小数：把十进制继续写到个位右边

上一章，我们已经能用分数表示不完整的单位，也能解释分数的加减乘除。这次不换一套数，而是换一种常见的记录方式。

三支铅笔共七元五角，可以写成 $7\frac{1}{2}$ 元，也可以写成 $7.50$ 元。一根木条长两米三十五厘米，以米为单位就是 $2.35$ 米。十分之一、百分之一、千分之一，都能借用整数熟悉的位值，排进小数点右边。

我希望这一章能帮你摆脱“看到小数点就先想往哪儿移”的紧张。我们先问每一位代表什么，再看加减为什么对齐、乘法怎样放回小数点、除法为什么同步缩放。最后才讨论近似值：什么时候可以舍入，舍入又改变了什么。

第一次读，先把位值、比较与四则运算学稳。循环小数、有效数字和舍入边界可以放在第二遍，不必让选读部分打断主要路线。

个位右边，还有一整片数位

在 $4327$ 里，四在千位，表示四个千；三在百位，表示三个百。数字告诉我们有几个，位置告诉我们几个什么。

沿同一张数位表继续向右，每一位的计数单位都是左边一位的十分之一：

小数点位于个位与十分位之间，它本身不占一个数位。

因此

也就是 $10+2+0.3+0.005$。这种展开式能让每个数字的值显出来。我拿不准某个零是否能删时，会先这样拆一次。

十个小单位，合成左边一个大单位

把一米纸带十等分，每段 $0.1$ 米；再把其中一段十等分，每小段 $0.01$ 米。

向左看，是十个小单位合成一个大单位；向右看，是把一个单位拆细。整数里的进位与借位，在小数这里仍然成立。

这里变化的是计数单位，纸带的总长度没有变。同一个数 $5.208$ 可以说成 $5208$ 个千分之一，也等于 $520.8$ 个百分之一。后面的说法日常不常用，却提醒我们：计数单位越小，表示同一个量需要的单位数就越大。

用纸带、面积块或立方体表示小数时，先找哪一个完整对象代表单位一。不同模型中的一个小块，不一定代表同一个分数，不能跳过整体直接比较块数。

零在保护后面的数位

$12.305$ 的百分位是零，却不能删成 $12.35$，因为五会从千分位进入百分位。

四个百分之一与四个十分之一不同，后者是前者的十倍。小于一的小数，小数点前通常也写零，例如 $0.7$，方便读清位置，不容易漏掉小数点。

从文字写回小数

$6.025$ 读作“六点零二五”，也可按分数意义说“六又千分之二十五”。小数点右边逐位读，不能把后面几个数字当成没有位值的整数。

“二十三又万分之四十二”是

不是 $23.42$。虽然 $0.42$ 是 $0.0042$ 的一百倍，但整个 $23.42$ 并不是整个 $23.0042$ 的一百倍，因为整数部分没有同比放大。

例题：把末位安放到正确位置

把“八又五千零六个十万分之一”写成小数。

使用数位板前，可以先用 $0.06$ 预测：六应在百分位；乘十得到 $0.6$，除十得到 $0.006$。把自己的判断与演示对照，才不只是跟着屏幕记动作。

数轴上的小数，与写在末尾的零

把零到一十等分，$0.3$ 位于第三个小间隔的末端。再把 $0.3$ 到 $0.4$ 十等分，$0.37$ 就是从 $0.3$ 向右第七个小间隔的末端。小数仍是数轴上的位置。

有固定显示刻度，不代表数之间没有别的数

$0.3$ 与 $0.4$ 的平均数为 $0.35$，严格在两者之间。再取 $0.3$ 与 $0.35$ 的平均数，得到 $0.325$，还可以继续。

两个不同的有限小数取平均，仍能得到夹在中间的有限小数。因此允许任意位数时，$0.3$ 没有一个紧接着的“下一个有限小数”：在 $0.3$ 与 $0.31$ 之间还有 $0.305$，再往里面还能细分。

