整数运算

整数运算最容易错的地方，不是算术本身，而是符号管理。

很多同学会背“同号得正、异号得负”，也会背“先乘除后加减”。但一到长一点的式子，就开始把负号漏掉、把除法提前合并、把绝对值随手拆开。

所以这里我们先抓住三件事：

正负号表示方向，也表示变化。
减法可以改写成加法。
混合运算必须按顺序排队，不能凭感觉插队。

把这三件事做稳，整数运算就会从“这题我好像会”变成“这类题我基本不慌”。

到底要学会什么

课标里说整数运算，听起来很正式。翻成人话，其实就是几项能力。

第一，会在数轴上看懂整数。正数在右边，负数在左边， $0$ 是分界点。

第二，会理解相反数和绝对值。相反数是方向相反，绝对值是到 $0$ 的距离，所以 $|-7|=7$ ，不是“随便把负号擦掉”这么粗糙。

第三，会做整数的加、减、乘、除，以及简单混合运算。重点不是把题堆得很长，而是每一步都合法。

第四，会用交换律、结合律、分配律做简化。这里的“简化”不是炫技，而是把结构看清楚。

第五，会把温度、海拔、收支这类情境翻译成带正负号的算式，并能解释答案是什么意思。

横向课标心智图：中央写「整数运算」，左右分支连接数轴与绝对值、四则与混合、运算律、应用情境四条箭头，风格简洁扁平

这里我们先只谈整数。分数、小数以后会继续出现，但运算顺序和符号习惯是一套东西。这里练稳，后面学起来会轻很多。

加减法：先把减法变成加法

为什么要这么麻烦

很多错误都出在减法上，尤其是这种：

5-(-8)

如果你只靠眼睛扫，很容易被两个符号绕进去。

更稳的做法是先记住一条总规则：

a-b=a+(-b).

意思是：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

所以

5-(-8)=5+8=13.

这不是多此一举。它的好处是：整道题最后都变成加法，规则会少很多。

同号相加

两个数同号时，先把绝对值相加，再保留共同的符号。

比如：

(-6)+(-9)=-(6+9)=-15.

也就是两个都往左走，总路程变长，结果当然还在左边。

正数同号更熟悉：

(+6)+(+9)=15.

异号相加

两个数异号时，其实是在“互相抵消”。

做法是：绝对值大的那一边赢，结果跟它同号；数值等于两个绝对值的差。

例如：

(-14)+(+9)=-5.

因为 $14$ 比 $9$ 大，负的一边赢；差是 $14-9=5$ ，所以结果是 $-5$ 。

如果你不放心，就回到数轴：从 $-14$ 出发，向右走 $9$ 格，落在 $-5$ 。

多个数连续加减

遇到一串加减混合，第一步不是急着算，而是把减法改成加法。

比如：

(-11)+(+16)-(+9)

先写成：

(-11)+(+16)+(-9).

这时它就是一串“带符号的加数”。你可以从左到右算，也可以把正项和负项分别归并，只要搬家的时候连同符号一起搬。

(-11)+(+16)+(-9)=5+(-9)=-4.

数轴上从 −11 出发，先向右走 16 格到 5，再向左走 9 格到 −4，用彩色箭头标出有向折线

下面这个小工具可以随手拖一拖。你会发现，加法真的就是在数轴上先走到第一个数，再按第二个数继续走。

乘除法：先定符号，再算绝对值

乘除法的核心也很朴素：先看符号，再算数值。

两个数相乘或相除：

同号得正，异号得负。

例如：

(-3)\times 4=-12,\qquad 3\times(-4)=-12.

两个负数相乘：

(-3)\times(-4)=12.

直观地看，一个负号表示方向反一次。两个负号反两次，方向又回到正向。

除法也一样。因为除法可以看作乘法的逆运算：

(-12)\div3=-4,\qquad (-12)\div(-3)=4.

连乘连除看负号个数

如果一串乘除里有多个负号，可以先数负号。

负号个数是奇数，结果为负；负号个数是偶数，结果为正。

例如：

(-2)\times(-3)\times(-4)

有 $3$ 个负号，是奇数，所以结果为负。绝对值是 $2\times3\times4=24$ ，结果是 $-24$ 。

除数不能为 0

这里一定要单独说。

a\times0=0

这没问题。

如果 $a\neq0$ ，也有：

0\div a=0.

