分数运算：先认清每一份，再决定怎么算

上一章，我们给同一个数换过不少写法： $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{2}{4}$ 和 $\frac{4}{8}$ 都可以落在数轴同一点。约分、通分没有改变数值，只是换了计数的小刻度。

现在的问题不同了：两份量合起来有多少？一个量的三分之二是多少？四分之三升果汁，能装满几只八分之一升的小瓶？我们开始做运算，而不只是改写。

我会先陪你把每个算式读成一个问题，再说明计算方法。加减合并或比较同样大小的小份，乘法可以表示缩放，除法可以求每份大小，也可以求份数。分数线看起来相似，运算所问的关系却不同。

这一章可以分两次学。先把加减、乘法、倒数与除法学稳，再处理负分数、带分数、繁分数和多步应用。我们也会接上上一章的读书问题：第二天读“剩下的三分之一”，究竟占全书多少？

先问：现在数的是哪一种份

$\frac{1}{2}$ 是一个二分之一， $\frac{1}{3}$ 是一个三分之一。两边虽然都只写了一个“1”，小份的大小并不相同。

这就像两米加三厘米，不能只把数字相加并保留任意一个单位。分数也要先认清小份：

\frac{3}{7}=3\times\frac{1}{7}.

它在数三个七分之一。加上两个七分之一，可以合成五个七分之一；加上两个九分之一，就要先把小刻度对齐。

异分母分数的加法并不是没有意义，而是不能直接把不同大小的小份当成同一种份数相加。通分把原来的算式改写成容易计算的形式。

我们通常使用正分母。分子、分母同乘正整数 $k$ ，数值不变：

\frac{a}{b}=\frac{ak}{bk},\qquad b>0.

例如 $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$ ，是把原来一份细分成三小份，不是把原数放大。分子为负时，等值关系仍成立；平均切分的模型先用于非负数量，负号再用数轴方向解释。

分数作为数的值是确定的；作为某个整体的一部分，它对应的实际数量才依赖整体。做应用题，既要读清分数，也要认清它指向谁。所有分母与除数都必须非零。

动笔前，我会先给结果找一个范围。 $\frac{5}{12}$ 和 $\frac{7}{18}$ 都大于零、小于一半，因此和小于一，又大于其中任何一个加数。这个判断不替代精算，却能提前拦住一些离谱答案。

加减法：把刻度换成同一把尺子

同分母时，合并的是份数

两边都在数九分之一，二份加四份就是六份：

\frac{2}{9}+\frac{4}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.

减法同理：

\frac{7}{10}-\frac{3}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.

对于同一个非零分母 $c$ ，

\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}.

分母暂时不变，是因为加减时每小份的大小没有改变。结果写成最简分数时，分母仍可能改变，例如刚才的九分之六约成了三分之二。

从分配律也能看见原因：

a\times\frac{1}{c}+b\times\frac{1}{c} =(a+b)\times\frac{1}{c}.

我们合并份数，没有把单位也相加。

异分母时，先寻找公共刻度

计算 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ ，把两项都换成六分之一：

\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}.

它不等于 $\frac{2}{5}$ 。不用重算，也能发现这个错误：两个正数相加，和应大于一半，而五分之二还不到一半。

正分母的任何正公倍数都可以作公共分母；通常选择最小公倍数，让数字较小。分母小时可以列倍数，分母大时可以用质因数分解。不管选哪一个，改写后的每个分数都必须保留原值。

分数条说明二分之一加三分之一等于六分之五，乘法中的交叉约分说明四分之三乘九分之八等于三分之二

例题：用最小公分母相加

计算 $\frac{3}{8}+\frac{5}{12}$ 。

$8=2^3$ ， $12=2^2\times3$ ，最小公倍数为 $24$ 。

第一项分子分母同乘三，得到 $\frac{9}{24}$ ；第二项同乘二，得到 $\frac{10}{24}$ 。

合并份数，得到 $\frac{19}{24}$ 。十九与二十四互质，已经最简。

两个加数都小于一半，和应小于一，又应大于各自的加数。结果满足这个范围检查。

若选择四十八作公共分母，也能算出

\frac{18}{48}+\frac{20}{48}=\frac{38}{48}=\frac{19}{24}.

