小数与运算

在《分数运算》的学习里，通分、倒数与混合顺序已经练过一轮：分数把「部分与整体」写成分子分母的形式。小数做的是同一件事，只是把分母藏进位值里——写成 $\frac{3}{10}$ 的量，日常更常记成 $0.3$。 买菜标价、跑步配速、温度计读数里小数出现频率极高；算错往往不在「会不会乘」，而在小数点有没有对齐、数位有没有数对。

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数位与位值：小数点右边是什么

小数并不是另一套数字，而是十进制位值在个位右侧的延续：向左每一位乘 $10$，向右每一位除以 $10$。小数点左边依次是个位、十位……右边依次是十分位、百分位、千分位；十分位的计数单位是 $0.1=\frac{1}{10}$，百分位是 $0.01=\frac{1}{100}$，千分位是 $0.001=\frac{1}{1000}$。读法上，「零点几」后的第一位落在十分位；两位小数在百分语境里常对应「百分之几」；三位小数在测量里更常见，用来表达更细的刻度。

人民币以「元」为单位时常用两位小数：角落在十分位，分落在百分位，于是 $3.45$ 元读作三元四角五分；这与竖式里「对齐小数点」是同一套结构，初学阶段用硬币与纸币演示，位值会更快固化。把 $12.345$ 按位值拆开，写法与意义就同时清晰：

$$12.345 = 1\times 10 + 2\times 1 + 3\times \frac{1}{10} + 4\times \frac{1}{100} + 5\times \frac{1}{1000}.$$

小数点移动与乘除 $10$ 的幂

小数点向右移 $n$ 位，相当于乘 $10^n$；向左移 $n$ 位，相当于除以 $10^n$（数位不够时在左侧或右侧补零）。例如 $3.6\times 10^3=3600$，而 。这一条与科学记数法、单位换算（例如厘米变米时小数点左移两位）共享同一套结构。科学记数法把数写成 ，其中 ， 为整数；与小数互化时，本质是移动小数点并数清移动位数，例如 。处理很大或很小的数时，先用科学记数法统一数量级，再做乘除，小数点错位会少很多。读刻度与测量时，若最小分度为 ，读数常记到估读一位，例如 中百分位可以是估读；这与纯算术里是否必须写出 末尾零属于不同层面的要求，审题时要分清题干写的是「计算」还是「测量读数」。

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小数与分数互化：先还原分母，再约分

把小数化成分数时，先看小数位数：若有 $k$ 位小数，可先写成「去掉小数点后的整数」除以 $10^k$，再约到最简。把分数化成小数时，用分子除以分母；能除尽则得有限小数，除不尽则出现无限循环小数，再按需取近似。一条常用判定是：最简分数 $\dfrac{a}{b}$ 能写成有限小数，当且仅当 $b$ 的质因数只含 $$ 与 ；判定前务必约到最简，例如 看似分母含 ，约成 后其实是有限小数。

例题（小数化最简分数）

题：把 $0.875$ 化为最简分数，并说明它能否写成有限小数。

$$0.875=\frac{875}{1000}=\frac{7}{8}.$$

再练一条互化：$0.125=\dfrac{125}{1000}=\dfrac{1}{8}$；反过来 $\dfrac{1}{8}=1\div 8=0.125$。这类「八分之一、四分之一、五分之一」与 的对照，在估算与验算里很省时间。

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比较与排序：对齐数位，从左比到右

比较小数时，先把小数点对齐，较短的一侧末尾补零，使小数位数相同，再从高位到低位逐位比较。常见误区是把「数位个数多」当成更大：$0.3$ 写成 $0.30$，与 $0.25$ 比，十分位 $3>2$，故 $0.3>0.25$。在数轴上，越靠右越大；与分数混合比较时，可统一为小数（循环小数要多取几位再判断）或统一为分数通分比较。找「介于两个小数之间」的数时，只要在更小数的末尾添非零数字或给更小数加微小增量即可构造无穷多个，例如介于 $0.1$ 与 $$ 之间的三位小数可取 （答案不唯一），考查的是数位结构而不是记忆某个标准答案。

例题（排序）

题：将 $0.303,\;0.33,\;0.0303$ 从小到大排序。

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乘法：先按整数积，再点小数点

两数相乘时，先忽略小数点按整数算出积，再数两个因数的小数位数之和 $m+n$，从积的右侧向左数 $m+n$ 位点小数点；若积的位数不够，在左侧补零。原理来自把每个因子写成 $\frac{a}{10^m}$ 与 再相乘，分母合并为 的 次幂，分子为 ，写成公式即

