代数表达式：让一次计算变成一类规则

上一章最后，我们留下了一条优惠规则：原价 $x$ 元，先打八折，再减20元，价格可写成 $0.8x-20$。

原价200元时，它给出140元；原价300元时，它给出220元。只要优惠条件适用，规则不用重写，只需要替换原价。

我希望你先从这个角度认识字母：它不是故意把数字藏起来，而是在一个位置上容纳许多可能的数。数字能记录一次计算，表达式能记录一类计算。

接下来，我们会读懂这套写法，学习代入、合并同类项与去括号，并检查改写后有没有改变意思。单项式次数、根式取值范围等部分是向前看一步，第一遍先学稳表达式的结构即可。

为什么需要字母

练习册每本12元，买3本算 $12\times3=36$；买10本算 $12\times10=120$。用 $n$ 表示本数，就能把两次计算连成同一规则：

$n=3$ 或 $n=10$ 时，分别放回原来的计算。这里 $n$ 是非负整数；不讨论半本出售，也没有另加包装费或折扣。

字母的含义来自当前问题，不是天生固定的。$n$ 可以表示本数，也可以在另一个问题里表示序号；换题后，要重新说明它是什么。

省略乘号，是有范围的约定

数字与字母相乘，通常写 $12n$；字母相乘写 $ab$；数字乘括号写 $2(x+3)$。这些都是乘法，不是把加号省掉。

两个具体数字相乘不能直接连写：$3\times5$ 不等于写成35。系数1可以省略，$1x=x$，$-1x=-x$；指数1也可以省略，$x^1=x$，但这与系数1是不同的概念。

我会把数字因数放前面，字母按一致顺序排列，例如 $3ba^2=3a^2b$。这样更容易辨认同类项，值并没有改变。

分数线能把整体圈清楚

“$x+1$ 的一半”写作 $\frac{x+1}{2}$。只能用斜杠时写 (x+1)/2，不写成容易误读的 x+1/2。

同样，$\frac{x}{2}$ 与 $\frac{1}{2x}$ 不一样。避免含糊的 1/2x，让读者不必猜乘除顺序。规范书写的目的，是保护原来的关系。

变量、常量与允许取值

在固定单价的 $12n$ 中，$n$ 随购买本数改变，叫变量；12作为当前固定单价，是常量。字母也能表示固定数，例如在圆的公式里，$\pi$ 不会随着圆的大小改变。

“已知或未知”与“变量或常量”是两种不同的分类。已知今天买了3本，可以给变量代入3；若知道总价要求本数，$n$ 就成为要找的未知数。

有些量在同一类问题里固定，但换一组条件会改变，常称为参数。例如收费规则 $C=a+bn$ 中，$a$ 是固定费，$b$ 是每张单价，选定店铺后暂时固定，$n$ 则随订单改变。

现实限制与数学限制都要满足

本数通常是非负整数，实际长度必须为正，时长是否允许小数取决于题目。

表达式本身也有限制：

实数范围里，$\sqrt{x+1}$ 要求 $x+1\ge0$，也就是 $x\ge-1$。这里根号表示非负平方根，不能把负数放进实数平方根。

所有允许输入组成的范围，常叫定义域。现在不必处理复杂的定义域，但我希望你每次代入前都问：“这个值能放进去吗？”

单位先约定清楚，式子才容易读

为了避免把数与量混写，本章建模时常让字母表示指定单位下的数值。例如 $w$ 表示宽的米数，$A$ 表示面积的平方米数，那么 $A=w(w+3)$ 中的3表示长比宽多3米的数值。