所以最小公分母是省力的选择，不是唯一合法选择。

先约分，有时能少走一段路

\frac{6}{18}+\frac{5}{12} =\frac{1}{3}+\frac{5}{12} =\frac{4}{12}+\frac{5}{12}=\frac{3}{4}.

把第一项先约成三分之一，公共分母只需十二，不必用十八与十二的最小公倍数三十六。

通分完成后，要先做当前的加减；别刚统一好刻度，又把每一项分别约回原来的异分母写法。

减法仍然要保留顺序

\frac{7}{10}-\frac{1}{4} =\frac{14}{20}-\frac{5}{20}=\frac{9}{20}.

被减数小于减数时，结果为负：

\frac{1}{3}-\frac{3}{4} =\frac{4}{12}-\frac{9}{12}=-\frac{5}{12}.

这就是整数差 $4-9=-5$ 乘一个十二分之一。负号记录差的方向，不需要硬解释成现实中拿走了负块数的饼。

带分数减法：一个整体可以重新分组

计算 $4\frac{1}{6}-2\frac{3}{4}$ 。先把分数部分通分：

\left(4+\frac{2}{12}\right)-\left(2+\frac{9}{12}\right).

为方便按非负的分数部分相减，把第一个数中的一个整体换成十二个十二分之一：

4+\frac{2}{12}=3+\frac{14}{12}.

这里保留加号，明确三与十二分之十四相加；因为分数部分已经大于一，这不是最终规范的带分数写法。接着算

\left(3+\frac{14}{12}\right)-\left(2+\frac{9}{12}\right) =1+\frac{5}{12}=1\frac{5}{12}.

重新分组没有增加数量。也可以一开始化成假分数：

\frac{25}{6}-\frac{11}{4} =\frac{50}{12}-\frac{33}{12} =\frac{17}{12}=1\frac{5}{12}.

两条路线都对。遇到负号多、分数部分不整齐的题，我通常先化成假分数，避免拆错整个数的符号。

一般公式，是把过程写短

取公共分母 $bd$ ，得到

\frac{a}{b}+\frac{c}{d} =\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd} =\frac{ad+bc}{bd},\qquad b,d\ne0.

减法把相应的加号换成减号。公式能检查结构，实际算题时仍可以选择更小的公共分母。

计算二分之一加三分之一时，为什么不能直接把分子、分母分别相加？

乘法：取一个量的几分之几

乘法不是把两份量并排合并，而可以表示缩放，所以不需要为了计算而先通分。

三组五分之二相加，是

\frac{2}{5}\times3=\frac{2}{5}+\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=\frac{6}{5}.

求十五的三分之二，则先三等分，每份五，再取两份：

15\times\frac{2}{3}=15\div3\times2=10.

正分母、非负整数分子时，可以把“乘 $\frac{a}{b}$ ”读成“按 $b$ 等分，再取 $a$ 份”。分子大于分母，份数可以超过一个整体；负分数则另用符号规则，不解释成负次数的切分。

分数乘分数，是一层里面再取一层

$\frac{2}{3}\times\frac{3}{5}$ 可以读成“五分之三的三分之二”。把一个矩形分为五列、三行，共十五个等面积格。先选三列，再从所选部分取两行，重叠区域是六格：

\frac{2}{3}\times\frac{3}{5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}.

这个模型帮助解释分母与分子为什么分别相乘。一般的分数乘法为

\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},\qquad b,d\ne0.

对于负数，沿用整数的符号规律和运算律即可，不需要画负面积。若想检查公式，把两边同乘非零的 $bd$ ，两边都应还原成 $ac$ 。

交叉约分，约的是共同因子

计算 $\frac{3}{4}\times\frac{8}{9}$ 。

先认清乘法结构：整个式子可以写成 $\frac{3\times8}{4\times9}$ 。

分子因子三与分母因子九同除以三，剩一与三；分子因子八与分母因子四同除以四，剩二与一。

结果为 $\frac{1\times2}{1\times3}=\frac{2}{3}$ 。先乘成 $\frac{24}{36}$ 再约分，也得到同一结果。

两个因数都大于零、小于一，积应小于每个因数。三分之二同时小于四分之三与九分之八。

“交叉”只是连线的外观，理由是整个乘积的分子、分母有共同非零因子。不是任意看到一样的数，都可以划掉。

$\frac{2}{3}+\frac{3}{5}$ 中的两个三，处于不同加数，不构成整体乘积里的共同因子，不能跨过加号约分。

乘法不保证越乘越大

一个正数乘大于零、小于一的数，会变小；乘大于一的数，会变大；乘一不变，乘零得零。例如

\frac{7}{8}\times\frac{4}{15}=\frac{7}{30}<\frac{8}{30}=\frac{4}{15}.

