立体几何：把平面“立起来”

上一章，我们算的是圆、扇形、圆环这些平面图形的面积。它们都老老实实地躺在一张纸上，长和宽已经足够描述。

现在把纸盒拿到手里，事情多了一个方向。盒子的前面、后面、上面不在同一个平面里；有些棱在图上看着快碰到了，现实中却隔得很远；一个圆柱画在纸上像“椭圆加矩形”，可它真正的底面仍然是圆。

这就是立体几何最先要解决的问题：怎样把空间里的关系看准，再把立体表面拆回我们已经会算的平面图形。

这一章聚焦三件事：空间中的点、线、面怎样相处；怎样从三视图和展开图认出立体；怎样从各个面的面积得到表面积。至于一个立体内部能装多少，也就是体积，我们把完整推导留到下一章。

从平面走进空间，多出来的不只是“高”

平面几何默认所有点和线都在同一个平面里。两条不同直线如果一直延长，要么相交，要么平行，没有第三种情况。

到了空间里，第三种情况出现了。想象教室前墙与右墙交界处有一条竖线，教室后墙靠近天花板又有一条横线。这两条线不相交，也不平行，而且找不到同一个平面把它们同时装进去。这样的两条线叫异面直线。

所以判断空间中两条直线的关系，不能只问“碰不碰”，还要问“能不能放进同一个平面”。

一个平面怎样被确定

一张无限薄、向四周无限延伸的理想平面，画在纸上时常用一个斜着的平行四边形代替。那个小平行四边形只是平面的“代言人”，不是平面的边界。

一条直线不能单独确定一个平面。拿一扇门来想：门可以绕着铰链转，铰链所在的直线没变，门板所在的平面却有很多个位置。

要把平面的位置锁住，常用下面四组条件：

• 一条直线和直线外一点；
• 三个不共线的点；
• 两条相交直线；
• 两条平行直线。

“三个点确定一个平面”必须带上“不共线”。三个点如果全在同一条直线上，仍然像门铰链一样，可以穿过无数个平面。

空间中两条直线的三种关系

相交直线有且只有一个公共点。两条相交直线一定共面，因为它们本身就能确定一个平面。

平行直线在同一平面内，而且无论怎样延长都不相交。“同一平面内”是定义的一部分，不能省。

异面直线不在同一平面内。它们当然不相交，但“不相交”并不能直接推出“平行”。

直线与平面的关系

一条直线和一个平面，基础关系有三类：

• 直线在平面内：直线上的每一点都属于这个平面；
• 直线与平面相交：只有一个公共点；
• 直线与平面平行：没有公共点。

如果一条直线与平面内所有经过交点的直线都垂直，就说这条直线垂直于平面。实际判断时不用真的检查“所有直线”：在平面内找到两条经过垂足的相交直线，并证明空间直线同时垂直于它们，就足以确定线面垂直。

从平面外一点向平面作垂线，交点叫垂足。这段垂线最短，因此点到平面的距离，就是这条垂线段的长度。后面说棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的“高”，用的正是这种垂直距离。

两个平面的关系

两个不同平面要么相交，要么平行。

相交时，它们的全部公共点组成一条直线。书本翻开后，两页纸所在的平面相交，书脊就是交线。

两个相交平面被交线各分成两个半平面；指定其中一对半平面，才得到一个确定的二面角。本章默认量不超过 $180^\circ$ 的那个二面角。要量它，不能随便在两个面上各找一条线：应在交线上取一点，在选定的两个半平面内分别作垂直于交线的射线，这两条射线所成的平面角就是二面角的大小。若这个角是 $90^\circ$，两个平面互相垂直，墙面与水平地面就是直观例子。

平行时，它们没有公共点，而且处处等距。棱柱的两个底面、圆柱的两个底面都位于互相平行的平面内。

如果两个平面已经重合，它们其实是同一个平面，不再当作“两个不同平面”讨论。

一个顶点周围，已经藏着立体的转折

拿正方体的一个角来看。三个正方形面在这里相遇，三条棱从同一个点伸出去。这个由若干平面围在同一个顶点附近形成的“空间开口”，叫多面角。

共同点是多面角的顶点；从顶点沿相邻平面交线伸出的射线是棱；相邻两条棱夹出的平面角叫面角。这里的棱不是向两端无限延伸的整条直线。三个面围成的是三面角，四个面围成的是四面角。