解释实际量时，再把单位写完整。相同种类的量先统一单位才能相加；米与平方米不能直接相加。乘法可以产生新单位，米乘米得到平方米。

但单位检查不是全部证明：一个错误的面积数值也能被写上平方米。还要核对公式是否真正表达了长乘宽。

先看最外层，再分清项与因子

看表达式

按最外层加减拆开，有五项：$5x^2y$、$-3xy$、$2y^2$、$-7x$、4。负号与对应项一起保留，交换项时不能把它留在原地。

在 $2(x+3)-5$ 中，最外层是两项：$2(x+3)$ 与 $-5$。第一项里面又有一个和 $x+3$，不能不看层级，把括号里所有加减都当成最外层的分界。

项与因子不是同一种分块

$3x+6$ 的两项是 $3x$ 与6；在单独的乘积 $3x$ 中，3与 $x$ 是因子。

$3(x+2)$ 的最外层是乘法，3与 $x+2$ 是因子；括号内部才是两项。以后判断能否约分时，这个区别非常重要。

$\frac{2x+3}{x-4}$ 最外层则是除法，整个分子与整个分母各自成一组，且 $x\ne4$。分数线不能当作不存在。

系数包含正负号

在关于 $x,y$ 的单项式 $5x^2y$ 中，数字系数为5；$-3xy$ 的系数为 $-3$；$x$ 的系数为1，$-x$ 的系数为 $-1$。

不随所讨论变量改变的项是常数项，例如上式中的4。不要简单地以“有没有任何字母符号”判断常数：$\pi$ 对变量 $x$ 而言也是固定常数。

$-3x$ 的系数为负，不保证它取值永远为负。$x=-2$ 时，$-3x=6$。式子的符号结构与代入后的数值符号，要分别看。

系数与指数，一前一上，含义不同

$a=3$ 时分别为12与81。系数说明有多少倍，正整数指数说明相同因数相乘多少次，不能交换它们的角色。

选读：单项式与多项式的次数

由系数与变量的非负整数次幂相乘得到的式子，是单项式。例如 $3x^2y$ 的次数为 $2+1=3$，这里 $y$ 的指数是1。

单项式的和构成多项式。化简后，最高的非零项次数，就是非零多项式的次数。例如 $2x^3-5x^2+7$ 为三次多项式；但 $x^3-x^3+x$ 化简为 $x$，实际次数是1，不能只看未合并前出现的最高指数。

非零常数多项式的次数定为0；本课程不为零多项式指定次数。不需要把常数硬写成 $cx^0$，更不要因此引入 $0^0$ 的问题。

$\frac{1}{x}+2$ 仍是代数表达式，但不是关于 $x$ 的多项式，因为变量出现在分母中。不同类别可以逐步学，不影响我们先读懂整体运算。

求值、化简、解方程，是三种任务

$3x+5$ 只描述一种计算，没有声称等于什么。写成 $3x+5=20$，才增加了相等的条件。

我会先看题目动词：当 $x=4$ 求 $3x+2$ 的值，是代入求值，得到14；化简 $3x+2x-4$，是等价改写，得到 $5x-4$；解 $3x+2=14$，是寻找使条件成立的 $x$，答案为4。

没有额外条件，不能说一个表达式本身“有解”或“无解”。

等号不是“下一步”的箭头

对每个实数 $x$ 都成立，这是恒等关系。它说明两种写法描述同一规则。

$3x+2=5x$ 却只在 $x=1$ 时成立，不是普遍的化简。仅代入1检查会碰巧通过，代入2就发现左边8、右边10。

还要分清“有些值相等”与“完全不相等”。$3(x+2)$ 与 $3x+2$ 的差恒为4，对任何实数都不相等，不是“偶尔碰巧相等”。判断要依据实际代数关系，不能套用一句模糊说法。

把语言翻译成式子：保留动作顺序

“$x$ 的3倍再少7”是 $3x-7$；“$x$ 与5的和的一半”是 $\frac{x+5}{2}$，不是 $x+\frac{5}{2}$。

“$x$ 的两倍与5的和”是 $2x+5$；“$x$ 与5的和的两倍”是 $2(x+5)$。代入 $x=1$，分别为7与12，括号不是可有可无。

减法和除法也保留顺序：“8减去 $x$”是 $8-x$，不是 $x-8$；“$a$ 除以 $b$”是 $\frac{a}{b}$，要求 $b\ne0$。

连续整数取决于字母代表谁

若 $n$ 为最小的整数，三个连续整数写成 $n,n+1,n+2$；若 $n$ 为中间整数，写成 $n-1,n,n+1$。两种都可以，但不能一边把 $n$ 叫中间数，一边用另一套式子。

百分数前面的数字，与比率的小数形式不同

原价 $x$ 元，减价率为 $p\%$，折后价为

这里 $p=20$ 表示减价20%，即支付80%。若 $r$ 直接表示保留比例，例如八折时 $r=0.8$，折后价应写 $rx$。不要把“减掉的比例”与“保留的比例”都含糊叫成折扣率。

例题：折后另加运费

原价 $x$ 元，减价 $p\%$，然后另加8元运费，运费不参与折扣，无其他收费。

写完反读，是我很常用的检查。式子不只是要算得出，还要能读回原来的话。

代入求值：替换的是一个完整的数

给变量具体值，再按表达式计算，就是代入。负数与分数最好用括号保护。

$x=-2$ 时，$x^2=(-2)^2=4$，不是 $-2^2=-4$。右上角的平方原本作用于整个 $x$，换进去的负二也必须作为整体。

例题：两个变量一起代入

求 $2x^2-3x(y-1)$ 在 $x=-2,y=3$ 时的值。

同一个字母在一次代入中，每个位置都用同一个值；不同字母则分别按题意替换，不因为挨在一起就自动相同。

先代入还是先化简，都要保留条件

$3(x+2)-x$ 在 $x=-1$ 时，直接算 $3(-1+2)-(-1)=4$。

先化简则为 $3x+6-x=2x+6$，代入仍得4。表达式很长、重复项很多时，先化简常能少做运算；只求一个简单数值时，直接代入也很方便。

分母限制却不能靠化简消失。$\frac{x(x+1)}{x}$ 只在 $x\ne0$ 时可写成 $x+1$；求原式在0处的值时，不能拿化简后的1替代原本没有定义的结果。

