圆的面积与扇形 | 自在学

圆的面积与扇形

圆面积为什么是 $\pi r^2$ ？

圆周长还能理解，绕一圈嘛。圆面积为什么突然变成 $\pi r^2$ ？一个很简单的想法是：把圆切成很多很多细扇形。

想象一块圆形披萨。

先切成 8 块，有点粗。

再切成 16 块，细一点。

再切成 32 块、64 块，越来越细。

然后把这些小扇形一上一下交错摆开。弧边朝上、弧边朝下，像拉链一样排成一条。

排出来的形状一开始有锯齿，但切得越细，越像一个矩形。

这个“差不多的矩形”有两个关键尺寸：

宽约等于圆的半径 $r$ 。
长约等于圆周长的一半，也就是 $\pi r$ 。

所以面积就接近：

\pi r \times r = \pi r^2

切得越细，这个近似越准。到了“无限细”的理想状态，误差可以看成没有。

于是圆面积公式就是：

\boxed{S_{\text{圆}}=\pi r^2}

这不是凭空冒出来的公式，而是“切细、重排、逼近矩形”的结果。

圆面积公式推导：切细拼矩形

这个推导不要求你写成严格证明，但画面要记住：半个圆周做长，半径做宽，所以是 $\pi r \cdot r$ 。

用圆面积公式时，先找半径

公式里写的是 $r$ ，也就是半径。很多错题就错在这里：题目给的是直径，手一快直接平方。

比如直径 $d=10$ ，半径应该是：

r=\frac d2=5

面积是：

S=\pi \times 5^2=25\pi

不是 $100\pi$ 。

这里有个常用检查法：

如果你把直径当半径，答案会变成真实面积的 4 倍。

因为直径是半径的 2 倍，而面积和半径的平方有关。

三种常见入口

题目给半径：

S=\pi r^2

题目给直径 $d$ ：

S=\pi\left(\frac d2\right)^2=\frac{\pi d^2}{4}

题目给周长 $C$ ：

C=2\pi r \Rightarrow r=\frac{C}{2\pi}

再代回面积公式：

S=\pi\left(\frac{C}{2\pi}\right)^2=\frac{C^2}{4\pi}

不过实战里一般不必硬背最后这个式子。先由周长求半径，再算面积，比较不容易乱。

面积是平方级变化。半径扩大 $k$ 倍，面积扩大 $k^2$ 倍。半径翻倍，面积不是翻倍，是变成 4 倍。

扇形到底是什么？

扇形就是圆里切下来的一块。

更正式地说：两条半径和它们夹住的一段弧围成的图形，叫扇形。 像折扇打开，也像披萨一片。

扇形里常见三个量：

量	符号	解释
半径	$r$	这块扇形从圆心伸出去多远
圆心角	$n°$	这块扇形张开多大
弧长	$l$	外面那条弯边有多长

这一部分的核心讨论就来了：

扇形占整圆多少，取决于圆心角占 $360°$ 多少。

圆心角是 $90°$ ，就是四分之一圆。

圆心角是 $180°$ ，就是半圆。

圆心角是 $120°$ ，就是三分之一圆。

所以比例是：

\frac{n}{360}

这个比例后面会反复出现。

弧长公式：先别看弧，看它占了几圈

整圆的周长是：

2\pi r

如果扇形圆心角是 $n°$ ，它占整圆的比例是 $\dfrac{n}{360}$ 。于是弧长就是：

\boxed{l=\frac{n}{360}\times 2\pi r}

这句话翻译成人话就是：

你走了整圈的几分之几，就拿整圈长度的几分之几。

几个常见角度可以直接有感觉：

圆心角	占整圆	弧长
$180°$	$\dfrac12$	$\pi r$
$90°$	$\dfrac14$

扇形面积公式：同样按比例分

弧长是按比例分圆周。扇形面积就是按比例分圆面积。

