数据到底在说什么

统计学最容易让人产生的一种错觉，是“表格里已经有很多数字，答案应该就在里面”。其实正好相反：数字越整齐，我们越容易忘记追问它们是怎么来的，又在替谁说话。

一条新闻说“本市高中生平均每天运动 42 分钟”，看起来只需要理解“42”这个数。可只要多问几句，事情立刻变复杂：新闻说的是所有高中生，还是参加问卷的高中生？“运动”包不包括步行上学？每天 42 分钟是过去一天、过去一周，还是一个学期的平均？没有回答的人会不会恰好更少运动？

这并不是故意挑刺。统计学研究的本来就不是确定答案，而是怎样用有限、会波动、可能不完整的数据，做出尽量可靠的判断。学这门课的第一步，不是急着算平均数，而是先把数据里的对象、变量和范围摆正。

数据更像证据，不像判决书。它能支持某种判断，也会留下新的疑问。

从一项校园决策开始

我们用一个案例贯穿这一节。

某校高一年级共有 620 名学生。学校正在考虑要不要增开一班早晨接驳车，于是从这 620 人中随机抽取 60 人，记录他们平时的通勤方式、单程通勤时间、需要换乘的次数、过去一周是否迟到，以及对当前通勤状况的满意程度。

这项调查真正要支持的是一个决策：有没有必要增开接驳车？要回答它，光知道“平均通勤时间”还不够。学校还得知道哪些学生通勤困难、困难表现在哪里，以及抽到的 60 人能不能代表全年级。

先把最基本的统计语言放到案例里。

这几个词看起来只是名词，实际是在检查一条证据链：我们逐个观察个体，在每个个体身上记录变量值，把许多记录组成数据，再用样本去了解总体。

把现实放进数据表

个体和观测：一行到底代表谁

个体是被逐个观察的对象，也叫观测单位或案例。个体不一定是人。研究医院的候诊时间时，一个个体可能是一名病人；研究城市空气质量时，一个个体可能是某个监测站在某一天的记录；研究网购退货时，一个个体可能是一笔订单。

“一行对应一个个体”是数据表最常见的组织方式，但不能机械地把“人”当作个体。假如一名学生连续 14 天每天填写一次通勤记录，那么每一行更可能对应“某名学生的某一天”，同一名学生会出现 14 行。判断个体时，要问的是：这份表里，每一行代表一次什么样的观察？

变量和值：一列在问什么

变量是对每个个体记录的特征。你可以把它理解成对每一行都要问的同一个问题：“通勤方式是什么？”“用了多少分钟？”“上周迟到过吗？”

变量值是某个个体对这个问题给出的具体答案。“单程通勤时间”是变量，“38 分钟”是变量值；“是否迟到”是变量，“是”是变量值。把变量和变量值混在一起，后面就很容易把“要研究什么”和“实际观察到什么”混为一谈。

下面是这项调查中的五行示意数据。案例是教学用的假设情境，表中数值只用来帮助我们读懂数据结构。

通常每一行对应一名学生，每一列对应一个变量，每个单元格是一个变量值。整张表称为数据表或数据矩阵。以后增加一名学生，就增加一行；增加“出门时间”这个变量，就增加一列。

编号不是“可以求平均的数字”

学生编号里可能含有数字，但它只是标签。把 G101、G102、G103 中的数字部分求平均没有实际含义。电话号码、邮政编码、球衣号码也一样：长得像数字，不代表它就是定量变量。

这件事很反直觉，因为我们习惯于“只要是数字就能算”。统计里更可靠的判断方法是：加减、求差、求平均以后，结果有没有现实含义？如果没有，它大概率只是分类标签。

缺失值也不能随手填成 0

如果 G103 没有回答满意程度，这个格子应标记为缺失，而不能写成 0。0 可能是一个真实的变量值，例如换乘 0 次；缺失表示“我们不知道”。两者如果混在一起，平均数、比例和图表都会被悄悄改变。

先看变量类型，再决定怎么算

初学统计时，最常见的冲动是见到一列数据就求平均数。可有些列适合求平均，有些列只能数每一类有多少个。变量类型决定了我们能问什么问题，也决定了后面该用什么图表和计算方法。

分类变量：回答“是哪一类”

分类变量记录类别或状态。通勤方式可能取“步行、骑行、公交、地铁、家人接送”，是否迟到可能取“是、否”。对这类变量，我们通常统计每一类的人数或比例。

分类变量还可以分成两种。

• 名义分类的类别没有自然顺序，例如通勤方式、血型、所在班级。
• 有序分类的类别有先后顺序，例如“不满意、一般、满意”，但相邻两级之间相差多少并不明确。

满意程度即使编码成 1、2、3，也不会自动变成真正的定量变量。“满意”与“一般”的差距，未必和“一般”与“不满意”的差距相同。编码只是方便存储，不会改变变量本身的含义。