例题（小数乘法）

题：计算 $0.03\times 0.002$。

再算一题带末尾零的：$1.25\times 0.4$。先算 $125\times 4=500$，两因数共有 $2+1=3$ 位小数，从 $500$ 左侧数三位点小数点得 $0.500$，即 ；积末尾的 在化简后可以去掉，但定位过程中它帮助确认数位没有数错。

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除法：除数化整数，商的小数点对齐被除数

把除数乘以 $10^k$ 变成整数时，被除数同步乘 $10^k$，商不变；竖式中商的小数点与被除数（移动后）的小数点对齐，这与分数 $\dfrac{a}{b}$ 的数值一致。除不尽时可补零继续除，得到有限小数或循环小数，或按题意保留若干位并四舍五入。长除法求 $$ 时，把 写成 ，每次余数都是 ，商的小数部分重复出现 ，故 ；余数一旦出现曾经出现过的状态，就进入循环；余数为 则除尽。

例题（小数除法）

题：计算 $1.44\div 0.12$。

再练一题：$5.6\div 0.07$ 时除数两位小数，同乘 $100$ 得 $560\div 7=80$。被除数小于除数时商小于 $1$ 的直觉仍然成立，但小数除法里更常见的是先移动小数点再判断数量级。

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四舍五入与近似

「保留 $n$ 位小数」或「精确到 $0.01$」时，看下一位数字：小于 $5$ 则舍去，大于等于 $5$ 则向前一位进 $1$。连续进位时要一路进完，例如 $9.996$ 保留两位时，千分位是 $6$，向百分位进位后连锁得到 $10.00$。「精确到十分位」与「保留一位小数」通常同义：看百分位再四舍五入，例如 精确到十分位时百分位是 ，向十分位进位得 ；而 精确到十分位时，百分位是 ，按常规四舍五入向十分位进位得 （具体约定以教材为准，中小学阶段多数采用「五入」）。若原数是 ，保留整数要看十分位得约 ；保留一位小数看百分位得约 ；保留两位小数看千分位得约 。近似值与真值之差是误差；工程上有时用 表示允许范围，与单纯四舍五入取近似是不同层面的表述，题意要分清。

例题（四舍五入）

题：$\pi\approx 3.1415926\ldots$，保留两位小数；$7.865$ 保留两位小数。

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应用：单位统一后再运算

文字题失分常出在单位：$3.6\ \mathrm{km}$ 与 $450\ \mathrm{m}$ 相加，应先把米换成千米 $0.45\ \mathrm{km}$，得 $4.05\ \mathrm{km}$。时间方面，分与秒是六十进制：$1$ 分 $30$ 秒是 分，不是 分； 分钟是 小时，不是 小时。购物总价、找零在元为单位时，角在十分位、分在百分位，与竖式对齐一致。

例题（购物找零）

题：三件商品单价分别为 $2.50$ 元、$8.75$ 元、$1.20$ 元，付 $20$ 元，求找零。

路程与速度题先统一长度与时间单位，例如 $144\ \mathrm{km/h}$ 先把千米换成米得 $144\times 1000$ 米每小时，再除以 $3600$ 秒得 $\dfrac{144000}{3600}\ \mathrm{m/s}=40\ \mathrm{m/s}$，换算关系与米、千米、秒、小时的进制有关，与小数点移动规则配套记忆。

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接下来

下一部分我们学习《百分比与应用》，我们将把百分之一与小数 $0.01$ 直接挂钩，读写折扣与增长率会更顺手。本篇与上一篇分数运算可以交叉验算：同一题既化分数又化小数各算一遍，结构会贴得更牢。

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习题

你可以把下面各题先独立完成，再点开「显示答案」核对自己的思路与书写是否一致。

习题（化小数）

题：把 $\dfrac{9}{40}$ 化为小数，并说明是否为有限小数。

习题（计算）

题：计算 $6.07-2.135$，$0.04\times 0.25$，$5.6\div 0.07$。

习题（近似）

题：$7.864$ 与 $7.865$ 各保留两位小数，结果是否相同？说明理由。

习题（单位）

题：$3.6\ \mathrm{km}+450\ \mathrm{m}$ 合多少千米？$1$ 分 $45$ 秒合多少分钟（用小数）？

习题（判断与循环小数）

题：不计算，判断 $9.8\times 1.02$ 与 $9.8$ 的大小关系。把 $0.\dot{3}+0.\dot{6}$ 写成小数或分数，说明结果。