分数基础

先说结论：分数不是一种“更高级的神秘写法”。

它只是在回答一个很生活的问题：一个整体被平均分成若干份，我拿了其中几份？

所以学分数时，真正要盯住的不是横线长什么样，而是三件事：单位 $1$ 是谁，是否平均分，取了多少份。

如果这三件事说不清，后面约分、通分、比较大小都会变成背口诀。口诀不是不能用，但没有意义托底时，一换题型就容易散。

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分数到底在说什么

把单位 $1$ 平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。

这句话听起来像定义，其实是做题时的检查清单。

第一，单位 $1$ 要明确。

它可以是一张饼、$1$ 米绳子、$1$ 小时，也可以是数轴上从 $0$ 到 $1$ 的那一段。

第二，必须平均分。

如果几块大小不一样，就不能随便说“我拿了三分之一”。分数里的“几分之几”，默认每一份一样大。

第三，分母和分子分工不同。

在 $\frac{a}{b}$ 中，分母 $b$ 表示单位 $1$ 被平均分成 $b$ 份；分子 $a$ 表示取了这样的 $a$ 份。分母不能是 ，通常在本章我们默认 。

放到数轴上看，就更直观。

把 $[0,1]$ 平均分成 $b$ 段，从 $0$ 开始数到第 $a$ 个等分点，对应的数就是 $\frac{a}{b}$。

这也解释了为什么 $\frac{a}{b}$ 可以看成 $a\div b$：

$$\frac{a}{b}=a\div b \qquad (b\neq0).$$

但在应用题里，别急着除。先问一句：这里的单位 $1$ 是什么？

“半杯水”和“半桶水”都叫 $\frac{1}{2}$，但实际水量完全不是一回事。

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分数单位：每一小份有多大

把单位 $1$ 平均分成 $b$ 份，其中一份就是分数单位，记作 $\frac{1}{b}$。

所以 $\frac{5}{7}$ 的意思不是一个孤零零的符号，而是 $5$ 个 $\frac{1}{7}$。

$$\frac{5}{7}=5\times\frac{1}{7}.$$

这个视角很有用。

比如比较 $\frac{1}{6}$ 和 $\frac{1}{8}$，很多人第一反应是“8 比 6 大，所以八分之一大”。这正好反了。

同一个整体分得越细，每一份越小，所以

$$\frac{1}{6}>\frac{1}{8}.$$

一句话记住：分母决定“每份多大”，分子决定“拿了几份”。

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真分数、假分数和带分数

真分数，就是分子小于分母的分数，比如 $\frac{3}{5}$。它小于 $1$。

假分数，就是分子大于或等于分母的分数，比如 $\frac{7}{4}$。它大于或等于 $1$。

带分数，就是“整数 + 真分数”的写法，比如 $2\frac{1}{3}$。

注意，$2\frac{1}{3}$ 不是 $2\times\frac{1}{3}$，而是

$$2\frac{1}{3}=2+\frac{1}{3}.$$

带分数和假分数只是同一个数的两种写法。

估算时，带分数比较像人话：$3\frac{1}{2}$ 一看就知道比 $3$ 多一点。

做乘除时，假分数更方便，因为它统一写成一个分子除以一个分母。

