多边形与对称
这一部分看着内容很多，其实主线就两条。
第一条，多边形的角怎么数。
第二条，一个图形怎么在折叠或旋转后和自己重合。
如果你把这两条线抓住，正多边形、轴对称、中心对称这些词就不再是一堆要背的标签。它们会变成很直观的东西：有的图形能折，有的图形能转，有的两样都行，有的啥也不行。
多边形到底是什么
多边形，别先想得太正式。
它就是几条线段一段接一段连起来，最后把一块区域围住。
注意，是线段，不是弧线。也要首尾相连，不能留口子。还要尽量别让边乱穿过去，不然就不是我们这里讨论的简单多边形了。
更数学一点说：平面上有 个点 ，其中 。把它们依次连成
如果不相邻的边没有交叉，它围成的图形就叫 边形。
这里有三个词要认识：
- 边：组成图形的线段。
- 顶点：两条相邻边相接的点。
- 内角：相邻两条边在图形内部夹出来的角。
一个常见误会
有人会说，五角星也有五个尖，算五边形吗？
在这部分里不算。
原因不是它不好看，而是它的边互相交叉了。我们这里默认讨论的是不自交的多边形。考试题里如果没特别说明，基本也是这个意思。
按边数叫名字
边数越多，图形通常越接近圆。这不是严格公式，但它是一个很有用的直觉。后面看正多边形时，你会发现这个感觉一直在。
凸和凹，别只凭感觉
多边形还常分成凸多边形和凹多边形。
凸多边形可以粗略理解成没有凹进去的地方。更稳的判断是：任意两个顶点连线，都在图形内部或边上。
凹多边形至少有一个角向里面凹，通常会出现一个大于 的内角。
这两个词在本章不是最难的点，但它们会影响你画辅助线。比如内角和公式对普通不自交多边形也成立，不过我们解释时通常先画凸多边形，更容易看。
内角和：为什么是
这条公式很重要：
它说的是：任意 边形的内角和等于 个三角形的内角和。
为什么会出现 ？
你可以从一个顶点出发，向不相邻的顶点连对角线。一个五边形会被切成 3 个三角形，一个六边形会被切成 4 个三角形。规律就是： 边形切成 个三角形。
所以内角和就是：
这个解释比硬背好用。因为你一旦忘了公式，画一条图就能想回来。
小表格，帮你校准数感
你可以用一个很快的心算检查：
四边形是两个三角形，所以 。
五边形是三个三角形，所以 。
六边形是四个三角形，所以 。
这就够了。
外角和为什么总是
外角和是另一个很容易被低估的结论：
它不管你有几条边。
想象你沿着多边形走一圈。每到一个顶点，你就转一下方向。走回起点时，你整个人的朝向刚好转了一整圈，也就是 。
所以外角和不跟边数较劲，它只看你有没有绕完一圈。
内角和会随着边数变化，外角和始终是 。题目里如果出现正多边形的外角，很多时候直接用 比先算内角更快。
正多边形：规则到有点强迫症
普通多边形可以边长不一样，角也不一样。
但正多边形不行。
它有两个要求：
- 每条边都相等。
- 每个内角都相等。
所以正多边形就是最规则的一类凸多边形。等边三角形是正三角形，正方形是正四边形，后面还有正五边形、正六边形、正八边形等等。
每个内角怎么算
正 边形的内角和是 。
又因为每个内角一样大，所以每个内角是：
比如正六边形：
你也可以从外角想。正六边形每个外角是
内角和外角加起来是 ，所以内角是 。
这两条路都对。做题时选短的。
正多边形的对角线
边形的对角线总数是：
这个公式也不是凭空来的。
从每个顶点出发，它不能连自己，也不能连左右相邻的两个顶点，所以能连 条对角线。 个顶点一共是 条。
但每条对角线被两个端点各数了一次，所以最后要除以 2。
比如正五边形：
也就是五条对角线。它们连起来，就是你熟悉的五角星骨架。
对称：图形和自己对得上
几何里的对称，本质上不是“看起来差不多”。
它要求很严格：做完某个变换以后，图形要和原来的自己完全重合。
初中几何里最常见的是两种：
- 轴对称：沿一条直线折过去能重合。
- 中心对称：绕一个点转 能重合。
这两件事经常被混在一起，但它们真的不是一回事。
一个图形可以只有轴对称，比如等腰三角形。
也可以只有中心对称，比如一般的平行四边形。
也可以两者都有，比如矩形、菱形、正六边形、圆。
也可以两者都没有，比如普通不等边三角形。
轴对称：找那条折痕
如果一个图形沿某条直线折叠后，两边完全重合，这个图形就是轴对称图形。
那条折叠线叫对称轴。
听起来简单，但做题时要记住一句话：不是“差不多对齐”，而是“完全重合”。
对称点的关键性质
如果点 和点 关于直线 对称，那么：
- 垂直于 。
