分数：当整数不够用时

上一章留下了 $7\div2$ 这样的问题：它有精确的商，却没有一个整数能把这个商单独写出来。我们这次就来补上这块空缺。

我想先请你把口诀放一放，想象三个孩子平均分一张饼。每人一张不够分，每人零张又不是实际结果。我们明明拿到了东西，只是不到一个完整的单位，需要一种更细的写法。

分数的起点，是先问三句话：把什么看成单位 $1$？每小份有多大？一共取了几份？ 弄清这三件事，再看分子分母、约分通分，就不容易只记住动作而忘掉意义。

三张饼，怎样平均分给四个人

先让每张饼都四等分。每个孩子从每张饼上拿一份，就从三张饼上拿到了三个四分之一张。每个人拿得同样多，所有饼也恰好分完。

从逐张分的角度看，每人得到

从总量分配的角度看，三张平均分给四人，直接算总量除以人数。两种思路指向同一个结果。

分数既能说“几个同样的小份”，也能记录除法的精确商。它不仅是饼图的一块涂色，还可以像整数一样参与测量、比较和运算。

分数的值确定，实际数量要看整体

作为一个数，$\frac{1}{2}$ 就是 $0.5$，它的值不会因为换了一个故事而改变。但“一个量的一半有多少”，还要知道那个量是什么。

半杯水与半桶水都可能对应二分之一，实际水量却不同。变化的是作为整体的水量，不是二分之一这个数。

整体可以是一个物体

把一张纸看成单位 $1$，分成八个等面积区域，涂三个，涂色面积就是整张的 $\frac{3}{8}$。

这些区域不必长得一模一样，但要由块数直接推出面积比例，就必须等面积。若大小不同，我们还需要每块面积的信息。

整体也可以是一段连续的量

以一米为单位，$\frac{3}{5}$ 米就是三个五分之一米。以一小时为单位，$\frac{3}{4}$ 小时就是三个四分之一小时：

这里的四分之一，不是随便把钟面涂四块，而是把一小时的时长四等分。

一整组对象也能看成单位 1

十二支彩笔作为整体，其中三分之一为蓝色，就是十二支按数量三等分后的一组，共四支。

若另一盒三十支，蓝色同样占三分之一，则蓝色有十支。比例相同，数量不同。

我会先在题目旁写出“整体：十二支”或“整体：三十支”，再算每份。这样，后面的分母到底在分谁就很清楚。

分子、分母与分数单位

在 $\frac{a}{b}$ 中，$a$ 叫分子，$b$ 叫分母。先用非负整数分子、正整数分母理解：把单位 $1$ 平均分成 $b$ 份，每份为 $\frac{1}{b}$，取 $a$ 份得到

$\frac{1}{b}$ 是这里的分数单位。$\frac{5}{7}$ 包含五个七分之一，$\frac{9}{4}$ 包含九个四分之一；后者超过一，也仍然是在数同一种小份。

分母决定小份的大小，分子记录小份的个数。负分数稍后用方向解释，不把负分子硬说成拿了负块数的饼。

分母大，为什么每份反而小

同一个单位分成六份，每份为六分之一；分成八份，每份为八分之一。切得更细，每份更小：

这个比较的条件是：分子相同且为正，分母都为正。若分子为零，$\frac{0}{6}=\frac{0}{8}=0$，并没有严格变小；若分子为负，方向还会反过来。记口诀时，要把条件一起留下。

分数线还表示除法

因此分母不能为零。上一章已经用乘法解释，除以零不能得到通常意义上唯一确定的商。

分子可以为零。$\frac{0}{5}=0$ 表示没有取任何五分之一；需要最简分数写法时，可写为 $\frac{0}{1}$，通常直接写零。

同一个分数，可以进入几种问题

整体中的一部分

一块等厚、均匀的巧克力分成八个等面积小格，吃三格，吃掉的部分占整块的 $\frac{3}{8}$。若只讨论面积，等面积足够；要把面积比例同时当成质量比例，还需要厚度和材料相应一致。

