四个基本子空间与秩-零化度

上一章把“子空间、基、维数”这些词讲清楚了。本章把它们放回矩阵里。一个矩阵 $A$ 不只是一个数字表，它同时带着四个子空间：列空间、零空间、行空间和左零空间。它们分别回答四类问题：哪些 $b$ 可以写成 $Ax$，哪些 $x$ 会被 $A$ 压成 $0$，哪些约束真正独立，哪些输出关系必须自动满足。

四个基本子空间与秩-零化度的关系示意图。

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四个空间分别在问什么

设 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵。矩阵乘法 $Ax$ 接收 $\mathbb R^n$ 中的向量，输出 $\mathbb R^m$ 中的向量。因此，和输入有关的空间住在 $\mathbb R^n$，和输出有关的空间住在 $\mathbb R^m$。

列空间

列空间是 $A$ 的列向量张成的子空间：

$$C(A)=\operatorname{span}\lbrace a_1,a_2,\dots,a_n\rbrace\subseteq \mathbb R^m$$

因为

$$Ax=x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n$$

所以列空间就是所有可能输出 $Ax$ 的集合。方程 $Ax=b$ 有解，当且仅当 $b$ 落在 $C(A)$ 中。

列空间与方程 Ax=b：b 必须在列空间里，方程才有解。

零空间

零空间是齐次方程的全部解：

$$N(A)=\lbrace x\in\mathbb R^n:Ax=0\rbrace$$

它描述输入空间中“看不见”的方向。沿着零空间方向移动，输出不会改变。若 $v\in N(A)$，则

$$A(x+v)=Ax+Av=Ax$$

这句话在解非齐次方程时很有用：只要找到一个特解 $x_p$，全部解就是

$$x=x_p+v,\quad v\in N(A)$$

零空间中的自由变量方向：沿 N(A) 的向量在变换 A 下都映射到 0。

行空间

行空间是 $A$ 的行向量张成的子空间，也可以写成 $A^\mathsf T$ 的列空间：

$$C(A^\mathsf T)\subseteq \mathbb R^n$$

行空间住在输入空间里。每一行给出一个线性约束，例如

$$a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n=b_i$$

行空间收集的是这些约束真正能测到的方向。与行空间垂直的方向，正是零空间中的方向。

左零空间

左零空间是转置矩阵的零空间：

$$N(A^\mathsf T)=\lbrace y\in\mathbb R^m:A^\mathsf T y=0\rbrace$$

它也可以理解为所有满足 $y^\mathsf T A=0$ 的向量 $y$。若 $y\in N(A^\mathsf T)$，那么对任何 $Ax=b$ 的可解右端 $b$，都有

$$y^\mathsf T b=y^\mathsf T Ax=0$$

因此左零空间给出的是 $b$ 必须满足的相容性条件。

行空间表示真正参与测量的约束方向；左零空间表示与列空间正交、满足 A^T y = 0 的输出关系。

一张表定位四个空间

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从行最简形读出基

四个基本子空间不是只靠定义来理解的。给定一个具体矩阵，我们通常先做行化简，再从行最简形读出主元列、自由变量和非零行。

这一章用同一个矩阵贯穿：

$$A= \begin{bmatrix} 1&2&0&1\\ 0&0&1&1\\ 1&2&1&2 \end{bmatrix}$$

对它做行化简，得到

$$R= \begin{bmatrix} 1&2&0&1\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}$$

主元列是第 $1$ 列和第 $3$ 列。第 $2$ 个变量和第 $4$ 个变量是自由变量。

原矩阵 A 与行最简形 R 对照，说明列空间基、行空间基和零空间基的读取方法。

列空间基

主元列告诉我们哪些原始列向量线性无关。因为主元列是第 $1$ 列和第 $3$ 列，所以列空间的一组基是原矩阵 $A$ 的第 $1$ 列和第 $3$ 列：

$$\left\lbrace \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix} \right\rbrace$$

于是

$$\dim C(A)=2$$

行空间基

行变换不会改变行空间。行最简形中的非零行给出行空间的一组基：

$$\left\lbrace \begin{bmatrix}1&2&0&1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0&0&1&1\end{bmatrix} \right\rbrace$$

