小数与运算

小数不是一套新规则，它还是十进制。

整数往左一位变成十倍，小数往右一位变成十分之一。小数点只是把“个位”和“十分位”隔开。你把这一点看懂了，后面的加减乘除就不容易乱。

比如 $0.3$，它其实就是 $\frac{3}{10}$。写成小数，是因为日常更方便：价格、身高、体温、跑步配速，都不可能每次写分数。

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数位：小数点右边到底在数什么

小数点左边是个位、十位、百位。小数点右边不是“随便写几位”，它也有名字：

十分位表示几个 $\frac{1}{10}$，百分位表示几个 $\frac{1}{100}$，千分位表示几个 $\frac{1}{1000}$。

所以：

$$0.1=\frac{1}{10},\qquad 0.01=\frac{1}{100},\qquad 0.001=\frac{1}{1000}.$$

看数轴会更直观。$0$ 到 $1$ 之间分成十份，每份就是 $0.1$；再把 $0$ 到 $0.1$ 分成十份，每份就是 $0.01$。

拿 $12.345$ 来拆：

$$12.345 = 1\times 10 + 2\times 1 + 3\times \frac{1}{10} + 4\times \frac{1}{100} + 5\times \frac{1}{1000}.$$

这句话翻译成人话就是：$12.345$ 里有 $1$ 个十、$2$ 个一、$3$ 个十分之一、$4$ 个百分之一、$5$ 个千分之一。

人民币也很适合理解小数位。以“元”为单位，$3.45$ 元就是 $3$ 元 $4$ 角 $5$ 分。角在十分位，分在百分位。

小数点移动

小数点向右移 $n$ 位，相当于乘 $10^n$。

小数点向左移 $n$ 位，相当于除以 $10^n$。

数位不够时就补 $0$。例如：

$$3.6\times 10^3=3600,\qquad 0.08\div 10^4=0.000008.$$

科学记数法也是同一件事。它把数写成 $a\times 10^n$，其中 $1\le |a| \lt 10$，$n$ 是整数。

比如：

$$0.00035=3.5\times 10^{-4}.$$

别被负号吓到。意思只是：$3.5$ 的小数点向左挪 $4$ 位。

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小数和分数互化

小数化分数，先看有几位小数。

一位小数，分母先写 $10$；两位小数，分母先写 $100$；三位小数，分母先写 $1000$。然后约分。

比如三位小数 $0.875$：

$$0.875=\frac{875}{1000}=\frac{7}{8}.$$

分数化小数，就用分子除以分母。能除尽就是有限小数，除不尽可能是循环小数。

一个很常用的判断是：最简分数 $\dfrac{a}{b}$ 能化成有限小数，当且仅当 $b$ 的质因数只含 $2$ 和 $5$。

注意关键词是“最简分数”。不先约分，很容易误判。

例题：把 $0.875$ 化为最简分数

再记几个常见搭子：$0.125=\dfrac{1}{8}$，$0.25=\dfrac{1}{4}$，$$。估算时很省时间。

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比较大小：别数小数位个数

比较小数，最稳的办法是：小数点对齐，末尾补零，再从左往右比。

很多人会被“位数多”骗到。比如 $0.3$ 和 $0.25$，不是因为 $0.25$ 多一位就更大。

把 $0.3$ 写成 $0.30$，再比：

$$0.30\gt 0.25.$$

十分位上 $3\gt 2$，已经赢了。

在数轴上看更简单：越靠右越大。和分数混在一起比较时，可以统一化成小数，也可以统一化成分数通分。

例题：排序

题：将 $0.303,\;0.33,\;0.0303$ 从小到大排序。

最终：

$$0.0303 \lt 0.303 \lt 0.33.$$

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加减法：对齐的不是末尾，是小数点

小数加减最像钱的计算。

$12.30+0.45$，要让元、角、分各回各位。竖式里体现出来，就是小数点上下对齐。

如果位数不一样，末尾补 $0$。例如算 $6.07-2.135$，可以看成：

$$6.070-2.135=3.935.$$

补零不改变数值，只是让同一数位站到同一列。

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乘法：先当整数算，再安小数点

小数乘法的步骤很朴素：

先忽略小数点，按整数乘法算。再数两个因数一共有几位小数，积就保留几位小数。

原理其实就是分数：

