百分数与应用：先问“谁是 100%”
上一章，我们把 0.2 写成了 20%。数值没有变，只是把百分之一单独拿出来，作为一种方便比较的刻度。
我想先请你判断一句话：“甲增加了 20%，乙只增加了 15%，所以甲增加得更多。”这句话听起来顺耳，却不一定对。甲原来有50，增加10；乙原来有200，增加30。比例较大的甲，增加的数量反而较少。
问题不在乘法，而在两个百分数各自属于谁。接下来，我们把这个问题始终放在桌面上：这里被当作完整的 100%，究竟是哪一个量？
本章先学百分数的含义和三种基本关系，再处理变化、折扣与反求原值。合并百分率、简单收支模型和近似比例可以分第二次读，不必一次做完所有例题。
百分数不是一百个东西，而是一把共同刻度
甲班15人中有12人答对，乙班25人中有18人答对。若只问答对人数，乙班更多；若问答对者占各班的比例，就要分别除以各班人数：
1512=0.8=80%,2518=0.72=72%.
这时甲班比例更高。两个结论没有矛盾，一个比较人数，一个比较各自整体中的份额。
百分号表示除以100：
p%=100p.
1% 就是一百分之一，100%=1。它不要求现实中真有100个对象。若按质量计算，饮料中的某成分占 12.5%，表示该成分质量与饮料总质量之比为 1:8，不表示必须数出100滴。
百分数能超过 100% 吗
可以。配方面粉原来200克，调整到原来的 125%，新用量为
200×1.25=250 克.
但要分清“占同一个整体的部分”和“与一个基准比较”。某子组占全组人数的比例，在人数非负、全组人数为正时不超过 100%；实际产量与计划产量相比，却可以超过 100%。
0.5%=0.005=2001 也完全正常，百分数前面的数字不必是整数。
百分数是比率的写法，不自带人、元或千克。300元的20%是60元，换成300千克的20%则是60千克。单位跟着基准量，而不是跟着百分号凭空出现。
分数、小数与百分数：换写法，不换数值
83=0.375=37.5%.
百分数化小数时，把百分号前的数除以100：
6.4%=1006.4=0.064.
不是把 6.4% 这个已经表示比率的数再除一次100，也不能误写成 0.64。
小数写成百分数时，把数值乘100作为百分号前的数字，再附上百分号。例如 0.085=8.5%。百分号本身又代表除以100，所以整个数值保持不变。
百分数化分数，可以先写分母100，再约分：
35%=10035=207,
12.5%=10012.5=1000125=81.
我常用几个熟悉的比例核对：一半是 50%，四分之一是 25%，五分之一是 20%，八分之一是 12.5%。看到 48%，应想到略小于一半，而不是比整体还大。
精确值与近似值要分开
31=33.333…%,31≈33.3%.
第二式把百分号前的数保留一位小数，用的是近似号。别先把分数粗略成 0.3，再报告为 30%，那会丢掉原本需要保留的信息。
试着在三种写法之间往返
0.085=8.5%=20017；207=0.35=35%；135%=1.35=2027。最后一组都大于一，三种写法的大小应彼此一致。
三个量，只需要一条核心关系
先用 B 表示基准量，r 表示比率的小数形式，P 表示对应数量：
P=Br.
字母暂时只是名称。把它读成“对应数量等于基准量乘比率”，就能接上第四章的分数乘法。常见的部分与整体问题，正是这条关系的特例。
已知其中两个量，反过来找第三个：
r=BP(B=0),B=rP(r=0).
分母条件不能省。某部分占 0%、数量也为0时，仅凭这两条信息不能反推出唯一整体。
已知基准与比例，求数量
测验满分120分，得分是满分的 85%，则
120×0.85=102 分.
满分是这道题的 100%。题目问得分，不是问已经给出的百分率。
已知两个数量，求比例
配方总质量800克，其中水果泥120克。水果泥占总质量
800120=0.15=15%.
分母是全部材料的质量，不是其余680克。
已知对应数量与比例，反求基准
合唱团36人，占全年级 15%，全年级人数为
36÷0.15=240 人.
