比例与比率 | 自在学

比例与比率

先说一句大白话：这一部分不是在学一堆新符号，而是在学“两个量怎么绑在一起变化”。

上一部分我们用方程和不等式处理“相等”和“范围”。到了这里，主角换成了“相对关系”：谁是另一个的几倍，谁跟谁按同一个配方变化，谁翻倍以后另一个也翻倍，谁变大以后另一个反而变小。

这就是比例、比率、正比例、反比例这一整套东西的共同底层。

比：先问“谁和谁比”

比（ratio）通常写成 $a:b$ ，也可以写成 $\dfrac{a}{b}$ ，其中 $b\neq 0$ 。

它不是在说“ $a$ 有多大”，而是在说“ $a$ 相对 $b$ 有多大”。

比如某班男生 $18$ 人、女生 $12$ 人。男生和女生人数之比是

18:12.

这个比可以像分数一样约分。因为 $\gcd(18,12)=6$ ，所以

18:12=3:2.

这句话的意思是：男生每 $3$ 份，女生对应 $2$ 份。

注意一个很容易踩的坑： $3:2$ 和 $2:3$ 不是一回事。

前者是“男生 : 女生”，后者是“女生 : 男生”。比有顺序，前项和后项不能随手交换。换了位置，就要换文字说明。

比值：把比读成一个数

如果说“比 $a:b$ ”是在强调结构，那么“比值”就是把这个结构算成一个数：

\frac{a}{b}.

例如

18:12=3:2,\qquad \frac{18}{12}=\frac{3}{2}=1.5.

所以 $18:12$ 、 $3:2$ 、 $6:4$ 、 $15:10$ 看起来不一样，但比值都相同。它们描述的是同一种相对关系。

这就是后面“比例”的来源：两个比如果比值相等，就可以写成比例式。

最简比：本质就是约分

把比化成最简整数比，做法和分数约分完全一样。

前项和后项同乘或同除同一个非零数，比值不变：

\frac{a}{b}=\frac{ka}{kb}\qquad(k\neq 0).

比如

1.2:0.75.

小数看着烦，就先同乘 $100$ ：

1.2:0.75=120:75.

再除以最大公因数 $15$ ：

120:75=8:5.

所以最简整数比是 $8:5$ ，比值是

\frac{8}{5}=1.6.

论坛里经常有人问：“为什么可以同时乘 $100$ ？”原因很简单：比只关心相对关系，两边同时放大，关系没变。

率：带单位的比

比的两边如果单位不同，就常常叫“率”（rate）。

速度是率：

\frac{\text{路程}}{\text{时间}}.

单价也是率：

\frac{\text{总价}}{\text{重量}}.

人口密度、人均收入、油耗，本质也都是率。

率和普通比最大的区别是：单位不能假装不存在。

比如 $72\ \mathrm{km/h}$ 和 $20\ \mathrm{m/s}$ 数字不同，但如果换算一下：

72\ \mathrm{km/h}=20\ \mathrm{m/s}.

它们说的是同一个速度。

所以做率的问题，第一步常常不是列式，而是统一单位。单位没统一，后面的交叉相乘很可能只是“看起来像数学”。

单位率：先算“每 1 份”

单位率就是把分母化成 $1$ 。

它特别适合比较。

甲店 $12$ 元买 $3\ \mathrm{kg}$ 橘子，乙店 $15$ 元买 $4\ \mathrm{kg}$ 。直接看总价和重量，脑子容易打结。

算成每千克多少钱：

\text{甲店：}\frac{12}{3}=4\ \text{元}/\mathrm{kg},

\text{乙店：}\frac{15}{4}=3.75\ \text{元}/\mathrm{kg}.

所以乙店更便宜。

一句话：总量不一样时，先除到“每一份”，再比较。

一张对比条形图，左侧标注"甲店 4 元/kg"，右侧标注"乙店 3.75 元/kg"，纵轴为单位价格（元/kg），两根柱子高度略有差异，用颜色区分，柱顶标注具体数值，下方注明总价与总重量的原始数据，直观展示单位率比较的过程

比例：两个比相等

如果两个比的比值相等，就可以写成比例。

最常见的形式是

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\qquad(b\neq 0,\ d\neq 0).

