百分数与应用：先问“谁是 100%”

百分数这章，最容易被低估。

很多同学觉得它就是把小数点挪两位：$0.4=40\%$，$25\%=0.25$。这当然没错，但只会互化，做应用题还是会翻车。

真正的关键只有一句话：每一个百分数，都必须有一个基数。

也就是先问清楚：这个“百分之几”，到底是“谁”的百分之几？

原价、现价、去年产量、全班人数、计划任务量，都可能成为单位“1”。单位“1”一换，算式就跟着换。

百分数到底在说什么

百分数表示一个量占另一个量的百分之几。

“百分”这两个字很直白：把整体看成 $100$ 份，看看其中有几份。

所以

比如：

这三种写法说的是同一个比率，只是外观不同。

百分数也可以超过 $100\%$。

比如 $125\%=1.25=\dfrac{5}{4}$，意思是“比整个基准还多出四分之一”，不是写错了。

但注意，百分数表达的是比率，不是带单位的数量。

可以说“完成了 $80\%$”，也可以说“用了 $3$ 千克”。但不要说“用了 $80\%$ 千克”。这句话里单位和比率混在了一起。

互化：小数点移动只是表面

百分数和小数互化，其实就是乘除 $100$。

百分数变小数：去掉 $\%$，再除以 $100$。

小数变百分数：乘 $100$，再加 $\%$。

所以你会看到“小数点左移两位”“小数点右移两位”。这不是新规则，只是乘除 $100$ 的快捷写法。

分数变百分数，通常先化成小数，再乘 $100\%$。如果除不尽，就按题目要求保留位数。

百分数变分数，先写成 $\dfrac{p}{100}$，再约分。

比如：

再比如：

如果碰到 $\dfrac{1}{3}=0.333\ldots$ 这种循环小数，写成百分数通常是 $33.3\ldots\%$。题目让“保留一位小数”，才写成 $33.3\%$。

例题：三种形式互相翻译

题：将 $0.085$、$\dfrac{3}{8}$、$140\%$ 分别化为另外两种形式。

三类题，其实就三句话

百分数应用题看起来很多，核心关系很少。

第一类：求“一个数的百分之几是多少”。

看到“的”，常常就是乘：

第二类：求“一个数占另一个数的百分之几”。

看到“占”“是”，常常先除：

第三类：已知“某数的 $p\%$ 是多少”，反求这个数。

这时已知的是部分，要除回去：

这里 $T$ 表示整体，$S$ 表示部分，$q$ 表示百分率。

说白了，别先背题型。先把题里的“整体”和“部分”圈出来。

例题：三类关系放在一起看

题：计算下面三问：$240$ 的 $15\%$ 是多少；$45$ 占 $60$ 的百分之几；某数的 $40\%$ 是 $28$，求该数。

增长和减少：最怕把“了”和“到”混起来

设旧值为 $A$，新值为 $B$，且 $A\neq 0$。

相对旧值的变化率是：

结果为正，就是增长；结果为负，就是减少。

“增加了 $p\%$”的意思是：在原来的基础上多出 $p\%$。

所以新值是：

“减少了 $p\%$”就是：

但“增加到 $p\%$”不是一回事。

“增加了”说的是变化量；“增加到”说的是结果。一个字差别很小，数学含义差很多。

连续涨跌：百分数不能直接相加

这是百分数应用题里最常见的坑。

先涨 $20\%$，再降 $20\%$，很多人会想：一涨一降，抵消了吧？

不一定。

因为第二个 $20\%$ 的基数，已经不是原来的数了。

连续变化应该连乘：

这里 $r_1,r_2$ 要写成小数，比如 $20\%=0.2$，下降 $20\%$ 写成 $-0.2$。

例题：先提价再打折

题：某商品原价 $200$ 元，先提价 $10\%$，再在提价后的价格基础上打九折出售。求最终售价相对原价变化百分之几？

折扣、标价和实付：先把钱流向写清楚

“几折”通常表示按标价的十分之几出售。

打八折，就是乘 $0.8$。

打八五折，就是乘 $0.85$。

“降价 $20\%$”如果没有特殊说明，一般是相对原价降，所以实付也是原价的 $80\%$。在这种单一折扣情境下，它和“打八折”结果一样。

但满减、阶梯价、会员券，就不能直接说成某个固定折扣。

这时先算实付，再用：

这里 $F$ 是实付金额，$O$ 是原价，$d$ 是等效折扣率。

还有一个常见点：税是价外税还是价内税？

价外税：税在标价或折后价之外另收。

价内税：价格里已经包含税。

题目怎么说，就按怎么建模。

例题：折扣后再收税

题：一件商品标价 $400$ 元，打八五折出售。若按折后价另收 $10\%$ 的消费税（价外税，税款由顾客另付），顾客共支付多少元？

百分点：和百分数变化不是一回事

两个百分数相减，差通常叫百分点。

比如利率从 $3\%$ 到 $3.5\%$，这是上升 $0.5$ 个百分点。

但如果问“相对原来的利率，上升了百分之几”，就不是 $0.5\%$。

要算：

百分点回答的是“两个百分数差多少”。

相对变化回答的是“这个差，占原来的百分数多少”。

它们不是同一个问题。

例题：百分点和相对升幅

题：某指标从 $2.4\%$ 上升到 $3.1\%$。提高了多少个百分点？相对原来的百分数，升幅约百分之几？

最后记住这张心智表

看到“的百分之几”，先找整体。

看到“占百分之几”，先用部分除以整体。

看到“增加了、减少了”，用 $1\pm p\%$ 去乘。

看到连续涨跌，按顺序连乘，不要把百分数直接相加。

看到两个百分数相减，想一想问的是“百分点”还是“相对变化”。

常用对照可以直接背下来：

再补几个做题很省事的：

下一部分进入代数表达式时，我们会把这些话写成含字母的式子。

比如原量为 $x$，比原来多 $p\%$，新量就是：

这其实还是同一句话：先找基数，再看变化。

习题

习题：分数化百分数

题：将 $\dfrac{5}{6}$ 化为百分数，保留一位小数。

习题：连续涨跌

题：$100$ 元先涨 $20\%$ 再降 $20\%$，最终多少元？说明为何一般不等于 $100$。

习题：含税价反求

题：含税价 $113$ 元，增值税率 $13\%$（价外税、税额按不含税价计），求不含税价（保留两位小数）。

习题：占比变化

题：某班男生 $22$ 人、女生 $18$ 人，男生占全班百分之几？若转走 $2$ 名女生，男生占全班百分之几？

习题：百分点与相对降幅

题：利率从 $4\%$ 变为 $3.2\%$，变化了多少个百分点？若问“相对原来下降百分之几”，列式并计算。

$45$ 占 $60$：$\dfrac{45}{60}\times 100\%=75\%$。