反查 240×0.15=36。因为合唱团不到全年级的一半，全年级理应超过72人，240人也通过这个范围检查。
例题：同一组数据，三个问法
500个零件中15个需要返工，返工率为 15÷500=3%。
另一批500个，要求返工率不超过 2%，最多允许 500×0.02=10 个返工件。
若15个恰好占一批零件的 2.5%，这批共有 15÷0.025=600 个。
数量必须为整数的情境，还要检查整数限制。例如限额算得10.4个，只能允许最多10个完整零件，不能说允许10.4个。
读长题时，先把比较基准写出来
“烘干后质量比鲜果减少 12%”，意味着鲜果质量为 100%，烘干后为原来的 88%。若剩616千克，先写关系：
鲜果质量×0.88=616 千克.
再算 616÷0.88=700 千克。不必先猜题型，先把一句话翻译完整。
“占谁的”“比谁多”“按谁计算”，通常都在告诉我们基准。但同一句话可以更换基准。成本200元，按成本加价 30% 标价，再按标价打九折：
200×1.3=260,260×0.9=234.
加价以成本为基准，折扣以标价为基准。最终售价比成本多34元，即成本的 17%。
单位相同，不代表基准相同。成本、标价、售价都是元，仍不能随意交换分母。不同种类的量也不能直接说占百分之几：50千米除以2小时得到速度，不是一个部分占整体的百分比。
比例变化，可能来自分子，也可能来自分母
某班22名男生、18名女生，男生占全班 22/40=55%。转走2名女生后，男生仍是22人，全班变38人，新比例为
3822≈57.9%.
男生没有增加，占比却上升了，因为整体变小。
再看20克盐与180克水配成的盐水，盐的质量占比为 10%。只加入50克水，假设没有损耗，盐仍20克，总质量变250克，占比降到 8%。不是盐凭空减少，而是分母改变。
两边同时变化，先恢复实际数量
社团原有50人，20人会游泳；新增10人，其中8人会游泳。新比例为
50+1020+8=6028≈46.7%.
不能把原组的 40% 与新增组的 80% 相加。两个百分率对应不同人数。
合并两个百分率，要按各组大小计算
假设两批零件互不重叠，且合格的判定标准相同。第一批100个，合格率 95%；第二批20个，合格率 60%。合计107个合格、120个零件：
合并合格率=100+2095+12≈89.2%.
直接平均得到 77.5%，相当于给两批相同的权重，没有反映100个与20个的差别。
两组大小相等时，普通平均可用；两组比例本来相等时，组大小不同也会得到同一比例。一般情况下，我仍会先合并实际数量，再求比例，这样不必靠特殊情形碰巧算对。若组之间有重叠，还要先处理重复计数。
人数增加，占比也可能下降
阅读小组原有30人，18人每天阅读，比例 60%。加入10人，其中4人每天阅读，新比例为 22/40=55%。每天阅读者增加4人，但新增组的比例较低，整体比例下降。接下来，我们区分“比例差多少”与“相对下降多少”。
百分点与百分比：回答的是两种问题
及格率从 70% 到 78%，百分号前的数字相差8，称为提高了8个百分点。两个比率本身的差为 0.78−0.70=0.08。
若问相对原及格率提高多少，则还要除以原比率：
0.700.78−0.70=708≈11.4%.
提高8个百分点与相对提高约 11.4% 都能描述同一变化，只是回答不同的问题。
不合格率从 2% 降到 1%，下降1个百分点，相对降幅却是
0.020.02−0.01=50%.
前面的阅读小组从 60% 到 55%，下降5个百分点；相对原比例下降 5/60≈8.3%，不是下降 5%。
从40%到50%，刻度差是10个百分点，相对升幅是25%。我会先圈出题目问的是“百分点”还是“相对百分比”，再决定是否要除以原值。
增长与减少：通常以正的旧值为基准
原量为 A>0，新量为 N，变化量是 N−A，相对变化率为
r=AN−A.
r>0 表示增加，r<0 表示减少。若采用正数表示降幅，则写 (A−N)/A。
用电量从400增加到460，增加60，相对增长 60/400=15%，所以新量可写成 400×1.15=460。
500件库存减少 12%，剩下的是原量的 88%：
500×(1−0.12)=440 件.
