圆，不只是一个“很圆的圈” | 自在学

圆，不只是一个“很圆的圈”

圆到底在学什么？

圆最核心的一句话是：所有圆上的点，到圆心都一样远。

这句话听起来朴素，但它几乎能把整章串起来。车轮为什么是圆的？因为车轴在圆心，轮子滚动时，圆心到地面的高度一直稳定。要是轮子忽高忽低，坐车的人大概第一分钟就想下车。

数学里说得更精确一点：

平面上，到定点 $O$ 的距离等于定长 $r$ 的所有点组成的图形，叫做圆。

定点 $O$ 叫圆心，定长 $r$ 叫半径。圆心决定圆放在哪里，半径决定圆有多大。我们常把这个圆记作 $\odot O$ 。

你也可以想成一根绳子。一头钉在纸上，另一头绑铅笔，绳子绷紧绕一圈，铅笔画出的轨迹就是圆。绳子长度不变，所以铅笔到钉子的距离一直是 $r$ 。

一端固定于圆心O、另一端绑铅笔的绳子绷紧后绕圆心旋转一圈，铅笔轨迹形成圆的示意图，旁边标注圆心O、半径r与圆上一点P，并用虚线展示|OP|=r

圆里的几个常用词

最容易乱的地方，不是公式，而是名词。先把词放稳，后面证明题才不会绕晕。

半径和直径

从圆心 $O$ 连到圆上一点 $P$ 的线段，叫半径。

同一个圆里，所有半径都相等。这不是废话，而是圆的定义本身。

如果一条线段的两个端点都在圆上，并且还经过圆心，这条线段叫直径。

直径的长度是半径的两倍：

d = 2r

直径也是圆里最长的弦。原因很直观：圆上任意两点之间的距离，最多也就是从圆的一边穿过圆心到另一边。

弦和弧

连接圆上任意两点的线段，叫弦。注意，弦不一定经过圆心。直径只是“刚好经过圆心的那条弦”。

弦的两个端点会把圆周分成两段曲线，这两段曲线叫弧。

较短的那段一般叫劣弧，比如 $\overset{\frown}{AB}$ 。

较长的那段叫优弧，为了说清走的是哪一边，通常多写一个弧上的点，比如 $\overset{\frown}{ADB}$ 。

如果弦是直径，那么两段弧一样长，每一段都是半圆。

一个圆中标出弦AB、劣弧AB（蓝色）、优弧ADB（红色）和直径CD，弦与弧之间的对应关系用箭头和标注清楚说明

一个好记法：弦是“圆里的一条直线段”，弧是“圆周上的一段曲线”。直径是特殊的弦，半圆是特殊的弧。

切线和割线

一条直线如果和圆只有一个公共点，它叫切线。这个公共点叫切点。

一条直线如果和圆有两个公共点，它叫割线。割线穿过圆，圆里面那一段就是一条弦。

切线有一个非常关键的性质：

\text{切线} \perp \text{过切点的半径}

这句话别只当口诀。

切点是圆心到这条直线上最近的点。点到直线最短的线段是垂线段，所以圆心连切点的半径，必然垂直于切线。

“直线经过圆上一点”不等于“直线是切线”。过圆上一点可以画无数条直线，其中只有垂直于该点半径的那一条才是切线。

圆周率 $\pi$ ：不是神秘数，是固定比值

楼主问：为什么所有圆都要用 $\pi$ ？

因为任意一个圆，都有同一个比值：

\pi = \dfrac{\text{圆的周长}}{\text{圆的直径}} = \dfrac{C}{d}

圆变大，周长和直径一起按同样比例变大。比值不变，所以 $\pi$ 是所有圆共享的常数。

$\pi \approx 3.1415926\ldots$ ，小数无限不循环，是无理数。

历史上也有很漂亮的近似。阿基米德用内接、外切多边形夹住圆，得到 $\dfrac{223}{71} < \pi < \dfrac{22}{7}$ 。祖冲之给出过著名的密率 $\dfrac{355}{113}$ ，精度非常高。

这些故事可以不背年份，但要记住思路：用越来越多边的多边形去逼近圆。

周长、弧长、面积

圆的周长公式来自 $\pi$ 的定义：

C = \pi d = 2\pi r

如果只要一段弧的长度，就看这段弧对应的圆心角占整个 $360^\circ$ 的多少。

设圆心角为 $\alpha^\circ$ ，半径为 $r$ ，弧长为 $l$ ：

l = \dfrac{\alpha}{360^\circ}\times 2\pi r

圆的面积公式是：

S = \pi r^2

这个公式可以这样理解：把圆切成很多很细的扇形，再一片正一片反地拼起来，会越来越像一个长方形。

长方形的长接近半个圆周，也就是 $\pi r$ ；宽接近半径 $r$ 。

所以面积接近：

\pi r \times r = \pi r^2

扇形面积同样按比例来：

S_{\text{扇形}} = \dfrac{\alpha}{360^\circ}\times \pi r^2

还有一个很顺手的形式：

S_{\text{扇形}} = \dfrac{1}{2}lr

其中 $l$ 是弧长。它长得很像三角形面积公式 $\dfrac{1}{2}\times\text{底}\times\text{高}$ ，可以把扇形看成“底边弯了的三角形”的极限版本。

