比例与比率
上一部分在《简单方程与不等式》中，我们把「相等」与「范围」写成一元一次方程 与一次不等式：未知数出现在等号或不等号两侧，变形规则是加减同一量、乘除时留意不等号方向。 这部分我们处理另一类关系——两组量之间的倍比结构。
比与比率：先分清「结构」与「读法」
比（ratio）常写成 或 （），表示 与 的相对大小关系。当两个量都不带单位、或单位已经相互约去时，比就是一个纯数结构：它告诉我们的是「一个量是另一个量的几倍」，而不是「一个量有多大」。例如某班男生 人、女生 人，男女生人数之比为 。 化简的方式与分数约分完全相同：分子分母同除以 ，得到 ，这就是最简整数比，对应比值 。值得注意的是， 与 说的是两件不同的事——前者是男生相对于女生，后者反过来——因此比具有有序性：前项与后项的位置不能互换，除非你同时改变文字叙述里「谁对谁」的说法。
「比率」一词在中文教材里有时与「比」混用，有时特指比值 这一个数。为了避免歧义，这里我们做一个简单约定：说「比 」时，强调的是结构和顺序（前项、后项各是谁）；说「比值」时，指的是 这一个具体的数，它可以用来比较不同总量下的结构是否相同。例如 与 虽然前项后项不同，但比值都是 ，说明两者描述的相对关系在结构上一致。这种「不同表面、同一比值」的观察，正是后面讨论比例式时的出发点。
最简比与等值比
比的前项和后项同乘或同除同一个非零数，比值保持不变——这与分数的基本性质 （）一脉相承。正因如此，化最简比与约分是同一件事：先求 ，再把前项后项同时除以这个最大公因数。如果原比含有小数，更顺手的做法是先把两边同乘 或 消去小数点，再做整数约分。比如 ，同乘 得 ，而 ，于是最简整数比为 ，比值 。
由此可见，所有与 比值相同的比——、、、……——都可以视为同一个比的不同「化身」，数学上称为。列比例式时用到的正是这一等价性：当我们写下 时，就是在宣称 与 是等值比。
率与单位率
若两个量携带不同单位——路程与时间、金额与重量、人口与面积——它们的比在英语里更常被称为 rate（率），而中文教材里也常说「速率」「单价」「密度」「人均」，这些都是率的具体实例。率与纯比最大的区别在于单位不约去： 与 描述的可能是同一运动状态，但数字截然不同，因此在列式之前必须先把两个量统一到同一套单位，否则交叉相乘得到的等式从量纲上就已不自洽。
单位率（unit rate）是一种特别有用的率：它把分母化为 个单位量，使得不同情境之间的比较变得直观。例如，甲店 元买 橘子，乙店 元买 ，两者总价与总量都不一样，直接看不出谁更便宜。但一旦算出单位率——甲店 元，乙店 元——就能立刻判断乙店单位价格更低。这里的思维模式与「速度等于路程除以时间」「人均收入等于总收入除以人数」完全同构：。
比例：两个比相等
当两个比具有相同的比值时，我们把它们写成一个等式 （），称这四个数成（proportion）。其中 和 叫做外项， 和 叫做内项。比例有一条核心性质，在中英文教材里都被反复使用，那就是（cross multiplication）：
推导只需一步：在 两边同时乘以 （它非零），左边得到 ，右边得到 ，于是 。反过来，若已知 且 均不为零，两边同除以 就回到 。这种双向等价性意味着，交叉相乘既是两个比是否相等的工具，也是含未知数的比例式的标准手法——一旦交叉相乘，比例式立刻化为整式方程，接下来就是上一篇方程章的技术活了。
列应用题中的比例式时，务必保证分子同一类量、分母同一类量，或者同一侧对应同一情境。一个实用技巧是在草稿纸上画一个两行两列的对应表：第一行写第一类量的两组数据，第二行写第二类量的两组数据，然后竖着写成两个分式令其相等。这种「先列表再列式」的习惯比口头说「这个对那个」更不容易串行。