定量变量：回答“有多少”

定量变量记录数量或大小，数值之间的差和平均通常有意义。单程通勤时间、身高、温度、考试分数都属于这一类。

定量变量又可以分为离散变量和连续变量。

离散变量来自计数，可能值之间有明显的跳跃。换乘次数可以是 0、1、2 次，不会是 1.37 次；一个家庭的孩子数、一周迟到次数也都是离散变量。

连续变量来自测量，在一定范围内可以取任意精细的值。通勤时间可能是 31 分 20 秒，身高可能是 171.24 厘米。表里把通勤时间四舍五入成整数分钟，只是记录精度有限，并不把“时间”变成离散变量。判断离散还是连续，要看它本来是计数还是测量，不能只看表里有没有小数点。

先问数值是否表示可计算的数量，再判断它来自计数还是测量。

一个容易踩坑的例子：年龄

如果记录“实际年龄 15.7 岁”，年龄是连续的定量变量；如果只记录“15 岁、16 岁、17 岁”，通常仍把年龄理解为连续变量，只是按整岁记录；如果把年龄改成“15 岁及以下、16 岁、17 岁及以上”，它就变成了有序分类变量。

同一个现实特征可以因为记录方式不同而成为不同类型的变量。所以我们不能只看列名，还要看变量的具体定义和值是怎样记录的。

快速判断变量类型

可以按下面的顺序判断。

样本为什么可以替总体说话

总体是研究问题真正想覆盖的全部对象，样本是实际观察到的那部分对象。在通勤案例里，总体是 620 名高一学生，样本是被抽到的 60 名学生。

这个定义有一个常被忽略的细节：总体由研究问题决定。如果学校只想改善住校生周末返校交通，总体就应是住校生；如果要为全校三个年级安排接驳车，总体又会扩大到全校学生。同一份 60 人数据，面对不同问题，代表能力完全不同。

样本是我们实际看见的一部分，总体是我们最终想判断的整体。

为什么不直接调查所有人

把总体中的每一个对象都调查一遍叫普查。总体很小时，普查有时可行；但总体很大、测量昂贵，或者测量会破坏对象时，普查就不现实。例如检验灯泡寿命需要一直点到灯泡损坏，不可能先把所有产品都测坏再出售。

样本的价值就在这里：我们用一部分对象估计整体。代价是样本会波动。即使从同一个总体反复随机抽取 60 人，每次得到的平均通勤时间也不会完全相同。这不是谁算错了，而是抽样本身带来的自然变化。

样本大，不等于样本有代表性

假设学校在“绿色出行社团”群里收集到 300 份问卷，另一次则从全年级名单中随机抽取 60 人。300 人听起来更有气势，但社团成员的通勤方式很可能和全年级不同。60 人的随机样本反而更有机会对准总体。

样本量主要影响随机波动：在抽样方式合理时，样本越大，结果通常越稳定。代表性主要受选人方式影响：如果某类人很难进入样本，再大的样本也可能稳定地偏向错误方向。

人数多能减少随机摇晃，选得对才能避免方向性的偏差。两件事都重要，作用却不一样。

参数和统计量：两个很像、却不能混用的数

通勤调查结束后，样本中 60 名学生的平均单程通勤时间是 31.8 分钟，15 人在过去一周迟到过。于是样本迟到比例是：

31.8 分钟和 25% 都是从样本算出来的数，叫统计量。统计量会随样本改变：换一批 60 人，平均时间和迟到比例很可能跟着变。

学校真正关心的是全部 620 名学生的平均通勤时间和迟到比例。这两个总体中的真实数值叫参数。参数对于这个确定的总体是固定的，只是我们通常不知道它。只要还没有调查全部 620 人，就不能把样本的 25% 直接写成总体参数。

样本统计量的一个核心用途，就是估计总体参数。这里可以用 $\bar{x}=31.8$ 分钟估计总体均值 $\mu$，用 $\hat{p}=25\%$ 估计总体比例 $p$。但“估计”不是“完全相等”。帽子符号 $\hat{p}$ 就像一个提醒：这是我们根据样本得到的估计，不是已经看见的总体真值。

参数和统计量的判断口诀

别急着看这个数有没有百分号或小数。先看它描述谁。

• “被调查的 60 人中有 25% 迟到过”描述样本，是统计量。
• “全年级所有学生中迟到过的真实比例”描述总体，是参数。
• “620 人”只是总体规模，不是这项研究要估计的迟到比例参数。