因此

$$\dim C(A^\mathsf T)=2$$

零空间基

求零空间时，解 $Rx=0$ 即可，因为 $Ax=0$ 与 $Rx=0$ 有相同解集。由 $R$ 得到

$$x_1+2x_2+x_4=0$$ $$x_3+x_4=0$$

令 $x_2=s$，$x_4=t$，则

$$x_1=-2s-t,\quad x_3=-t$$

所以

$$x= s\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix} +t\begin{bmatrix}-1\\0\\-1\\1\end{bmatrix}$$

零空间的一组基是

$$\left\lbrace \begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-1\\0\\-1\\1\end{bmatrix} \right\rbrace$$

于是

$$\dim N(A)=2$$

左零空间基

左零空间要解 $A^\mathsf T y=0$。设

$$y=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{bmatrix}$$

则

$$A^\mathsf T y=0$$

给出条件

$$y_1+y_3=0,\quad y_2+y_3=0$$

令 $y_3=t$，得到

$$y=t\begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix}$$

左零空间的一组基是

$$\left\lbrace \begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix} \right\rbrace$$

因此

$$\dim N(A^\mathsf T)=1$$

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秩、零化度与维数账本

矩阵 $A$ 的秩是列空间的维数，也等于行空间的维数：

$$\operatorname{rank}(A)=\dim C(A)=\dim C(A^\mathsf T)$$

零化度是零空间的维数：

$$\operatorname{nullity}(A)=\dim N(A)$$

如果 $A$ 有 $n$ 列，秩为 $r$，那么

$$\operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=n$$

这就是秩-零化度关系。它说的是：输入变量一共有 $n$ 个方向，其中 $r$ 个方向被矩阵真正送进列空间，剩下 $n-r$ 个方向落进零空间。

秩 + 零化度 = 变量总数：主元约束的方向与自由方向共同构成全部变量维度。

四个维数一起看

若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，秩为 $r$，那么四个基本子空间的维数是：

$$\dim C(A)=r$$ $$\dim N(A)=n-r$$ $$\dim C(A^\mathsf T)=r$$ $$\dim N(A^\mathsf T)=m-r$$

这四行很短，但信息很密。前两行把输入空间 $\mathbb R^n$ 分成“被看见的 $r$ 维”和“被压没的 $n-r$ 维”。后两行把输出空间 $\mathbb R^m$ 分成“真正能达到的 $r$ 维”和“与所有输出都正交的 $m-r$ 维”。

约束与自由度的平衡

在一个方程组 $Ax=b$ 中，$n$ 个未知数并不等于 $n$ 个自由度。独立约束越多，自由度越少。若秩为 $r$，则主元变量有 $r$ 个，自由变量有 $n-r$ 个。

对于齐次方程 $Ax=0$，自由变量直接给出零空间维数。对于非齐次方程 $Ax=b$，若它有解，那么自由变量仍然决定解集的维数：

$$x=x_p+c_1v_1+\cdots+c_{n-r}v_{n-r}$$

其中 $v_1,\dots,v_{n-r}$ 是 $N(A)$ 的一组基。

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例题：完整读出四个空间

继续使用矩阵

$$A= \begin{bmatrix} 1&2&0&1\\ 0&0&1&1\\ 1&2&1&2 \end{bmatrix}$$

求四个基本子空间的一组基，并判断 $Ax=b$ 何时有解。

这个例子里的第三个方程等于前两个方程相加，所以右端也必须满足同样关系。左零空间把这种“隐藏的相容条件”直接写了出来。

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方程组的三种读法

同一个方程 $Ax=b$ 可以从三个角度读。

列空间读法

列空间读法问：$b$ 能不能由 $A$ 的列向量线性组合得到？如果不能，方程无解。如果能，至少存在一个特解。

对于本章例子，$b=(3,1,4)^\mathsf T$ 满足 $4=3+1$，所以有解。$b=(3,1,5)^\mathsf T$ 不满足这个条件，所以无解。

零空间读法

零空间读法问：如果有一个解，是否还能沿某些方向继续移动而不改变输出？若 $N(A)$ 只有零向量，解至多唯一。若 $N(A)$ 有正维数，只要方程有解，就会有无穷多解。