但只显示一位小数的仪表，相邻显示刻度可以是 $0.3$ 和 $0.4$。数轴上的数，与设备允许显示的刻度，不是同一回事。

非负小数，从最高位开始比较

比较 $3.09$ 与 $3.1$，可以补成 $3.09$ 与 $3.10$。整数部分相同，十分位零小于一，所以

找到第一对不同的数字，就可以决定大小。$0.7281$ 虽然位数多，仍小于 $0.8$；比较的是位值，不是字符多少。

为什么末尾添零不改变数值

把同一个数写到更细的刻度，不移动数轴上的位置。因此

补成四位小数后，比较 $0.3050$ 与 $0.3500$，百分位的差异就很清楚。

纯计算里 $2.30=2.3$。在有明确规则的测量记录里，末尾零有时用于表达记录位数，但多打一个零不会提高测量本身的准确性。后面讨论近似时，我们会再区分这两件事。

负小数仍然看谁更靠右

$1.2>1.05$，取相反数后顺序反转：

两个负数中，绝对值大的更靠左，数值更小。一正一负时，先看符号，不必逐位比较绝对值。

小数与分数，怎样精确地互换

有限小数先按位值写成分数

小数点后几位，就先使用十的相应次幂作分母，再约分。负号保持在整体前，例如 $-0.375=-\frac{3}{8}$。

所以有限小数都是有理数。但不能把这句话扩大为“所有小数都是有理数”：无限且不最终循环的小数表示无理数。

分数化小数，是做分子除以分母

以十三除以四为例，先得到整数商三、余一。把余下的一个一换成十个十分之一，再继续分，最后得到小数部分 $0.25$。

长除法里“给余数添零”，是在换成更细一级的计数单位，不是给原总量额外添东西。

为什么有些结果终止，有些循环

先约成最简、把分母取正。分母为一时，商为整数；分母的质因数只含二和五时，可以扩成分母为十的幂，得到有限小数。

因为 $40=2^3\times5$，补两个因子五，就成为 $1000=2^3\times5^3$。反过来，有限小数写成分母为 $10^n$ 的分数，约分后的分母不会出现二、五以外的质因数。

如果最简正分母含其他质因数，标准长除法不会终止。除以正整数 $b$ 时，非零余数只有 $1,2,\ldots,b-1$ 这些可能。一直计算，就会重复某个余数，之后的步骤和商的数字也重复。

横线要盖住完整循环节。六分之一先出现一个不循环的数字一，之后六持续重复，仍是循环小数。

判断前一定约分：$\frac{6}{15}=\frac{2}{5}=0.4$，不能只看到原分母含三就断言不终止。最简分母为一的整数情形，也别遗漏。

例题：先判断，再计算

判断 $\frac{13}{24}$ 与 $\frac{21}{75}$ 哪个能有限写完。

选读：无限写法与数值，要再分清一次

有限小数可以补无限个零，例如 $0.25=0.25000\ldots$。某些数还有另一种无限九的写法：

每个有限截断 $0.9$、$0.99$、$0.999$ 都小于一，分别相差十分之一、百分之一、千分之一。无限展开表示这些截断不断逼近的那个实数，而不是某个在最后一位停下的小数。

若认为无限九与一之间仍有正的差，那么总能取足够多位，使有限截断与一的差已经比这个正差更小，这与所谓固定正差不相容。因此无限九对应的数就是一。

本章说“长除法终止或循环”，默认出现余数零就终止的标准写法。不要仅凭眼前写了无限位，就认定这个数不可能另有有限写法。这里可以先了解，往后学习极限再深入。

乘除十的幂：数字怎样换数位

把 $3.47$ 拆开，再乘十：

个位的三进入十位，十分位的四进入个位。保持小数点是个位与十分位分界的约定，书写上就像小数点向右移一位。

正整数 $n$ 的情况下，乘 $10^n$ 让各数字提高 $n$ 个数位，除以 $10^n$ 则降低 $n$ 个数位。空位用零补足：

我会顺手反查：五十二除以一千，是否回到 $0.052$？对正数而言，乘大于一的数会增大，除以它会减小；零不变。负数要分清数值大小与绝对值大小，不能照搬正数的说法。

