子空间、张成、线性无关、基与维数

前几章已经把线性方程组写成了矩阵方程 $Ax=b$ ，也看见了矩阵乘法的列视角： $Ax$ 是矩阵 $A$ 的列向量按 $x$ 中的系数组合出来的向量。本章把这件事说得更精确：列向量能组合出的全部结果形成一个空间；齐次方程 $Ax=0$ 的全部解也形成一个空间。

这些空间不是随便的一堆点。它们有稳定的结构，可以用少量方向描述，可以换一套方向表示同一个空间，也可以用一个不变的数记录自由方向的多少。这里出现的四个词会反复陪着我们走完整门课：子空间、张成、线性无关、基与维数。

子空间判定教学图，对比过原点的平面和直线与不过原点的平面或曲线，并标出包含零向量、加法封闭、数乘封闭三项检查。

子空间必须同时满足包含零向量、加法封闭和数乘封闭；任一条件不满足就不是子空间。

从方程组走向空间

看一个矩阵方程：

A x = b

如果 $A$ 的列向量是 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ，未知数是 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ ，那么左边就是：

A x = x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_n a_n

所以“方程是否有解”可以换成一句向量语言： $b$ 能不能由 $A$ 的列向量线性组合得到。列向量能组合出的全部向量，就是 $A$ 的列空间。

方程组与列空间示意图：矩阵 A 的列向量张成列空间平面，b 在列空间内时 Ax=b 有解，b 不在列空间内时无解。

方程组 $Ax=b$ 是否有解，取决于右端向量 $b$ 是否位于矩阵 $A$ 的列空间中。

本章的概念看起来抽象，其实都在回答同一个问题：给定几根向量，它们能覆盖哪里，里面有没有多余方向，最少需要几根方向才能描述整个空间。

另一个常见对象是齐次方程：

A x = 0

它的解集叫零空间。零空间中的每个向量都是一个系数组合方案，它让 $A$ 的列向量相互抵消，最后得到零向量。列空间住在输出空间里，零空间住在输入空间里；它们都和同一个矩阵有关。

子空间

定义

一个集合 $W$ 如果是 $\mathbb{R}^n$ 的一部分，并且满足下面三个条件，就叫 $\mathbb{R}^n$ 的子空间：

零向量在 $W$ 中。
如果 $u$ 和 $v$ 在 $W$ 中，那么 $u+v$ 也在 $W$ 中。
如果 $u$ 在 $W$ 中， $c$ 是任意实数，那么 $cu$ 也在 $W$ 中。

第二个条件叫加法封闭，第三个条件叫数乘封闭。封闭的意思是：你在集合内部做允许的线性操作，结果不会跑出集合。

子空间一定经过原点。因为零向量必须在里面，数乘还要求一个向量可以被任意放大、缩小、反向。三维空间中不过原点的平面可以很平整，但它不是子空间。

常见例子

在 $\mathbb{R}^2$ 中，过原点的一条直线是子空间。任取直线上的两个向量，它们的和还在这条直线上；任取一个向量乘任意实数，也还在这条直线上。

在 $\mathbb{R}^3$ 中，过原点的一个平面是子空间。平面内两个向量相加仍在平面内，平面内向量被数乘后仍在平面内。

整个 $\mathbb{R}^n$ 是自己的子空间，只包含零向量的集合 $\{0\}$ 也是子空间。

非例子

下面这些集合都不是子空间：

$\mathbb{R}^2$ 中不过原点的直线。
$\mathbb{R}^2$ 中第一象限的点集。
$\mathbb{R}^2$ 中单位圆上的点。

第一种不包含零向量。第二种虽然包含零向量，也可能对加法封闭，但不对负数数乘封闭，例如 $(1,1)$ 在第一象限， $-1(1,1)=(-1,-1)$ 不在第一象限。第三种通常连加法和数乘都不封闭。