正方体一个顶点处有三个 $90^\circ$ 的面角，它们的和是：

这个和小于 $360^\circ$，符合三块面能向空间里折起的必要条件。如果若干个面角按最简单的铰接方式在一个点周围正好拼成 $360^\circ$，它们会趋于摊平；超过 $360^\circ$，也不能围成普通的凸多面角。不过“角和小于 $360^\circ$”本身还不是任意纸片都一定能按指定邻接关系折好的充分条件，边长和折叠次序也必须相容。

因此，对凸多面角有一个很直观的限制：同一顶点处各面角之和小于 $360^\circ$。这不是为了再添一个公式，而是在解释“平面纸片为什么能折成立体”。

多面体与旋转体，先看表面是什么做的

本章最常见的空间图形可以先分成下面两组，这样比一上来背名字省力得多。它们不是对所有空间图形的穷尽分类；还存在既不是多面体、也不是这里这些旋转体的曲面立体。

多面体全部由多边形围成

多面体是由有限个平面多边形围成的封闭立体。每一块多边形叫一个面；两个面相接的线段叫一条棱；若干条棱相接的点叫一个顶点。

正方体、长方体、棱柱、棱锥都是多面体。圆柱不是，因为它有曲面；圆锥和球也不是。

“封闭”不能漏。几块纸片虽然都是多边形，如果中间留着洞，没有把空间围住，就还不是这里说的多面体。

旋转体带有连续的曲面

让一个平面图形绕同一平面内的一条直线旋转，可以得到常见的旋转体：

• 矩形绕一条边旋转一周，得到直圆柱；
• 直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到直圆锥；
• 半圆绕直径旋转一周，得到球。

旋转体的曲面不是由一块块多边形拼成的。我们仍会说圆柱有“侧面”，但这不是多面体里那种平面多边形的面；也不要把圆柱上下两条圆周误叫成多面体的棱。

面、棱、顶点与欧拉公式

数一个多面体的零件时，最容易犯的错是只数“看得见的”。纸上的虚线棱虽然被挡住，在立体上仍然存在；背后的面也不能漏。

对一个封闭的凸多面体，设顶点数为 $V$、棱数为 $E$、面数为 $F$，有：

等价地，也可以写成：

正方体有 $8$ 个顶点、$12$ 条棱、$6$ 个面：

如果一个棱柱的底面是 $n$ 边形，那么它有两个底面，每个底面各贡献 $n$ 个顶点和 $n$ 条底棱，另外还有 $n$ 条侧棱：

代入后：

如果一个棱锥的底面是 $n$ 边形，那么：

同样满足：

例题：用欧拉公式补回漏掉的棱

题目：一个凸多面体有 $9$ 个面、$9$ 个顶点。它有多少条棱？

棱柱：两个全等底面被一圈侧面连起来

认棱柱，先找两个底面。它们必须是平行且全等的多边形。其余侧面是平行四边形，每一条侧棱连接两个底面的对应顶点。

棱柱按底面命名：底面是三角形，叫三棱柱；底面是五边形，叫五棱柱。长方体是直四棱柱的一种，正方体又是长方体的特殊情形。

竖直高不一定等于侧棱

两个底面所在平面之间的垂直距离，叫棱柱的高，记作 $h$。

如果侧棱垂直于底面，就是直棱柱。这时侧棱的长度等于高，侧面都是矩形。

如果侧棱斜着连接两个底面，就是斜棱柱。它的侧棱比两个底面之间的垂直距离长，侧面通常是斜的平行四边形。

这一区分会直接影响表面积公式。我们常见的

只直接用于直棱柱，其中 $P$ 是底面周长，$h$ 是棱柱的高。斜棱柱不能把底面周长乘竖直高就完事，应该从展开图出发，逐个计算各侧面。

棱柱展开后为什么得到 $Ph$

底面是 $n$ 边形，就有 $n$ 个侧面。直棱柱展开后，这 $n$ 个侧面是一排高都为 $h$ 的矩形，宽分别等于底面的 $n$ 条边。

把这些矩形面积相加，相当于先把所有宽相加，再乘公共的高：

再加两个全等底面。若一个底面的面积是 $B$，直棱柱的全面积就是：

这条式子不是凭空要背的。$Ph$ 是一圈侧面，$2B$ 是上下两个底面。

长方体的长、宽、高分别为 $a,b,h$ 时，也可以按三对全等矩形来数：

正方体棱长为 $a$，六个面全是边长为 $a$ 的正方形：

例题：三棱柱不是只算三个矩形

题目：一个直三棱柱的底面是边长 $6\,\text{cm}$、$8\,\text{cm}$、$10\,\text{cm}$ 的直角三角形，棱柱高为 $15\,\text{cm}$。求全面积。

