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周长与面积计算

我们和各种平面图形打了个照面——认识了矩形、三角形、平行四边形、梯形这些"老朋友"，弄清楚了它们的定义和基本性质。但光"认识"还不够，几何真正的魅力在于计算。你能说出一块足球场有多大吗？你能算出绕操场跑一圈要跑多少米吗？只要掌握今天的内容，这些问题都会迎刃而解。

什么是周长？

想象成你是一只小蚂蚁，趴在一张纸上沿着某个图形的边缘爬了一圈，最终回到出发点。你爬过的总路程，就是这个图形的周长（Perimeter）。换句话说：周长是围成一个封闭平面图形的所有边长之和。周长的单位和长度单位一样：厘米（cm）、米（m）、千米（km）……

有一个小细节特别容易被忽略：周长是"一维"的量，它只描述"边"有多长，和面积没有直接关系。一个面积很大的图形，周长可能很小；一个周长很长的图形，面积也可能很小。这个反直觉的现象我们后面会慢慢体会到。

各图形的周长

矩形与正方形

矩形有两条长边和两条宽边，同一方向的两条边相等，所以：

C_{\text{矩形}} = 2(l + w)

其中 $l$ 是长， $w$ 是宽。正方形是矩形的特例，四边全等，设边长为 $a$ ：

C_{\text{正方形}} = 4a

三角形

三角形周长就是三条边相加，设三边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ：

C_{\text{三角形}} = a + b + c

等边三角形三边全等，所以 $C = 3a$ ；等腰三角形两腰相等，所以 $C = 2 \times \text{腰} + \text{底}$ 。

平行四边形

平行四边形对边相等，设相邻两边为 $a$ 和 $b$ ：

C_{\text{平行四边形}} = 2(a + b)

这和矩形的周长公式形式完全一样——矩形本来就是平行四边形的特例，共享同一个"框架"。

梯形

梯形四条边长度各有不同，设上底为 $a$ ，下底为 $b$ ，两腰分别为 $c$ 和 $d$ ：

C_{\text{梯形}} = a + b + c + d

等腰梯形两腰相等（腰长为 $c$ ），则 $C = a + b + 2c$ 。

各图形的周长

什么是面积？

周长解决的是"围了多远"的问题，而面积（Area）解决的是"占了多大"的问题：面积是衡量一个封闭平面图形所占区域大小的量。

度量面积，我们用正方形作为基本单位——一个边长为 1 cm 的正方形，其面积就是 1 平方厘米，记作 $1\text{ cm}^2$ 。常用换算关系：

1\text{ m}^2 = 10000\text{ cm}^2 \qquad 1\text{ hm}^2 = 10000\text{ m}^2 \qquad 1\text{ km}^2 = 10^6\text{ m}^2

面积是"二维"的量，单位中必须带"平方"（ $\text{cm}^2$ 、 $\text{m}^2$ ……），这是和周长最直观的区别。永远不要把 $\text{cm}$ 和 $\text{cm}^2$ 搞混——在答题中写错单位，结论就会失去意义。

各图形的面积

矩形与正方形面积

矩形分成一格格小方块，长边能摆 $l$ 个，宽边能摆 $w$ 个，一共 $l \times w$ 个小格：

S_{\text{矩形}} = l \times w

正方形是边长相等的矩形，这也是为什么 $a^2$ 被叫做" $a$ 的平方"——它直接对应边长为 $a$ 的正方形的面积：

S_{\text{正方形}} = a^2

平行四边形面积

平行四边形"斜"着，不能直接套矩形公式。有个聪明的做法叫割补法：把左边多出来的那块三角形切下来贴到右边，图形立刻变成一个矩形，长等于平行四边形的底 $b$ ，宽等于高 $h$ （底到对边的垂直距离）：

S_{\text{平行四边形}} = b \times h

这里的高 $h$ 是垂直于底边的距离，不是平行四边形的腰长！图中高通常用虚线画出，且与底边有一个直角符号。把腰当成高代入计算，是这一类题最常见的错误。

三角形面积

两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形（底同为 $b$ ，高同为 $h$ ），所以三角形的面积是对应平行四边形的一半：

S_{\text{三角形}} = \frac{1}{2} \times b \times h

同一个三角形选不同的边作底，对应的高也不同，但算出来的面积永远相同——面积是图形本身的属性，和怎么放无关。

梯形面积

两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，该平行四边形的底为 $a + b$ （上底加下底），高为 $h$ 。梯形面积是它的一半：