但

a\div0

没有意义。

原因不是老师规定你不能写，而是根本找不到一个稳定答案。除法是在问“ $0$ 乘以谁能得到 $a$ ”。当 $a\neq0$ 时找不到；当 $a=0$ 时又有无数个数都行，不唯一。

所以“除以 $0$ ”不是等于 $0$ ，而是无意义。

混合运算：谁先算，要讲规矩

混合运算的顺序可以这样记：

先算括号。
若已经学乘方，先算乘方。
再算乘除，乘和除同级，从左到右。
最后算加减，加和减同级，从左到右。

真正要警惕的是这两句错觉：

“先乘后除。”

“先加后减。”

这两句都不准确。乘和除同级，加和减同级，同级运算要从左到右。

乘与除同级、加与减同级时，必须从左到右依次扫描。式子 $12\div3\times2$ 应先得到 $12\div3=4$ ，再得到 $4\times2=8$ ，不能先把 $3\times2$ 悄悄凑在一起。

再看括号的威力：

-3+4\times(-2)=-3+(-8)=-11.

但

(-3+4)\times(-2)=1\times(-2)=-2.

数字完全一样，只是括号变了，答案就变了。

如果已经学到乘方，还要注意负号和括号：

(-2)^4=16,\qquad -2^4=-16.

第一个底数是 $-2$ 。第二个通常按 $-(2^4)$ 理解，是先算 $2^4$ ，再取相反数。

运算顺序金字塔草图：顶层为括号，其下为乘方（若已学），再下为乘与除同层并列，底层为加与减同层并列，侧注「同级从左到右」

运算律：不是“巧算”，是合法改写

整数里，加法和乘法都有交换律：

a+b=b+a,\qquad ab=ba.

也有结合律：

(a+b)+c=a+(b+c),\qquad (ab)c=a(bc).

还有分配律：

a(b+c)=ab+ac.

但要注意：减法和除法一般不能交换。

a-b

和

b-a

通常不是一回事。

所以加减混合题想“搬家”，必须先把它改写成代数和。也就是把每一项的符号带上，再移动。

例如：

(-37)+125+(-63)

可以写成：

(-37-63)+125=-100+125=25.

再比如：

-17+35-12+17

先看见一对相反数：

(-17+17)+(35-12)=0+23=23.

这不是跳步，而是符号跟着数字一起走。

绝对值：先算竖线里面

绝对值 $|x|$ 表示 $x$ 到 $0$ 的距离，所以它的结果一定不小于 $0$ 。

和四则运算混在一起时，最稳的顺序是：先算绝对值符号里面，再取绝对值。

例如：

|{-7}+3|=|-4|=4.

别把它随手拆成：

|{-7}|+|3|=10.

这两个结果不一样。

一般来说， $|a+b|$ 不等于 $|a|+|b|$ 。只有在 $a$ 、 $b$ 同号或其中一个为 $0$ 时，才会相等。

所以看到绝对值，先别急着展开。问自己一句：竖线里面到底是多少？

例题

例题一：异号加法

计算 $(-14)+(+9)$ 。

先看符号：一负一正，是异号相加。

比较绝对值： $|-14|=14$ ， $|+9|=9$ 。负的一边绝对值更大，所以结果为负。

算差： $14-9=5$ ，所以 $(-14)+(+9)=-5$ 。

例题二：减法改加法

计算 $(-6)-(+4)+(-3)$ 。

先把减法变加法： $(-6)-(+4)+(-3)=(-6)+(-4)+(-3)$ 。

三个加数同号，绝对值相加： $6+4+3=13$ 。

公共符号是负号，所以结果为 $-13$ 。

例题三：乘除混合

计算 $(-40)\div(+5)\times(-2)$ 。

乘除同级，从左到右：先算 $(-40)\div(+5)=-8$ 。

再算 $(-8)\times(-2)=16$ 。

注意没有把 $(+5)\times(-2)$ 先凑在一起，因为那会改变原式顺序。

例题四：绝对值和分配律

先计算 $|{-7}+3|$ ，并与 $|{-7}|+|3|$ 比较；再计算 $(-4)\times(25+7)$ 。

先算绝对值里面： $-7+3=-4$ ，所以 $|{-7}+3|=|-4|=4$ 。

分别取绝对值再相加得到 $|{-7}|+|3|=7+3=10$ ，它和 $4$ 不相等。

分配律部分： $(-4)\times(25+7)=(-4)\times25+(-4)\times7=-100-28=-128$ 。

例题五：括号改变顺序

计算 $-3+4\times(-2)$ 与 $(-3+4)\times(-2)$ 。

第一式没有括号改变顺序，所以先乘： $4\times(-2)=-8$ 。

再加： $-3+(-8)=-11$ 。

第二式先算括号： $-3+4=1$ ，再算 $1\times(-2)=-2$ 。

两个式子数字一样，答案不同，差别只来自括号。

例题六：乘方和负号

计算 $(-2)^3$ 与 $-2^3$ 。

$(-2)^3=(-2)\times(-2)\times(-2)=-8$ 。

$-2^3$ 通常表示 $-(2^3)$ ，所以也是 $-8$ 。

这题结果刚好一样，但原因不同。换成四次方就会变成 $(-2)^4=16$ ，而 $-2^4=-16$ 。

例题七：应用题里的正负号

早晨气温为 $-6\,^\circ\mathrm{C}$ ，中午比早晨高 $9\,^\circ\mathrm{C}$ ；傍晚比中午低 $12\,^\circ\mathrm{C}$ 。求傍晚气温。

