泰勒级数与函数近似 | 微积分 II：积分技巧、无穷级数与参数曲线 | 自在学

泰勒级数与函数近似

上一章把幂级数看成“无限多项式”，并研究它在哪些 $x$ 上收敛。本章要回答一个更具体的问题：如果只知道函数在某一点附近的行为，能不能写出一个多项式，让它在这附近替代原函数？

答案就是泰勒多项式与泰勒级数。它们把函数值、导数、二阶导数和更高阶导数压进一个多项式中。阶数越高，多项式在展开中心附近携带的局部信息越多；但它是否能在较远处仍然可靠，要由余项来判断。

泰勒多项式在展开中心附近逐阶贴近原函数

从局部多项式开始

最熟悉的一次近似是切线近似。如果 $f$ 在 $x=a$ 附近可导，那么

f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)

这个式子让多项式和原函数在 $x=a$ 处有相同的函数值和斜率。若再加入二次项，希望曲率也匹配，就得到

f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2

继续这样做，就得到一般的泰勒多项式。

泰勒系数由展开中心处的函数值和各阶导数决定

泰勒多项式

若 $f$ 在 $a$ 附近有足够多阶导数，那么 $f$ 在 $a$ 处的 $n$ 次泰勒多项式定义为

T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

也就是

T_n(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

这里的系数不是随便凑出来的。对 $T_n$ 求 $k$ 阶导数，再代入 $x=a$ ，会得到

T_n^{(k)}(a)=f^{(k)}(a),\qquad k=0,1,2,\ldots,n

所以泰勒多项式是在 $x=a$ 处和原函数“前 $n$ 阶局部信息全部一致”的多项式。

当展开中心是 $a=0$ 时，泰勒多项式常叫麦克劳林多项式。麦克劳林不是新公式，只是泰勒公式在中心为 $0$ 时的名称。

例题：写出 $\sin x$ 的五次麦克劳林多项式

求 $\sin x$ 在 $0$ 处的五次麦克劳林多项式。

先列出各阶导数的循环： $f(x)=\sin x$ ， $f'(x)=\cos x$ ，，，。代入后得到。

这个结果说明，在 $0$ 附近， $\sin x$ 可以先看成 $x$ ，更精细时再加上 $-\frac{x^3}{6}$ 和。这正是许多小角近似的来源。

常见展开是工具箱

泰勒级数是把次数继续推到无穷的结果：

f(x)\sim \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

符号 $\sim$ 在这里提醒我们：右边是由导数生成的形式级数。要把它当成真正等于 $f(x)$ 的函数表达式，还需要讨论收敛区间和余项是否趋于 $0$ 。

常见麦克劳林展开公式速查表

五个最常用的麦克劳林展开

下面这些展开会在积分、极限、近似计算和微分方程中反复出现。

函数	麦克劳林级数	常用范围
$e^x$	$1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$

这些展开最好理解成“基准材料”。实际题目常常不是直接问 $e^x$ 或 $\sin x$ ，而是问 $e^{-x^2}$ 、 $\sin(3x)$ 、或某个无法初等积分的表达式。做法是从已知展开出发，用代入、求导、积分或相乘生成新级数。

例题：用 $e^x$ 近似 $e^{0.2}$

取三次麦克劳林多项式

T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}

代入 $x=0.2$ ：

T_3(0.2)=1+0.2+\frac{0.2^2}{2}+\frac{0.2^3}{6}=1.221333\ldots

真实值 $e^{0.2}$ 约为 $1.221403\ldots$ ，三次多项式已经给出很接近的结果。这里近似好，不只是因为阶数够高，还因为 $0.2$ 离展开中心 $0$ 很近。

泰勒近似有两个变量要同时看：阶数 $n$ 和距离 $|x-a|$ 。增加阶数通常会改善近似，但离展开中心太远时，低阶多项式可能给出很差的数值。

余项告诉我们近似能信多久

泰勒多项式只是近似，差值叫余项：

R_n(x)=f(x)-T_n(x)

因此

f(x)=T_n(x)+R_n(x)