S_{\text{梯形}} = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h

口诀："上底加下底，乘高再除以二。"

公式汇总

图形	周长公式	面积公式
正方形（边长 $a$ ）	$C = 4a$	$S = a^2$
矩形（长 $l$ ，宽 $w$ ）

例题与解析

例题一：围栅栏的问题

题目：小明家有一块长方形菜地，长 15 m，宽 8 m。要沿四周围一圈栅栏，还要在菜地中间横着加一道隔断（隔断与宽边平行），将菜地分成两块相等的小菜地。总共需要多少米栅栏？

先算四周周长：

C = 2 \times (15 + 8) = 46\text{ m}

例题二：铺地砖的问题

题目：一间教室长 9 m，宽 6 m，用边长 30 cm 的正方形地砖铺地，共需要多少块地砖？

先统一单位。边长 30 cm = 0.3 m，每块地砖面积：

S_{\text{地砖}} = 0.3^2 = 0.09\text{ m}^2

例题三：三角形旗帜

题目：一面三角形旗帜，底边长 60 cm，高 45 cm，要在旗帜两面都绣上图案，需要绣图案的总面积是多少？

旗帜一面的面积：

S = \frac{1}{2} \times 60 \times 45 = 1350\text{ cm}^2

例题四：梯形花坛

题目：公园里有一块梯形花坛，上底 5 m，下底 11 m，高 4 m，两腰分别为 5 m 和 6 m。（1）花坛的面积是多少？（2）沿花坛四周修一圈边缘石，需要多长？

花坛面积（套梯形面积公式）：

S = \frac{1}{2} \times (5 + 11) \times 4 = \frac{1}{2} \times 16 \times 4 = 32\text{ m}^2

例题五：组合图形

题目：一个图形由矩形和三角形组合而成：矩形部分长 10 cm、宽 6 cm，三角形以矩形的一条宽边（6 cm）为底，高为 4 cm，位于矩形上方。求组合图形的总面积。

矩形面积：

S_{\text{矩形}} = 10 \times 6 = 60\text{ cm}^2

思维延伸：等面积不等周长

这里有个特别有趣的问题：面积相同的图形，周长一定相同吗？

答案是：不一定。下面三个矩形面积都是 $36\text{ cm}^2$ ：

图形	尺寸	周长
正方形	边长 6 cm	$4 \times 6 = 24\text{ cm}$
矩形	12 cm × 3 cm	$2(12+3) = 30\text{ cm}$
矩形	18 cm × 2 cm	$2(18+2) = 40\text{ cm}$

面积同为 $36\text{ cm}^2$ ，周长却从 24 cm 到 40 cm 不等！这说明面积和周长是两个独立的特征，知道其中一个，无法直接推出另一个（除非已知图形的形状）。数学家们发现，在所有面积相等的矩形中，正方形的周长最短——这就是为什么很多"省材料"的设计都倾向于使用方形。

课后练习

练习一：一块等腰梯形场地，上底 20 m，下底 40 m，腰长 15 m，高 12 m。求它的面积和周长。

面积： $S = \dfrac{1}{2}(20 + 40) \times 12 = \dfrac{1}{2} \times 60 \times 12 = 360\text{ m}^2$ 。

练习二：一个平行四边形的底为 14 cm，腰为 10 cm，高为 8 cm。求它的面积和周长。

面积： $S = 14 \times 8 = 112\text{ cm}^2$ （用底和高，不用腰）。

周长： $C = 2(14 + 10) = 48\text{ cm}$ （用底和腰，不用高）。

练习三：一间 L 形房间可以看作两个矩形拼成：大矩形长 8 m、宽 5 m，从右下角切去一个长 3 m、宽 2 m 的小矩形。求 L 形房间的面积。

用大矩形减去切去部分：

$S = 8 \times 5 - 3 \times 2 = 40 - 6 = 34\text{ m}^2$

处理不规则形状时，"大图形面积 $-$ 挖去部分面积"是最常用的策略，和"分块求和"互为补充。

小结

周长度量的是图形的"边界总长度"，用长度单位（cm、m……）表示；面积度量的是图形"内部的大小"，用平方单位（ $\text{cm}^2$ 、 $\text{m}^2$ ……）表示——两者量纲不同，绝对不能混淆。

各图形的面积公式都有直观来历：矩形是"排格子"，平行四边形是"割补变矩形"，三角形是"两个拼平行四边形取一半"，梯形同理。高（垂直距离）是面积计算的核心，和斜边（腰）要严格区分——斜边只参与周长，高只参与面积。

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