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圆的面积与扇形

上一部分我们把各种平面图形的周长与面积系统梳理了一遍——矩形、三角形、平行四边形、梯形，边界全是直线，公式套上就跑。但圆不一样。圆的边界是一条弯曲的封闭曲线，你没法像数方格那样量出它的面积，也没法像平行四边形那样"剪一刀贴过去"变成矩形。

那圆的面积究竟从哪来？扇形——那个像披萨切片一样的形状——面积又该怎么算？这一部分我们就把这两件事说清楚。你会发现，圆面积和扇形面积骨子里都是同一个思路：按比例分配整圆。

圆面积公式从哪来？

假如你手里有一张圆形饼干，半径是 $r$ 。你拿一把剪刀，把它切成极细极细的扇形——切成 32 块、64 块、128 块……越细越好。

然后把这些细扇形交错拼排：奇数块弧朝上、偶数块弧朝下，交替排成一行。你会发现，这个锯齿形状越来越接近一个矩形：

矩形的宽（纵向）≈ 圆的半径 $r$
矩形的长（横向）≈ 圆周长的一半 $\pi r$ （扇形的弧各占半圈，左右各摆一侧）

所以，这个"拼出来的矩形"面积就是：

S = \text{长} \times \text{宽} \approx \pi r \times r = \pi r^2

扇形切得越细，拼出的形状越接近真正的矩形，误差趋向于零。这就是圆面积公式的直观来源：

\boxed{S_{\text{圆}} = \pi r^2}

这个思路叫"无穷细分后重组"，是微积分极限思想的雏形。初中阶段我们不用严格证明，但把这幅拼图画面记在心里，以后学积分时会猛然回想起它。

圆面积公式推导：切细拼矩形

圆面积公式的使用

有了 $S = \pi r^2$ ，来看几种常见情形。

已知半径，求面积 — 最直接，将 $r$ 代入即可。

已知直径 $d$ ，求面积 — 先换算 $r = \dfrac{d}{2}$ ，再代入：

S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}

已知周长 $C$ ，求面积 — 由 $C = 2\pi r$ 解出 $r = \dfrac{C}{2\pi}$ ，代入：

S = \pi \cdot \left(\frac{C}{2\pi}\right)^2 = \frac{C^2}{4\pi}

半径扩大 $k$ 倍，面积变化多少？

新面积为 $\pi(kr)^2 = k^2 \cdot \pi r^2$ ，是原面积的 $k^2$ 倍。半径翻倍，面积变 4 倍；半径变 3 倍，面积变 9 倍。——这是几何里贯穿始终的一条规律。

圆面积公式里是半径 $r$ ，不是直径。题目给直径 $d = 10$ 时，必须先换算 $r = 5$ ，再代入 $\pi r^2 = 25\pi$ ，不能把直接算进去——这样算出来是真实面积的 4 倍。

扇形是什么？

切那张圆形饼干时，切出的一块就是扇形。严格地说，扇形由两条半径和它们所夹的一段弧围成，就像一把打开的折扇。

扇形有三个关键量，它们互相关联：

量	符号	说明
半径	$r$	两条半径的长度（相等）
圆心角	$n°$	两条半径所夹的角
弧长	$l$	扇形弯曲那一侧的长度

知道其中任意两个，就能推出第三个。下面分别推导弧长和扇形面积的公式。

弧长公式：按比例分配圆周

一个整圆的周长是 $2\pi r$ ，圆心角是 $360°$ 。扇形的圆心角是 $n°$ ，它在整圆里占的比例是 $\dfrac{n}{360}$ ，所以弧长就是整圆周长的这个比例：

\boxed{l = \frac{n}{360} \times 2\pi r}

几个特殊值记一记：

圆心角 $n°$	占整圆比例	弧长
$180°$	$\dfrac{1}{2}$	$\pi r$ （半圆弧）
$90°$

扇形面积公式：同样按比例分配

弧长是按比例分配圆周长，扇形面积同样是按比例分配圆面积——完全相同的逻辑：

\boxed{S_{\text{扇}} = \frac{n}{360} \times \pi r^2}

圆心角越大，扇形越"胖"，面积越大；圆心角为 $360°$ 时，就是整个圆，面积恰好是 $\pi r^2$ ，完美自洽。

扇形面积公式：同样按比例分配

用弧长表达扇形面积

把弧长公式中的 $\dfrac{n}{360}$ 代入扇形面积公式，可以得到另一个非常好用的等价形式：

S_{\text{扇}} = \frac{n}{360} \times \pi r^2 = \left(\frac{n}{360} \times 2\pi r\right) \times \frac{r}{2} = \frac{1}{2} r l