如果我们能控制 $R_n(x)$ ，就能把“看起来很接近”变成“误差不会超过多少”。

泰勒余项表示原函数与多项式之间的误差

拉格朗日余项

若 $f$ 在 $a$ 与 $x$ 之间有 $n+1$ 阶导数，则存在某个介于 $a$ 和 $x$ 之间的数 $c$ ，使得

R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

实际估计时通常不知道 $c$ 是谁，但只要能在区间上找到

|f^{(n+1)}(t)|\le M

就有

|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}

这个不等式清楚地显示了两个因素： $|x-a|$ 越小，误差越容易小；阶乘增长很快，所以在许多常见函数中，增加阶数会迅速压低误差。

例题：估计 $\cos(0.3)$ 的误差

用四次麦克劳林多项式近似 $\cos(0.3)$ ：

T_4(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}

因为 $\cos x$ 的五阶导数是 $-\sin x$ ，在 $0$ 到 $0.3$ 之间有 $|\sin t|\le 1$ ，所以

|R_4(0.3)|\le \frac{0.3^5}{5!}

计算得

\frac{0.3^5}{120}=0.00002025

所以四次多项式给出的 $\cos(0.3)$ 误差不超过约 $2.1\times 10^{-5}$ 。如果利用交错级数的下一项估计，还可以得到更紧的界，但拉格朗日余项已经足够说明近似可靠。

误差估计的目标不是把真实值算出来，而是在没有真实值时给出可信边界。工程计算、数值分析和物理近似都需要这种边界。

用已知级数生成新级数

第 11 章已经说明，在收敛区间内部，幂级数可以逐项求导和逐项积分。本章把这个事实用在泰勒级数上：先记住少数常见展开，再从它们生成更多函数的展开。

泰勒级数可以通过代入、求导、积分和相乘生成新级数

代入

从

e^u=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{u^k}{k!}

令 $u=-x^2$ ，得到

e^{-x^2}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-x^2)^k}{k!}

也就是

e^{-x^2}=1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\cdots

这个展开在后面近似 $\int e^{-x^2}\,dx$ 时很有用。

逐项求导

从几何级数

\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots,\qquad |x|<1

两边求导：

\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots

这里的收敛半径仍然是 $1$ ，端点要重新检查，但在 $|x|<1$ 内逐项求导是合法的。

逐项积分

从

\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots,\qquad |x|<1

两边从 $0$ 积分到 $x$ ：

\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots

这个推导也解释了为什么 $\ln(1+x)$ 的展开不是直接从很多阶导数硬算出来，而是可以由几何级数自然得到。

相乘与截断

如果只需要低阶近似，可以把两个已知级数相乘后截断。例如求 $\sin x\cdot e^x$ 到三次项：

\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)

e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4)

只保留三次以内的项：

\sin x\cdot e^x=x+x^2+\frac{x^3}{3}+O(x^4)

这里的 $O(x^4)$ 表示被省略的项至少从四次开始。它不是一个具体数值，而是一种“阶数记号”，帮助我们说明截断到哪里。

相乘时最常见的错误是漏掉能合成目标阶数的项。若只要三次项，就必须检查所有次数相加不超过 $3$ 的乘积。

用泰勒级数近似无法初等积分的函数

有些函数没有初等原函数，例如 $e^{-x^2}$ 。这不表示定积分不能算，只是不能用有限个初等函数写出一个普通原函数。泰勒级数给了另一条路：先把函数展开成幂级数，再逐项积分。

用泰勒级数把 e 的负 x 平方转化为可逐项积分的多项式近似

我们已经得到

e^{-x^2}=1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}-\cdots

因此

\int_0^1 e^{-x^2}\,dx =\int_0^1 \left(1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}-\cdots\right)\,dx

逐项积分得到

\int_0^1 e^{-x^2}\,dx =1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2!\cdot 5}-\frac{1}{3!\cdot 7}+\frac{1}{4!\cdot 9}-\cdots

若取到 $x^{10}$ 对应的积分项，也就是

1-\frac{1}{3}+\frac{1}{10}-\frac{1}{42}+\frac{1}{216}-\frac{1}{1320}

得到

0.746729\ldots

由于这是交错级数，且从这些项开始绝对值递减，截断误差不超过下一项的绝对值：

\frac{1}{6!\cdot 13}\approx 0.0001068

所以这个近似已经可靠到小数点后三位。

什么时候泰勒级数真的等于函数

一个函数有泰勒级数，不自动表示函数等于它的泰勒级数。真正需要的是余项趋于 $0$ ：

\lim_{n\to\infty}R_n(x)=0

若这个极限成立，那么

f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

在这个 $x$ 上成立。

对 $e^x$ 、 $\sin x$ 、 $\cos x$ 来说，余项可以用阶乘控制，因此它们在所有实数上都等于自己的麦克劳林级数。对 $\frac{1}{1-x}$ 和来说，还必须尊重收敛区间；离开区间后，级数本身就不收敛，当然不能代表函数。