也就是说，两个分母里的 $10^m$ 和 $10^n$ 合起来，变成 $10^{m+n}$。所以小数位数要相加。

例题：计算 $0.03\times 0.002$

再看 $1.25\times 0.4$。先算 $125\times 4=500$，小数位一共 $2+1=3$ 位，所以是 $0.500$，也就是 $0.5$。

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除法：把除数先变成整数

小数除法最容易乱。一个靠谱口诀是：除数化整数，被除数同步移动。

比如 $1.44\div 0.12$。除数 $0.12$ 要变成 $12$，小数点向右移两位；被除数 $1.44$ 也向右移两位，变成 $144$。

所以：

这个操作不会改变商。因为分子分母同乘 $100$，分数的值不变。

例题：计算 $1.44\div 0.12$

再比如 $5.6\div 0.07$。同乘 $100$，得到 $560\div 7=80$。

除不尽怎么办？继续补 $0$ 除，或者按题目要求保留几位小数。

比如：

$$1\div 3=0.\dot{3}.$$

长除法里余数一直重复，商的小数部分也就一直重复。

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四舍五入：看下一位，不是看感觉

题目说“保留 $n$ 位小数”，就看第 $n+1$ 位。

小于 $5$，舍去。大于等于 $5$，向前一位进 $1$。

例如 $\pi\approx 3.1415926\ldots$：

保留整数，看十分位 $1$，得到 $3$。

保留一位小数，看百分位 $4$，得到 $3.1$。

保留两位小数，看千分位 $1$，得到 $3.14$。

例题：保留两位小数

题：$\pi\approx 3.1415926\ldots$，保留两位小数；$7.865$ 保留两位小数。

还有一种容易错的情况：$9.996$ 保留两位小数。

千分位是 $6$，百分位要进 $1$，于是 $9.99$ 会连续进位，结果是 $10.00$。这里写成 $10.00$，是因为题目要求保留两位小数。

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应用题：先统一单位，再动笔

小数应用题，最大的坑往往不是计算，而是单位。

$3.6\ \mathrm{km}+450\ \mathrm{m}$，不能直接写 $3.6+450$。先把 $450\ \mathrm{m}$ 化成 $0.45\ \mathrm{km}$，再算：

$$3.6+0.45=4.05\ \mathrm{km}.$$

时间更要小心。分和秒是六十进制，不是十进制。

$1$ 分 $30$ 秒是 $1.5$ 分，因为 $30$ 秒是半分钟。

$1$ 分 $45$ 秒是：

$$1+\frac{45}{60}=1.75\ \text{分}.$$

它不是 $1.45$ 分。

例题：购物找零

题：三件商品单价分别为 $2.50$ 元、$8.75$ 元、$1.20$ 元，付 $20$ 元，求找零。

速度单位也一样。$144\ \mathrm{km/h}$ 要换成 $\mathrm{m/s}$，先把千米变米，再把小时变秒：

$$\frac{144000}{3600}\ \mathrm{m/s}=40\ \mathrm{m/s}.$$

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小结

这部分我们真正要记住的是下面这几句话：

小数是分母为 $10,100,1000,\ldots$ 的分数的另一种写法。

加减要小数点对齐。

乘法要数两个因数的小数位总数。

除法要先把除数化成整数，并让被除数同步移动。

近似数要看下一位。

下一部分我们学习「百分比与应用」时，你会发现百分数其实就是把 $0.01$ 换了一个更日常的名字。

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习题

先自己做，再点开答案。别只看结果，重点看每一步是不是有理由。

习题：化小数

题：把 $\dfrac{9}{40}$ 化为小数，并说明是否为有限小数。

习题：计算

题：计算 $6.07-2.135$，$0.04\times 0.25$，$5.6\div 0.07$。

习题：近似

题：$7.864$ 与 $7.865$ 各保留两位小数，结果是否相同？说明理由。

习题：单位

题：$3.6\ \mathrm{km}+450\ \mathrm{m}$ 合多少千米？$1$ 分 $45$ 秒合多少分钟（用小数）？

习题：判断与循环小数

题：不计算，判断 $9.8\times 1.02$ 与 $9.8$ 的大小关系。把 $0.\dot{3}+0.\dot{6}$ 写成小数或分数，说明结果。