例题：判断集合是否为子空间

判断下面的集合是否是 $\mathbb{R}^3$ 的子空间：

W=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z=0\right\}

先检查零向量。把 $(0,0,0)$ 代入条件，得到 $0+0+0=0$ ，所以零向量在 $W$ 中。

再检查加法封闭。设 $u=(x_1,y_1,z_1)$ 和 $v=(x_2,y_2,z_2)$ 都在 $W$ 中，则 $x_1+y_1+z_1=0$ 且 $x_2+y_2+z_2=0$ 。它们相加后得到 $u+v=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$ 。

把 $u+v$ 代入条件，得到：

(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2)=0+0=0

所以 $u+v$ 仍在 $W$ 中。

最后检查数乘封闭。若 $u=(x,y,z)$ 在 $W$ 中，则 $x+y+z=0$ 。对任意实数 $c$ ，有：

cx+cy+cz=c(x+y+z)=0

因此 $cu$ 仍在 $W$ 中。

三个条件都满足，所以 $W$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的子空间。几何上，它是过原点的一个平面。

张成

线性组合的全部结果

给定向量 $v_1,v_2,\ldots,v_k$ ，它们的张成记作：

\operatorname{span}(v_1,v_2,\ldots,v_k)

意思是所有线性组合的集合：

\operatorname{span}(v_1,v_2,\ldots,v_k) = \left\{ c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_kv_k: c_1,c_2,\ldots,c_k\in\mathbb{R} \right\}

张成关心的是“这些向量能覆盖哪些向量”。一根非零向量张成过原点的一条直线；两根不共线向量在 $\mathbb{R}^3$ 中张成过原点的一个平面；三根合适的向量可以张成整个 $\mathbb{R}^3$ 。

两个不共线向量在三维空间中过原点张成平面，平面上标出多个 av + bw 线性组合点和系数滑动示意。

两个不共线向量 $v$ 和 $w$ 的所有线性组合 $av+bw$ 构成一个过原点的平面。

张成本身总是子空间

由一组向量张成的集合一定是子空间。原因很直接：线性组合之间相加，仍然是这些向量的线性组合；线性组合再乘一个实数，也仍然是这些向量的线性组合。

如果：

u=c_1v_1+\cdots+c_kv_k

并且：

w=d_1v_1+\cdots+d_kv_k

那么：

u+w=(c_1+d_1)v_1+\cdots+(c_k+d_k)v_k

这还是同一组向量的线性组合。

例题：描述两个向量的张成

设：

v_1=\begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix}, \quad v_2=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}

描述 $\operatorname{span}(v_1,v_2)$ 中的向量。

先写出一般线性组合：

a v_1+b v_2 = a\begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix} +b\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}

合并坐标，得到：

a v_1+b v_2 = \begin{bmatrix}a\\2a+b\\b\end{bmatrix}

因此张成中的每个向量都长成 $(a,2a+b,b)$ 。如果记 $x=a$ 、 $z=b$ ，那么中间坐标满足：

y=2x+z

所以 $\operatorname{span}(v_1,v_2)$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中过原点的平面：

y-2x-z=0

线性无关

有没有多余向量

一组向量 $v_1,v_2,\ldots,v_k$ 线性无关，意思是只有一种方式能把它们线性组合成零向量：所有系数都等于 $0$ 。

c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_kv_k=0

只能推出：

c_1=c_2=\cdots=c_k=0

如果存在不全为 $0$ 的系数，也能组合出零向量，那么这组向量线性相关。

线性无关与线性相关的对比图，左侧展示没有多余方向的三个向量，右侧展示多余向量可由其他向量合成并形成非零组合得到零向量。

线性无关表示没有多余方向；线性相关表示某个向量可以由其他向量线性合成。

线性相关还有一个很实用的解释：其中至少有一个向量可以由其他向量线性组合得到。也就是说，它没有带来新的方向。

判断线性无关时，不要只看向量数量，也不要只看图形是否“分散”。可靠方法是设线性组合等于零向量，再解系数是否只能全为零。

例题：用方程判断线性无关

判断下面两向量是否线性无关：

v_1=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \quad v_2=\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}