棱锥：一个底面，所有侧面收向同一顶点

棱锥只有一个多边形底面。其余侧面全是三角形，并且这些三角形有同一个公共顶点。底面是四边形，就叫四棱锥；底面是三角形，就是三棱锥，也叫四面体。

如果底面是正多边形，并且顶点在底面中心的正上方，这样的棱锥叫正棱锥。正棱锥的侧面是全等的等腰三角形。

高、斜高、侧棱是三条不同的线

这三个长度经常挤在同一张图上，却各有各的工作：

• 高 $h$：从顶点到底面平面的垂线段，正棱锥中垂足是底面中心；
• 斜高 $l$：正棱锥一个侧面三角形的高，从棱锥顶点连到底边中点；
• 侧棱：从棱锥顶点连到底面顶点，是侧面三角形的腰。

斜高贴在侧面上，高藏在立体内部。计算侧面三角形面积要用斜高，不能拿竖直高替换。

对正四棱锥，底面边长为 $a$。底面中心到底边中点的距离是 $a/2$，它与竖直高 $h$、斜高 $l$ 组成直角三角形：

如果求的是侧棱，还要换成“底面中心到底面顶点”的距离，不能仍然使用 $a/2$。

正棱锥的表面积

正棱锥展开后，是一个底面多边形和一圈全等的等腰三角形。每个侧面三角形的面积是“底边乘斜高再除以 $2$”。把所有底边相加就是底面周长 $P$，所以：

加上一个底面积 $B$：

公式中的 $l$ 是斜高，而且公式直接适用于各侧面斜高相等的正棱锥。一般棱锥的侧面三角形不一定全等，这时要逐个算三角形再相加。

例题：题目给竖直高，先把斜高找出来

题目：一个正四棱锥的底面边长为 $10\,\text{cm}$，竖直高为 $12\,\text{cm}$。求它的全面积。

圆柱、圆锥与球：曲面也能谈面积

多面体沿棱剪开就能摊平。曲面看起来更麻烦，但圆柱和圆锥有一个好性质：它们的侧面可以不拉伸地铺到平面上。球面却做不到。

圆柱的母线在直圆柱里恰好等于高

本章主要讨论直圆柱：两个平行且全等的圆形底面，圆心连线垂直于底面。两个底面圆心之间的距离就是高 $h$。

在圆柱侧面上，连接两个底面圆周对应点的线段叫母线。直圆柱的母线垂直于底面，所以母线长等于高。斜圆柱的母线会倾斜，长度就不等于两个底面之间的垂直距离。

沿直圆柱的一条母线剪开，曲侧面会摊成矩形。矩形的一边是圆柱高 $h$，另一边绕底面一周，长度是底面周长 $2\pi r$。

因此：

两个底面的面积一共是 $2\pi r^2$，全面积为：

圆锥的母线不是竖直高

本章主要讨论直圆锥：一个圆形底面和一个顶点，顶点在底面圆心的正上方。从顶点到底面圆心的垂线段是竖直高 $h$。

从顶点沿侧面连到底面圆周任一点的线段叫母线，记作 $l$。在直圆锥中，各条母线等长。把经过顶点、底面圆心和一个圆周点的截面取出来，会得到直角三角形，所以：

母线是直角三角形的斜边，因此 $l>h$ 且 $l>r$。如果算出的母线比竖直高还短，前面一定出了错。

沿一条母线剪开圆锥侧面，展开后得到一个扇形：

• 扇形半径是母线 $l$；
• 扇形弧长是底面圆周长 $2\pi r$。

扇形面积可以用“弧长乘半径再除以 $2$”：

再加圆形底面：

扇形圆心角 $\theta$ 也能由弧长对应关系求出：

所以：

这里一定有 $r<l$，因此 $\theta<360^\circ$，正好符合“扇形只是一个圆的一部分”。

例题：竖直高不能直接放进侧面积公式

题目：一个直圆锥的底面半径为 $6\,\text{cm}$，竖直高为 $8\,\text{cm}$。求全面积，结果保留 $\pi$。

球面无法做出无撕裂、无拉伸的平面展开图

球是由球面围成的立体。球面上的每一点到球心的距离都相等，这个固定距离叫半径 $r$。通过球心的平面截球，得到的圆最大，叫大圆；它的半径也等于球半径。

半圆绕直径旋转一周，会形成球。无论从哪个方向正投影，球的轮廓都是圆，所以只看一个圆形视图时，不能立刻断定物体是球，圆柱和圆锥从上方看也可能是圆。

你可以把橘子皮剪成很多瓣压在桌面上，但它不是裂开，就是鼓起来。球面向两个方向同时弯曲，无法在不撕裂、不重叠、不拉伸的前提下完整铺平。地图把地球画到平面上总会变形，也是同一个道理。