点、直线、两个圆：其实都在比距离

这部分最有用的统一视角是：

别先想图形名字，先量距离。

点与圆

设圆心是 $O$ ，半径是 $r$ ，点 $P$ 到圆心的距离是 $d = |OP|$ 。

当 $d < r$ ，点 $P$ 在圆内。

当 $d = r$ ，点 $P$ 在圆上。

当 $d > r$ ，点 $P$ 在圆外。

这就是“圆上点到圆心距离等于半径”的直接应用。

直线与圆

设圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离是 $d$ ，圆的半径是 $r$ 。

当 $d > r$ ，直线和圆相离，没有公共点。

当 $d = r$ ，直线和圆相切，有 1 个公共点。

当 $d < r$ ，直线和圆相交，有 2 个公共点。

常见误区：看到一条线碰到圆上某点，就急着说“切线”。别急。先看圆心到这条直线的距离是不是刚好等于半径。

两圆的位置关系

两个圆更热闹，但规则仍然是距离比较。设两圆半径分别为 $r_1$ 、 $r_2$ ，且 $r_1 \geq r_2$ 。圆心距为。

先记两个临界值：

r_1 + r_2 \quad \text{和} \quad r_1 - r_2

它们分别管外侧接触和内侧接触。

当 $d > r_1 + r_2$ ，两圆外离。

当 $d = r_1 + r_2$ ，两圆外切。

当 $r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$ ，两圆。

当 $d = r_1 - r_2$ ，两圆内切。

当 $d < r_1 - r_2$ ，两圆内含。

如果 $d = 0$ 且 $r_1 = r_2$ ，那就是两个圆完全重合。

从左到右依次展示两圆的五种位置关系：外离（两圆分开）、外切（外侧恰好相切，切点位于连心线上）、相交（两圆有两个公共点）、内切（小圆从内侧接触大圆）、内含（小圆完全在大圆内部），每种情形标注圆心距d与r1、r2的不等式关系

两圆题不要死背文字。先算 $r_1+r_2$ 和 $r_1-r_2$ ，再把放到数轴上。位置关系基本就自己出来了。

例题

例题 1：周长反推半径

题目：一个圆的周长是 $20\pi$ cm，求半径和直径。

周长公式是 $C = 2\pi r$ 。代入 $C = 20\pi$ ：

2\pi r = 20\pi

这个题没什么花活。看到 $20\pi$ ，别把 $\pi$ 算成小数，直接约掉最干净。

例题 2：点在圆内、圆上还是圆外

题目：圆 $\odot O$ 的半径 $r = 5$ 。点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 到圆心 $O$ 的距离分别是 $3$ 、、，判断位置关系。

$|OA| = 3 < 5$ ，所以点 $A$ 在圆内。

，所以点在圆上。

这类题的本质就是拿距离和半径比大小。

例题 3：弧长

题目：半径为 $6$ cm 的圆中，一段弧所对圆心角为 $120^\circ$ ，求弧长。

整圆周长是：

2\pi r = 2\pi \times 6 = 12\pi

是的三分之一，所以这段弧长是：

答案是 $4\pi$ cm。这里用比例比硬套公式更像人脑。

例题 4：证明切线

题目：直线 $l$ 过圆 $\odot O$ 上一点 $P$ ，且 $OP \perp l$ 。证明 $l$ 是圆的切线。

因为 $P$ 在圆上，所以 $|OP| = r$ 。

又因为 $OP \perp l$ ，所以是圆心到直线的垂线段。

这个证明很常见。关键词不是“过点 $P$ ”，而是“垂直半径”。

例题 5：扇形面积

题目：一个扇形半径为 $9$ cm，圆心角为 $80^\circ$ ，求扇形面积，结果用 $\pi$ 表示。

扇形面积按圆心角比例分：

S_{\text{扇形}} = \dfrac{80^\circ}{360^\circ}\times \pi \times 9^2

答案是 $18\pi$ cm²。

例题 6：两圆位置关系

题目：两圆半径分别为 $r_1 = 8$ 、 $r_2 = 3$ ，圆心距 $d = 5$ 。判断两圆的位置关系。

先算两个临界值：

r_1 + r_2 = 11,\qquad r_1 - r_2 = 5

这题如果只背“内切”这个词会很虚。你真正要抓住的是：圆心距刚好等于两个半径的差。

两道练习

练习 1：一个扇形的弧长为 $6\pi$ cm，半径为 $9$ cm。求圆心角和面积。

由弧长公式：

6\pi = \dfrac{\alpha}{360^\circ}\times 2\pi \times 9

也就是：

6\pi = \dfrac{\alpha}{360^\circ}\times 18\pi

练习 2：两圆半径分别为 $r_1 = 5$ 、 $r_2 = 3$ 。当圆心距 $d$ 分别取 $1$ 、、、、时，判断两圆位置关系。

先算临界值：

r_1 + r_2 = 8,\qquad r_1 - r_2 = 2

小结

圆的定义：到圆心距离等于半径的点的集合。
圆的基本线段：半径、直径、弦。
圆周上的曲线：弧，分劣弧、优弧、半圆。
直线和圆：看圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$ 。
两个圆：看圆心距 $d$ 与 $r_1+r_2$ 、。

记住这两个圆的公式：

C = 2\pi r,\qquad S = \pi r^2

弧长和扇形面积，本质都是“这一段占整圆多少比例”。

记住：圆的问题，先找圆心，再比距离。

|OB| = 5 = r

120^\circ