\boxed{S_{\text{扇}} = \frac{1}{2} r l}

这个式子特别像三角形面积 $\dfrac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$ ——把弧长 $l$ 当作"弯曲的底"，半径 $r$ 当作从圆心到弧的"高"，面积就出来了。

什么时候用哪个公式？

已知 $r$ 和圆心角 $n°$ ：用 $S = \dfrac{n}{360}\pi r^2$ ，直接代入。
已知和弧长：用，更快，不用反求角度。

分母永远是 360（角度制），不是 180。弧长和扇形面积的比例因子都是 $\dfrac{n}{360}$ ——180 只出现在弧度换算里，初中阶段不必理会。

弓形：扇形减去三角形

弓形由一条弦和弦所对的弧围成，形如弓。求弓形面积的标准思路：

S_{\text{弓}} = S_{\text{扇}} - S_{\triangle}

其中 $S_{\triangle}$ 是以两条半径为腰、弦为底的等腰三角形（顶点在圆心）的面积。

两种高频特殊情况：

圆心角 $90°$ ：两腰互相垂直，三角形是等腰直角三角形， $S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}r^2$
圆心角 ：两腰与底边均等于，三角形是等边三角形，

这两种情况在中考里极高频，遇到直接调用。

弓形 = 扇形减去三角形，是减不是加。方向搞反，答案就会比实际大很多。

圆环：大圆减小圆

设外圆半径 $R$ ，内圆半径 $r$ （ $R > r$ ），两个同心圆之间的环形区域叫圆环：

S_{\text{环}} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)

利用因式分解还有一种等价写法：

S_{\text{环}} = \pi(R-r)(R+r)

已知环宽 $w = R - r$ 和内外半径之和时，这种形式算起来特别方便。

扇环（圆环的一部分）按圆心角比例分配：

S_{\text{扇环}} = \frac{n}{360} \times \pi(R^2 - r^2)

组合图形里的圆与扇形

遇到阴影题，先识别阴影是哪几种图形的加或减，再列式计算。常见拼接套路：

组合方式	结果
正方形 $-$ 扇形	角落阴影
半圆 $+$ 矩形	跑道形（体育场）
大扇形 $-$ 小扇形	扇环
扇形 $-$ 三角形	弓形

把这几种结构印在脑子里，碰到图形题先对号入座，再列式。面积答案别忘带平方单位（ $\text{cm}^2$ 、 $\text{m}^2$ ……）。

公式汇总

图形	公式
圆面积	$S = \pi r^2$
弧长	$l = \dfrac{n}{360} \times 2\pi r$

例题与解析

例题一：由直径求圆面积

题目：一个圆形水池的直径为 $14\,\text{m}$ ，求水池面积（结果保留 $\pi$ ）。

直径换算半径：

r = \frac{14}{2} = 7\,\text{m}

例题二：半径变化与面积关系

题目：甲圆半径为 $3\,\text{cm}$ ，乙圆半径为 $6\,\text{cm}$ 。乙圆面积是甲圆面积的几倍？

分别计算两圆面积：

S_{\text{甲}} = \pi \times 3^2 = 9\pi\,\text{cm}^2, \qquad S_{\text{乙}} = \pi \times 6^2 = 36\pi\,\text{cm}^2

例题三：扇形面积与弧长

题目：扇形的半径 $r = 12\,\text{cm}$ ，圆心角 $n = 60°$ ，求扇形的弧长和面积（结果保留 $\pi$ ）。

计算弧长：

l = \frac{60}{360} \times 2\pi \times 12 = \frac{1}{6} \times 24\pi = 4\pi\,\text{cm}

