周长与面积计算 | 自在学

周长与面积计算

周长问的是“边界有多长”，面积问的是“里面有多大”。

这句话听起来像废话，但很多题就是在这里翻车的。比如菜地围栏、跑道一圈、相框边线，通常在问周长。铺地砖、刷墙、种草坪，通常在问面积。

如果你做题时第一反应是“套哪个公式”，很容易乱。先问自己一句：这道题到底是在数边，还是在数里面？

周长：绕边走一圈

把一个图形想成操场。你沿着边缘走一整圈，最后回到起点，走过的总长度就是这个图形的周长。

所以周长的单位还是长度单位：cm、m、km。

周长不是“占地大小”。它只关心边界。一个图形可以面积不大，但边缘绕得很曲折，周长就会很长。

先玩一个小实验

下面这个小工具可以拖动矩形的长和宽。你会看到：蓝色边框是在数周长，绿色格子是在数面积。

常见图形的周长

周长这件事很直白：把边长加起来。

区别只在于，有些图形的边长有“成对相等”的关系，公式看起来就短一点。

矩形和正方形

矩形有两条长、两条宽。

设长为 $l$ ，宽为 $w$ ，周长就是：

C_{\text{矩形}} = 2(l + w)

正方形四条边都一样。设边长为 $a$ ，那就是：

C_{\text{正方形}} = 4a

有人会问：为什么不是 $a^2$ ？

因为 $a^2$ 是在数“里面有多少小方格”，那是面积。周长只沿边走，所以是 $a+a+a+a$ 。

三角形

三角形没有什么花活。三条边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，周长就是：

C_{\text{三角形}} = a + b + c

等边三角形三条边相等，所以 $C=3a$ 。

等腰三角形两条腰相等，所以：

C = 2 \times \text{腰} + \text{底}

平行四边形

平行四边形的对边相等。

设相邻两边为 $a$ 和 $b$ ，周长是：

C_{\text{平行四边形}} = 2(a + b)

注意，这里用的是相邻的两条边，不是底和高。高是算面积时用的。

梯形

普通梯形四条边不一定有什么相等关系。

设上底为 $a$ ，下底为 $b$ ，两条腰为 $c$ 、 $d$ ，周长就是：

C_{\text{梯形}} = a + b + c + d

如果是等腰梯形，两条腰一样长，设腰为 $c$ ，就可以写成：

C = a + b + 2c

这张图可以当速查表看，重点还是那句话：周长就是边界总长。

各图形的周长

面积：数里面占了多少

面积问的是一个封闭图形内部占了多大。

我们通常用小正方形当单位。边长 $1\text{ cm}$ 的正方形，面积就是 $1\text{ cm}^2$ 。

所以面积单位会带“平方”： $\text{cm}^2$ 、 $\text{m}^2$ 、 $\text{km}^2$ 。

常见换算：

1\text{ m}^2 = 10000\text{ cm}^2

1\text{ hm}^2 = 10000\text{ m}^2

1\text{ km}^2 = 10^6\text{ m}^2

周长单位是 cm、m 这种长度单位；面积单位是 $\text{cm}^2$ 、 $\text{m}^2$ 这种平方单位。答案数字对了但单位写错，在数学里也算没说清楚。

常见图形的面积

先放总览图。别急着背，后面每个公式都可以用很自然的方式想出来。

各图形的面积

矩形和正方形面积

矩形最适合从格子理解。

长边能排 $l$ 个单位格，宽边能排 $w$ 行，一共有 $l \times w$ 个小格。

所以：

S_{\text{矩形}} = l \times w

正方形只是长宽相等的矩形。边长是 $a$ ，面积就是：

S_{\text{正方形}} = a^2

这也是为什么我们把 $a^2$ 读成“ $a$ 的平方”。它真的对应一个边长为 $a$ 的正方形。

平行四边形面积

平行四边形看起来斜斜的，但面积其实没那么神秘。

把左边多出来的三角形切下来，挪到右边，就拼成了一个矩形。这个矩形的长是平行四边形的底，宽是它的高。

所以：

S_{\text{平行四边形}} = b \times h

这里 $b$ 是底， $h$ 是对应的高。

高必须垂直于底。平行四边形的斜边叫“腰”或边长，它可以参与周长计算，但不能直接拿来当高算面积。

三角形面积

三角形面积可以从平行四边形借过来理解。

拿两个完全相同的三角形，沿着边拼一拼，可以拼成一个平行四边形。这个平行四边形的底是 $b$ ，高是 $h$ 。

一个三角形只占其中一半，所以：

S_{\text{三角形}} = \frac{1}{2}bh

也可以写成：

S_{\text{三角形}} = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}

一个三角形可以选不同的边作底。每次换底，对应的高也会变，但算出来的面积应该一样。

梯形面积

梯形也是同一个思路。

两个完全相同的梯形，一正一反拼在一起，会得到一个平行四边形。

这个平行四边形的底是“上底 + 下底”，高还是梯形的高。

所以一个梯形的面积是它的一半：

S_{\text{梯形}} = \frac{1}{2}(a+b)h

其中 $a$ 、 $b$ 是上底和下底， $h$ 是高。

口头说法就是：上底加下底，乘高，再除以二。

公式放在一张表里

这张表可以背，但更建议你用前面的想法去“还原”它。

图形	周长公式	面积公式
正方形，边长 $a$	$C = 4a$	$S = a^2$
矩形，长 $l$ ，宽 $w$

例题讨论

下面几题故意选得很生活化。你会发现，真正重要的不是公式多复杂，而是先判断题目在问“边”还是“里面”。

例题一：菜地围栏

题目：一块长方形菜地长 $15\text{ m}$ ，宽 $8\text{ m}$ 。四周要围一圈栅栏，中间再加一道隔断。隔断与宽边平行，把菜地分成左右两块。总共需要多少米栅栏？

