现时,先统一,再计算。
单位换算的本质,是乘以一个值为 1 的换算因子。比如
5 km×1 km1000 m=5000 m.
数值变了,实际长度没变。
面积和比例尺:长度乘一次,面积乘两次
这个坑值得单独拎出来。
比例尺 1:500 是长度比,不是面积比。
图上 1 cm 对应实地 500 cm=5 m。
但图上 1 cm2 对应的实地面积是
(5 m)2=25 m2.
所以面积比是
1:5002=1:250000.
比如图上有一个 2 cm×3 cm 的长方形。
实地长是
2×500=1000 cm=10 m.
实地宽是
3×500=1500 cm=15 m.
实地面积是
10×15=150 m2.
记住一句就够了:长度乘一次比例因子,面积乘两次。
连比:把多个量放进同一张表
三个或更多量一起比较,就会出现连比,比如
a:b:c.
如果已知
a:b=2:3,b:c=3:5,
中间项 b 已经都是 3,所以可以直接合并:
a:b:c=2:3:5.
但如果已知
a:b=2:3,b:c=4:5,
就不能直接写 2:3:5,因为同一个 b 在两个比里分别是 3 和 4。
要先把 b 对齐。
3 和 4 的最小公倍数是 12:
a:b=8:12,b:c=12:15.
于是
a:b:c=8:12:15.
连比的诀窍只有一个:公共项必须代表同一个量。
按比例分配:先求总份数
把总量 S 按 a:b:c 分给三部分。
最稳的做法是先求总份数:
a+b+c.
三部分分别是
S×a+b+ca,S×a+b+cb,S×a+b+cc.
比如三角形周长是 48 cm,三边之比是 3:4:5。
总份数是
3+4+5=12.
所以三边分别为
48×123=12 cm,
48×124=16 cm,
48×125=20 cm.
验算:
12+16+20=48,12:16:20=3:4:5.
配方和稀释:其实就是份数题
浓缩液和水按 1:4 混合。
这句话翻译成人话就是:
1 份浓缩液,4 份水,一共 5 份饮料。
要配 500 mL 饮料,浓缩液是
500×51=100 mL.
水是
500−100=400 mL.
这类题不要一上来就被“浓度”“稀释”吓住。先问:一共有几份?目标部分占几份?
份数思想的好处是很直接:不必先把 1:4 改成 20%。只要知道浓缩液占 1 份、水占 4 份、总共 5 份,就能用“总量乘对应份数占比”来算。
从分数到比例:同一件事,两种说法
站在代数角度看,分数 ba 和比 a:b 很接近。
当我们说“a 占 b 的多少”时,更像分数。
当我们说“a 和 b 相比怎样”时,更像比。
但在计算上,它们常常是同一套操作。
所以解
ba=dc
既可以交叉相乘得到 ad=bc,也可以通分后比较分子。
比例不是一门全新的魔法。它只是把你熟悉的分数、方程、单位换算,放进了“相对关系”的语境里。
例题演练
例题 1(最简比与比值)
题:已知 a:b=1.2:0.75,求最简整数比与比值。
先消去小数:同乘 100,得到 120:75。
求最大公因数 gcd(120,75)=15,所以 120÷15=8,75÷15=5。最简整数比是 8:5。
比值是 58=1.6。
例题 2(单位率比较)
题:两车油耗:甲车行驶 240 km 耗油 16 L,乙车行驶 315 km 耗油 21 L。问哪辆车每升油行驶更远?
统一比较“每升能跑多少千米”:甲车 16240=15 km/L。
乙车 21315=15 km/L。
例题 3(解比例与检验)
题:求解 52x−1=4x+3。
交叉相乘:4(2x−1)=5(x+3)。
展开:8x−4=5x+15,移项合并得 3x=19。
所以 x=319。代回原式,左右两边都等于 37,解正确。
例题 4A(正比例)
题:某匀速运动,3 h 走了 21 km。问 5 h 走多少千米?
路程与时间成正比例,速度 v=321=7 km/h。
所以 5 h 的路程是 s=7×5=35 km。
例题 4B(反比例)
题:一项工程,12 人 10 天完成。若改由 15 人做(每人效率不变),需要多少天?
人数 n 与天数 t 反比例,满足 nt=k。
由已知得 k=12×10=120,所以 15t=120,解得 t=8 天。
例题 5(比例尺与面积)
题:某平面图比例尺 1:500,图上有一个 2 cm×3 cm 的长方形,求实地面积。
先算实地线性尺寸:长 =2×500=1000 cm=10 m。
宽 =3×500=1500 cm=15 m。
实地面积 =10×15=150 m2。注意面积比是 1:5002,不是 1:500。
例题 6(连比与分配)
题:三角形的周长为 48 cm,三边长之比为 3:4:5,求三边长。
设三边分别为 3k、4k、5k(k>0)。
由周长得 3k+4k+5k=48,即 12k=48,所以 k=4。
三边为 12 cm、16 cm、20 cm。验算:12+16+20=48 且 12:16:20=3:4:5。
小结
比 a:b 讲的是两个量的相对关系,比值 ba 是把这个关系算成一个数。化简比和分数约分是同一件事。
率是带单位的比。比较价格、速度、油耗时,单位率很有用:先算“每 1 份”,再比较。
比例就是两个比相等。交叉相乘
ba=dc⟺ad=bc
是比例题的核心工具。
正比例看比值是否恒定:y=kx。反比例看乘积是否恒定:xy=k。
比例尺题别忘单位;面积题别把长度比误当面积比。连比和配方题的关键都是“份数”:先求总份数,再按份分配。
习题
习题(最简比与比值)
题:把 2.4:3.6 化为最简整数比,并求比值。
同乘 10 得 24:36,再同除以 12,得到最简整数比 2:3。比值为 32。
习题(解比例)
题:解比例:x5=1215;4x+1=53。
第一题:5×12=15x,所以 60=15x,得 x=4。
第二题:5(x+1)=12,所以 5x+5=12,得 x=57。
习题(比例尺)
题:某地图比例尺 1:200000,图上两点相距 3.5 cm,求实地距离(千米)。
实地距离 =3.5×200000=700000 cm=7000 m=7 km。
习题(正比例判断)
题:判断:若 y 与 x 满足 y=5x+2,是否成正比例?说明理由。
不成正比例。正比例要求 y=kx,而 y=5x+2 含常数项 2;并且 xy=5+x2 会随着 x 改变,不是常数。
习题(反比例应用)
题:一件工作 8 人 6 天完成;若希望 4 天完成,假设每人效率不变,需要多少人?
人数与天数反比例,总工作量为 8×6=48 人天。若 4 天完成,则需人数 n=448=12 人。