所以球没有圆柱、圆锥那种精确展开图。球的表面积定理是：

它等于四个同半径大圆的面积。这个结论不能靠有限块球皮的剪拼严格证明；完整证明需要卡瓦列里原理或内外逼近的极限。本课程把它作为已经建立的球面面积定理使用。半球的曲面面积是一半：

但如果题目问一个实心半球的全面积，还要加上切口处的圆形底面：

三视图：不是画得像，而是投影得准

透视画会把远处画小，看起来很真实，却不方便直接量尺寸。三视图使用正投影：视线垂直于投影面，同一方向的尺寸不会因为远近而缩小。

常用的三张图是：

• 主视图：从物体正面向后看；
• 俯视图：从物体上方向下看；
• 左视图：从物体左侧向右看。

主视方向并不是永远由物体名字决定。画图前通常选择最能表现形状特征、虚线又较少的一面当作正面。

三张图共享三组尺寸

把立体的三个方向分别叫“宽、高、深”，对应关系是：

因此有三条对齐规则：

工程制图里常说“长对正、高平齐、宽相等”，说的正是同一件事。按本章采用的常见排法，主视图在上方左侧，俯视图放在主视图正下方，左视图放在主视图右侧。

看不见的边怎样画

从某个方向看过去，最外侧轮廓和直接看见的棱画实线；被前面的面挡住、但对说明内部或背面结构有用的棱画虚线。

虚线不是“可有可无的装饰”。比如一个长方体背面挖了凹槽，主视图的外轮廓可能仍然是矩形。如果把被挡住的凹槽边也省掉，读图的人就会误以为它是完整实心块。

反过来，也不能把立体示意图里的所有棱机械抄进每一张视图。几条棱投影后可能完全重合，最后只画一条；圆柱侧面的无数条母线也不会全部画出来，主视图只保留轮廓线。

常见立体的三视图线索

同一组三视图有时不能唯一决定立体。三个方向都看成圆，球是最自然的答案；但只给一张圆形俯视图，圆柱、圆锥、球都有可能。即使三张外轮廓相同，内部孔槽也可能不同。读图要把三张图放在一起，并检查对应尺寸；本章“由三视图认立体”的练习默认对象属于表中基本立体，没有未画出的孔槽或附加结构。

例题：由三视图反推尺寸

题目：一个几何体的主视图是宽 $8\,\text{cm}$、高 $5\,\text{cm}$ 的矩形；俯视图是宽 $8\,\text{cm}$、深 $3\,\text{cm}$ 的矩形；左视图是宽 $3\,\text{cm}$、高 $5\,\text{cm}$ 的矩形。它最可能是什么立体？三条尺寸怎样对应？

展开图：把表面积摊到桌面上检查

三视图是从外面看立体，展开图则是把立体的表面沿某些线剪开，再摊到平面上。两者别混：三视图会发生投影重合，展开图中的每一块区域都对应真实的一块表面。

各类立体展开后分别有什么

棱柱：两个全等底面，加上与底面边数相同的一圈侧面。直棱柱的侧面是矩形，斜棱柱的侧面通常是平行四边形。

棱锥：一个底面多边形，加上与底面边数相同的三角形侧面。正棱锥的侧面三角形全等。

直圆柱：两个全等的圆，加上一个长为 $2\pi r$、宽为 $h$ 的矩形。

直圆锥：一个半径为 $r$ 的圆，加上一个半径为 $l$、弧长为 $2\pi r$ 的扇形。

球：没有不撕裂、不拉伸就能精确铺平的展开图。

判断一张图能否折成立体时，至少检查三件事：面数对不对；对应边长度能不能贴合；折起后会不会有两个面占到同一个位置。

正方体有十一种本质不同的展开图

正方体由六个同样大的正方形组成，但不是任意六连方都能折成正方体。把旋转和翻面后相同的排法看作一种，一共有 $11$ 种不同的正方体展开图。

判断相对面，最稳的办法是“固定一个面，再追踪折叠方向”。选一个正方形当底面，它四周直接相连的面折起后成为四面墙；剩下那个能盖到上方的面，就是底面的相对面。如果折叠时两个面都想占同一个方向，这张图就会重叠，不是合法展开图。