一个除法的商

三升果汁平均装进五个容量足够的瓶子，每瓶 $\frac{3}{5}$ 升。这个分数准确记录了三除以五的结果。

“不能整除”不等于“没有答案”。$2\div3$ 不能得到整数，却可以精确写成 $\frac{2}{3}$。

用小尺子测量的结果

丝带正好长三个四分之一米，就写作 $\frac{3}{4}$ 米。分母确定小尺子的长度，分子记录量了几次。实际测量可能有误差；这里的“正好”是题目给定的理想关系。

缩放一个量

二十元的五分之三，先求一份是四元，再取三份得到十二元。原长的四分之五则比原长更大：四份拼回一个整体，还多一份。

乘分数不一定让量缩小，关键看这个正分数小于一、等于一还是大于一。下一章分数乘法会接着解释。

两类数量的比较

两颗红珠、三颗蓝珠，红珠数是蓝珠数的 $\frac{2}{3}$。若问红珠占全部珠子的比例，整体变成五颗，答案则为 $\frac{2}{5}$。

我会把“谁与谁相比”补成完整一句话。$\frac{2}{3}$ 与 $\frac{2}{5}$ 不是谁对谁错，它们回答的是不同问题。

让分数站到数轴上

先固定零到一的单位长度，再四等分。从零向右走三个小间隔，到 $\frac{3}{4}$；继续走到七个小间隔，就到 $\frac{7}{4}$：

注意数的是间隔，不是刻度点个数。四个小间隔会有五个边界点；把起点也算成第一份，位置就会偏一格。

负分数在原点另一边

$-\frac{3}{4}$ 在零左边，与 $\frac{3}{4}$ 关于原点对称，到零的距离同为四分之三。

通常把分母整理成正数，负号放在分数前或分子上，比较与计算会更清楚。整数部分的方向规则没有改变，我们只是把刻度分得更细。

不同写法，可以是同一点

把单位长度二等分走一格，四等分走两格，八等分走四格，都到中点：

小刻度换了，位置没动。这正是等值分数的直观意义。

面积图、集合图与数轴，怎样互相核对

要表示五分之三，面积图可以把一个整体分成五个等面积区域，涂三个；集合图可以从十五颗珠子中取九颗；数轴可以把单位长度五等分，向右走三个小间隔。

三个模型检查的量不同。面积图检查面积，集合图检查个数，数轴检查单位长度和位置。集合里的珠子不用长得一样，因为我们此时只数个数，不比较总质量。

实际人数不能随意分割

$10\times\frac{1}{4}=2.5$ 作为数的运算没有错。但若说十个学生中恰有四分之一的人参加活动，就不可能对应一个整数人数。

这与“若干组平均每组参加人数为二点五”不同。平均人数可以有小数，一次实际人数必须为整数。解释数学答案时，也要检查对象能不能这样分。

例题：怎样画出五个四分之一

一个正方形四等分，只有四格，不能在同一个单位内部涂五格来表示 $\frac{5}{4}$。

等值分数：小份变细，数值不变

把纸带四等分，涂三份；每份再二等分，整体成为八小份，涂色成为六小份。面积没变，所以

用正整数 $m$ 继续细分，就有

小份大小缩成原来的 $\frac{1}{m}$，份数乘 $m$，两种变化正好抵消。

反过来，如果正整数 $m$ 同时整除分子、分母，就可以把小份合组：

整除保证改写后仍是整数分子与整数分母。本章扩分与约分，先使用这些整数条件；更一般的非零倍数缩放也保持商不变，但不能因此忽略分母非零。

同乘同除，不是“随便做相同动作”

