整数运算

整数运算最容易错的地方，不是算术本身，而是符号管理。

很多同学会背“同号得正、异号得负”，也会背“先乘除后加减”。但一到长一点的式子，就开始把负号漏掉、把除法提前合并、把绝对值随手拆开。

所以这里我们先抓住三件事：

1. 正负号表示方向，也表示变化。
2. 减法可以改写成加法。
3. 混合运算必须按顺序排队，不能凭感觉插队。

把这三件事做稳，整数运算就会从“这题我好像会”变成“这类题我基本不慌”。

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到底要学会什么

课标里说整数运算，听起来很正式。翻成人话，其实就是几项能力。

第一，会在数轴上看懂整数。正数在右边，负数在左边，$0$ 是分界点。

第二，会理解相反数和绝对值。相反数是方向相反，绝对值是到 $0$ 的距离，所以 $|-7|=7$，不是“随便把负号擦掉”这么粗糙。

第三，会做整数的加、减、乘、除，以及简单混合运算。重点不是把题堆得很长，而是每一步都合法。

第四，会用交换律、结合律、分配律做简化。这里的“简化”不是炫技，而是把结构看清楚。

第五，会把温度、海拔、收支这类情境翻译成带正负号的算式，并能解释答案是什么意思。

这里我们先只谈整数。分数、小数以后会继续出现，但运算顺序和符号习惯是一套东西。这里练稳，后面学起来会轻很多。

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加减法：先把减法变成加法

为什么要这么麻烦

很多错误都出在减法上，尤其是这种：

$$5-(-8)$$

如果你只靠眼睛扫，很容易被两个符号绕进去。

更稳的做法是先记住一条总规则：

$$a-b=a+(-b).$$

意思是：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

所以

$$5-(-8)=5+8=13.$$

这不是多此一举。它的好处是：整道题最后都变成加法，规则会少很多。

同号相加

两个数同号时，先把绝对值相加，再保留共同的符号。

比如：

$$(-6)+(-9)=-(6+9)=-15.$$

也就是两个都往左走，总路程变长，结果当然还在左边。

正数同号更熟悉：

$$(+6)+(+9)=15.$$

异号相加

两个数异号时，其实是在“互相抵消”。

做法是：绝对值大的那一边赢，结果跟它同号；数值等于两个绝对值的差。

例如：

$$(-14)+(+9)=-5.$$

因为 $14$ 比 $9$ 大，负的一边赢；差是 $14-9=5$，所以结果是 $-5$。

如果你不放心，就回到数轴：从 $-14$ 出发，向右走 $9$ 格，落在 $-5$。

多个数连续加减

遇到一串加减混合，第一步不是急着算，而是把减法改成加法。

比如：

$$(-11)+(+16)-(+9)$$

先写成：

$$(-11)+(+16)+(-9).$$

这时它就是一串“带符号的加数”。你可以从左到右算，也可以把正项和负项分别归并，只要搬家的时候连同符号一起搬。

$$(-11)+(+16)+(-9)=5+(-9)=-4.$$

下面这个小工具可以随手拖一拖。你会发现，加法真的就是在数轴上先走到第一个数，再按第二个数继续走。

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乘除法：先定符号，再算绝对值

乘除法的核心也很朴素：先看符号，再算数值。

两个数相乘或相除：

同号得正，异号得负。

例如：

$$(-3)\times 4=-12,\qquad 3\times(-4)=-12.$$

两个负数相乘：

$$(-3)\times(-4)=12.$$

直观地看，一个负号表示方向反一次。两个负号反两次，方向又回到正向。

除法也一样。因为除法可以看作乘法的逆运算：

$$(-12)\div3=-4,\qquad (-12)\div(-3)=4.$$

连乘连除看负号个数

如果一串乘除里有多个负号，可以先数负号。

负号个数是奇数，结果为负；负号个数是偶数，结果为正。

例如：

$$(-2)\times(-3)\times(-4)$$

有 $3$ 个负号，是奇数，所以结果为负。绝对值是 $2\times3\times4=24$，结果是 $-24$。

除数不能为 0

这里一定要单独说。

$$a\times0=0$$

这没问题。

如果 $a\neq0$，也有：

$$0\div a=0.$$

但

$$a\div0$$

没有意义。

原因不是老师规定你不能写，而是根本找不到一个稳定答案。除法是在问“$0$ 乘以谁能得到 $a$”。当 $a\neq0$ 时找不到；当 $a=0$ 时又有无数个数都行，不唯一。

所以“除以 $0$”不是等于 $0$，而是无意义。

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混合运算：谁先算，要讲规矩

混合运算的顺序可以这样记：

1. 先算括号。
2. 若已经学乘方，先算乘方。
3. 再算乘除，乘和除同级，从左到右。
4. 最后算加减，加和减同级，从左到右。

真正要警惕的是这两句错觉：

“先乘后除。”

“先加后减。”