换算单位也有相同结构：

原来的长度、质量没有改变，改变的是计量单位与对应的数字。

加减法：让相同位值站在同一列

$12.3+0.45$ 不能按最后一个数字对齐，十分位与百分位不是同一单位。先把 $12.3$ 写成 $12.30$：

小数点对齐，个位、十分位、百分位就各自对齐。补零没有改变数值，只是把空位显示出来。

减法同理：$10.0-3.8=6.2$。从个位重新分出一个一，在十分位就是十个十分之一，仍是整数学习过的借位。

小数点对齐，是通分思想的延续

把 $2.7$ 写成 $2.70$，就是换用百分之一。竖式对齐，帮助我们只合并同一种计数单位。

多个数相加也一样。$4.2+0.038+15$ 按 $4.200+0.038+15.000$ 对齐，得到 $19.238$。补零不一定每次全写，但每个数字属于哪一列必须清楚。

带负号时先判断方向，再算绝对值：

符号规律与位值对齐，各自在处理不同问题。

例题：一步步处理借位

计算 $6.07-2.135$。

若被减数是 $6.000$，就要跨过中间的零。可以先把六改写为五个一、九个十分之一、九个百分之一和十个千分之一，再逐列相减，得到 $6.000-2.135=3.865$。重新分组前后，总量始终是六。