分子分母同乘非零数，相当于整个分数乘一个一。分子分母同时加二，却没有这样的保证：

看上去上下对称，不是数值相等的证明。我会把新旧分数放回数轴，或比较交叉乘积，检查位置是否真的没变。

交叉相乘为什么能判断等值

正分母 $b,d$ 的两个分数，可以都改写成分母 $bd$：

因此二者相等，当且仅当 $ad=bc$。例如

所以 $\frac{14}{21}=\frac{10}{15}$，继续约分可知二者都是 $\frac{2}{3}$。所谓交叉乘法，只是通分后比较分子的简写。

真分数、假分数与带分数

本章先在正分数中介绍这组名称，零和负号单独处理。

真分数不到一，假分数不小于一

正整数 $a,b$ 满足 $a<b$ 时，$\frac{a}{b}$ 为真分数，位于零与一之间，例如 $\frac{3}{5}$。

$a\ge b>0$ 时，为假分数，例如 $\frac{5}{5}=1$、$\frac{11}{4}>1$。“假”不表示写错，只是名称。

本章把零单独说明：$\frac{0}{b}=0$，它在原点，不在零与一严格之间。判断大小时看实际数值，不要只靠名称。

带分数把完整单位与零头写在一起

这里省略的是加号，不是乘号。规范的正带分数由正整数部分与非零真分数部分组成。

假分数化带分数：按分母分组

把 $\frac{23}{6}$ 看成二十三个六分之一，每六个合成一个整体：

一般地，非负整数 $a$ 与正整数 $b$ 满足 $a=bq+r$、$0\le r<b$，就有

带分数化回假分数：数同一种小份

$q$ 个整体包含 $qb$ 个 $\frac{1}{b}$，再加 $r$ 个：

例如

所以“整数乘分母再加分子”，其实是在数一共有多少个单位分数。

负带分数的负号作用于整体

它不是 $-2+\frac{1}{3}$。我做带负号的题时会先写出括号，或直接化成假分数，避免把一个数拆错。

约分与通分，需要两种整数工具

约分想把相同的小份重新合组，通分想让不同的刻度对齐。最大公因数与最小公倍数，分别帮我们做这两件事。

因数、公因数、最大公因数

本节讨论正整数的正因数。若 $n=dq$，$d,q$ 为正整数，就说 $d$ 整除 $n$，是 $n$ 的因数。

十二与十八共有的正因数是 $1,2,3,6$，最大的为六：

在 $\frac{12}{18}$ 里，每六个原来的十八分之一合成一组。分子十二份成为两组，整体十八份成为三组，于是得到 $\frac{2}{3}$。

倍数、公倍数、最小公倍数

四的正倍数是四、八、十二、十六……；六的正倍数是六、十二、十八……，最小的正公共项为十二：

这里找的是正公倍数。零虽然也是倍数，却不能作分数分母。

四分之一可以写成十二分之三，六分之一可以写成十二分之二，两种小份就可以共同使用十二分之一的刻度。

质因数分解让共同结构显出来

大于一、正因数只有一与自身的整数，叫质数或素数，例如二、三、五、七；大于一且有其他正因数的整数叫合数。一既不是质数，也不是合数。

把十二与十八分解成质数相乘：

最大公因数选双方都有的因子，每种取较少的个数；最小公倍数要同时装下双方需要的因子，每种取较多的个数。因此

“取小指数”与“取大指数”的口诀，从这里就能看见原因。

再看 $72=2^3\times3^2$ 与 $90=2\times3^2\times5$，得到最大公因数十八，最小公倍数三百六十。对于两个正整数 $m,n$，还可用

辅助检查。每种质数的较小指数与较大指数相加，恰好就是原来两个指数之和，所以乘积对应起来。

选读：辗转相除为什么有效

数字大时，我不想把所有因数逐个列出来。可以先做带余除法：

最大公因数为四十二。原因是，能同时整除一百二十六与八十四的数，也能整除它们的差四十二；反过来，八十四与四十二的公因数，也整除它们的和一百二十六。公因数没有改变，数字却变小了。

一般地，$a=bq+r$ 时，$a,b$ 与 $b,r$ 有相同的公因数。反复替换，直到余数零，最后那个非零除数就是最大公因数。第一步就整除时，原除数直接就是答案。