例题四：已知弧长求扇形面积

题目：扇形的半径 $r = 9\,\text{cm}$ ，弧长 $l = 6\pi\,\text{cm}$ ，求扇形面积（结果保留 $\pi$ ）。

直接用 $S = \dfrac{1}{2}rl$ ：

S_{\text{扇}} = \frac{1}{2} \times 9 \times 6\pi = 27\pi\,\text{cm}^2

例题五：弓形面积（圆心角 90°）

题目：圆的半径 $r = 10\,\text{cm}$ ，一条弦所对的圆心角为 $90°$ ，求该弦与劣弧围成的弓形面积（结果保留 $\pi$ ）。

扇形面积：

S_{\text{扇}} = \frac{90}{360} \times \pi \times 10^2 = \frac{1}{4} \times 100\pi = 25\pi\,\text{cm}^2

例题六：圆环面积

题目：一个垫圈，外圆直径为 $20\,\text{cm}$ ，内圆直径为 $12\,\text{cm}$ ，求垫圈面积（结果保留 $\pi$ ）。

换算半径：外圆 $R = 10\,\text{cm}$ ，内圆 $r = 6\,\text{cm}$ 。

例题七：组合图形——正方形内的扇形阴影

题目：正方形边长为 $6\,\text{cm}$ ，以一个顶点为圆心、以边长为半径画一个四分之一圆，求正方形内位于该四分之一圆外部的阴影面积（结果保留 $\pi$ ）。

正方形面积：

S_{\text{正}} = 6 \times 6 = 36\,\text{cm}^2

例题八：应用题——草坪喷灌覆盖面积

题目：一台草坪喷水器安装在正方形草坪（边长 $20\,\text{m}$ ）的某个顶角处，喷水覆盖范围是以该顶角为圆心、半径 $12\,\text{m}$ 、圆心角 $90°$ 的扇形。（1）求喷水覆盖的面积；（2）草坪总面积中，未被喷到的比例是多少？

喷水扇形面积：

S_{\text{扇}} = \frac{90}{360} \times \pi \times 12^2 = \frac{1}{4} \times 144\pi = 36\pi\,\text{m}^2

课后练习

练习一：一个圆形花坛的周长为 $20\pi\,\text{m}$ ，求它的面积（结果保留 $\pi$ ）。

由 $C = 2\pi r = 20\pi$ 解得 $r = 10\,\text{m}$ 。

面积： $S = \pi r^2 = 100\pi\,\text{m}^2$ 。

练习二：扇形的半径 $r = 6\,\text{cm}$ ，圆心角 $n = 120°$ ，求扇形的弧长、面积和周长（结果保留 $\pi$ ）。

弧长： $l = \dfrac{120}{360} \times 2\pi \times 6 = \dfrac{1}{3} \times 12\pi = 4\pi\,\text{cm}$ 。

练习三：一个圆中，以直径为底边的弓形面积是多少？（圆的半径为 $r$ ，结果保留 $\pi$ 和根号）

以直径为底的弦所对的圆心角为 $180°$ ，对应的扇形就是半圆，面积为 $\dfrac{1}{2}\pi r^2$ 。

以两条半径为腰的"三角形"：直径为底时，两条半径夹角 $180°$ ，三角形退化为一条线段，面积为 $0$ 。

因此弓形面积就是半圆面积：。

练习四：正方形边长 $10\,\text{cm}$ ，以四个顶点各为圆心、边长为半径，各作一个圆心角 $90°$ 的扇形伸入正方形内。求四个扇形覆盖的总面积，以及正方形内未被覆盖的面积（结果保留 $\pi$ ）。

每个扇形面积： $\dfrac{90}{360} \times \pi \times 10^2 = 25\pi\,\text{cm}^2$ 。

小结

圆面积的核心是 $S = \pi r^2$ ，它来自"把圆切细、拼成矩形"的直觉。弧长和扇形面积都遵循"按圆心角占 $360°$ 的比例分配整圆"的统一逻辑——弧长用 $l = \dfrac{n}{360} \times 2\pi r$ ，扇形面积用，两者还能合并成。

弓形在扇形基础上减去圆心角对应的等腰三角形；圆环则是大圆减小圆，公式 $\pi(R^2 - r^2)$ 干净利落。进入组合题时，把这些基本图形当作"积木"，用加减拼出阴影面积，配合分割与补形策略，绝大多数圆形面积题都能迎刃而解。

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