先算四周一圈。

C = 2 \times (15 + 8) = 46\text{ m}

这个题很适合提醒自己：隔断平行哪条边，就先画一笔看它到底有多长。别凭“横着”“竖着”脑补。

例题二：教室铺地砖

题目：一间教室长 $9\text{ m}$ ，宽 $6\text{ m}$ 。用边长 $30\text{ cm}$ 的正方形地砖铺满地面，一共需要多少块？

先统一单位。

30\text{ cm} = 0.3\text{ m}

每块地砖面积：

S_{\text{地砖}} = 0.3^2 = 0.09\text{ m}^2

这里最容易出错的是单位。不要把 $30\text{ cm}$ 直接当成 $30\text{ m}$ 。

例题三：三角形旗帜

题目：一面三角形旗帜，底边 $60\text{ cm}$ ，对应高 $45\text{ cm}$ 。如果两面都要绣图案，需要绣图案的总面积是多少？

先算一面的面积。

S = \frac{1}{2} \times 60 \times 45 = 1350\text{ cm}^2

题目说“两面”，这不是废话，是条件。很多面积题最后会多一个“几面”“几层”“几块”的倍数。

例题四：梯形花坛

题目：一个梯形花坛，上底 $5\text{ m}$ ，下底 $11\text{ m}$ ，高 $4\text{ m}$ ，两条腰分别是 $5\text{ m}$ 和 $6\text{ m}$ 。求花坛面积，以及四周边缘石长度。

面积用上底、下底和高。

S = \frac{1}{2} \times (5 + 11) \times 4 = 32\text{ m}^2

这题把面积和周长放在一起问，刚好能看出两套数据：面积用高，周长用腰。

例题五：组合图形

题目：一个图形由矩形和三角形拼成。矩形长 $10\text{ cm}$ 、宽 $6\text{ cm}$ ；三角形贴在矩形的一条宽边外侧，以这条宽边为底，高 $4\text{ cm}$ 。求总面积。

矩形面积：

S_{\text{矩形}} = 10 \times 6 = 60\text{ cm}^2

组合图形的常见套路就两种：能分就分块相加；有缺口就大图形减小图形。

一个容易引发讨论的问题

面积相同的图形，周长一定相同吗？

不一定。

看下面这个小实验。面积固定为 $36\text{ cm}^2$ ，你换不同的长和宽，里面的大小没变，但边界长度会变。

比如这几个矩形面积都是 $36\text{ cm}^2$ ：

尺寸	面积	周长
$6\text{ cm} \times 6\text{ cm}$	$36\text{ cm}^2$	$24\text{ cm}$
$12\text{ cm} \times 3\text{ cm}$

所以知道面积，不能直接推出周长。

如果只在矩形里比较，面积固定时，越接近正方形，周长越短。这个结论在“省材料”的问题里很常见。

课后练习

练习一：一块等腰梯形场地，上底 $20\text{ m}$ ，下底 $40\text{ m}$ ，腰长 $15\text{ m}$ ，高 $12\text{ m}$ 。求它的面积和周长。

面积：

S = \frac{1}{2}(20 + 40) \times 12 = 360\text{ m}^2

周长：

练习二：一个平行四边形的底为 $14\text{ cm}$ ，腰为 $10\text{ cm}$ ，高为 $8\text{ cm}$ 。求它的面积和周长。

面积用底和高：

S = 14 \times 8 = 112\text{ cm}^2

周长用底和腰：

C = 2(14 + 10) = 48\text{ cm}

练习三：一间 L 形房间可以看成一个大矩形切去一个小矩形。大矩形长 $8\text{ m}$ 、宽 $5\text{ m}$ ，右下角切去一个长 $3\text{ m}$ 、宽 $2\text{ m}$ 的小矩形。求 L 形房间面积。

用大矩形减去切掉的部分：

S = 8 \times 5 - 3 \times 2 = 40 - 6 = 34\text{ m}^2

所以 L 形房间面积是 $34^{}$ 。

小结

周长：沿边走一圈，用长度单位。

面积：数里面占多少，用平方单位。

矩形面积来自排格子；平行四边形面积来自割补成矩形；三角形和梯形面积都可以看成“两个一样的图形拼成一个平行四边形”，所以要除以 $2$ 。

最该记住的坑是：高必须是垂直距离。斜边、腰、边长这些词听起来都很像能拿来算，但它们和高不是一回事。

C = 20 + 40 + 15 + 15 = 90\text{ m}

m

2

34\text{ m}^2