这里最容易出现的错误，是把“总体”“参数”都理解成“大”。总体是对象的集合，参数是描述这个总体的数；样本是对象的子集，统计量是从样本算出的数。对象和数字处在不同层次。

描述统计和推断统计：先说看见的，再说没看见的

统计分析大体上做两类工作。

描述统计负责整理已经观察到的数据。表格、比例、平均数、图形都属于描述工具。它回答的是：“这 60 名学生的记录呈现出什么样子？”

推断统计则从样本走向总体。它回答的是：“根据这 60 人，我们对全部 620 人能说什么？这个估计可能有多大误差？观察到的差异会不会只是抽样波动？”

在通勤调查里，下面两句话只差几个字，统计含义却不同。

在样本的 60 名学生中，25% 过去一周迟到过。

这是描述统计，因为它只说已经观察到的 60 人。

我们估计全年级约有四分之一的学生过去一周迟到过。

这是统计推断，因为它把样本结果推广到了没有逐个观察的总体。第二句话要成立，必须有合理的抽样设计，并说明估计的不确定性。

一个反直觉的医疗比较

一项实验想判断某种血管支架能否降低高风险病人的中风风险。224 名病人接受支架和常规医疗管理，227 名病人只接受常规医疗管理。一年内，前一组有 45 人中风，后一组有 28 人中风。

只看“45 和 28”，比较还不够公平，因为两组总人数不同。我们先把人数变成组内比例。

这个结果和“支架应该降低风险”的直觉相反。承认反直觉很重要：数据不会因为研究者期待某个方向，就自动配合那个方向。

到这里，我们完成的是描述：在参加实验的这些病人中，支架组的一年中风比例更高。接下来才是推断问题：7.8 个百分点的差异大到足以排除随机波动吗？实验里的病人能代表哪些人？结果能否推广到其他支架、其他医院、其他类型的病人？

统计学并不是看到差异就宣布答案。它会先认真描述差异，再衡量这种差异是否可能由随机性造成，最后才讨论结论能走多远。

数据必须放回语境

一列写着“12、18、25、38、46”，脱离语境几乎什么都说明不了。它可能是通勤分钟数、年龄、温度，也可能是商品价格。单位不同，解释会彻底改变。

读任何数据之前，都应该把下面这些信息补齐。

定义不清，数字越精确越危险

假设问卷只问“你每天通勤多久”，有人填单程时间，有人填往返总时间。最后算出 42.37 分钟，看起来非常精确，实际却把两种不同含义混在了一列里。小数点后两位没有修复定义问题，只是让混乱显得更正式。

“平均运动时间”“就业率”“治疗有效”“经常熬夜”这类词也一样。看到它们时，要找操作定义：怎样才算运动？就业率的分母是谁？有效是症状减轻还是完全康复？经常是每周几次？

单个故事很真实，却未必有代表性

学校可能收到一封很诚恳的邮件：“我每天换乘三次，接驳车对我特别重要。”这条经历是真的，也值得被看见。但它不能单独回答“全年级有多少人需要接驳车”。我们对鲜明的个案记得特别牢，容易误以为它就是普遍情况。

个案能帮助发现问题、理解机制，也能提醒我们新增变量；要估计总体情况，仍然需要一组有代表性的观测。

分步例题：把一段新闻拆开

题目：一篇校园新闻写道：“为了了解本市初中生对校内手机管理规定的看法，研究者从 12 所学校抽取 800 名学生，记录他们是否支持规定、每天使用手机的时长和所在年级。样本中有 488 人支持，因此本市初中生的支持率是 61%。”