例如

所以最大公因数为十八，最小公倍数为

第一次学习时，先会用列举或质因数处理较小的整数，就能继续分数。这个算法可以在第二遍阅读时再练，不必让它挡住理解分数的主线。

约分：变的是写法，不是数量

约分是分子分母同时除以非零公因数：

分子分母的正公因数只有一，叫互质，这时分数已最简。互质不表示两数都是质数，例如八与九都是合数，却没有大于一的公因数。

一步约完或逐步约，都可以

每步都同除公因数，就保留了数值。若直接看出最大公因数为二十四，也可以一步约完。

例题：化简八十四除以一百二十六

负分数也能约分，保留整体负号：$-\frac{18}{24}=-\frac{3}{4}$。零分子直接表示零。

约的是共同因子，不是相同数字

不能只把分子某一项里的六与分母十二约掉。也可以先把整个分子分解为 $3(2+1)$，再与分母 $3\times4$ 约去整体共同因子三：

这个区分以后在代数分式里会反复出现，现在先把“因子”与“加数”分清。

通分：把两把小尺子换成同一种刻度

比较 $\frac{3}{4}$ 与 $\frac{5}{6}$，只看分子三与五不够，因为一边在数四分之一，另一边在数六分之一。

用分母四、六的最小公倍数十二作公共分母：

十个十二分之一大于九个，所以六分之五更大。

使用下面的演示时，先拿这两个分数核对：公共分母选十二，新分子应该分别为九与十。分母乘几，分子也要乘几，不是只换掉分母的数字。

通分的一条稳妥路线

二十四也能作前面两项的公共分母，得到十八个二十四分之一与二十个二十四分之一，结论一样。最小公倍数常更省事，却不是唯一正确选择。

比较大小：先看结构，再选方法

同分母，比较份数

正分母相同，分子较大的分数就较大：$\frac{7}{11}>\frac{4}{11}$。即使分子为负，这个顺序也成立，因为都是同一个正的单位分数。

正分子相同，比较每份大小

$\frac{5}{8}>\frac{5}{12}$。都取五份，八分之一大于十二分之一。分子为零或负数时，不直接照搬正数的严格大小结论。

用一半或一个作基准

$\frac{3}{8}<\frac{1}{2}$，$\frac{5}{9}>\frac{1}{2}$，所以不用通分就知道前者小于后者。

再看 $\frac{7}{8}$ 与 $\frac{11}{12}$。二者都不到一，前者差八分之一，后者只差十二分之一。十二分之一更小，所以后者更接近一，也更大。

通分与交叉相乘

或者使用正分母下的交叉比较。$5\times4=20<21=3\times7$，因此 $\frac{5}{7}<\frac{3}{4}$。其原因仍是通分到正的公共分母后比较分子，不是另一个神秘规则。