运算顺序：先看结构，不能一路从左算到右

先处理分组内部，再乘方，再同级乘除从左到右，最后同级加减从左到右。每个括号内部也遵守相同层级。

省略乘号没有增加一种新的运算优先级。含糊的连写乘除应主动补括号，避免读者猜测分母范围。

分子与分母各自成一个整体

求 $\frac{(x+3)^2-y}{2x}$ 在 $x=1,y=4$ 时的值。分母为2，非零；分子为 $16-4=12$，最后得到6。

若改成 $x=0$，先在分母检查处停止，不必继续求整个商。运算顺序告诉我们先算什么，定义域先告诉我们能不能算。

同类项：合并系数，保留字母部分

两份 $x$ 加三份 $x$，合计五份：

这来自分配律 $ax+bx=(a+b)x$，不是把 $x$ 本身加成 $x^2$。

同类项的变量部分必须一致，而且每个变量的指数都一致。$4x^2y$ 与 $-7x^2y$ 同类；$3xy$ 与 $5yx$ 也同类，因为乘法交换后字母部分相同。$x^2y$ 与 $xy^2$ 总次数虽然都是3，却不是同类项。

$x$ 与 $x^2$ 不同类，常数项彼此可以合并。用彩笔盒类比可以建立直觉，但负系数不能硬理解成实物的负盒数，最后仍靠分配律说明一般情况。

使用演示时，先找每一组的字母部分，再比较化简前后在同一个输入下的值。数值不同能发现错误，数值相同却不代替对每一步运算律的检查。

例题：先整理字母顺序

化简

分配律与去括号：每一项都要乘到

$4(2x-1)$ 应为 $8x-4$，不是 $8x-1$。括号前的4乘的是整个括号，不是只照顾第一项。

括号前只有负号，可以看成乘 $-1$：

所以加一个整体 $a+(b-c)=a+b-c$；减一个整体 $a-(b-c)=a-b+c$。这不是两套互不相关的变号口诀，都是分配律的应用。

例如

例题：展开以后再合并

化简 $4(2x-1)-3(x+2)+x$。

多层括号可以一层一层来：$-[-2(x-1)+3]$，内部先变成 $-2x+5$，再处理外面的负号，得到 $2x-5$。每行只完成一个明确动作，更容易看见遗漏。

化简：形式可以变，适用范围不能偷偷变

$3x+2x-4+1=5x-3$，规则相同，右边更紧凑。$6x+12=6(x+2)$，提取因数后更容易看出整体结构。

展开与提取共同因数都可以是有用的改写，不是谁永远比谁更“最终”。我会根据下一步任务选择形式：合并项时展开更方便，检查共同因子时因式形式更清楚。

例题：为复杂括号安排一条路线

化简 $2[3x-(x-4)]-5(x+1)$。

约分约共同因子，也保留原限制

两边在原式允许范围上取值相同，但右边单独看可以在0处计算，原式却不行。报告化简结果时，把 $x\ne0$ 留下来。

选读一个稍进阶的例子：展开可验证 $(x-2)(x+2)=x^2-4$，于是

还没有系统学习因式分解，也可以通过先展开乘积核对这个关系。不能用右边在2处的值，填补原表达式的未定义点。

代入是排错工具，不是自动证明

如果两个式子在某个共同允许值上不同，它们一定不恒等；在几个输入上相同，只说明这些检查没有查出问题。

比如 $x^2$ 与 $x$ 在0、1处都相同，换成2就不同。因此不能把“我试了0和1”说成已经证明对所有实数成立。

公式：把表达式与量的名称连起来

一家假设的打印店，每次接单排版费80元，每张打印2.5元。设 $n$ 是打印张数，$C$ 是总费用的元数，则

这里还约定：只要接了排版订单，0张打印也收80元；没有阶梯价、折扣或其他费用。因此 $n$ 可为非负整数，$C(0)$ 对应固定费。

$n=10$ 时费用105元；增加一张，费用增加2.5元。这比只会代入还多一层理解：常数项对应固定部分，系数对应每增加一个输入带来的变化。

公式始终依赖模型条件

若规则变成超过100张另计单价，就要重新分情况写，不能继续把原公式当作全部张数的规则。

路程关系也一样。以固定速率 $v$ 行驶 $t$ 小时，且单位相配，路程为 $s=vt$。若速率变化，要先分段或知道整个过程的平均速率，不能拿某一瞬间速率直接乘总时间。