对不能为负的数量，普通“减少百分之几”的模型中，降幅应在0与 100% 之间。降到0是减少 100%，不是减少到 100%。
“增加了”与“变为”不要混读
增加 30%，结果是原来的 130%；变为原来的 30%，结果反而减少了 70%。对正原量，把后一句叫“增加到30%”本身就与方向矛盾，应先改清题意。
计划500件、实际575件，完成率为 115%，超额部分占计划 15%。一个看全部结果，一个只看差量。
原有2400册书，增加 7.5%，新增180册，现在2580册。求增加量用 2400×0.075，求新总量用 2400×1.075，不能把两种结果混在一起。
正向与反向变化不对称
80元涨到100元，涨幅 20/80=25%；100元回到80元，降幅 20/100=20%。差额相同，分母不同。
同样，甲180、乙150，甲是乙的 120%，比乙多 20%；乙是甲的约 83.3%，比甲少约 16.7%。
对正数量，若甲比乙多小数比率 r≥0，甲等于乙乘 1+r，那么乙比甲少的比率是 r/(1+r)。代入 r=0.25，得到 0.25/1.25=20%。
零与负的旧值要另看
旧值为0时，普通相对变化率需要除以0，没有定义。可以直接报告“从0到5，增加5个单位”。
旧值为负时，代入同一代数式虽然可能算出数，却未必符合通常的增长语言。例如从亏损10到亏损5是亏损缩小，直接用 (−5+10)/(−10) 得到负百分率，容易误读。本章的普通增长与降幅解释以正基准为前提，不把这些特殊情况硬塞进去。
“变为原来两倍”明确表示结果为 200%、增加 100%；含糊的“提高了两倍”，最好改写成结果倍数或明确的增加百分比后再算。
一层比例里面再取一层，要相乘
全校 40% 的学生参加社团，其中 30% 参加音乐类社团。第二个基准是参加社团者，不是全校，所以音乐类社团人数占全校
0.4×0.3=0.12=12%.
用1000名学生核对：先得到400名社团成员，再取其中120名音乐类成员，回到全校的 12%。
600克饮料中果汁占质量的 25%，果汁中橙汁占质量的 40%，则橙汁质量为 600×0.25×0.4=60 克，占整瓶 10%。每一步都要说明采用质量比例，而不是一会儿质量、一会儿体积。
固定基准与变化基准，不能用同一算法
500先减少最初量的 20%，再减少最初量的 10%，结果为 500−100−50=350。
若第二次减少的是当前剩余量的 10%，则为
500×0.8×0.9=360.
差别不在数字，而在第二次的分母是谁。
折扣与连续变化：沿着每一步的基准走
打八折，表示付标价的 80%；打八五折表示付 85%，不是减少 85%。350元商品打八折，实付280元。
200元先涨 10%，再按新价降 10%：
200×1.1=220,220×0.9=198.
没有回到原价。第一次增加20元，第二次减少22元，两个 10% 对应的金额不相同。
用小数 r1,r2 表示带正负号的相对变化率，最终量为
A(1+r1)(1+r2).
先涨 20% 再降 20%，总因子 1.2×0.8=0.96，比原来少 4%。
使用实验台时，可以先用200、增加10%、再减少10%作核对：中间值应为220，最终应为198。先写下预测，再改变参数，观察第二次变化作用于哪个数。
两次折扣与一张优惠券
500元先八折再九折，实付 500×0.8×0.9=360 元，是原价的 72%，整体便宜 28%，不是把两个降幅相加得到 30%。
满300减40、且每单只减一次：买320元实付280元，相当于付 87.5%；买500元实付460元，相当于付 92%。固定减免金额，不等于固定折扣率。
例题：比较两个方案
480元商品，甲方案七五折；乙方案先减80元，再对余款九折，无其他优惠。
甲实付 480×0.75=360 元。
乙先剩400元，再算 400×0.9=360 元。
两方案相同。若把乙方案顺序颠倒，会变成 480×0.9−80=352 元，那已不是题目原来的优惠。
只有纯粹连续乘固定比例、没有门槛和中途舍入时，交换乘法因子不会改变最终数值。遇到减固定金额、满减门槛或逐笔舍入，不能据此随意改顺序。
成本与售价：先定义比率的分母
下面采用简化模型：题目所给成本已包括这笔交易要计入的全部费用，售价减成本就是本题盈余；不把它直接当作任何真实报表的完整利润。
成本80元、售价100元，盈余20元。它占成本 25%，占售价却是 20%：
80100−80=25%,100100−80=20%.