“高 $9$ ”翻译成 $+9$ ，“低 $12$ ”翻译成 $-12$ 。

算式是 $-6+9-12$ 。

计算得 $-9$ ，所以傍晚气温为 $-9\,^\circ\mathrm{C}$ 。

易错点备忘

第一，连续减法不要硬看。

比如遇到 $a-b-c$ ，先想成 $a+(-b)+(-c)$ 。这样每一项都带着自己的符号，不容易漏。

第二，“减负”一定要改写。

5-(-8)=5+8.

这里不是“两个符号看着像加号”，而是减去 $-8$ 等于加上 $-8$ 的相反数。

第三，乘除同级，从左到右。

12\div3\times2=8.

第四，绝对值不要乱拆。

|a+b|

一般不能写成

|a|+|b|.

第五，负数乘方要主动写括号。想表达底数是负数，就写成 $(-2)^4$ ，不要只写 $-2^4$ 。

如果你觉得“我都会，但总错”，通常不是智商问题，而是步骤没有固定下来。每次做题前默念三句：先改减法，先看顺序，先算竖线里面。

小结

整数运算可以压缩成一套很短的工作流。

加减法里，先把减法改写成加法。这样整串式子就变成代数和，符号跟着数字一起走。

乘除法里，先定符号，再算绝对值。负号个数为奇数，结果为负；负号个数为偶数，结果为正。

混合运算里，括号最优先；如果已经学乘方，乘方先于乘除；乘除同级从左到右，加减同级从左到右。

运算律是合法改写的工具。加法、乘法可以交换和结合，分配律可以拆括号或合并同类结构，但减法和除法不能随便交换。

绝对值是距离。遇到绝对值和四则混合，先算竖线里面，再判断结果。

下一章我们学习分数及其运算。别担心，真正迁移过去的不是某道题的答案，而是这章的符号习惯和顺序习惯。

综合练习

建议先自己在纸上算，再点开答案。重点不是只看结果，而是检查第一步有没有走对。

题目一：计算

计算 $(-8)+(+15)+(-22)$ 。

先算前两项： $(-8)+(+15)=7$ ，再算 $7+(-22)=-15$ 。也可以先把负项归并为 $-30$ ，再与 $+15$ 相加，同样得到 $-15$ 。

题目二：计算

计算 $(-45)\div(+5)\times(-2)$ 。

乘除同级，从左到右： $(-45)\div(+5)=-9$ ，再算 $(-9)\times(-2)=18$ ，所以结果是 $18$ 。

题目三：计算

计算 $-3+(-2)\times4$ 。

先乘后加： $(-2)\times4=-8$ ，再算 $-3+(-8)=-11$ ，所以结果是 $-11$ 。

题目四：计算

计算 $|{-5}-3|$ 。

先算绝对值内部： $-5-3=-8$ ，再取绝对值： $|-8|=8$ ，所以结果是 $8$ 。

题目五：应用

某地早晨气温为 $-6\,^\circ\mathrm{C}$ ，中午比早晨高 $9\,^\circ\mathrm{C}$ ，写出算式并求中午气温。

“高 $9$ ”翻译为 $+9$ ，所以中午气温是 $-6+9=3$ 。答案为 $3\,^\circ\mathrm{C}$ 。

题目六：结构

用“减法变加法”推导：为什么 $a-(b-c)$ 去括号后常写成 $a-b+c$ 。

先把括号内看成一个整体： $a-(b-c)=a+[-(b-c)]$ 。再把负号分配进括号： $-(b-c)=-b+c$ ，于是得到 $a+(-b)+c=a-b+c$ 。

题目七：结构

各给一组整数 $m,n$ ，使得 $|m+n|=|m|+|n|$ 与 $|m+n| \lt |m|+|n|$ 。

可取第一组 $m=4,n=7$ ，则 $|m+n|=|11|=11$ ，而 $|m|+|n|=4+7=11$ ，所以相等。可取第二组 $m=5,n=-3$ ，则 $|m+n|=|2|=2$ ，而 $|m|+|n|=5+3=8$ ，于是 $2 \lt 8$ 。