互化靠带余除法。若 $a,b,q,r$ 为整数，$b>0$ 且 $0\le r<b$，那么

$$\frac{a}{b}=q+\frac{r}{b} \quad\Longleftrightarrow\quad a=bq+r.$$

比如

$$\frac{17}{5}=3\frac{2}{5},$$

因为 $17=5\times3+2$。

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分数的基本性质

分数的基本性质可以说得很朴素：

分子和分母同时乘以同一个不为 $0$ 的数，分数大小不变。

$$\frac{a}{b}=\frac{a\times k}{b\times k}\qquad (b\neq0,\ k\neq0).$$

如果分子和分母能同时除以同一个不为 $0$ 的数，分数大小也不变。

$$\frac{a}{b}=\frac{a\div k}{b\div k}.$$

为什么？

因为你相当于乘了一个等于 $1$ 的数：

$$\frac{a}{b}\times\frac{k}{k}=\frac{a\times k}{b\times k}.$$

$\frac{k}{k}=1$，所以数值没有变。

这就是约分和通分的共同底层逻辑。

约分，是把分数写得更简单。

通分，是把不同分母的分数改写到同一套刻度上。

它们都不是“把数改了”，而是在“换一种等值写法”。

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约分：把样子变简单

约分，就是把分子和分母同时除以它们的公因数。

例如：

$$\frac{6}{8}=\frac{6\div2}{8\div2}=\frac{3}{4}.$$

$\frac{6}{8}$ 和 $\frac{3}{4}$ 看起来不同，但大小一样。

如果分子和分母已经没有除 $1$ 以外的正公因数，就叫最简分数。

更正式一点：当 $\gcd(a,b)=1$ 时，$\frac{a}{b}$ 是最简分数。

约分常见有两种做法。

一种是一步步约。

$$\frac{24}{36} =\frac{12}{18} =\frac{6}{9} =\frac{2}{3}.$$

另一种是直接找最大公因数。

因为 $\gcd(24,36)=12$，所以

$$\frac{24}{36} =\frac{24\div12}{36\div12} =\frac{2}{3}.$$

两种方法本质相同。一步步约适合心算，最大公因数法适合一步到位。

写答案时，一般要约到最简。

不是因为 $\frac{24}{36}$ 错，而是 $\frac{2}{3}$ 信息更清爽。

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通分：把刻度对齐

分母不同，麻烦在哪里？

麻烦在“每一份”的大小不同。

$\frac{3}{4}$ 的一份是 $\frac{1}{4}$，$\frac{5}{6}$ 的一份是 。直接比较 和 没有意义，因为它们数的不是同一种小份。

通分就是把它们改写成同分母分数。

通常选各分母的最小公倍数，记作 $L$。

若要把 $\frac{a_i}{b_i}$ 通分到公共分母 $L$，令

$$n_i=L\div b_i,$$

再把分子分母同时乘以 $n_i$：

$$\frac{a_i}{b_i} =\frac{a_i\times n_i}{b_i\times n_i} =\frac{a_i\times n_i}{L}.$$