这些比较限定原数为正。原数为负时，要分清“数值更大”与“绝对值更大”，不能原封不动地套用。

分配律仍然可以帮忙

求 $2\frac{1}{2}$ 的五分之三，可以算

\frac{5}{2}\times\frac{3}{5}=\frac{3}{2},

也可以拆成

\left(2+\frac{1}{2}\right)\times\frac{3}{5} =\frac{6}{5}+\frac{3}{10}=\frac{3}{2}.

前一种更短，后一种更能看出整数部分与分数部分怎样同时缩放。方法可以灵活，原来的关系不能改变。

单位能帮我们核对列式

四分之三千克苹果，单价八元每千克，总价为

\frac{3}{4}\text{ 千克}\times8\text{ 元/千克}=6\text{ 元}.

千克与每千克配对，留下元。若算总价却仍留下元每千克，就要检查是否漏乘了数量。

除法：每份多大，或者一共有几份

已知份数，求每份大小

四分之三升汤平均装进三个碗，无损耗，每碗的升数为

\frac{3}{4}\div3=\frac{1}{4}.

这是等分除：总量与份数已知，求每份的量。

已知每份大小，求份数

若每瓶装八分之一升，同样的汤能装满多少瓶？四分之三等于八分之六，其中有六个八分之一，所以

\frac{3}{4}\div\frac{1}{8}=6.

答案是六瓶。用完整单位检查，是总量“升”除以每份大小“升/瓶”，得到瓶。纯数的算式没有自行携带物理单位，单位来自题目给每个数安排的角色。

八等分数轴上，四分之三等于八分之六，包含六个八分之一

倒数把乘法还原到一

两个数相乘等于一，就互为倒数，它们必然都非零。分数 $\frac{c}{d}$ 的倒数为 $\frac{d}{c}$ ，要求 $c,d$ 均非零：

\frac{c}{d}\times\frac{d}{c}=1.

一与负一的倒数分别是自身，零没有倒数。倒数与相反数不同：三分之二的倒数是二分之三，相反数是负三分之二。

为什么除以分数，等于乘它的倒数

商 $Q=A\div B$ 要满足 $Q\times B=A$ ，其中 $B\ne0$ 。要撤销乘 $B$ 的作用，就乘它的倒数。因此

Q=A\times\frac{1}{B}.

放回分数写法：

\frac{a}{b}\div\frac{c}{d} =\frac{a}{b}\times\frac{d}{c},\qquad b,c,d\ne0.

$b,d\ne0$ 保证两个分数本身有定义， $c\ne0$ 保证除数不是零。也可以理解为被除数与除数同乘 $\frac{d}{c}$ ，商不变，除数恰好变成一。

我会把除数圈出来再翻转：取倒数的是除数，不是被除数，更不是两个数一起翻。

例题：算完，再乘回去

计算 $\frac{5}{6}\div\frac{10}{9}$ 。

除数的倒数为 $\frac{9}{10}$ ，原式改为 $\frac{5}{6}\times\frac{9}{10}$ 。

五与十同除以五，九与六同除以三，得到 $\frac{1\times3}{2\times2}=\frac{3}{4}$ 。

除数大于一，被除数为正，商应比被除数小。再检查 $\frac{3}{4}\times\frac{10}{9}=\frac{5}{6}$ ，恢复原来的数。

除以小于一的正数，为什么反而变大

三除以二分之一，不是取三的一半，而是在问三里含多少个半。每个单位有两个半，三个单位有六个半：

3\div\frac{1}{2}=6.