设它们的线性组合等于零向量：

c_1\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} +c_2\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}

写成方程组：

\begin{cases} c_1+3c_2=0\\ 2c_1+6c_2=0 \end{cases}

第二个方程只是第一个方程的两倍，所以有无穷多组解。例如取 $c_2=1$ ，则 $c_1=-3$ 。

于是存在不全为零的系数，使得：

-3v_1+v_2=0

所以这两向量线性相关。几何上， $v_2=3v_1$ ，它们在同一条过原点的直线上。

基

既要覆盖，也不能多余

如果一组向量满足两件事，它就是某个空间 $V$ 的一组基：

它们张成 $V$ 。
它们线性无关。

张成保证“够用”，线性无关保证“没有多余”。这两条合在一起，基就成了描述一个空间的最小可靠坐标框架。

基不是唯一的。二维平面可以用横平竖直的两根方向当基，也可以用两根斜着的、不共线的方向当基。只要能张成整个平面并且线性无关，它们都是基。

在 $\mathbb{R}^2$ 中，标准基是：

e_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \quad e_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}

它们张成整个 $\mathbb{R}^2$ ，也线性无关。另一组向量：

u_1=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \quad u_2=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}

同样是 $\mathbb{R}^2$ 的一组基。它们不是标准方向，但仍然能唯一表示平面中的每个向量。

坐标依赖于基

同一个向量，在不同基下的坐标可能不同。例如：

p=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}

在标准基下，坐标就是 $(4,2)$ 。但若使用：

u_1=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \quad u_2=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}

我们要找 $a,b$ ，使：

p=au_1+bu_2

也就是：

\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix} = a\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} +b\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a+b\\a-b\end{bmatrix}

解得：

a=3,\quad b=1

所以同一个向量 $p$ 在基 $(u_1,u_2)$ 下的坐标是 $(3,1)$ 。

同一个二维向量在标准基和斜基下坐标不同，但箭头终点相同，说明坐标会变，向量不变。

基与坐标：不同基下坐标表示会改变，但向量本身不变。

维数

维数是一个空间中基向量的个数。如果一个空间的一组基有 $k$ 个向量，那么这个空间的维数就是 $k$ 。

这句话里藏着一个重要事实：虽然基不唯一，但同一个空间的所有基都有相同数量的向量。你可以换坐标轴，换斜方向，换另一组更方便计算的方向；只要它们确实是同一个空间的基，向量个数不会变。

维数与自由方向的阶梯式对比图，展示0维点、1维直线、2维平面、3维空间，以及维数等于基向量个数等于自由方向数。

维数可以理解为基向量的个数，也就是空间中相互独立的自由方向数。

常见维数如下：

$\{0\}$ 的维数是 $0$ 。
过原点的一条直线维数是 $1$ 。
过原点的一个平面维数是 $2$ 。
整个 $\mathbb{R}^3$ 的维数是 $3$ 。

维数也可以理解成自由方向的数量。直线只有一个自由方向：沿着直线前后移动。平面有两个自由方向。三维空间有三个自由方向。

不要把“在三维空间里”误读成“维数一定是 3”。 $\mathbb{R}^3$ 中的一条过原点直线仍然是一维子空间，一个过原点平面仍然是二维子空间。

例题：从参数解读出基和维数

求方程组的解空间的一组基和维数：

x+2y+z=0

这是 $\mathbb{R}^3$ 中的一个齐次方程。把 $y$ 和 $z$ 当作自由变量：

y=s,\quad z=t

则：

x=-2s-t

所以解向量可以写成：

\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2s-t\\s\\t\end{bmatrix} = s\begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix} +t\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}