本章例子中 $\dim N(A)=2$，所以每一个可解的 $Ax=b$ 都有两个自由参数。

左零空间读法

左零空间读法问：右端 $b$ 是否满足所有相容条件？如果 $y\in N(A^\mathsf T)$，则可解的 $b$ 必须满足 $y^\mathsf T b=0$。

本章例子中，左零空间由 $(-1,-1,1)^\mathsf T$ 张成，所以

$$-b_1-b_2+b_3=0$$

这比反复消元更直接地指出了无解的原因。

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应用：网络流量中的自由环路

网络流量是理解秩-零化度的好例子。把每条边的流量看成未知数，把每个节点的守恒条件写成方程：流入等于流出。若用一个关联矩阵 $B$ 表示这些节点约束，那么

$$Bx=0$$

表示每个节点都平衡。

网络流量中的约束与自由度：节点平衡给出独立约束，环路流量体现秩-零化度中的自由度。

在一个连通网络中，所有节点守恒方程并不完全独立。因为把所有节点的“流入减流出”加起来，内部边会一正一负抵消，总和自动为 $0$。这会留下至少一个左零空间方向：所有节点方程相加的那条关系。

如果网络有 $5$ 条边，而独立节点约束有 $3$ 个，那么零空间维数是

$$5-3=2$$

这两个自由度可以理解为沿闭合环路绕行的流量。它们不会破坏节点平衡，只会改变边上的分配。

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易错点与检查方法

列空间基不能直接取行最简形的列

行变换会改变列向量在 $\mathbb R^m$ 中的位置。行最简形只负责告诉我们哪些列是主元列。真正的列空间基，要回到原矩阵取对应列。

零空间要看自由变量

零空间维数等于自由变量个数。如果 $n$ 列矩阵秩为 $r$，那么自由变量有 $n-r$ 个，零空间就是 $n-r$ 维。

左零空间不是“左边的零空间”

左零空间不是在矩阵左侧随便找东西，而是解

$$A^\mathsf T y=0$$

它住在输出空间 $\mathbb R^m$ 中，给出右端 $b$ 的相容性条件。

先问空间住在哪里

做题时可以先写下四个维数：

$$C(A)\subseteq \mathbb R^m,\quad N(A)\subseteq \mathbb R^n$$ $$C(A^\mathsf T)\subseteq \mathbb R^n,\quad N(A^\mathsf T)\subseteq \mathbb R^m$$

如果一个基向量的长度和所在空间不一致，通常说明你把空间放错了。

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练习

练习一：读秩和零化度

设

$$A= \begin{bmatrix} 1&0&2\\ 0&1&-1\\ 0&0&0 \end{bmatrix}$$

求 $\operatorname{rank}(A)$、$\operatorname{nullity}(A)$ 和 $N(A)$ 的一组基。

练习二：用左零空间判断相容性

对本章的矩阵

$$A= \begin{bmatrix} 1&2&0&1\\ 0&0&1&1\\ 1&2&1&2 \end{bmatrix}$$

判断 $Ax=b$ 在 $b=(3,1,5)^\mathsf T$ 时是否有解。

练习三：四个空间的维数

设 $A$ 是一个 $5\times 8$ 矩阵，且 $\operatorname{rank}(A)=5$。求四个基本子空间的维数，并说明 $Ax=b$ 对任意 $b\in\mathbb R^5$ 是否都有解。

练习四：一眼看出依赖关系

设

$$B= \begin{bmatrix} 1&1\\ 2&2\\ 3&3 \end{bmatrix}$$

求 $C(B)$、$N(B)$ 和 $N(B^\mathsf T)$ 的一组基。

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小结

四个基本子空间把矩阵的结构分成两对：输入空间里的行空间与零空间，输出空间里的列空间与左零空间。列空间决定 $Ax=b$ 是否可能；零空间决定解的自由方向；行空间记录独立约束；左零空间记录右端必须满足的相容条件。

秩-零化度关系把这些信息压成一句话：

$$\operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=n$$

这不是一个孤立公式，而是在说：一个矩阵能真正约束或传递多少方向，就会相应留下多少自由方向。会读这本“维数账本”，后面学习线性变换、投影、最小二乘和矩阵分解时会轻松很多。