正数除以大于零、小于一的数，商一定增大；除以大于一的数，商一定减小。被除数为零时，除以非零数仍是零，不存在严格增大或减小。

同一个总量，角色可以交换

$2\frac{1}{4}$ 升果汁平均分给六个人，每人所得的升数为

\frac{9}{4}\div6=\frac{3}{8}.

若改问每杯装八分之三升，一共装几杯，则为

\frac{9}{4}\div\frac{3}{8}=6.

第一题已知份数，第二题已知每份大小。两个问题都用除法，答案的解释却不同。

比较倍数，也是除法

“五分之三是五分之四的几分之几”，要用被比较量除以标准量：

\frac{3}{5}\div\frac{4}{5}=\frac{3}{4}.

反查五分之四乘四分之三，恰好得到五分之三。比较标准必须非零；实际谈份额时通常采用正的数量。

零与自身相除的边界

任意数除以一不变；零除以任意非零数等于零；任何数都不能除以零。对非零数，有

\frac{7}{9}\div\frac{7}{9}=1,

但不能据此说 $0\div0=1$ 。分子分母看起来一样，也要先检查除数是否非零。

正数除以一个小于 1 的正分数，商一定比原来的正数小。

负分数：整数里的符号规则继续有效

先整理符号：

\frac{-3}{4}=\frac{3}{-4}=-\frac{3}{4},\qquad \frac{-3}{-4}=\frac{3}{4}.

异分母相加先通分：

-\frac{3}{4}+\frac{1}{6} =-\frac{9}{12}+\frac{2}{12}=-\frac{7}{12}.

减去负数仍等于加上相反数：

\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right) =\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}.

两个非零数相乘除，同号得正、异号得负。例如

-\frac{3}{4}\div\left(-\frac{2}{5}\right) =-\frac{3}{4}\times\left(-\frac{5}{2}\right)=\frac{15}{8}.

取倒数不会丢掉负号。乘法里有零因数则乘积为零；除法里有零除数，就不能继续套用任何符号口诀。

带分数：运算作用于整个数

$2\frac{1}{3}=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$ ，不是二乘三分之一。负号放在前面时，也作用于整个数：

-2\frac{1}{3}=-\left(2+\frac{1}{3}\right)=-\frac{7}{3}.

我做带负号的运算时，会先写成有括号的加法或假分数，防止把一个数拆错。

正带分数相加，可以分别合并

2\frac{1}{7}+3\frac{4}{7}=5\frac{5}{7}.

分数部分超过一，要把完整单位并入整数部分：

1\frac{5}{6}+2\frac{3}{4} =3+\frac{19}{12}=4+\frac{7}{12}=4\frac{7}{12}.

十二个十二分之一合成一个整体，仍是重新分组，不是额外增加了一个数。

乘除先化成假分数，通常更清楚

计算 $2\frac{1}{4}\times1\frac{2}{3}$ 。

两个数分别写成 $\frac{9}{4}$ 与 $\frac{5}{3}$ 。

相乘前，分子九与分母三约去共同因子三，得到 $\frac{15}{4}$ 。

最后写成 $3\frac{3}{4}$ 。两个因数都大于一，积大于它们，范围合理；精确结果还要靠合法运算核对。

有些题拆开也很方便：

8\times3\frac{3}{8}=8\times\frac{27}{8}=27,

或用分配律算 $8\times3+8\times\frac{3}{8}=24+3=27$ 。方法选择可以灵活，最后写成假分数还是带分数，则看题目要求与表达方便程度。

连续取份额，与繁分数要分清

连续取几分之几，是连乘

先取二十的五分之二，再取所得量的四分之三：

20\times\frac{2}{5}\times\frac{3}{4}=6.

每次都在当前量里再取一部分。先说清当前整体，再把结果换回原问题的整体，就不会把两个比例直接相加。

繁分数仍然是一道除法

分子或分母里面又含分数，叫繁分数。例如

\frac{\frac{2}{3}}{\frac{9}{10}} =\frac{2}{3}\div\frac{9}{10}=\frac{20}{27}.