这里 $a$ 和 $d$ 叫外项， $b$ 和 $c$ 叫内项。

比例最核心的工具是交叉相乘：

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad\Longleftrightarrow\quad ad=bc.

为什么成立？

因为在

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}

两边同时乘以 $bd$ ，左边变成 $ad$ ，右边变成 $bc$ 。

反过来也成立：如果 $ad=bc$ ，并且 $b,d$ 都不是 $0$ ，两边同时除以 $bd$ ，又能回到比例式。

所以交叉相乘不是玄学，是分式等式的等价变形。

列比例式时，最重要的不是“赶紧交叉相乘”，而是先把对应关系摆正。分子要对应分子，分母要对应分母；或者同一侧固定为同一个情境。拿不准时，先画一个两行两列的小表格，再竖着写成两个分式。

用比例解未知数

比例题通常长这样：

\frac{3}{5}=\frac{x}{20}.

交叉相乘：

3\times 20=5x.

也就是

60=5x.

所以

x=12.

代回去检查：

\frac{3}{5}=0.6,\qquad \frac{12}{20}=0.6.

两边相等，答案没问题。

如果分子分母里出现一次式，也不用慌。比如

\frac{2x-1}{5}=\frac{x+3}{4}.

它还是先交叉相乘，再展开、移项、合并同类项。也就是说，比例只是把你带回一元一次方程的门口。

正比例：比值一直不变

正比例可以写成

y=kx\qquad(k\neq 0).

它的关键不是“两个量都变大”，而是

\frac{y}{x}=k

一直不变。

比如匀速运动每小时走 $7\ \mathrm{km}$ 。时间是 $x$ ，路程是 $y$ ，那么

y=7x.

时间翻倍，路程也翻倍；时间变成原来的 $3$ 倍，路程也变成原来的 $3$ 倍。

在坐标系里， $y=kx$ 的图像是一条过原点的直线。斜率就是这个比例常数 $k$ 。

反比例：乘积一直不变

反比例可以写成

xy=k\qquad(k\neq 0).

它的关键是

xy

一直不变。

典型例子：总工作量固定。

$12$ 人 $10$ 天完成一项工程，总工作量可以看成

12\times 10=120

个人天。

如果改成 $15$ 人做，需要的天数 $t$ 满足

15t=120.

所以

t=8.

人数变多，天数变少。但不是随便少，而是要让“人数 $\times$ 天数”保持不变。

在同一张坐标系中绘制两条曲线：一条是过原点的直线 y=kx（标注"正比例：比值恒定"），另一条是第一象限的双曲线 xy=k（标注"反比例：乘积恒定"）。在直线上标出两点并用虚线标注它们的纵横坐标比相同；在双曲线上标出两点并用矩形面积示意它们围成的矩形面积相同。坐标轴标注 x 与 y，图例区分两条曲线的颜色

判断正比例还是反比例，可以先问一句： $x$ 翻倍时， $y$ 是跟着翻倍，还是变成一半？前者通常指向正比例，后者通常指向反比例。但最终还要看公式：正比例要求 $\dfrac{y}{x}$ 恒定，反比例要求 $xy$ 恒定。

一个常见误区： $y=5x+2$ 不是正比例

很多同学会觉得：“ $x$ 变大， $y$ 也变大，那不就是正比例吗？”

不是。

正比例必须能写成 $y=kx$ 。而

y=5x+2

多了一个常数项 $2$ 。

它的比值是

\frac{y}{x}=5+\frac{2}{x},

会随着 $x$ 改变。

所以它既不是正比例，也不是反比例。

比例尺：别忘了单位

地图比例尺 $1:50000$ 的意思是：

图上 $1\ \mathrm{cm}$ ，对应实地 $50000\ \mathrm{cm}$ 。

如果图上两点距离是 $2\ \mathrm{cm}$ ，实地距离就是

2\times 50000=100000\ \mathrm{cm}.

再换算成更顺眼的单位：

100000\ \mathrm{cm}=1000\ \mathrm{m}=1\ \mathrm{km}.