60千米每小时行驶30分钟，要先用 $t=0.5$ 小时，得到30千米，不是 $60\times30$ 千米。

例题：按时长收费

假设开锁费1.5元，骑行按实际时长连续计费，每分钟0.2元，无封顶和其他费用。设 $t$ 为分钟数，$F$ 为费用元数，则

18分钟费用 $1.5+0.2\times18=5.10$ 元。若题目改成不足一分钟向上按一分钟计费，$t$ 就应改用计费分钟数，不能把非整数实际时长直接代入而忽略取整。

几何关系：表达式要对应实际操作

宽的米数为 $w>0$，长比宽多3米，长的米数是 $w+3$。

周长的米数为

面积的平方米数为

把长方形分成一个边长 $w$ 米的正方形，以及一条长3米、宽 $w$ 米的长方形，就能看到面积两项分别从哪里来。

这里的字母表示指定单位下的数值。不能只因看到 $w^2$ 与 $3w$ 次数不同，就断言它们在这个面积公式里单位不同；第二项来自3米乘 $w$ 米，整体同样是面积。

一道题走完翻译、化简、求值与验算

长方形宽 $x$ 厘米，长比宽的2倍多3厘米，求周长表达式及 $x=4$ 时的值。

错误诊所：错误发生在翻译，还是发生在运算

把加法当乘法

$2x+3x=5x$，但 $(2x)(3x)=6x^2$。相加只合并系数，相乘才要同时处理因子与指数。

不同类项不能硬合并

$2x+3$ 不能普遍写成 $5x$。代入0，前者3、后者0。结果保留 $2x+3$ 并不表示没做完，而是已经不能按同类项规则继续合并。

负号没有乘到每项

$-(x-4)=-x+4$，不是 $-x-4$。把前面的负号看成乘负一，再逐项处理。

分母的和不能随意拆

是分配律的结果。但 $\frac{2}{x+1}$ 不等于 $\frac{2}{x}+2$。代入 $x=1$，一个是1，另一个是4。

相同字母不自动成为共同因子

不能把 $x$ 从分子某一项划掉，只剩3。若分子是 $x(x+3)$，$x$ 才是整个分子的因子。

平方不直接分配给加法

展开时有两个交叉乘积，不能漏成 $a^2+b^2$。取 $a=b=1$，前者4、后者2，立刻出现矛盾。这部分也为以后学习多项式作准备。

练习：先判断任务，再选择步骤

1. 四个要求在做什么

当 $x=3$ 求 $2x+5$；化简 $2(x+4)-x$；判断 $4(x-1)$ 与 $4x-4$ 是否恒等；找使 $2x+5=17$ 成立的 $x$。

2. 运算顺序

$x=2$ 时，$3(x-1)^2+4x$ 是多少？

3. 原定义域还在吗

$\frac{x^2-4}{x-2}$ 化为 $x+2$ 后，能用 $x=2$ 求原式吗？

4. 百分数写成规则

正原价 $x$ 元，先涨10%，再按当前价降20%，最终是原价的90%吗？

5. 面积为什么少一项

长 $x+2$ 米、宽 $x$ 米，面积写成 $x^2+2$ 平方米对吗？写出正确周长与面积。

6. 先化简再代入

化简 $3[2x-(x-5)]-2(x+4)$，再求 $x=-2$ 时的值。

7. 项与系数

$4x^2y-3xy+7y-5$ 的各项、数字系数与常数项是什么？

8. 语言里的括号

“$x$ 与6的差的3倍”，和“$x$ 的3倍与6的差”相同吗？

9. 允许代入吗

求 $\frac{x^2-1}{x+1}$ 在 $x=2$ 时的值，判断 $x=-1$ 是否可用。

10. 同类项

化简 $5x^2-3x+2x^2+8x-4$。

11. 两个括号

化简 $3(2x-5)-2(x+4)+7$。

12. 多层括号

化简 $-[3-(2x-5)]+2x$。

13. 找第一次错误

把 $4(x-2)+3x$ 写成 $7x-2$，哪里错了？

14. 建立收费公式

假设月固定费25元，超出套餐的流量按每GB 6元连续计费，没有最低计费单位和其他费用。设超出量为 $g$ GB，求费用及超出3.5GB时的值。

下一章：哪一个输入，能让条件成立

从这一章开始，我们不只会算一次结果，也能把规则保存下来。变量有明确含义与范围，项和因子有不同分工，括号保存整体，化简必须依靠运算律。

接着看刚才的费用规则 $M=25+6g$。给定 $g=3.5$，是在求费用；告诉你“费用恰好46元”，问题就反过来，成为 $25+6g=46$。若只要求“不超过46元”，则是 $25+6g\le46$。

下一章，我们会学习怎样找出所有满足等号或不等号的输入。表达式告诉我们怎样算，方程与不等式再告诉我们怎样把规则与条件连在一起。