它与乘积 $\frac{2}{3}\times\frac{9}{10}=\frac{3}{5}$ 不同。外层主分数线把上面与下面各自组成整体，表示整体分子除以整体分母。

抄成除号时，我会给整个分子和整个分母各加一组括号。判断的是嵌套关系，不是仅凭屏幕上哪条线看起来最长。

方法一：上下分别算，再相除

化简

\frac{1+\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}.

整体分子为 $\frac{3}{2}$ 。

整体分母为 $\frac{1}{2}$ ，非零，外层除法有定义。

相除得 $\frac{3}{2}\div\frac{1}{2}=3$ 。商乘回整体分母，恢复整体分子。

方法二：整体上下同乘内部公共分母

\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{\frac{3}{4}-\frac{1}{6}}.

内部各正分母的最小公倍数为十二。整体分母为 $\frac{7}{12}$ ，不是零。把整个分子与整个分母同乘十二：

\frac{12\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)} {12\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{6}\right)} =\frac{6+4}{9-2}=\frac{10}{7}.

十二必须分配到每一项，不能只乘第一项。也可以先算上下为 $\frac{5}{6}$ 与 $\frac{7}{12}$ ，再相除，仍得 $\frac{10}{7}$ 。两条路线独立核对，能帮助发现漏乘。

步骤拥挤时，可以在草稿记 $N=$ 整体分子， $D=$ 整体分母，再看作 $N\div D$ ，视觉上复杂的表达式就变成两个清楚对象。

所有内部小分母都要非零，外层整个分母也要非零。例如 $\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}$ 的小分母都为二，整体分母却为零，原式仍没有定义。

混合运算：先看边界，再按层级计算

分数沿用整数的层级：先分组内部，再乘方，再同级乘除从左到右，最后同级加减从左到右。括号里面也遵守这些层级。

通分不是最高优先级，它只是做分数加减时需要的准备，不能让本来后算的加法跑到乘法前面。

例题：括号、除法、减法连在一起

计算

2-\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{6}\right)\div\frac{5}{3}.

括号里通分相加，得到 $\frac{11}{12}$ 。

除法改成乘除数倒数， $\frac{11}{12}\times\frac{3}{5}=\frac{11}{20}$ 。

最后相减， $2-\frac{11}{20}=\frac{29}{20}=1\frac{9}{20}$ 。

被减去的正数不足一，所以结果在一与二之间。这个必要条件与答案一致。

比较

\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=1,

\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\right)\times\frac{3}{4}=\frac{7}{8}.

相同数字，多一组括号就可能得到不同结果，因为乘法作用的整体改变了。

主分数线上下，各自有运算顺序

\frac{1-\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}} {\frac{5}{6}\div\frac{10}{9}}.

分子先乘后减，得到一半；分母相除得到四分之三，非零。最后一半除以四分之三，得到三分之二。不是从页面左上角一路按看到的数字顺序计算，而是沿分组关系逐层处理。

同级乘除，不能扩大后面的除数

\frac{1}{2}\div\frac{3}{4}\times\frac{2}{5} =\frac{2}{3}\times\frac{2}{5}=\frac{4}{15}.

也可先准确改写成 $\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\times\frac{2}{5}$ ，再交换、约分。不能把原式变成 $\frac{1}{2}\div\left(\frac{3}{4}\times\frac{2}{5}\right)$ 。

负号与乘方也要看括号：

\left(-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}, \qquad-\left(\frac{1}{2}\right)^2=-\frac{1}{4}.

前者底数包含负号，后者先平方再取相反数。

应用题：给每个分数找回它的整体

先接上上一章的读书问题

第一天读全书四分之一，第二天读剩余部分三分之一，两天一共读全书的多少？

先以全书为单位一，第一天后剩 $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ 。

第二天取这个剩余量的三分之一，占全书 $\frac{3}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{4}$ 。

两个份额现在都以全书为整体，可以相加，合计 $\frac{1}{2}$ 。

用一百二十页核对：第一天三十页，剩九十页；第二天九十页的三分之一仍是三十页，共六十页，恰好一半。

纯数 $\frac{1}{4}+\frac{1}{3}$ 当然能相加，只是这个和不表示本题两天占全书的比例。

已知整体，求其中一部分

二十四名学生，八分之三参加合唱团，人数为 $24\times\frac{3}{8}=9$ 。实际人数为整数，也符合对象不可分割的条件。

单价乘数量也一样。题目给定精确单价、不计其他费用，买 $2\frac{1}{4}$ 千克坚果，每千克 $18\frac{2}{3}$ 元，总价为

\frac{9}{4}\times\frac{56}{3}=42\text{ 元}.