乘法：小数点的位置来自分母的乘积

一位小数对应十分之一，两位小数对应百分之一。相乘后分母为一千，所以先按整数算出十二，再放回三位小数。

这就是合计两个因数小数位数的原因。$2.35\times0.4$ 先算 $235\times4=940$，合计三位小数，写成 $0.940=0.94$。

“三位”用于恢复整数乘积的尺度，不表示最终答案永远必须保留三位。末尾零可按题目的记录要求保留或删去。

用分配律核对部分积

整数竖式得到 $235\times14=3290$，放回合计三位小数，就是 $3.290=3.29$。两条路线互相一致。

整数积位数不够，也要补齐小数占位：

这里先算三乘二得六，再按五位小数安放位置。漏一个零，数就会扩大十倍。

看缩放方向，帮助检查小数点

一个正数乘 $0.4$，只取原量的十分之四，结果应更小。算 $8.2\times0.7$，答案 $5.74$ 合理，$57.4$ 就不符合方向检查。

有负因数时，先按整数规则决定符号，再算绝对值；有零因数时，乘积为零。不能为了判断大小，把负号或零的条件丢掉。

例题：单价乘数量

苹果每千克 $6.40$ 元，买 $1.75$ 千克，无其他费用，本题按元保留两位小数。

除法：两边同步缩放，商才不变

$1.44\div0.12$ 问的是 $1.44$ 中含多少个 $0.12$。把两个数同时乘一百，商不变：

这是分数基本性质与商不变性质的应用。不是只把除数的小数点移开，被除数必须做同样的缩放。

例如

除数乘一千成为整数，被除数也乘一千。先把 $4.2$ 看成 $4.200$，会更容易核对同步移动的位数。

同一个算式，可以有不同的数量解释

$6\div0.5=12$，可以是在问六米绳子按每段半米剪，忽略损耗后有多少段，也可以问六升是原量的一半，原量是多少升。

前者求份数，后者反求整体。数值计算相同，答案的单位与角色不同。除法不是一律让数变小：正数除以小于一的正数会增大，除以大于一的正数会减小。

例题：商小于一时，个位先写零

计算 $3.24\div7.2$。

除数成为整数后，竖式商的小数点与改写后被除数的小数点对齐。末尾还有余数，可以继续添零，把余量换到更小数位再分。

除不尽，先判断要什么样的答案

精确值可以写成

$0.33$ 只是保留两位小数的近似值，不能擅自用等号把它当作完整商。

求 $2\div7$ 保留三位小数，至少算到第四位，再按规则舍入：

这是直接对精确商作最后报告。如果这个商还要继续参与运算，不要把已经舍入的显示值当作精确输入。

混合运算：小数点不改变谁先谁后

先分组内部，再乘方，再同级乘除从左到右，最后同级加减从左到右。括号里面也遵守这些层级。

相同数字，括号改变了乘法作用的整体，就会得到不同结果。

简算仍然依靠运算律

前一式交换与分组，后一式使用分配律。不能为了凑整，悄悄改掉原来的数。

连续除法也不能乱加括号：

而 $12\div(0.4\div5)=150$。要改写成乘倒数，必须让每个倒数对应原来准确的除数，再谈交换和约分。

例题：订单中的加、乘、减

材料每米 $8.40$ 元，两段分别长 $2.75$ 米与 $1.25$ 米。只对材料总价减免 $5.60$ 元，无其他费用，金额按元保留两位小数。

完整算式是 $8.40\times(2.75+1.25)-5.60=28.00$。米与米先相加，元每米乘米得到元，最后再减元。不能把优惠金额直接从长度里减去。

计算器不会替我们读题

$0.48\times2.5=1.2$，但误输入 $48\times2.5$，计算器会给出另一个问题的答案一百二十。先估成 $0.5\times2.5=1.25$，就能发现数量级不对。

我会让估算检查范围，让手算或计算器完成所需精度的运算，再用逆运算核对。中间能保留精确分数就保留，最后报告时再舍入，而不是看到屏幕上很多位数字就认定全部可信。

四舍五入：先定刻度，再处理正中间

保留两位小数，目标刻度是百分之一；保留一位小数，目标刻度是十分之一。先说保留到哪一位，才能讨论舍入。

本课程这里约定：取最近的目标刻度；恰好在中点时，取绝对值较大的那一端。 对非负数，就是通常的下一位小于五舍去、大于等于五进一。对负数，先处理绝对值，再添回负号。题目另有明确规则时，按它的规则计算。

都是保留两位小数。相邻百分位刻度相差 $0.01$，中点距离为 $0.005$，所以用五判断落在中点哪一边。但恰在中点时，两边同样近，选择哪一边确实需要约定。

进位可能一路传到整数部分

保留两位小数，千分位六使百分位进一，再引发连续进位。只写十虽然数值相等，却没展示题目要求保留的两位小数。

负数的中点怎样处理

按本章约定，保留一位小数：

负三点六五到负三点六、负三点七一样远，按约定选绝对值更大的后一端。不是遇到负数也机械地向右加十分之一。

近似数不能倒推唯一原数

保留一位小数得到 $3.7$ 的原数，满足

左端舍入到三点七，右端会到三点八。对应结果负三点七时，则为

端点哪边包含，要按同一舍入规则检查，不是机械复制正数区间。还不熟悉不等式时，可以先把两个边界代入试一次。

保留两位小数得到 $3.70$ 的原数，满足 $3.695\le x<3.705$。这些范围针对舍入前的数值，不是说任何测量报告只要写三点七零，就能保证真实量在这个范围里。

舍入误差，不等于测量中的全部误差

对一个确定数值取最近刻度，刻度间隔为 $u$，舍入造成的绝对差不超过 $u/2$。到十分位，上界是 $0.05$；到百分位，上界是 $0.005$。

但假如尺子的起点没有对准，测量就可能先产生另一种偏差。把这个读数再保留两位，并不会消掉原来的偏差。因而“舍入前后差多少”与“读数距离真实长度多远”，是两个问题，不能只凭小数位数把它们混成一个。

选读：小数位与有效数字

保留两位小数，固定留下小数点后两位；保留两位有效数字，从第一个非零数字开始数两位，再舍入。

$3876$ 保留两位有效数字可写 $3.9\times10^3$，明确是三与九两位。只写 $3900$ 时，末尾零表达了多少有效数字信息，还需要记录约定。

按照通常有效数字记法，$2.30$ 展示三个有效数字，$2.3$ 展示两个，但纯数值相等。多写末尾零不会让原数据自动更准确；采用什么格式，要与数据来源和题目要求相配。