比例尺题里，单位换算是高频丢分点。厘米、米、千米混着出现时，先统一，再计算。

单位换算的本质，是乘以一个值为 $1$ 的换算因子。比如

5\ \mathrm{km}\times \frac{1000\ \mathrm{m}}{1\ \mathrm{km}}=5000\ \mathrm{m}.

数值变了，实际长度没变。

面积和比例尺：长度乘一次，面积乘两次

这个坑值得单独拎出来。

比例尺 $1:500$ 是长度比，不是面积比。

图上 $1\ \mathrm{cm}$ 对应实地 $500\ \mathrm{cm}=5\ \mathrm{m}$ 。

但图上 $1\ \mathrm{cm}^2$ 对应的实地面积是

(5\ \mathrm{m})^2=25\ \mathrm{m}^2.

所以面积比是

1:500^2=1:250000.

比如图上有一个 $2\ \mathrm{cm}\times 3\ \mathrm{cm}$ 的长方形。

实地长是

2\times 500=1000\ \mathrm{cm}=10\ \mathrm{m}.

实地宽是

3\times 500=1500\ \mathrm{cm}=15\ \mathrm{m}.

实地面积是

10\times 15=150\ \mathrm{m}^2.

记住一句就够了：长度乘一次比例因子，面积乘两次。

连比：把多个量放进同一张表

三个或更多量一起比较，就会出现连比，比如

a:b:c.

如果已知

a:b=2:3,\qquad b:c=3:5,

中间项 $b$ 已经都是 $3$ ，所以可以直接合并：

a:b:c=2:3:5.

但如果已知

a:b=2:3,\qquad b:c=4:5,

就不能直接写 $2:3:5$ ，因为同一个 $b$ 在两个比里分别是 $3$ 和 $4$ 。

要先把 $b$ 对齐。

$3$ 和 $4$ 的最小公倍数是 $12$ ：

a:b=8:12,\qquad b:c=12:15.

于是

a:b:c=8:12:15.

连比的诀窍只有一个：公共项必须代表同一个量。

按比例分配：先求总份数

把总量 $S$ 按 $a:b:c$ 分给三部分。

最稳的做法是先求总份数：

a+b+c.

三部分分别是

S\times \frac{a}{a+b+c},\qquad S\times \frac{b}{a+b+c},\qquad S\times \frac{c}{a+b+c}.

比如三角形周长是 $48\ \mathrm{cm}$ ，三边之比是 $3:4:5$ 。

总份数是

3+4+5=12.

所以三边分别为

48\times \frac{3}{12}=12\ \mathrm{cm},

48\times \frac{4}{12}=16\ \mathrm{cm},

48\times \frac{5}{12}=20\ \mathrm{cm}.

验算：

12+16+20=48,\qquad 12:16:20=3:4:5.

配方和稀释：其实就是份数题

浓缩液和水按 $1:4$ 混合。

这句话翻译成人话就是：

$1$ 份浓缩液， $4$ 份水，一共 $5$ 份饮料。

要配 $500\ \mathrm{mL}$ 饮料，浓缩液是

500\times \frac{1}{5}=100\ \mathrm{mL}.

水是

500-100=400\ \mathrm{mL}.

这类题不要一上来就被“浓度”“稀释”吓住。先问：一共有几份？目标部分占几份？

份数思想的好处是很直接：不必先把 $1:4$ 改成 $20\%$ 。只要知道浓缩液占 $1$ 份、水占 $4$ 份、总共 $5$ 份，就能用“总量乘对应份数占比”来算。

从分数到比例：同一件事，两种说法

站在代数角度看，分数 $\dfrac{a}{b}$ 和比 $a:b$ 很接近。

当我们说“ $a$ 占 $b$ 的多少”时，更像分数。

当我们说“ $a$ 和 $b$ 相比怎样”时，更像比。

但在计算上，它们常常是同一套操作。

所以解

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}

既可以交叉相乘得到 $ad=bc$ ，也可以通分后比较分子。

比例不是一门全新的魔法。它只是把你熟悉的分数、方程、单位换算，放进了“相对关系”的语境里。

例题演练

例题 1（最简比与比值）

题：已知 $a:b=1.2:0.75$ ，求最简整数比与比值。

先消去小数：同乘 $100$ ，得到 $120:75$ 。

求最大公因数 $\gcd(120,75)=15$ ，所以，。最简整数比是。

例题 2（单位率比较）

题：两车油耗：甲车行驶 $240\ \mathrm{km}$ 耗油 $16\ \mathrm{L}$ ，乙车行驶 $315\ \mathrm{km}$ 耗油 $21\ \mathrm{L}$ 。问哪辆车每升油行驶更远？