用比例解未知量
设未知数为 ，只要把题目中的倍比关系正确地写成 的形式，再交叉相乘就化为一元一次方程。以 为例：交叉相乘得 ，即 ，两边除以 得到 。解完后代回原式检验——左边 ，右边 ，两边相等，解正确。
更一般的情形中，分子分母本身也可以是一次式。比如上一段示例里的方程，仍然先做交叉相乘，再展开、移项、合并同类项，最后得到未知数并代回检验。这个例子说明，即使比例式看上去比简单方程复杂一些，但核心操作仍然是交叉相乘加上整式方程的基本功——比例不过是方程的一扇入口。
正比例与反比例
在初中阶段，两类变量之间最常遇到的倍比关系可以归为两种模式。
正比例说的是 ，其中 为非零常数。这意味着 扩大为原来的若干倍时， 同步地扩大相同的倍数；缩小时也同倍缩小。换言之，比值 恒定不变。日常语言中，「每小时走 千米」就隐含了路程与时间的正比例关系：路程等于速度乘以时间，速度是那个恒定的比例常数 。在直角坐标系里， 的图像是一条过原点的直线，斜率为 ——这是后续学习函数图像时最先遇到的图形之一。
反比例说的是 ，其中 为非零常数。此时 增大则 减小，反之亦然，但减小不是随意的，而是恰好使乘积保持不变。典型的情景是「总量固定，分给更多份则每份更少」： 人 天完成的工程总量为 个「人·天」，若改用 人做，则需要 天。在坐标系里，（取 的部分）画出的是位于第一象限的一支双曲线，随着 增大曲线越来越贴近横轴但永远不会碰到——这种「趋近但不达」的图像特征，与「人数无限增加时天数趋向零但不可能为零」的实际含义吻合。
快速判别正比例还是反比例，可以这样问自己：当 翻倍时， 是跟着翻倍（比值不变，正比例），还是减半（乘积不变，反比例）？如果两者都不是——比如 ，翻倍 后 变为 而非 ——那就既不是正比例也不是反比例，因为比值 随 变化而变化，乘积 同样不恒定。
比例尺与单位换算
地图比例尺 的含义是图上 对应实地 。如果图上量出两点间距离为 ，实地距离就是 。然而 对于直觉来说太大，还需要做单位换算：。
单位换算的本质是乘以一个值为 1 的换算因子，也就是量纲分析里最基础的手法。例如把 化为米，本质上是乘以「每 1 千米等于 1000 米」这个等价关系，得到 。这个换算因子等于 1，所以不会改变实际大小，只会改变单位表达。
这里有一个在考试中经常引发丢分的陷阱：比例尺对长度是线性的，但对面积是二次的。若比例尺为 ，则图上 对应实地 ，图上面积 对应的实地面积却是 ，面积比为 。具体来说，图上一个 的长方形，实地的长与宽分别是 和 ，实地面积为 。若误把面积比也当成 ，就会把答案搞错整整一个数量级。记住：。
连比与按比例分配
当三个或更多量依次比较时，就出现了连比——形如 的写法。把两个独立的比合并为一个连比，关键在于对齐中间项。如果已知 且 ，那么中间项 在两个比里恰好都是 ，直接写 即可。但如果 而 ，中间项 在前一个比里是 、后一个比里是 ，两者不一致，就需要先把 统一为同一个数。 和 的最小公倍数是 ，于是把第一个比扩大为 ，第二个比扩大为 ，合并得到 。
连比最常见的应用场景是按比例分配。把总量 按 分给三部分时，做法是先求「份数之和」，然后每一部分分别占总量的 、、。例如三角形的周长为 ，三边长之比为 ，则份数之和为 ，三边分别为 、、。验算时， 且 ，两项检查都通过。这类问题与分数章的「求一个数的几分之几」属于同一骨架，只不过先从连比出发多了一步确定分母 的过程。
配方、稀释与混合
许多生活中的「按原方加倍」「加水稀释」问题，本质上都是同一结构在不同总量下保持比例。若浓缩液与水按 体积混合成饮料，那么「 份浓缩 份水 份饮料」就是基本单位。要配制 饮料，浓缩液体积为 ，水为 。