请指出个体、变量、变量类型、总体、样本、统计量和参数，并判断最后一句话应怎样改写。

这道题里真正的难点不是除法，而是给结论划边界。488 除以 800 谁都会算；知道这个 61% 首先属于样本、要代表总体还得检查数据来源，才是统计思维。

常见误区

有数字，就一定是定量变量

错。学生编号、地区代码、满意度编码都可能用数字表示，但加减这些数字没有合理含义。要看数字扮演的是数量还是标签。

表里有 60 行，就一定有 60 个不同的人

错。一行表示一个观测单位，不一定表示一个独立的人。如果同一名学生连续记录 14 天，他会出现 14 行。必须先看数据表的行定义和唯一标识。

样本统计量就是总体参数

错。样本平均数和样本比例是对总体参数的估计。换一个样本，统计量会变；对同一个确定总体，参数不会因为抽了哪批人而改变。

样本越大，结论越真

错。大样本通常更稳定，却不能自动消除选择偏差。20 万名自愿点击网页投票的人，可能不如 1000 名从完整名单中合理抽取的人有代表性。

两个样本比例不同，就一定存在总体差异

错。样本会自然波动。观察到差异以后，还要判断差异相对于样本量是否足够大，以及研究设计有没有把别的因素混进来。

描述得很清楚，就可以推断得很远

错。一张图可以准确描述样本，却未必能代表总体；一次观察性调查可以发现两个变量一起变化，却未必能证明一个导致另一个。描述质量和推断范围是两件事。

读统计新闻时的检查单

以后看到“平均值上涨”“多数人支持”“风险降低”“两者相关”这类标题，可以按下面的顺序检查。先别急着接受或反驳，先把缺的信息找出来。

1. 结论想说谁？总体的时间、地区、年龄和其他边界是什么？
2. 实际观察了谁？样本量是多少，样本怎样进入研究，有没有大量人未回答？
3. 每个个体记录了什么？变量的定义、单位和测量时间是否清楚？
4. 报道给的是人数还是比例？分母分别是多少？比较的两组规模是否相同？
5. “平均”具体是哪一种平均？数据分布很偏时，少数极端值会不会拉动它？
6. 给出的数是样本统计量，还是已经知道的总体参数？报道有没有把估计写成确定事实？
7. 变化是绝对变化还是相对变化？风险从 1% 降到 0.5%，是下降 0.5 个百分点，也是相对下降 50%，两种说法听起来差很多。
8. 数据只显示一起变化，还是研究设计真的支持因果解释？有没有可能存在第三个因素？
9. 结果有没有说明随机波动和不确定性？只报一个很精确的点估计，往往会把证据说得太满。
10. 这个结论会用于什么决策？即使差异在统计上可信，它在现实中是否大到值得改变政策、治疗或个人选择？

这份检查单不会让你对所有数字都抱怀疑。它的作用恰好相反：把真正可靠的证据和只靠标题制造确定感的数字分开。

本节小结

这一节建立了一条从现实问题到统计判断的基本路线。

• 个体或观测单位回答“一行是谁”，变量回答“每一列记录什么”，变量值是某个格子里的具体结果。
• 数据表通常一行一个观测单位、一列一个变量；编号、单位、定义和缺失规则都是数据的一部分。
• 分类变量记录类别，定量变量记录数量；定量变量又可按计数和测量分成离散变量与连续变量。
• 总体是研究真正想了解的全部对象，样本是实际观察到的部分对象。
• 参数描述总体，通常固定但未知；统计量从样本算出，可以用来估计参数，也会随抽样发生波动。
• 描述统计先说清样本呈现了什么，推断统计再讨论样本能否支持对总体的判断。
• 数据离不开语境。对象、时间、地点、定义、单位、收集方式和研究目的不清楚时，计算本身救不了结论。

现在我们已经知道一张数据表里“谁是谁”，也知道从样本走向总体会多出不确定性。下一步自然要追问：这些人究竟是怎样进入样本的？数据来自问卷、日常观察，还是研究者主动安排的实验？不同来源会带来不同的偏差，也决定我们能不能谈因果。下一页就从数据的来源与研究设计开始。

练习

练习 1：识别基本要素

某学校想了解全校学生的早餐习惯，从每个年级随机抽取 40 名学生，记录他们当天是否吃早餐、早餐花费和第一节课是否迟到。指出总体、样本、个体、变量和变量值的例子。

练习 2：判断变量类型

一张班级数据表的列名包括“学生编号、身高、兄弟姐妹人数、是否近视、最喜欢的运动、体育锻炼强度（低、中、高）”。分别判断变量类型。

练习 3：区分参数和统计量

某市从全部出租车司机中随机抽取 500 人，得到他们上个月平均工作时长为 184 小时。研究者想估计全市出租车司机上个月的平均工作时长。这里的 184 小时是什么？研究者真正想知道的数又是什么？

练习 4：人数还是比例

某医院比较两种护理方案。A 方案有 80 名病人，其中 12 人复发；B 方案有 120 名病人，其中 15 人复发。有人看到 12 小于 15，就说 A 方案复发情况更少。这个比较有什么问题？

练习 5：给新闻结论划边界

一个视频平台发起自愿投票，20 万名参与者中有 68% 支持限制短视频使用时长。新闻标题写道：“68% 的市民支持限制短视频。”请写出至少三个需要追问的问题，并给出一个更稳妥的改写。

练习 6：描述还是推断

在通勤调查的 60 名学生中，平均通勤时间为 31.8 分钟。判断下面两句话分别属于描述统计还是推断统计，并说明原因。

1. “这 60 名学生的平均通勤时间为 31.8 分钟。”
2. “全年级学生的平均通勤时间大约为 31.8 分钟。”