两个比率都能描述交易，但不能混用。题目只写一个含糊的“利润率”时，应明确究竟除以成本还是售价。本课程的例题会把分母直接写出来。
加价再折扣，最后仍要回到成本
成本240元，按成本加价 50% 标价，随后八折：标价360元，售价288元，盈余48元，占成本 20%。
反求成本也一样。售价460元、盈余占成本 15%，售价是成本的 115%，所以成本 460÷1.15=400 元，盈余60元。不能从460里减去460的 15%，那换了分母。
同样赚亏 25%，为什么不抵消
两件商品都卖300元，一件赚成本的 25%，另一件亏成本的 25%。成本分别为
300÷1.25=240,300÷0.75=400.
总成本640元、总收入600元，亏损40元，占总成本 6.25%。两个 25% 一个对应240，一个对应400，金额不相等，当然不能抵消。
税额与利息：用明确条件练习同一条关系
这里的税率和利率都是题目设定的算术参数，不代表某地现行税制或某种产品条款。我们只在给出的基准、期限和计算方法下求值。
税按哪个金额计算
题目规定未税价250元，另按未税价的 6% 加收税额，则税额15元，总价265元。若已知含税总价265元，反求未税价应算 265÷1.06=250，而不是减去265的 6%。
600元先八五折，再按折后未税价加收 8%，无其他费用：
600×0.85×1.08=550.80 元.
折扣作用于600，税额作用于510，基准变了，关系仍清楚。
单利：每期都按最初本金计算
设本金 P，年利率的小数形式 r，时间 t 年，按单利、无费用且期限按题意换算，则
I=Prt,A=P(1+rt).
本金3000元、年利率 4%、期限2.5年，利息300元，本息3300元。若题目把每12个月视为一年，9个月就是0.75年；不能把9直接代进以年为单位的公式。
复利：每期把前一期结果当新基准
假设每年结息一次，利息并入本金，年有效利率固定为 r，经过整数 n 年，没有存取款、费用或中途舍入，则
A=P(1+r)n.
1000元、每年 5%，两年后为 1000×1.052=1102.50 元。相同本金和年利率按单利计算两年，为1100元。两者差2.50元，来自第一年利息在第二年也参与计算。
不是只看到“年利率”三个字，就能不问复利周期、费用与期限，直接决定采用哪个公式。
反求原值：认清已知的是差量，还是结果
八折后240元，240对应原价的 80%，原价 240÷0.8=300 元。若说降价 20%，便宜60元，则60对应减少量，原价 60÷0.2=300 元。
两题原价相同，除数不同，原因是已知量的角色不同。
今年1035人，比去年增加 15%，去年为 1035÷1.15=900 人。溶液减少 16% 后剩42千克，原量 42÷0.84=50 千克。
降价 12%、降了360元，则原价 360÷0.12=3000 元。先九折、再按当前价涨 5%，最终378元，则原价为
378÷(0.9×1.05)=400 元.
这些反求都要求除回去的因子非零。若减少 100% 后只知道结果为0，就不能唯一恢复原量。
拿不准时，我先写“原值乘哪个比例，等于已知量”。正向关系写对了，反向应该除以谁就不再靠猜。
估算与近似：既检查数量级，也检查信息是否足够
640的 15%，可以先取 10% 得64，再取 5% 得32，合计96。720的 98%，也可以用 720−14.4=705.6。这都是分配律，不是改变基准。
纯数计算中，50的 18% 与18的 50% 都为9，因为二者都等于 50×18/100。这种心算交换不能把情境里的单位与比较对象也随意交换。
例题：给折后价一个真正有保证的范围
7980元减少 18%，保留因子为 0.82。因为 0.8<0.82 且 7980<8000，可以得到
6384=7980×0.8<7980×0.82<8000×0.82=6560.
再精算，折后价 6543.60 元。减少额 1436.40 元，除以7980恰好为 18%。
把原价上估、把保留因子下估，两种方向混在一起时，所得数可能只是粗略估计，不能不加证明就叫作下界。
给的是约数，原人数可能不唯一
47人占总人数“约 32%”。直接算 47÷0.32=146.875，只能作为总人数的估计，不能当作精确人数。
进一步明确：这里 32% 是百分号前的数按四舍五入保留整数的结果。那么真实百分数满足
31.5≤N4700<32.5.