看一个具体排法：横向依次是 A—B—C—D，E 接在 C 的上方，F 接在 C 的下方。

        E
A — B — C — D
        F

把 C 固定为底面，B、D、E、F 会折成四面墙，A 最后盖到顶面。因此相对面是：

例题：从圆柱展开图倒推半径

题目：一个直圆柱的侧面展开为长 $12\pi\,\text{cm}$、宽 $8\,\text{cm}$ 的矩形。矩形的长绕底面一周。求圆柱半径和全面积。

表面积题先问“哪些面真的算”

表面积是立体边界上指定部分的面积总和。完整封闭立体通常算所有外表面；实际物体却可能开口、粘接、挖空或相互贴合。

一个实用的解题顺序是：

1. 先认立体，写清底面和侧面分别是什么；
2. 在图上标出真正暴露、需要涂刷或需要制作的面；
3. 把曲面展开，或把多面体各面分类；
4. 统一长度单位，再算面积；
5. 检查是否漏底、重复计算贴合面，最后写平方单位。

常见公式可以放在一起对照，但每个公式的条件也要一起记：

例题：无盖长方体只少一个面

题目：制作一个无盖长方体收纳盒，长 $8\,\text{dm}$、宽 $5\,\text{dm}$、高 $3\,\text{dm}$，忽略接缝。至少需要多少平方分米的材料？

例题：半球罩在圆柱上，贴合圆不能算两遍

题目：一个半径为 $3\,\text{cm}$ 的半球形顶盖，正好扣在同半径、高为 $10\,\text{cm}$ 的直圆柱上。圆柱底面封闭，求组合体的外表面积，结果保留 $\pi$。

课后练习

练习一：在同一个正方体中，一条棱与另一条棱不相交。能否直接断定它们是异面直线？还要检查什么？

练习二：一个凸多面体有 $12$ 个顶点、$8$ 个面。求棱数。

练习三：一个直五棱柱有多少个顶点、多少条棱、多少个面？并用欧拉公式检查。

练习四：一个直棱柱的底面周长为 $30\,\text{cm}$，底面积为 $42\,\text{cm}^2$，棱柱高为 $9\,\text{cm}$。求侧面积与全面积。

练习五：一个正四棱锥的底面边长为 $8\,\text{cm}$，斜高为 $5\,\text{cm}$。求侧面积和全面积。

练习六：一个无盖直圆柱形容器，底面半径为 $4\,\text{cm}$，高为 $10\,\text{cm}$。求制作它的外侧面与底面所需材料面积，结果保留 $\pi$。

练习七：一个直圆锥的底面半径为 $5\,\text{cm}$，竖直高为 $12\,\text{cm}$。求母线、侧面积和全面积，结果保留 $\pi$。

练习八：一个球的直径为 $10\,\text{cm}$。求球面面积；再求同半径实心半球的全面积。

练习九：一个立体的主视图是宽 $6\,\text{cm}$、高 $9\,\text{cm}$ 的矩形，俯视图是直径 $6\,\text{cm}$ 的圆，左视图也是宽 $6\,\text{cm}$、高 $9\,\text{cm}$ 的矩形。判断立体，并求全面积，结果保留 $\pi$。

练习十：在正方体展开图中，横向依次是 A—B—C—D，E 接在 C 上方，F 接在 C 下方。写出三组相对面。

练习十一：判断对错：“两条直线都平行于同一个平面，所以这两条直线互相平行。”

练习十二：一个直圆锥的侧面展开扇形半径为 $9\,\text{cm}$，圆心角为 $240^\circ$。求圆锥底面半径和全面积，结果保留 $\pi$。

把这章的几条线接起来

空间图最先考验的不是计算，而是关系判断。两条线不相交，还要分平行和异面；一条“高”必须是垂直距离，不能看见一条斜线就叫高；被挡住的棱在三视图里可能要用虚线留下信息。

认出立体后，表面积就回到了上一章熟悉的平面面积。直棱柱是一圈矩形加两个底面，正棱锥是一圈三角形加一个底面，圆柱侧面摊成矩形，圆锥侧面摊成扇形。球面不能无变形展开，所以单独使用 $4\pi r^2$。

下一章会把视线从“外面这一层皮”移到“里面占了多少空间”。到那时，底面积 $B$、竖直高 $h$、柱体与锥体的区别会再次出现；这一章把高、母线、斜高分清，就是在替体积推导铺路。