这类题目用的正是按比例分配的思路：总量乘以对应部分在份数之和中的占比。浓度——无论是质量分数还是体积分数——在预备阶段可以理解为「部分与整体的比」。更系统的百分数应用将在课程中百分比专章处理，此处只需要会用份数思想：先确定各组分的份数之比，再根据总量求出每一组分的绝对量。
份数思想的一大好处在于它绕过了百分数与小数的换算：你不需要知道浓缩液占 ，只需要知道它占 份、水占 份、总共 份，然后用总量除以 再分配即可。当比例关系简单时，这比列方程更快；当比例关系复杂时（比如三种以上原料），也可以按“某一部分份数除以总份数”的统一规则直接推广。
从分数到比例：同一结构的两种口音
站在代数的角度看，分数 与比 是同一个对象的两种读法。当我们说「 在 份里占多少」时，读的是分数；当我们说「 与 的相对大小」时，读的是比。因此，上一篇方程章里已经出现过的分式等式，与本篇的比例式在代数操作层面完全相同：解 时，既可以交叉相乘直接得到 ，也可以两边先通分再比较分子——结果不会有差异，选择更顺手的那一种即可。
这种「同一对象、不同语境」的认识之所以值得强调，是因为不少学生在学到比例时觉得它是一种全新的知识，却忘了自己早已在分数运算里做过完全相同的代数操作。意识到这一点后，学习的负担会大大减轻：你不需要新的技能，只需要用旧技能解读新的文字叙述。
例题演练
例题 1（最简比与比值）
题：已知 ，求最简整数比与比值。
先消去小数：同乘 得 。
求最大公因数 ，所以 ，，最简整数比为 。
例题 2（单位率比较）
题：两车油耗：甲车行驶 耗油 ，乙车行驶 耗油 。问哪辆车每升油行驶更远？
统一比较「每升行驶千米数」（）：甲车 ，乙车 。
例题 3（解比例与检验）
题：求解 。
交叉相乘得 ，展开为 。
例题 4A（正比例）
题：某匀速运动， 走了 ，问 走多少千米？
路程与时间成正比例，速度 。
例题 4B（反比例）
题：一项工程， 人 天完成。若改由 人做（每人效率不变），需要多少天？
人数 与天数 反比例，满足 。
由已知得 ，于是 ，解得 天。
例题 5（比例尺与面积）
题：某平面图比例尺 ，图上有一个 的长方形，求实地面积。
先算实地线性尺寸：长 ，宽 。
例题 6（连比与分配）
题：三角形的周长为 ，三边长之比为 ，求三边长。
设三边分别为 、、（），由周长得 ，即 。
小结
比与比值是有序的相对大小关系，化简比与约分是同一种操作；率与单位率把不同单位的量放在一起比较，单位率通过把分母化为 使比较变得直接。 比例是两个比相等的等式，交叉相乘 是它的核心性质，也是从比例式到一次方程的标准通道。正比例锁定比值恒定（），反比例锁定乘积恒定（），判别时不能只看变化方向，还要验证对应的商或积是否真的不变。
比例尺对长度是线性的，对面积是二次的。连比通过对齐中间项合并，按比例分配通过份数之和来拆分总量。所有这些操作的代数底层——解一次方程——已经在上一部分中准备就绪，而这部分我们建立的单位与倍比意识，又将在下一部分几何测量中反复被调用。
习题
习题（最简比与比值）
题：把 化为最简整数比，并求比值。
同乘 得 ，再同除以 得最简整数比 。比值为 （约为 ）。
习题（解比例）
题：解比例：；。
第一题：，得 ，故 。
第二题：，得 ，故 ，。
习题（比例尺）
题：某地图比例尺 ，图上两点相距 ，求实地距离（千米）。
实地距离 。
习题（正比例判断）
题：判断：若 与 满足 ，是否成正比例？说明理由。
不成正比例。正比例要求形式为 （过原点），而 含常数项 ，不满足该形式；其比值 也不恒定。
习题（反比例应用）
题：一件工作 人 天完成；若希望 天完成，假设每人效率不变，需要多少人？
人数与天数反比例，总工作量为 人天。若 天完成，则需人数 人。