总人数是正整数，符合条件的 N 可以是145、146、147、148或149。给定的近似信息不能区分它们。尚未学会解这个不等式时，把五个整数逐一代入，也能验证并理解为什么不能只报一个人数。
舍入放在题目指定的位置
17人完成、共23人，比例为 17/23。百分数保留一位小数，应报告约 73.9%，而不是先把比值取为0.7再写 70%。
纯数学多步题通常尽量保留精确中间值，最后舍入；题目若明确要求每笔金额先舍入，就照规定逐笔处理。不能用一种舍入流程代替另一种题设。
自测：先写谁是 100%，再展开答案
1. 三种形式互化
把 0.0625、169、175% 分别写成另外两种形式。
0.0625=6.25%=161；169=0.5625=56.25%；175%=1.75=47。最后一组都大于一。
2. 正确率与总题数
80题做对68题，正确率多少？另一套保持同一精确正确率，做对102题，共多少题？
正确率 68/80=85%。102是第二套总数的85%，总数为 102÷0.85=120 题。
3. 配方是否整体放大
240克面粉与150克牛奶，都调整到原来的125%，各多少？只把牛奶增加25%，总量也增加25%吗？
整体调整时分别为300克、187.5克。只增加牛奶时总量427.5克，原量390克，总量变为原来的约109.6%，不是125%。面粉没有同比变化。
4. 来回变化
160到200的涨幅，与200到160的降幅分别是多少？
前者 40/160=25%，后者 40/200=20%。差额相同，原值不同。
5. 百分点与相对变化
支持率从24%到30%，增加多少个百分点，相对提高多少？
增加6个百分点；相对提高 (0.30−0.24)/0.24=25%。不能把百分点直接当相对升幅。
6. 连续折扣
800元先九折再八五折，无其他费用，实付多少，总降幅多少？
实付 800×0.9×0.85=612 元，占原价76.5%，即按原价的0.765倍支付，总降幅23.5%。
7. 成本基准
成本320元，加价40%标价，九折出售，求标价、售价与盈余占成本的比例。假设成本已含全部需计费用。
标价448元，售价403.20元，盈余83.20元，占成本 83.2/320=26%。若改除以售价，就是另一种比率。
8. 含税总价反求
题目设税额为未税价的8%，含税总价486元，未税价与税额多少？
未税价 486÷1.08=450 元，税额36元。检查 450×0.08=36，税额的基准是450而非486。
9. 单利的时间单位
本金5000元，年利率3.6%，按单利18个月，题设每12个月视为一年，无费用，求利息与本息。
18个月为1.5年，利息 5000×0.036×1.5=270 元，本息5270元。
10. 减少量与剩余量
甲降价20%，便宜90元；乙降价20%，现价360元，原价各多少？
甲原价 90÷0.2=450 元，乙原价 360÷0.8=450 元。一个给减少量，一个给剩余量，不能只抓20%而忽略已知量角色。
11. 合并比例
两组互不重叠，甲40人、出勤90%，乙60人、出勤80%，同一天合计出勤率多少？
分别出勤36与48人，共84人，总人数100，合并出勤率84%，不是85%。组大小不同，要合并人数后再算。
12. 两层比例
800名学生，60%参加体育活动，其中35%参加球类，球类人数与全校占比多少？
占全校 0.6×0.35=21%，人数 800×0.21=168。第二个35%的基准是参加体育活动者。
13. 边界检查
从0增加到5，能按普通公式说增长500%吗？两个组比例都80%、人数不同，合并比例能为80%吗？
不能按普通相对增长公式说500%，因为原值零不能作分母。第二问可以：若两组互不重叠、统计口径相同，各组部分都等于本组人数乘0.8，合并后仍占0.8。组大小相等不是普通平均碰巧正确的唯一情形。
下一章：把一个算式写成一类关系
这一章的线索始终是同一个：先认基准，再看已知量对应整体、部分还是变化量，最后才选择乘除。连续变化需要跟踪基准，反求原值需要除回非零因子，近似比例还要检查信息是否足以确定答案。
下一章，我们把“原价200元”暂时换成字母 x。打八折的规则就可以写成 0.8x；打八折后再减20元，就写成 0.8x−20。
字母不是要你猜一个神秘数字，而是在替一类可能的数保留位置。我们会从这条已经读懂的关系出发，学习表达式、代入和化简，让每换一组数都要重讲的规则，变成一句能反复使用的数学语言。