比如比较 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{5}{6}$。

因为

$$\mathrm{lcm}(4,6)=12,$$

所以

$$\frac{3}{4}=\frac{9}{12}, \qquad \frac{5}{6}=\frac{10}{12}.$$

现在分母一样了，只要比分子：

$$\frac{5}{6}>\frac{3}{4}.$$

下面这个小工具可以拖动分子、分母。

你会看到：分母不同时，先统一到公共分母，比较就变成了“同一种小格子里谁涂得更多”。

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比较分数大小

分数比较不用一上来就硬算。

可以按下面这个顺序看。

同分母，比分子

分母一样，说明每份大小一样。

谁取的份数多，谁就大。

$$\frac{5}{8}>\frac{3}{8}.$$

同分子，比分母

分子一样，说明取的份数一样。

但分母越大，每一份越小，所以分数反而越小。

$$\frac{2}{5}>\frac{2}{7}.$$

分子分母都不同，通分

这是最稳的方法。

比如：

$$\frac{7}{12} \quad\text{和}\quad \frac{5}{9}.$$

公共分母是 $36$。

$$\frac{7}{12}=\frac{21}{36}, \qquad \frac{5}{9}=\frac{20}{36}.$$

所以

$$\frac{7}{12}>\frac{5}{9}.$$

用基准数估一估

有些题不需要完整通分，用 $\frac{1}{2}$ 或 $1$ 做参照会很快。

比如 $\frac{4}{9}$ 小于 $\frac{1}{2}$，因为 $4$ 还没有到 $$ 的一半。

而 $\frac{5}{9}$ 大于 $\frac{1}{2}$，因为 $5$ 超过了 $$ 的一半。

交叉相乘

若 $b,d>0$，比较 $\frac{a}{b}$ 和 $\frac{c}{d}$ 时，可以比较 和 。

$$\frac{a}{b}\ ?\ \frac{c}{d} \quad\Longleftrightarrow\quad ad\ ?\ bc.$$

它不是玄学，而是通分到公共分母 $bd$：

$$\frac{a}{b}=\frac{ad}{bd}, \qquad \frac{c}{d}=\frac{bc}{bd}.$$

比如比较 $\frac{5}{7}$ 和 $\frac{3}{4}$：

$$5\times4=20,\qquad 3\times7=21.$$

因为 $20<21$，所以

$$\frac{5}{7}<\frac{3}{4}.$$

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分数和小数互化

分数和小数只是同一个数的不同表达。

分数化小数

用分子除以分母。

$$\frac{3}{8}=3\div8=0.375.$$

如果除得尽，就是有限小数。

比如：

$$\frac{1}{4}=0.25.$$

如果除不尽，但某一段数字重复出现，就是循环小数。

比如：

$$\frac{1}{3}=0.333\ldots=0.\overline{3}.$$

一个实用判断是：最简分数的分母如果只含质因数 $2$ 和 $5$，它能化成有限小数；否则会化成循环小数。

例如 $\frac{3}{8}$ 的分母 $8=2^3$，所以是有限小数。

$\frac{1}{6}$ 的分母 $6=2\times3$，含有 $3$，所以会循环。

小数化分数

看小数点后有几位。

一位小数写成十分之几，两位小数写成百分之几，三位小数写成千分之几，然后约分。

比如：

$$0.4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.$$

再比如：

$$0.375=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8}.$$

这里不是在变魔术，只是在说 $0.375$ 就是 $375$ 个千分之一。

约分以后，写法更简单。

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面积模型和数轴模型

学分数最好同时抓两种图。

面积模型，像圆饼、矩形条、巧克力。

它适合理解“整体中的一部分”。比如一块巧克力平均分成 $8$ 格，吃了 $3$ 格，就是 $\frac{3}{8}$。

数轴模型，像一把尺子。

它适合理解“数的位置”。分数不是只存在于饼图里，它也在数轴上有确定位置。

比如 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{2}{3}$，在面积图上可能看着都不少；放到数轴上，谁更靠右，谁就更大。

面积模型帮你看懂“占了多少”，数轴模型帮你看懂“排在哪里”。

这两套模型合起来，后面学分数加减乘除会轻松很多。

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例题

例题一：分数单位与意义

题：把 $1$ 米长的绳子平均剪成 $8$ 段，用去 $3$ 段。用分数表示用去的长度占全长的几分之几？分数单位是什么？还剩几分之几？

例题二：约分到最简

题：将 $\frac{84}{126}$ 化为最简分数。

例题三：通分并比较

题：比较 $\frac{7}{12}$ 与 $\frac{5}{9}$ 的大小。

例题四：带分数与假分数互化

题：把 $3\frac{5}{8}$ 化为假分数；把 $\frac{47}{6}$ 化为带分数。

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小结

这一部分最核心的线索，其实只有一条：先说清单位 $1$，再看它被平均分成多少份。

分母告诉你“分成几份”，分子告诉你“取几份”，分数单位 $\frac{1}{b}$ 告诉你“每份多大”。

约分和通分都来自分数的基本性质。

约分是把等值分数写简单，通分是把不同分母放到同一刻度上。

比较大小时，能直接比就直接比；不能直接比，就通分或交叉相乘。交叉相乘的前提是分母为正，本质仍然是通分。

分数和小数互化时，分数化小数就是做除法；小数化分数就是按位数写成十分之几、百分之几、千分之几，再约分。