还有一种更细的情况：函数非常光滑，但泰勒级数仍可能不能代表它。经典例子是

f(x)= \begin{cases} e^{-1/x^2}, & x\ne 0,\\ 0, & x=0. \end{cases}

这个函数在 $0$ 处所有阶导数都是 $0$ ，所以它的麦克劳林级数是零级数。但当 $x\ne 0$ 时，函数值并不是 $0$ 。这个例子提醒我们：泰勒级数捕捉的是展开中心处的导数信息，而不是自动捕捉整个函数。

不要把“函数有无限多阶导数”和“函数等于泰勒级数”混为一谈。判断是否相等的关键是余项是否趋于 $0$ ，以及对应幂级数是否在该点收敛。

综合例题

例题：求 $\arctan x$ 的麦克劳林级数

求 $\arctan x$ 的麦克劳林级数，并说明它的基本收敛范围。

从几何级数出发，把 $x$ 替换成 $-x^2$ ：

\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots,\qquad |x|<1

例题：构造 $\sqrt{1+x}$ 的二次近似

令

f(x)=\sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2}

在 $0$ 处展开到二次项。先计算：

f(0)=1

f'(x)=\frac{1}{2}(1+x)^{-1/2},\qquad f'(0)=\frac{1}{2}

f''(x)=-\frac{1}{4}(1+x)^{-3/2},\qquad f''(0)=-\frac{1}{4}

所以

T_2(x)=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}

例如估计 $\sqrt{1.1}$ 时取 $x=0.1$ ：

\sqrt{1.1}\approx 1+0.05-\frac{0.01}{8}=1.04875

这个近似之所以好，是因为 $0.1$ 离展开中心 $0$ 很近。

常见误区

把展开中心忘掉

泰勒多项式总是围绕某个中心 $a$ 展开。若题目要在 $a=2$ 附近近似，就应使用 $(x-2)$ 的幂，而不是机械写成 $x$ 的幂。

只算多项式，不看误差

近似题常常不止问“算一个数”，还问“误差小于多少”。这时必须写出余项估计或使用交错级数误差估计。

在收敛区间外使用级数

例如

\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots

只在 $|x|<1$ 内成立。把 $x=2$ 代入右边没有意义，因为级数发散。

逐项运算后不检查端点

逐项求导、逐项积分通常保持相同收敛半径，但端点行为可能改变。求出级数后，端点要重新代入检查。

练习

求 $e^{2x}$ 在 $0$ 处的四次麦克劳林多项式。

把 $2x$ 代入 $e^u=1+u+\frac{u^2}{2!}+\frac{u^3}{3!}+\frac{u^4}{4!}+\cdots$ ，得到

用三次麦克劳林多项式近似 $\sin(0.2)$ ，并用交错级数下一项估计误差。

三次多项式为

T_3(x)=x-\frac{x^3}{6}

代入 $0.2$ 得

从几何级数出发，求 $\frac{1}{1+x}$ 的麦克劳林级数。

把 $x$ 替换为 $-x$ ：

\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots

求 $\ln(1+x^2)$ 到 $x^6$ 的麦克劳林展开。

从

\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{3}-\cdots

用泰勒级数把 $\int_0^{0.5} e^{-x^2}\,dx$ 近似到含 $x^4$ 的项。

使用

e^{-x^2}\approx 1-x^2+\frac{x^4}{2}

判断下面说法是否正确：只要函数在 $a$ 处有任意阶导数，它就一定等于自己的泰勒级数。

不正确。任意阶可导只能保证可以写出形式上的泰勒级数；要让泰勒级数等于函数，还需要余项 $R_n(x)$ 在相关点趋于 $0$ 。存在所有阶导数都存在但泰勒级数不能代表函数的例子。

小结

泰勒多项式用 $f(a),f'(a),f''(a),\ldots$ 构造一个在 $a$ 附近贴近原函数的多项式。麦克劳林多项式只是中心为 $0$ 的泰勒多项式。

常见函数的展开是本章的基础工具。真正做题时，常用代入、逐项求导、逐项积分和相乘来生成新级数。

余项是近似的安全边界。没有误差估计的泰勒近似只是一个数值猜测；有了余项或交错级数误差估计，近似才变成可控制的计算方法。

\frac{x^5}{120}

0.2