整圆面积是：

\pi r^2

扇形占整圆 $\dfrac{n}{360}$ ，所以：

\boxed{S_{\text{扇}}=\frac{n}{360}\times \pi r^2}

这和弧长公式是同一套逻辑，只是“被分的东西”换了。

扇形面积公式：同样按比例分配

另一个很好用的公式： $S=\dfrac12rl$

如果题目给了弧长 $l$ ，扇形面积还能这么算：

S_{\text{扇}}=\frac12rl

它怎么来的？

从弧长公式看：

l=\frac{n}{360}\times 2\pi r

两边乘 $\dfrac r2$ ：

\frac12rl=\frac{n}{360}\times \pi r^2

右边正好就是扇形面积。

所以两个公式等价：

\boxed{S_{\text{扇}}=\frac{n}{360}\pi r^2=\frac12rl}

常见做法：

已知 $r$ 和 $n°$ ，用 $\dfrac{n}{360}\pi r^2$ 。
已知 $r$ 和，用。

这里分母是 360，因为我们用的是角度制。不要把弧长、扇形面积里的比例写成 $\dfrac n{180}$ 。

扇形周长：别漏两条半径

扇形周长不是弧长。

扇形的边界包括：

一段弧。
两条半径。

所以：

\boxed{P_{\text{扇}}=l+2r}

这类题特别爱挖坑。

题目问“弧长”，只算外面那段弯边。

题目问“扇形周长”，要把两条直边也加上。

弓形：扇形减三角形

弓形是由一条弦和它对着的一段弧围成的图形。

它看起来像一张弓，所以叫弓形。

求它面积时，别直接硬想。

先看这块弓形是不是藏在某个扇形里。

通常思路是：

\boxed{S_{\text{弓}}=S_{\text{扇}}-S_{\triangle}}

这里的三角形，是由两条半径和那条弦围成的等腰三角形。

两个常见角度可以记住：

圆心角	三角形类型	三角形面积
$90°$	等腰直角三角形	$\dfrac12r^2$
$60°$	等边三角形	$\dfrac{\sqrt3}{4}r^2$

注意一个边界情况：

如果弦是直径，对应圆心角是 $180°$ 。这时所谓“三角形”退化成一条直线，面积为 0，弓形就是半圆。

圆环：大圆减小圆

圆环就是两个同心圆中间夹出来的一圈。

外半径记作 $R$ ，内半径记作 $r$ ，并且 $R>r$ 。

面积很直接：

\boxed{S_{\text{环}}=\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2)}

有时候还可以写成：

S_{\text{环}}=\pi(R-r)(R+r)

这个写法在题目给“环宽”和“内外半径之和”时很好用。

如果只取圆环的一部分，也就是扇环，再按角度比例分：

\boxed{S_{\text{扇环}}=\frac{n}{360}\times \pi(R^2-r^2)}

弓形和圆环都有一个共同套路：先认出一个大图形，再减掉不要的部分。阴影面积题基本就是在练这个眼力。

组合图形：先问“它是谁减谁”

阴影面积题看着吓人，其实大多在考拆图。

你可以先在脑子里问三句话：

阴影能不能看成一个熟悉图形？
不能的话，它是不是“大图形减小图形”？
有没有重复覆盖，或者有没有漏掉一块？

常见结构如下：

图形结构	常见列式
正方形角落被四分之一圆切掉	正方形 $-$ 扇形
扇形里扣掉圆心三角形	扇形 $-$ 三角形
大圆中挖掉小圆	大圆 $-$ 小圆
大扇形中挖掉小扇形	大扇形 $-$ 小扇形
跑道形	矩形 $+$ 两个半圆