为什么不应反复舍入

直接把 $2.449$ 保留一位小数，得到 $2.4$。若先保留两位，得到 $2.45$，再保留一位，则变为 $2.5$。

第一次舍入把原本低于中点的数推到了中点，第二次舍入便朝另一端走了。两次各自遵守规则，也不保证最终等于直接舍入。

估算：合理范围比长串数字更早给出提醒

精确值为 $60.588$，与估算一致；若算成 $605.88$，小数点就值得检查。这里一个因数上估、一个下估，六十是粗略估计，不能直接叫作保证的上界或下界。

$48.2\div0.61$ 可以估成 $48\div0.6=80$，结果不可能只有 $0.79$。但“接近八十”不代替指定精度的计算。

我判断预算肯定够不够时，会选有保证的界。三件商品每件都低于十六元，总价便低于四十八元，五十元一定够；随意把价格四舍五入，未必能在预算边界附近作出可靠结论。

估算检查范围，精算确定数值，舍入按要求报告。三件事互相配合，不是同一种动作。

单位把小数接回真实数量

三元四角五分可以写 $3.45$ 元。长度与质量也常使用十的幂换算：

相加前仍要统一单位：

小数十进制，单位换算却不一定如此

一分等于六十秒，所以

它不是 $1.45$ 分，后者等于一分二十七秒。角度的一度等于六十角分；角分是角度单位，不是时间里的分钟，也要连同所测量的量读清楚。

面积要让两个方向都换单位

一米与一百厘米是同一段长度，没有真的把边拉长。同一个边长一米的正方形，面积为

面积数值的换算倍率是长度倍率的平方，不能只乘一百。第十章用单位小方格量面积时，会再次遇到这件事。

例题：购物与找零

大米每千克 $5.80$ 元，买 $2.35$ 千克；另买 $4.60$ 元调味品。无其他费用，付二十元，本题按元保留两位小数。

例题：速度的两个单位都要换

把七十二千米每小时换成米每秒。七十二千米为七万二千米，一小时为三千六百秒，因此

同一个速度只是换了单位，不是突然减速了。

换算因子可以帮我们检查方向

分子分母是相等的长度，所以带单位的比等于一。不是说纯数一千等于一，而是一千米等于一千米。

反向的速度换算可写

米与秒分别约去，留下目标单位。单价里的“每”也如此：元每千克乘千克得到元，千米每小时乘小时得到千米。

单位检查能发现不少问题，但单位碰巧对了，也不证明全部数量关系正确，最后仍要读回原题。

练习：先写第一步，再展开答案

1. 位值与展开式

$40.0705$ 中，七与五各在哪一位，表示多少？

2. 比较与末尾零

将 $0.56,0.506,0.5600,0.065$ 从小到大排列。

3. 分数与小数

把 $0.1875$ 写成最简分数，判断 $\frac{11}{30}$ 能否有限写完。

4. 十的幂

计算 $0.0047\times10000$ 与 $83.2\div1000$。

5. 四则运算

计算 $7.04-2.875$、$0.06\times0.35$、$4.2\div0.035$。

6. 近似值与原数范围

按本章规则，把 $38.795$ 保留两位小数。一个数保留整数得十二，原数可以在什么范围？

7. 时间与长度

$2.75$ 米绳子剪去八十五厘米，剩多少米？二分二十四秒合多少分钟？

8. 总量检查

八瓶果汁，每瓶 $0.75$ 升，无损耗地平均分入十二个容量足够的杯子，每杯多少升、多少毫升？

9. 负数舍入

将 $-3.65$ 保留一位小数，哪些原数会舍入成 $-3.7$？

10. 连续舍入与记录位数

$2.449$ 先保留两位再保留一位，与直接保留一位相同吗？把记录 $2.3$ 改写为 $2.30$，会自动提高测量准确性吗？

下一章：百分之一，为什么值得单独拿出来

小数运算没有离开整数与分数：占位零保护位值，加减对齐共同单位，乘法的尺度来自十的幂相乘，除法的同步缩放保持商不变。

订正时，我建议留下一个具体原因，比如“把百分位看成十分位”“只放大了除数”“把分钟按一百分换算”。这些话告诉我们下次该检查哪里；只写粗心，反而没给下一次留下办法。

接下来，我们把百分之一单独拿出来：

$0.2$ 可以写成 $20\%$，数值不变，表达的重点却转向相对某个标准占了多少。下一章最先要问的不是小数点移几位，而是：这里完整的百分之百指谁？ 分数里学过的单位一，会继续帮助我们读懂百分数。