统一比较“每升能跑多少千米”：甲车 $\dfrac{240}{16}=15\ \mathrm{km/L}$ 。

例题 3（解比例与检验）

题：求解 $\dfrac{2x-1}{5}=\dfrac{x+3}{4}$ 。

交叉相乘： $4(2x-1)=5(x+3)$ 。

展开：，移项合并得。

例题 4A（正比例）

题：某匀速运动， $3\ \mathrm{h}$ 走了 $21\ \mathrm{km}$ 。问 $5\ \mathrm{h}$ 走多少千米？

路程与时间成正比例，速度 $v=\dfrac{21}{3}=7\ \mathrm{km/h}$ 。

例题 4B（反比例）

题：一项工程， $12$ 人 $10$ 天完成。若改由 $15$ 人做（每人效率不变），需要多少天？

人数 $n$ 与天数 $t$ 反比例，满足 $nt=k$ 。

由已知得，所以，解得天。

例题 5（比例尺与面积）

题：某平面图比例尺 $1:500$ ，图上有一个 $2\ \mathrm{cm}\times 3\ \mathrm{cm}$ 的长方形，求实地面积。

先算实地线性尺寸：长 $=2\times 500=1000\ \mathrm{cm}=10\ \mathrm{m}$ 。

例题 6（连比与分配）

题：三角形的周长为 $48\ \mathrm{cm}$ ，三边长之比为 $3:4:5$ ，求三边长。

设三边分别为 $3k$ 、 $4k$ 、 $5k$ （ $k>0$ ）。

小结

比 $a:b$ 讲的是两个量的相对关系，比值 $\dfrac{a}{b}$ 是把这个关系算成一个数。化简比和分数约分是同一件事。

率是带单位的比。比较价格、速度、油耗时，单位率很有用：先算“每 $1$ 份”，再比较。

比例就是两个比相等。交叉相乘

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Longleftrightarrow ad=bc

是比例题的核心工具。

正比例看比值是否恒定： $y=kx$ 。反比例看乘积是否恒定： $xy=k$ 。

比例尺题别忘单位；面积题别把长度比误当面积比。连比和配方题的关键都是“份数”：先求总份数，再按份分配。

习题

习题（最简比与比值）

题：把 $2.4:3.6$ 化为最简整数比，并求比值。

同乘 $10$ 得 $24:36$ ，再同除以 $12$ ，得到最简整数比 $2:3$ 。比值为 $\dfrac{2}{3}$ 。

习题（解比例）

题：解比例： $\dfrac{5}{x}=\dfrac{15}{12}$ ； $\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{3}{5}$ 。

第一题： $5\times 12=15x$ ，所以 $60=15x$ ，得 $x=4$ 。

第二题： $5(x+1)=12$ ，所以，得。

习题（比例尺）

题：某地图比例尺 $1:200000$ ，图上两点相距 $3.5\ \mathrm{cm}$ ，求实地距离（千米）。

实地距离 $=3.5\times 200000=700000\ \mathrm{cm}=7000\ \mathrm{m}=7\ \mathrm{km}$ 。

习题（正比例判断）

题：判断：若 $y$ 与 $x$ 满足 $y=5x+2$ ，是否成正比例？说明理由。

不成正比例。正比例要求 $y=kx$ ，而 $y=5x+2$ 含常数项 $2$ ；并且 $\dfrac{y}{x}=5+\dfrac{2}{x}$ 会随着改变，不是常数。

习题（反比例应用）

题：一件工作 $8$ 人 $6$ 天完成；若希望 $4$ 天完成，假设每人效率不变，需要多少人？

人数与天数反比例，总工作量为 $8\times 6=48$ 人天。若 $4$ 天完成，则需人数 $n=\dfrac{48}{4}=12$ 人。

k = 12 \times 10 = 120

k=12\times 10=120