百分数与应用

在小数与运算里，十分位、百分位、千分位已经与小数点移动、乘除 $10$ 的幂绑在一起。百分数记号 $\%$ 可以看成把「每一百取几」从位值里抽出来、单独挂在数后面：$p\%$ 与小数点左移两位再读成比率，是同一套结构的两种写法。 互化熟练之后，应用题的重心始终是基数：每一个百分数都要先问清「相对谁」——单位「1」是原价、去年产量还是全班人数——否则折扣、涨跌、税率、统计比率很容易出现「式子对、题意错」。

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百分数的意义：比率的标准化

百分数表示一个量占另一个量的百分之几，也叫百分率或百分比。拉丁语 per centum 直译即「每一百」，因此记号上

$$p\% = \frac{p}{100} = p\times 0.01.$$

于是 $40\%=0.4=\dfrac{2}{5}$，而 $125\%=1.25=\dfrac{5}{4}$。百分数可以大于 ，只说明相对基准超过了「整份」，并不必然是书写错误。与分数相比，百分数把比率与 对齐，便于横向比较；带物理单位的量（如 千克）仍用分数或小数写，不要写成「 千克」——百分数在这里承担的是，不是单位本身。

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小数、分数与百分数互化

百分数与小数互化，本质是乘除 $100$：去掉 $\%$ 再除以 $100$ 得小数，小数乘 $100$ 再加 $\%$ 得百分数；与小数点右移两位、左移两位是同一动作的正反方向。分数化百分数时，通常先把分数写成小数再转百分数，除不尽则按题目保留位数并标明近似。百分数化分数时，先写成 $\dfrac{p}{100}$ 再约分，例如 ，以及 。若循环小数与 等对应，写成百分数时要配合「保留几位」之类的题干说明。

例题（互化）

题：将 $0.085$、$\dfrac{3}{8}$、$140\%$ 分别化为另外两种形式（在小数、最简分数、百分数中缺什么补什么）。

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三类基本数量关系

把文字译成等式再动笔，错误会少一半。求「某整体的百分之几是多少」，用整体乘 $\dfrac{p}{100}$，口语里「的」往往对应这一步乘法。求「部分占整体的百分之几」，用部分除以整体再乘 $100\%$，「占」「是」常常走先除后化的路径。若已知「某数的 $p\%$ 等于多少」而要求这个数，则用已知部分除以 $\dfrac{p}{100}$，相当于把百分数先换成小数再除。这里的「整体」就是该语境下的单位「1」，可能是标价、全班人数或计划产量，换题型时只换叙述，结构不变。

例题（三类关系）

题：计算下面三问：$240$ 的 $15\%$ 是多少；$45$ 占 $60$ 的百分之几；某数的 $40\%$ 是 $28$，求该数。

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增长、减少与连续变化

设旧值 $A\neq 0$，新值为 $B$。相对旧值的变化率定义为新减旧再除以旧，再写成百分数；结果为正表示增长，为负表示下降。若题干说「增加了 $p\%$」，通常指在 $A$ 上再叠 $\dfrac{p}{100}A$，即新值为 ；「增加到某值」则直接把「某值」当作新结果来读，不要与「增加了」混成同一种句式。连续涨跌用连乘表达，每一步的百分数都相对；因此「先涨 再降 」一般回不到原价，因为第二步的「百分之二十」是相对于已经涨过的量。

例题（连续变化）

题：某商品原价 $200$ 元，先提价 $10\%$，再在提价后的价格基础上打九折出售。求最终售价相对原价变化百分之几？

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折扣、标价与实付

商业上「几折」常表示按标价的十分之几出售：打八折即实付为标价乘 $0.8$。口语里「三成」有时指 $\dfrac{3}{10}$，与「$30\%$」在数值上可对齐，但术语以题干为准。「降价 $20\%$」若未另作说明，通常相对原价，实付也是原价乘 $0.8$，与单一折扣语境下的「打八折」常一致；满减、阶梯价不能自动等同于某一固定折扣率，应把实付算出来再除以原价，得到等效折扣率。

例题（折扣与价外税）

题：一件商品标价 $400$ 元，打八五折出售。若按折后价另收 $10\%$ 的消费税（价外税，税款由顾客另付），顾客共支付多少元？

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百分点与相对变化

两个百分数相减的差，常用百分点表述：利率从 $3\%$ 到 $3.5\%$，绝对上升 $0.5$ 个百分点。若问「相对原来的百分数变了百分之几」，则要用差再除以原来的百分数（注意原来的百分数作分母时是否为零附近），这与百分点回答的不是同一个问题。新闻与试题里两者不要混写。

例题（百分点）

题：某指标从 $2.4\%$ 上升到 $3.1\%$。提高了多少个百分点？相对原来的百分数，升幅约百分之几？

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与后续内容的衔接

下部分在代数表达式中，我们会把「比原来多 $p\%$」写成含字母的式子：若原量为 $x$，新量常为 $x\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$。 熟练的标志不是背更多题型，而是任何一句带百分数的话，都能在同一行里写出「它是谁的百分之几」。若

常用分数与百分数对照可记在笔记本扉页，例如 $10\%=\tfrac{1}{10}$、$20\%=\tfrac{1}{5}$、、、、、、，估算时会省力。

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习题

习题（分数化百分数）

题：将 $\dfrac{5}{6}$ 化为百分数，保留一位小数。

习题（连续涨跌）

题：$100$ 元先涨 $20\%$ 再降 $20\%$，最终多少元？说明为何一般不等于 $100$。

习题（含税价反求）

题：含税价 $113$ 元，增值税率 $13\%$（价外税、税额按不含税价计），求不含税价（保留两位小数）。

习题（占比变化）

题：某班男生 $22$ 人、女生 $18$ 人，男生占全班百分之几？若转走 $2$ 名女生，男生占全班百分之几？

习题（百分点与相对降幅）

题：利率从 $4\%$ 变为 $3.2\%$，变化了多少个百分点？若问「相对原来下降百分之几」，列式并计算。