因此解空间由下面两个向量张成：

\begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}

这两个向量线性无关，所以它们构成解空间的一组基。解空间的维数是 $2$ 。几何上，它是 $\mathbb{R}^3$ 中过原点的一个平面。

基、方程组与坐标表达

现在把几条线接起来。

矩阵 $A$ 的列空间是 $A$ 的列向量张成的空间：

C(A)=\operatorname{span}(a_1,a_2,\ldots,a_n)

方程 $Ax=b$ 有解，当且仅当 $b$ 在 $C(A)$ 中。若列向量中有多余向量，列空间并不会变大，只是同一个空间被重复描述了。

零空间是齐次方程的解集：

N(A)=\{x:Ax=0\}

它描述的是列向量之间如何发生线性相关。如果存在非零向量 $x$ 使 $Ax=0$ ，就说明 $A$ 的列向量线性相关。

列空间回答“哪些右端向量有解”，零空间回答“解有没有自由度”。基给空间一套最少方向，维数告诉我们自由方向有几个。

例题：列空间中的基

设矩阵：

A= \begin{bmatrix} 1&2&0\\ 0&0&1\\ 1&2&1 \end{bmatrix}

它的列向量是：

a_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}, \quad a_2=\begin{bmatrix}2\\0\\2\end{bmatrix}, \quad a_3=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}

因为：

a_2=2a_1

所以 $a_2$ 没有带来新的方向。列空间可以写成：

C(A)=\operatorname{span}(a_1,a_3)

再检查 $a_1$ 和 $a_3$ 不互为倍数，因此它们线性无关。于是列空间的一组基是：

\left\{ \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix} \right\}

列空间的维数是 $2$ 。

小结

本章的概念可以按一条线记：

\text{线性组合} \rightarrow \text{张成} \rightarrow \text{子空间} \rightarrow \text{基} \rightarrow \text{维数}

张成说明向量能覆盖哪里。线性无关说明有没有多余方向。基同时满足“覆盖”和“无多余”。维数是基向量的个数，也是自由方向的数量。基可以换，维数不能随便变。

在方程组中，列空间决定 $Ax=b$ 是否有解，零空间决定齐次方程 $Ax=0$ 有多少自由方向。后面学习秩、零化度、投影、特征向量和奇异值分解时，这些词会继续出现。

练习

练习一

判断下面集合是否是 $\mathbb{R}^2$ 的子空间：

W=\left\{(x,y):y=3x\right\}

这是子空间。它包含 $(0,0)$ ；两点 $(x_1,3x_1)$ 和 $(x_2,3x_2)$ 相加得到 $(x_1+x_2,3(x_1+x_2))$ ，仍满足 $y=3x$ ；任意数乘也保持这个关系。几何上，它是过原点的一条直线。

练习二

判断下面三个向量是否线性无关：

v_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}, \quad v_2=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}, \quad v_3=\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}

它们线性相关，因为：

v_3=v_1+v_2

等价地：

v_1+v_2-v_3=0

这里出现了不全为零的系数，所以这组三个向量线性相关。

练习三

设：

u_1=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \quad u_2=\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}

它们能不能构成 $\mathbb{R}^2$ 的一组基？

不能。因为 $u_2=2u_1$ ，两向量线性相关，只能张成一条过原点的直线，不能张成整个 $\mathbb{R}^2$ 。 $\mathbb{R}^2$ 的一组基必须包含两个线性无关的向量。

练习四

求下面子空间的一组基和维数：

W=\left\{(x,y,z):x-y+2z=0\right\}

令 $y=s$ 、 $z=t$ ，则 $x=s-2t$ 。所以：

\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}s-2t\\s\\t\end{bmatrix} = s\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix} +t\begin{bmatrix}-2\\0\\1\end{bmatrix}

因此一组基是：

\left\{ \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-2\\0\\1\end{bmatrix} \right\}

维数是 $2$ 。