计算过程中保留精确分数，最终是否舍入按题目明确的金额规则处理。

已知部分与比例，反求整体

步道已修十八千米，占全长五分之三。三份十八千米，一份六千米，五份共三十千米。写成除法是

18\div\frac{3}{5}=30.

全长为三十千米。以后用方程，可以设全长 $x$ ，写 $x\times\frac{3}{5}=18$ ；现在先用单位分数，也已经能解释为什么这样算。

完整份数与分数商不是一回事

$4\frac{1}{2}$ 升饮料，每个容器装四分之三升，无损耗。所需容器数为

\frac{9}{2}\div\frac{3}{4}=6.

再看 $5\frac{1}{2}$ 米彩带，每份礼物总计固定用八分之三米，已包括打结用量，不另计损耗：

\frac{11}{2}\div\frac{3}{8}=\frac{44}{3}=14\frac{2}{3}.

只能完成十四份完整包装，剩余

\frac{11}{2}-14\times\frac{3}{8}=\frac{1}{4}\text{ 米}.

商里的三分之二，是一个标准份的三分之二，不是还剩三分之二米。求实际余长，要乘回每份大小，或从总长中减去已使用长度。

必须装下全部时，取整方向又不同

一升液体，每瓶容量八分之三升，无损耗。总量相当于 $1\div\frac{3}{8}=2\frac{2}{3}$ 个标准容量，能装满两瓶，但装下全部至少需要三瓶，最后一瓶不满。

所以我不把“舍去分数部分”当成全部应用题的统一规则，而是先看问题问装满多少，还是至少需要多少。

合作问题，相加的是效率

假设甲单独十二个工作日完成，乙单独十八个工作日完成。两人的效率固定、互不妨碍，可以相加，也允许把一个工作日按连续工作时长细分。

以整项工作为一，每个工作日合做

\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{5}{36}.

全部所需工作日数为

1\div\frac{5}{36}=\frac{36}{5}=7\frac{1}{5}.

这里五分之一天是题目采用的工作日时长的五分之一，不自动是某个固定小时数。若任务必须交接、不能并行，或有等待时间，就需要另建关系。

比较标准换了，比例也会换

原价二百四十元，降低原价的五分之一，现价为

240\times\left(1-\frac{1}{5}\right)=192\text{ 元}.

“降低五分之一”与“降到五分之一”不同，后者才是现价四十八元。

对于正数量，甲比乙多四分之一，可以看成乙四份、甲五份。反过来乙比甲少的，是一份占五份的五分之一，不再是四分之一。差量相同，比较标准不同。

多步取用，继续跟踪剩余量

一桶水第一次用原总量三分之一，第二次用剩余量四分之一。第二次占原总量

\left(1-\frac{1}{3}\right)\times\frac{1}{4}=\frac{1}{6}.

两次一共用去原总量一半。这与读书问题是同一种结构。每看到“剩下的”“其中的”“现在的”，就重新标出当前整体。

先求一份，再求若干份

六个相同模型共需 $2\frac{1}{4}$ 米线，每个用量一致，无额外损耗。十个模型的用线量为

\frac{9}{4}\div6\times10 =\frac{3}{8}\times10 =\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}\text{ 米}.

六到十介于原来的一倍与两倍之间，用线量也应如此。单位换算也可这样想：五分之三小时是 $60\times\frac{3}{5}=36$ 分钟，先确定一个完整单位是多少，再取份额。

估算与查错：合理范围不等于正确答案

先用熟悉的数夹住范围

\frac{5}{12}+\frac{7}{18}=\frac{29}{36}.