这两句都不准确。乘和除同级，加和减同级，同级运算要从左到右。

再看括号的威力：

$$-3+4\times(-2)=-3+(-8)=-11.$$

但

$$(-3+4)\times(-2)=1\times(-2)=-2.$$

数字完全一样，只是括号变了，答案就变了。

如果已经学到乘方，还要注意负号和括号：

$$(-2)^4=16,\qquad -2^4=-16.$$

第一个底数是 $-2$。第二个通常按 $-(2^4)$ 理解，是先算 $2^4$，再取相反数。

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运算律：不是“巧算”，是合法改写

整数里，加法和乘法都有交换律：

$$a+b=b+a,\qquad ab=ba.$$

也有结合律：

$$(a+b)+c=a+(b+c),\qquad (ab)c=a(bc).$$

还有分配律：

$$a(b+c)=ab+ac.$$

但要注意：减法和除法一般不能交换。

$$a-b$$

和

$$b-a$$

通常不是一回事。

所以加减混合题想“搬家”，必须先把它改写成代数和。也就是把每一项的符号带上，再移动。

例如：

$$(-37)+125+(-63)$$

可以写成：

$$(-37-63)+125=-100+125=25.$$

再比如：

$$-17+35-12+17$$

先看见一对相反数：

$$(-17+17)+(35-12)=0+23=23.$$

这不是跳步，而是符号跟着数字一起走。

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绝对值：先算竖线里面

绝对值 $|x|$ 表示 $x$ 到 $0$ 的距离，所以它的结果一定不小于 $0$。

和四则运算混在一起时，最稳的顺序是：先算绝对值符号里面，再取绝对值。

例如：

$$|{-7}+3|=|-4|=4.$$

别把它随手拆成：

$$|{-7}|+|3|=10.$$

这两个结果不一样。

一般来说，$|a+b|$ 不等于 $|a|+|b|$。只有在 $a$、$b$ 同号或其中一个为 $0$ 时，才会相等。

所以看到绝对值，先别急着展开。问自己一句：竖线里面到底是多少？

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例题

例题一：异号加法

计算 $(-14)+(+9)$。

例题二：减法改加法

计算 $(-6)-(+4)+(-3)$。

例题三：乘除混合

计算 $(-40)\div(+5)\times(-2)$。

例题四：绝对值和分配律

先计算 $|{-7}+3|$，并与 $|{-7}|+|3|$ 比较；再计算 $(-4)\times(25+7)$。

例题五：括号改变顺序

计算 $-3+4\times(-2)$ 与 $(-3+4)\times(-2)$。

例题六：乘方和负号

计算 $(-2)^3$ 与 $-2^3$。

例题七：应用题里的正负号

早晨气温为 $-6\,^\circ\mathrm{C}$，中午比早晨高 $9\,^\circ\mathrm{C}$；傍晚比中午低 $12\,^\circ\mathrm{C}$。求傍晚气温。

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易错点备忘

第一，连续减法不要硬看。

比如遇到 $a-b-c$，先想成 $a+(-b)+(-c)$。这样每一项都带着自己的符号，不容易漏。

第二，“减负”一定要改写。

$$5-(-8)=5+8.$$

这里不是“两个符号看着像加号”，而是减去 $-8$ 等于加上 $-8$ 的相反数。

第三，乘除同级，从左到右。

$$12\div3\times2=8.$$

第四，绝对值不要乱拆。

$$|a+b|$$

一般不能写成

$$|a|+|b|.$$

第五，负数乘方要主动写括号。想表达底数是负数，就写成 $(-2)^4$，不要只写 $-2^4$。

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小结

整数运算可以压缩成一套很短的工作流。

加减法里，先把减法改写成加法。这样整串式子就变成代数和，符号跟着数字一起走。

乘除法里，先定符号，再算绝对值。负号个数为奇数，结果为负；负号个数为偶数，结果为正。

混合运算里，括号最优先；如果已经学乘方，乘方先于乘除；乘除同级从左到右，加减同级从左到右。

运算律是合法改写的工具。加法、乘法可以交换和结合，分配律可以拆括号或合并同类结构，但减法和除法不能随便交换。

绝对值是距离。遇到绝对值和四则混合，先算竖线里面，再判断结果。

下一章我们学习分数及其运算。别担心，真正迁移过去的不是某道题的答案，而是这章的符号习惯和顺序习惯。

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综合练习

建议先自己在纸上算，再点开答案。重点不是只看结果，而是检查第一步有没有走对。

题目一：计算

计算 $(-8)+(+15)+(-22)$。

题目二：计算

计算 $(-45)\div(+5)\times(-2)$。

题目三：计算

计算 $-3+(-2)\times4$。

题目四：计算

计算 $|{-5}-3|$。

题目五：应用

某地早晨气温为 $-6\,^\circ\mathrm{C}$，中午比早晨高 $9\,^\circ\mathrm{C}$，写出算式并求中午气温。

题目六：结构

用“减法变加法”推导：为什么 $a-(b-c)$ 去括号后常写成 $a-b+c$。

题目七：结构

各给一组整数 $m,n$，使得 $|m+n|=|m|+|n|$ 与 $|m+n| \lt |m|+|n|$。