带分数先比整数部分

$\frac{13}{5}=2\frac{3}{5}$，与 $2\frac{1}{6}$ 整数部分相同，只需比较零头，前者较大。

若两个规范正带分数的整数部分不同，如 $3\frac{1}{100}$ 与 $2\frac{99}{100}$，前者更大，因为后者还没到三。

负分数看谁更靠右

因为 $\frac{2}{3}>\frac{3}{5}$，取相反数后顺序反转：

负数绝对值大，位置更靠左，数值更小。这里与上一章的整数比较完全相同。

例题：三个分数排序

将 $\frac{5}{8},\frac{7}{12},\frac{2}{3}$ 从小到大排列。

选读：分数、小数与整数如何连起来

这一部分先看一眼，不熟悉小数除法时，可以学完第五章再回来。

任何整数 $n$ 都可写成 $\frac{n}{1}$，例如 $3=\frac{3}{1}=\frac{12}{4}$。换成分数，不是把原整数变成另一个数。

分数化小数，就是分子除以分母：

循环线上覆盖的数字一直重复。无限重复的写法精确等于三分之一，有限的 $0.333$ 却不等于它。

怎样预判能否有限写完

先约成最简并取正分母。分母为一，或者分母的质因数只含二和五，可以扩成分母为十的幂，得到有限小数。例如

最简分母含其他质因数时，标准长除法不终止，并会进入循环。因为除数固定后，非零余数只有有限种；出现相同余数，后面的步骤和数字就重复。

一定先约分：$\frac{6}{15}=\frac{2}{5}=0.4$，不能只看原来的十五含有因子三。

小数按位值写回分数

$2.125=2+\frac{125}{1000}=2\frac{1}{8}=\frac{17}{8}$。小数的位值与分数单位，其实在描述同一件事。

应用题：最后问的是数量，还是比例

红棋子有多少枚

一盒二十四枚棋子，红棋子占 $\frac{3}{8}$，其余不是红色。

两个半瓶，合起来是什么

一瓶三百毫升，一瓶五百毫升，各喝一半，共喝一百五十加二百五十，即四百毫升。

不能说喝掉一个三百毫升整瓶，也不能说喝掉一个五百毫升整瓶。若问占两瓶原有总量多少，则为

作为纯数，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ 没有错；错的是把依赖不同整体的两份量，未经统一就当成一个相同容量的单位来相加，或把这个和当成占两瓶总量的比例。

单位 1 可以在一句话里改变

一本书，第一天读全书的四分之一，第二天读剩余部分的三分之一。第一个整体是全书，第二个整体是读过以后剩下的部分。

$\frac{1}{4}+\frac{1}{3}$ 作为数的和有意义，却不是两天占全书的阅读比例。下一章，我们会先把第二天的份额换回“全书的几分之几”，再相加。

假分数可以讲成测量过程

$\frac{11}{4}$ 米彩带，就是十一段四分之一米。每四段拼成一米，先拼出两米，再剩三段，便是 $2\frac{3}{4}$ 米。带余除法 $11=4\times2+3$ 只是把这个分组过程写短。

错误诊所：找到丢掉的条件

分成六块、涂两块，不足以保证面积比例为三分之一。六块等面积时能从块数推出；不等面积时也可能碰巧是三分之一，但需要具体面积信息。

分母大不一定分数小，要同时看分子和符号。$\frac{1}{9}<\frac{1}{7}$，而 $\frac{8}{9}>\frac{1}{7}$。

分子分母同时加二不是普遍等值操作。$\frac{2}{3}$ 与 $\frac{4}{5}$ 的交叉乘积十与十二不同，已经说明数值改变。

一个公因数不一定是最大公因数。六同时整除三十六与四十八，但十二也能，且更大。

循环小数截断后不能继续当精确值。$\frac{1}{3}=0.333\dots$，却只能写 $\frac{1}{3}\approx0.33$ 来表示保留两位小数的近似。

遇到这些错误，我会先回到单位、份数和等值关系，而不是把所有问题都归为粗心。

自测：把单位和理由一起说出来

1. 涂色图还缺什么

长方形分成六块，两块涂色，能确定涂色面积占 $\frac{2}{6}$ 吗？

2. 分数单位与带分数

$\frac{7}{5}$ 的分数单位、份数与带分数写法分别是什么？

3. 是否等值

$\frac{18}{27}$ 与 $\frac{14}{21}$ 是否相等？

4. 约到最简

化简 $\frac{42}{56}$，说明同除以十四的意义。

5. 两种比较方法

比较 $\frac{7}{10}$ 与 $\frac{5}{8}$。

6. 小数转换选做

把 $1.45$ 写成最简分数与带分数。

7. 两个不同的问题

两米绳子五等分，每段多少米？每段占原绳多少？

8. 结论对，理由也要对

“$\frac{4}{9}<\frac{4}{7}$，因为分母大的分数更大。”怎样改？

9. 是否同一点

$\frac{6}{5},1\frac{1}{5},1.2$ 在数轴上是同一点吗？

10. 三项排序

将 $\frac{5}{12},\frac{7}{18},\frac{11}{24}$ 通分并排序。

11. 相同比例，数量一定相同吗

甲拿十八千克一箱苹果的三分之一，乙拿另一箱的三分之一，能判断一样重吗？

下一章：让同一种小份开始运算

这一章，我们反复区分两件事：分数作为数的值，与它在某个整体中对应的量；一种数的不同写法，与数值真正发生变化。

约分、通分和带分数转换，都是保留数值的改写。数轴始终帮助我们判断位置，最大公因数与最小公倍数则让改写更方便。

下一章，加减会要求我们先把不同小份对齐，乘法会解释“剩余部分的几分之几”，除法会问“里面装得下多少个指定大小的量”。前面的读书问题也会得到完整答案。我们沿着单位与关系继续走，不必把四则运算背成四句孤立的口令。