- 经过 的中点。
换句话说：
对称轴是对应点连线的垂直平分线。
这个性质特别实用。你要找一个点关于直线的对称点，就按这个思路来：
先过原点作垂线，再在另一侧取同样距离。
正多边形有多少条对称轴
正 边形有 条对称轴。
这句话很短，但信息量很大。
如果是奇数边正多边形，比如正三角形、正五边形，每条对称轴通常穿过一个顶点和对边中点。
如果是偶数边正多边形，比如正方形、正六边形，对称轴分两类：
- 一类穿过相对的两个顶点。
- 一类穿过相对两条边的中点。
举几个常见的：
一般平行四边形没有对称轴，但特殊的平行四边形会有。矩形有 2 条，菱形有 2 条，正方形有 4 条。看到“平行四边形”四个字时，别直接下结论，要看它有没有额外条件。
中心对称：转半圈还能重合
中心对称的判断方式更像一句测试题：
把图形绕某个点 旋转 ，如果能和原图完全重合，它就是中心对称图形。
点 叫对称中心。
对称点的关键性质
如果点 和点 关于点 中心对称，那么：
- 三点共线。
- 是 的中点。
- 。
一句话总结：
中心对称里，对称中心平分对应点连线。
所以在坐标题里，它会立刻变成中点公式。
如果 和 关于 对称，那么：
哪些图形中心对称
正奇数边形，比如正三角形、正五边形，不是中心对称图形。
原因很朴素：转 后，顶点落不到原来的顶点位置上。
正偶数边形就可以。正方形、正六边形、正八边形都能转半圈重合。
轴对称和中心对称怎么分
如果你在题目里卡住了，可以问自己两个问题：
第一，它能不能折？
第二，它能不能转半圈？
这比盯着图形发呆有效很多。
对称为什么到处都是
蜂巢是正六边形，这不是蜜蜂突然迷上几何。
正六边形能无缝铺满平面，而且边界利用得很省。能用同一种正多边形铺满平面的，常见只有正三角形、正方形和正六边形。
雪花常见六重对称。理想情况下，转 看起来就像自己。
文字里也有例子。汉字“中”“田”有竖直对称轴；英文字母 “N”“S”“Z” 在某些字体里转 后还能看出中心对称的味道。
所以对称不只是数学课上的定义。它是一种“不变性”：你动了它，它还像原来的它。
例题一：正十边形的内角和外角
题目：正十边形的每个内角是多少度？外角和是多少？
正十边形边数 。
内角和：
例题二：点关于直线对称
题目：已知点 ，求它关于直线 的对称点 的坐标。
直线 是水平线。
关于水平线对称时，横坐标不变，所以 。
例题三：判断对称类型
题目：判断下面图形属于轴对称、中心对称、两者都有，还是两者都没有。
（1）等腰三角形，非等边；（2）一般平行四边形；（3）正六边形；（4）普通不等边三角形。
等腰三角形，非等边，有 1 条对称轴。
它是轴对称图形。
但转 后三个顶点对不上，所以不是中心对称图形。
一般平行四边形绕对角线交点转 能重合。
所以它是中心对称图形。
但它通常不能沿某条线对折重合，所以一般不是轴对称图形。
例题四：正十二边形的对称轴和旋转角
题目：正十二边形有多少条对称轴？绕中心旋转多少度后能与自身重合？
正 边形有 条对称轴。
所以正十二边形有 12 条对称轴。
其中 6 条穿过对顶点，6 条穿过对边中点。
正 边形的最小旋转角是：
例题五：用中心对称求坐标
题目：四边形 是平行四边形，对角线交点为 ，顶点 ，求顶点 的坐标。
平行四边形是中心对称图形。
对角线交点 是对称中心，所以 和 关于 对称。
也就是说， 是 的中点。
课后练习
练习一：正八边形每个内角是多少？它有多少条对称轴？最小旋转角是多少？
内角和：
每个内角：
正八边形有 8 条对称轴。
最小旋转角：
练习二：点 关于点 的中心对称点 是什么？
设 。
因为 是 的中点：
练习三：圆、菱形，非正方形、矩形，非正方形、正五边形、正六边形，哪些既是轴对称又是中心对称？哪些只有一种？
两者都有：圆、菱形，非正方形、矩形，非正方形、正六边形。
圆有无数条对称轴，圆心是对称中心。
菱形有 2 条对称轴，也有对称中心，也就是对角线交点。
矩形有 2 条对称轴，也有对称中心。
正六边形有 6 条对称轴，中心也是对称中心。
只有轴对称：正五边形。
正五边形有 5 条对称轴，但不是中心对称图形。
小结
这一章最值得留下来的不是一堆名词，而是几条判断线。
多边形内角和：
外角和永远是：
正 边形有 条对称轴，每个外角也是它的最小旋转角：
轴对称看折叠。对应点连线被对称轴垂直平分。
中心对称看转半圈。对应点连线被对称中心平分。