公式汇总

对象	公式
圆面积	$S=\pi r^2$
弧长	$l=\dfrac{n}{360}\times 2\pi r$

例题与解析

例题一：直径给你了，别急着平方

题目：一个圆形水池的直径是 $14\,\text{m}$ ，求水池面积，结果保留 $\pi$ 。

先把直径换成半径：

r=\frac{14}{2}=7\,\text{m}

这题没难度，但它很典型：题目给直径，公式要半径。

例题二：半径变大，面积怎么变？

题目：甲圆半径为 $3\,\text{cm}$ ，乙圆半径为 $6\,\text{cm}$ 。乙圆面积是甲圆面积的几倍？

分别写出面积：

S_{\text{甲}}=9\pi,\qquad S_{\text{乙}}=36\pi

也可以更快：半径从 3 到 6，是扩大 2 倍；面积就扩大 $2^2=4$ 倍。

例题三：扇形弧长和面积一起算

题目：扇形半径 $r=12\,\text{cm}$ ，圆心角 $n=60°$ 。求弧长和面积，结果保留 $\pi$ 。

先算弧长：

l=\frac{60}{360}\times 2\pi\times 12=4\pi\,\text{cm}

例题四：题目给弧长时，别绕远

题目：扇形半径 $r=9\,\text{cm}$ ，弧长 $l=6\pi\,\text{cm}$ 。求扇形面积。

直接用：

S_{\text{扇}}=\frac12rl

如果你非要反求圆心角，也可以：

6\pi=\frac n{360}\times 2\pi\times 9

解得：

n=120°

再算面积也会得到 $27\pi\,\text{cm}^2$ 。但实战里，前一种更快。

例题五：弓形面积

题目：圆半径 $r=10\,\text{cm}$ ，一条弦所对的圆心角为 $90°$ 。求这条弦与劣弧围成的弓形面积。

先算 $90°$ 扇形面积：

S_{\text{扇}}=\frac{90}{360}\times \pi\times 10^2=25\pi

这里不要写成 $25\pi+50$ 。弓形只是扇形外侧那片，三角形是在里面要扣掉的部分。

例题六：圆环面积

题目：一个垫圈外圆直径 $20\,\text{cm}$ ，内圆直径 $12\,\text{cm}$ 。求垫圈面积。

先换半径：

R=10\,\text{cm},\qquad r=6\,\text{cm}

用大圆减小圆：

也可以用因式分解检查：

\pi(R-r)(R+r)=\pi\times 4\times 16=64\pi

例题七：正方形里的四分之一圆

题目：正方形边长为 $6\,\text{cm}$ 。以一个顶点为圆心，以边长为半径画一个 $90°$ 扇形。求正方形内、扇形外的面积。

正方形面积：

S_{\text{正}}=6\times 6=36

这类题的关键不是算，而是看出“正方形减四分之一圆”。

例题八：喷水器覆盖面积

题目：一台喷水器装在正方形草坪的顶角，草坪边长 $20\,\text{m}$ 。喷水范围是半径 $12\,\text{m}$ 、圆心角 $90°$ 的扇形。求喷水覆盖面积，以及未覆盖面积占草坪的比例。

喷水覆盖面积：

S_{\text{扇}}=\frac{90}{360}\times \pi\times 12^2=36\pi\,\text{m}^2

这个结果挺符合直觉：角落里一个喷水器，只能覆盖一个扇形，很多地方确实喷不到。

课后练习

练习一：一个圆形花坛的周长是 $20\pi\,\text{m}$ ，求面积，结果保留 $\pi$ 。

由 $C=2\pi r$ 得：

2\pi r=20\pi \Rightarrow r=10

面积：

S=\pi r^2=100\pi\,\text{m}^2

练习二：扇形半径 $6\,\text{cm}$ ，圆心角 $120°$ 。求弧长、面积和扇形周长。

弧长：

l=\frac{120}{360}\times 2\pi\times 6=4\pi\,\text{cm}

面积：

S = \frac{120}{360} \times π \times 6^{2} = 12 π

练习三：半径为 $r$ 的圆中，一条直径和它对应的半圆弧围成的弓形面积是多少？

直径对应的圆心角是 $180°$ 。

扇形就是半圆：

S_{\text{扇}}=\frac12\pi r^2

练习四：圆环外半径为 $8\,\text{cm}$ ，内半径为 $5\,\text{cm}$ 。取其中圆心角 $120°$ 的一段扇环，求面积。

先算完整圆环面积：

S_{\text{环}}=\pi(8^2-5^2)=39\pi

扇环占整圆：

练习五：一个半径为 $4\,\text{cm}$ 的 $90°$ 扇形，弧长是多少？面积是多少？周长是多少？

弧长：

l=\frac{90}{360}\times 2\pi\times 4=2\pi\,\text{cm}

面积：

S = \frac{90}{360} \times π \times 4^{2} = 4 π

小结

这部分我们可以不用背成一锅粥。圆面积先记住来源：把圆切细，再重排成近似矩形。长是 $\pi r$ ，宽是 $r$ ，所以 $S=\pi r^2$ 。

扇形相关公式都围着一个比例转：

\frac{n}{360}

弧长是分圆周：

l=\frac n{360}\times 2\pi r

扇形面积是分圆面积：

S_{\text{扇}}=\frac n{360}\times \pi r^2

如果知道弧长，就用：

S_{\text{扇}}=\frac12rl

弓形是扇形减三角形。圆环则是大圆减小圆。

{cm}^{2}

S=\frac{120}{360}\times \pi\times 6^2=12\pi\,\text{cm}^2

{cm}^{2}

S=\frac{90}{360}\times \pi\times 4^2=4\pi\,\text{cm}^2