两项分别大于五分之二与三分之一，又都小于一半。因此和在

\frac{11}{15}\quad\text{与}\quad1

之间。正确结果在范围内，错误的五分之二则明显不在。

但如果把正确的 $\frac{29}{36}$ 误算成 $\frac{30}{36}$ ，它仍在刚才的范围内。范围检查只能排除一部分错误，不能替代对精确运算的检查。

把乘与除并排看

1\frac{3}{4}\times\frac{5}{6}=\frac{35}{24}=1\frac{11}{24},

1\frac{3}{4}\div\frac{5}{6}=\frac{21}{10}=2\frac{1}{10}.

同一个正数，乘小于一的正数会缩小，除以它则增大。决定结果的不是“用了哪两个分数”，还有它们之间的运算。

改写当下，就要核对数值

四分之三改成分母十二，应该是 $\frac{9}{12}$ 。只改分母得到 $\frac{3}{12}$ ，已经把原数除以三。

我会逐行问：这一步是在保持数值的改写，还是题目要求的一次计算？通分、约分、带分数转换都应保留原值；选用加减乘除，则要符合原题关系。

同样两个数，四种问题

上午走四分之三千米，下午走二分之一千米，总路程用加法，是四分之五千米。

四分之三米绳子剪去二分之一米，剩余用减法，是四分之一米。

取四分之三米绳子的一半，用乘法，是八分之三米。

四分之三米绳子按每段二分之一米分组，用除法，相当于一段半；只数完整段则一段，剩四分之一米。

别只抓数字，先把关系说成一句完整的话，再决定运算符。

找到第一处改变题意的改写

原题

1\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}

不能先写成 $\left(\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\right)\times\frac{3}{4}$ 。新加的括号改变了乘法作用对象。正确做法先乘再减，得到 $\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$ 。

逐行检查“这一行只做了哪一步，其他部分是否保留”，比沿着同一种误读重算一遍更容易抓住结构错误。

下面哪些判断可以用来检查正分数运算的结果？

综合练习：先说关系，再看答案

1. 异分母相加

计算 $\frac{5}{8}+\frac{7}{12}$ 。

2. 异分母相减

计算 $\frac{7}{9}-\frac{5}{12}$ 。

3. 带分数相减

计算 $3\frac{1}{4}-1\frac{5}{6}$ 。

4. 相乘前约分

计算 $\frac{14}{15}\times\frac{25}{28}$ 。

5. 带分数相乘

计算 $2\frac{2}{3}\times\frac{9}{16}$ 。

6. 除法翻转谁

计算 $\frac{7}{10}\div\frac{14}{15}$ 。

7. 包含几个标准份

计算 $3\frac{1}{2}\div\frac{7}{8}$ 。

8. 繁分数

化简 $\frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{6}}{\frac{5}{4}-\frac{3}{8}}$ 。

9. 先乘后加

计算 $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\times\frac{2}{9}$ 。

10. 装满几瓶

$5\frac{1}{4}$ 升果汁，每瓶装八分之三升，无损耗，可以装满多少瓶？

11. 反求全程

已走十四千米，占全程十分之七，全程多少千米？

12. 先发现可疑之处

小林写 $\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\times\frac{2}{5}=\frac{3}{10}$ ，哪里错了？

13. 两类符号问题

计算 $-\frac{3}{4}+\frac{1}{6}$ 与 $-\frac{3}{4}\div\left(-\frac{2}{5}\right)$ 。

14. 所有小分母非零，还够吗

$\frac{2}{\frac{3}{5}-\frac{3}{5}}$ 能否计算？

下一章：把刻度换成十分之一、百分之一

分数四则不是四句互不相干的口诀：加减需要共同刻度，乘法描述缩放，除法反向寻找乘法里的另一个量。带分数与繁分数，只是把这些结构组合起来。

下一章学习小数，相同思想仍在工作。小数点对齐，是为了让相同位值对齐；乘除改变数量级，仍要用缩放方向与逆运算检查。

\frac{7}{20}=\frac{35}{100}=0.35.

这不是创造一个新数，只是换成百分之一的位值写法。八分之三能有限写成零点三七五，三分之一则需要无限循环，有限位截取只能近似。

先约成最简、取正分母；分母为一，或质因数只含二和五时，可以有限写完。下一章会用位值与长除法，把这些现象接起来。

带着原来的顺序继续就好：先认单位和整体，再辨关系，接着计算，最后把答案放回原问题。书写方式变了，不需要把理解推倒重来。